Konsep limit sangat berguna dalam matematika, khususnya dalam kalkulus. Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah nilai mutlak sebagai jarak. Untuk |x| artinya jarak antara x dengan titik asal. Demikian juga untuk |x–a| adalah jarak antara x dengan a. Secara umum Nilai Mutlak didefinisikan sebagai berikut.
Definisi :
Nilai Mutlak dari bilangan real a, dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan sebagai berikut
|a| :=
Agar lebih dimengerti, simak contoh berikut :
1.
|5| = 52.
|0| = 03.
|-8| = 8Dari Definisi diatas, dapat disimpulkan bahwa |a| 0 untuk semua a , dan | a| = 0 jika dan hanya jika a = 0. Juga |-a| = |a| untuk setiap a .
Teorema :
(a) |ab| = |a||b| untuk setiap a, b (b) |a|2 = a2 untuk setiap a, b
(c) jika c 0 maka |a| c jika dan hanya jika –c a c (d) -|a| a |a| untuk setiap a, b
Bukti :
(a) Untuk membuktikan bagian (a) ini kita gunakan lima kasus, yaitu untuk a atau b = 0, jelas berlaku kedua sisi sama dengan 0
untuk a > 0, b > 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = ab = |a||b|
untuk a < 0, b > 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = -ab = (-a)b |a|| b|
untuk a < 0, b < 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = |a)b)| = (-a)(-b) = ab = |a||b|
(b) karena a2 0 maka berlaku a2 = |a2| = |aa| = |a||a| = |a|2
(c) jika |a| c maka berdasarkan definisi Nilai Mutlak berlaku a c dan -a c, ini ekuivalen dengan –a c a. Kemudian jika –a c a maka berlaku a c dan -a c sehingga |a| c.
(d) dengan memperhatikan pembuktian pada bagian (c). Ambil c = |a| sehingga | a| |a| dan berlaku a |a| dan -a |a|, hal ini ekivalen dengan –a |a| a Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)
Jika a, b maka |a + b| |a| + |b|
Bukti :
Dari Teorema (d) kita punya -|a| a |a| dan -|b| b |b|. Jumlahkan kedua ketaksamaan tersebut sehingga diperoleh –(|a| + |b|) a + b |a| + |b|. Berdasarkan Teorema (c) diperoleh |a + b| |a| + |b|
Akibat (Corollary)
Jika a, b maka
(a) ||a| – |b|| |a – b| (b) |a – b| |a| + |b| Bukti :
(a) ambil a = a – b + b, maka berdasarkan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |a| = |(a – b) + b| |a – b| + |b|. Kemudian kurangkan kedua ruas dengan |b| sehingga diperoleh |a| – |b| |a – b|.Sekarang pandang b = b – a + a, dengan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |b| = |b – a + a| |b – a| + |a|. Kemudian kurangkan dengan |a| sehingga diperoleh |b| – |a| |b – a|. Kalikan kedua ruas dengan (-1) sehingga menjadi –(|b| – |a|) -|b – a|. Ketaksamaan tersebut ekivalen dengan -|a – b| |a| – |b|. Dari dua ketaksamaan tersebut, berdasarkan Teorema (c) dapat disimpulkan ||a| – |b|| |a – b|.
