Pertemuan ke 19 Program Integer

Program Integer

Model Pemrograman Integer

Tipe Model

Total Integer Model: Semua variabel keputusan diharuskan mempunyai nilai solusi integer.

0–1 Integer Model: Semua variabel keputusan mempunyai nilai integer 0 atau 1.

Biner / Binary

Boolean dan True/False

Mesin Kebutuhan Ruang

Model Total Integer (1 of 2)

Toko mesin ingin membeli mesin pencetak dan mesin bubut baru

Keuntungan marjinal: mesin cetak $100/hari; mesin bubut $150/hari.

Batasan sumberdaya: $40,000, tempat tersedia 200 ft2_.

Model Total Integer (2 of 2)

Integer Programming Model:

Memaksimalkan Z = $100x₁ + $150x₂

dengan kendala:

8,000x₁ + 4,000x₂  $40,000 15x₁ + 30x₂  200 ft2

x₁, x₂  0 dan integer

Pemilihan fasilitas rekreasi untuk memaksimalkan penggunaan harian warga.

Batasan sumberdaya: anggaran $120,000; tanah 12 acres. Batasan tambahan: salah satu dari kolam renang atau

Integer Programming Model:

Memaksimalkan Z = 300x₁ + 90x₂ + 400x₃ + 150x₄

dengan kendala:

$35,000x₁ + 10,000x₂ + 25,000x₃ + 90,000x₄  $120,000 4x₁ + 2x₂ + 7x₃ + 3x₄  12 acres

x₁ + x₂  1 fasilitas x₁, x₂, x₃, x₄ = 0 atau 1

x₁ = pendiriian sebuah kolam renang x₂ = pendirian sebuah lapangan tenis x₃ = pendirian sebuah lapangan atletik x₄ = pendirian sebuah gymnasium

Model Integer Campuran (1 of 2)

Anggaran $250,000 tersedia untuk inverstasi dengan pengembalian terbesar setelah setahun.

Data:

Harga villa $50,000/unit, $9,000 keuntungan jika dijual setelah satu tahun.

Harga tanah $12,000/acre, $1,500 keuntungan jika dijual setelah setahun.

Harga obligasi $8,000/bond, $1,000 keuntungan jika dijual setalah setahun.

Pembulatan solusi non-integer ke atas (ke bawah) dapat menghasilkan solusi tak layak

Sebuah solusi layak mungkin ditemukan dengan pembulatan tetapi tidak optimal (sub-optimal).

Apakah sebuah variabel dibulatkan ke atas atau ke bawah tergantung pada hasil dan kendala yang ada.

Contoh Pemrograman Integer

Solusi Grafis Model Maksimasi

Maximize Z = $100x₁ + $150x₂

Feasible Solution Space with Integer Solution Points

Branch and Bound Method

Pendekatan tradisional untuk pemecahan masalah pemrograman integer.

Berdasarkan prinsip bahwa kumpulan solusi layak total dapat dipecah menjadi sub-kumpulan solusi yang lebih kecil.

Sub-kumpulan yang lebih kecil dievaluasi sampai solusi terbaik ditemukan.

Metode ini sangat melelahkan dan sering kali meliputi proses matematis yang kompleks.

Ringkasan Metode Branch and Bound

1. Dapatkan solusi simpleks optimal dari PL dg batasan integer

2. Tentukan solusi simpleks relaxed sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan ke bawah sebagai batas bawah pada node 1

3. Pilih variabel dengan bagian pecahan terbesar untuk

percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini yang mencerminkan pembagian nilai integer berupa batasan ≤ dan ≥ 4. Ciptakan node baru, satu batasan ≤ dan satu batasan ≥

5. Selesaikan model PL relaxed dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node

6. Solusi simpleks relaxed adalah batas atas tiap node, dan solusi integer maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah

batas bawah

Recreational Facilities Example:

Maximize Z = 300x₁ + 90x₂ + 400x₃ + 150x₄ subject to:

$35,000x₁ + 10,000x₂ + 25,000x₃ + 90,000x₄  $120,000 4x₁ + 2x₂ + 7x₃ + 3x₄  12 acres

x₁ + x₂  1 facility

x₁, x₂, x₃, x₄ = 0 or 1

Computer Solution of IP Problems

0

–

1 Model with Excel (3 of 5)

Instead, one could just specify $C$12:$C$15

Exhibit 9.4

Computer Solution of IP Problems

0

–

1 Model with Excel (4 of 5)

To constrain a range of variables to be

integers, enter:

… and note that it doesn’t matter what you put in

the right-hand side field, but it must not be empty.