Prosiding Seminar Sain, Edukasi & TI 2012 Ida S Amanto Agus S

DAFTAR ISI

Halaman KelompokMatematika

PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno

RuangTopologi , , , , 7-14

Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto

PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN 15-21 Fazrie Mulia , Wamiliana , dan Fitriani

REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-27 Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto

ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL)

Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno

AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto

KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN 38-41

Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz

METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah

KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI 45-47

Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz

TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN 48-53

Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto

KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56 PENGGERAK DINAMO

Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno

INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR 57-63

Pita Rini, Dorrah Aziz, dan Amanto

ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAFWRAPPED BUTTERFLY NETWORKSDANGRAF 64-71 CYCLIC-CUBES

Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani

Ring Armendariz 72-77

Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani

Kelompok Statistika

APROKSIMASI DISTRIBUSIT-STUDENTTERHADAPGENERALIZED LAMBDA 82-85 DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti

ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti

PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAPGENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti

PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM

Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan

PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109 (EXPECTATION MAXIMIZATION)

Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti

KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti

ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGANCROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari

PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122-126 ZILLMER DAN ILLINOIS

Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti

KAJIAN RELATIF BIASMETODEONE-STAGEDANTWO-STAGE CLUSTER SAMPLING 127-130 Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti

PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV

Tika Wahyuni, Netti Herawati dan Eri Setiawan

PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAPGENERALIZED LAMBDA 137-140 DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari

Kelompok Kimia

TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO2)

EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan

EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153 KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODEUNSEEDED EXPERIMENT

Miftasani,Suharso dan Buhani

EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160 KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODESEEDED EXPERIMENT

IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI (Dalium indum) 161-168 SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK

Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak

TransesterifikasiMinyakSawitdenganMetanoldanKatalisHeterogenBerbasis 169-175 SilikaSekamPadi(TiO2/SiO2)

Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak

UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182 DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN

Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak

STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASIPLASTICIZERDALAM 183-190 SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJIBIODEGRADABLEDENGAN METODE FISIK

Yesti Harryzona dan Yuli Darni

KelompokFisika

Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195 BendingDan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140

Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo

PengaruhKadarCaCO3terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196-201 denganDopingPb (BPSCCO-2212)

Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka

Variasi Kadar CaCO3dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202-207 Doping Pb (BPSCCO-2223)

Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka

Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO3 208-212 Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka

Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO2dengan Metode 213-218 Pelapisan Celup

Dian Yulia Sari dan Posman Manurung

Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225 Aluminosilikat 3Al2O3.2SiO2Berbahan Dasar Silika Sekam Padi

Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring

Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung

Uji Fotokatalis Bahan TiO2yang ditambahdengan SiO2padaZatWarnaMetilenBiru 231- 236 Violina Sitorus dan Posman Manurung

KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B2O3-SiO2BERBASIS 237-241 SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI

Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring

RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247 MIKROKONTROLER ATMega8535

ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250 MENGGUNAKAN METODE GPR (Ground Penetrating Radar) DAN GEOLISTRIK

R. Wulandari,Rustadi dan A. Zaenudin

ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM

NORM PADA RUANG HILBERT C[a, b]

(STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL)

Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

Abstrak

Aproksimasi fungsi dalam proses komputasi sering digunakan hampir di semua bidang analisis numerik. Dua alasan utama penggunaan aproksimasi fungsi adalah untuk memberikan fungsi pendekatan yang efektif dan mendekati suatu fungsi yang rumit dengan fungsi yang lebih sederhana. Diberikan sebuah fungsif, baik secara utuh ataupun hanya beberapa nilai di titik-titik tertentu saja, kita ingin memperoleh hampiran (aproksimasi) untuk f yang mempunyai bentuk tertentu (misalnya supaya lebih mudah dianalisis) dengan kesalahan yang dapat kita

kontrol. Misalnya kita hendak menghitung



e

x

dx

1

0

2

, kita hampiri integrannya dengan polinom (suku banyak)

berderajat n (dengan n cukup besar). Masalah optimisasi khususnya aproksmasi fungsi terbaik yang tidak medapatkan solusi terbaik (ralat yang besar) dalam ruang fisis atau yang dikenal sebagai ruang real , dapat dipecahkan dengan sistem matematis yang sederhana, dengan membawa masalah aproksimasi tersebut ke ruang abstrak (berisi aksioma-aksioma) atau ruang vekor, khususnya pada ruang Hilbert C[a,b]. Masalah tersebut dikenal sebagai masalah minimum norm dalam ruang Hilbert C[a,b]. Dengan menggunakan konsep minimum norm akan diperoleh kesalahan optimal (galat) yang minimum.

Kata kunci:Aproksimasi, minimum norm, ruang Hilbert C[a,b], polinom, kesalahan optimal.

I. PENDAHULUAN

Optimisasi adalah suatu proses memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi objektif yang memenuhi kendala tertentu. Masalah aproksimasi fungsi di atas dapat diselesaikan pada ruang vektor, yaitu dengan metode optimisasi ruang vektor. Ruang vektor yang digunakan adalah ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan ruang abstrak yang di dalamnya memuat perpaduan tiga konsep, yaitu Aljabar, Analisis dan Geometri. Konsep geometri yang digunakan adalah mengenai proyeksi, sebab ruang Hilbert dibangun oleh konsep inner product (Berberian, 1961). Fungsi yang akan dicari aproksimasinya adalah fungsi-fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada [a,b] . Dalam pemecahan masalah ini, langkah penting yang harus dilakukan adalah pemilihan basis yang bebas linear yang membangun ruang fungsi yang akan diaproksimasi dan penentuan kesalahan optimal atau ralat optimal dari aproksimasi yang diambil. Basis ini tidak tunggal. Pemilihan basis yang berbeda akan menghasilkan aproksimasi fungsi yang sama dan juga kesalahan optimal yang sama.

II.

LANDASAN TEORI

Teorema proyeksi merupakan prinsip dasar dalam penyelesaian masalah optimisasi. Sebelum ke

Teorema proyeksi, terlebih dahulu akan diperkenalkan konsep ortogonalitas.

Definisi 2.1.1 (Luenberger, 1969)

Dalam suatu ruang pre-Hilbert X, vektor x,y  X dikatakan ortogonal jika <x, y>= 0, dinotasikan dengan xy. Suatu vektor x dikatakan ortogonal dengan himpunan S, dinotasikan x S jika x s untuk setiap sS.

Lemma berikut menunjukkan bahwa Teorema Phytagorean dalam geometri bidang merupakan akibat dari konsep ortogonalitas.

Lemma 2.1.1

MisalkanXsuatu ruang Hilbert danx, y X. Jika

xy,maka

x



y

2



x

2



y

2

Bukti :

y y x y y x x x y x y x y

x 2   ,   ,  ,  ,  ,

Teorema 2.1.2 (Teorema Proyeksi di Ruang pre-Hilbert)

Misalkan X suatu ruang Pre-Hilbert, M suatu ruang bagian dari X dan x sebarang vektor di X. Jika ada vektor

m

0



M

, sedemikian hingga

M

m

m

x

m

x



_o





,





, maka m0 tunggal.

Syarat perlu dan cukup

m

₀



M

, suatu vektor minimal tunggal di Madalah vektor selisih x – m0

ortogonal terhadapM.

Teorema 2.1.3 (Teorema Proyeksi Klasik)

Misalkan H ruang Hilbert dan M ruang bagian tertutup dari H, maka untuk sebarang vektor

H

x



, terdapat tunggal vektor

m

₀



M

sedemikian hingga

x



m

_o



x



m

,



m



M

.

Syarat perlu dan cukup

m

0



M

,suatu vektor minimal tunggal adalah vektor selisih x – m0

ortogonal terhadap ruang bagianM.

Teorema proyeksi di atas akan ditetapkan untuk membangun sifat struktural tambahan dari suatu ruang Hilbert, antara lain adalah dalam sebarang ruang bagian tertutup dari ruang Hilbert, sebarang vektor dapat ditulis sebagai jumlahan dua vektor, satu vektor di ruang bagian tertutup dan vektor yang lain ortogonal terhadapnya.

Definisi 2.1.2 (Luenberger, 1969)

Misalkan S suatu himpunan bagian dari ruang Pre-Hilbert. Himpunan semua vektor yang ortogonal terhadap S disebut komplemen ortogonal dari S dan dinotasikan dengan S.

Teorema 2.1.4

Misalkan S dan T himpunan bagian dari ruang Hilbert dan

S

,

T

 berturut-turut menyatakan komplemen ortogonal dariSdanTmaka :

1.

S

 adalah ruang bagian tertutup 2. S



S



3. JikaS



Tmaka

T





S

 4.

S

=

S



Definisi 2.1.3 (Luenberger, 1969)

Ruang vektor X dikatakan jumlahan langsung dari ruang bagian M dan N, jika setiap vektor x  X dapat ditulis secara tunggal, dalam bentuk x = m + n dengan mM dan nN, dinotasikan dengan X = MN.

Teorema 2.1.5

JikaMruang bagian linear tertutup dari suatu ruang HilbertHmakaH = M



M

 danM=



M

Definisi 2.1.4 (Luenberger, 1969)

Misalkan y1,y2,...,yn basis dari M. Diberikan

sebarang vektor x



H dan akan dicari vektor m0

di M yang terdekat ke x. Jika vektor m0dinyatakan

dalam suku-suku dalam vektor yisebagai :

mo=



 n

i i i

y

1



Maka masalah tersebut ekuivalen dengan menemukan skalar



_i, i = 1, 2, ..., n yang

meminimalkan

x





₁

y

₁





₂

y

₂



...





_n

y

_n .

Menurut Teorema proyeksi, vektor minimal tunggal m0 adalah proyeksi ortogonal x pada M,

atau vektor selisih x – m0 ortogonal terhadap

setiap vektor yi.

Dengan demikian :

0

,

...

2

2 1

1













x



y



y



n

y

n

y

i

untuk i= 1, 2, ...., n.

Atau

<x, y1> - <



1y1, y1> - <



2y2, y1> - ...- <



nyn, y1> = 0

<x, y2> - <



1y1, y2> - <



2y2, y2> - ...- <



nyn, y2> = 0











<x, yn> - <



1y1, yn> - <



2y2, yn> - ...- <



nyn, yn> = 0

Atau

<y1, y1>



1+ <y2, y1>



2+ ...+ <yn, y1>



n= <x, y1>

<y1,y2>



1+ <y2,y2>



2+ ...+ <yn, y2>



n= <x, y2>









<y1,yn>



1+ <y2,yn>



2+ ...+ <yn, yn>



n= <x, yn>

Persamaan dalam koefisien



i sebanyak n kali

ini dikenal sebagai persamaan normal untuk masalah minimalisasi.

G = G(y1, y2,..., yn) =

Matriks ini adalah tranpose dari matriks koefisien normal.

Teorema 2.1.6

Determinan Gram g = g(y1, y2,…., yn)



0 jika

dan hanya jika y1, y2,…., ynbebas linear.

Teorema 2.1.7

Misalkan y1,….., yn bebas linear dan



jarak

minimum vektor x ke ruang bagian M yang dibangun olehyi, yaitu :

Teorema 2.2.1

Misalkan M ruang bagian tertutup dari ruang HilbertH,x suatu elemen tertentu diHdan variasi linier,V = x + M, maka terdapat tunggal vektorx0

di V dengan norm minimum dan x0 ortogonal

denganM.

Teorema 2.2.2

Misalkan H ruang Hilbert dan {y1,…..,yn

}vektor-vektor bebas linear diH. Di antara semua vektorx



Nyang memenuhi :

<x1, y1> = c1

<x1, y2> = c2



<x1, yn> = cn.

Misalkanxomempunyai norm minimum, maka :

xo =





dengan koefisien



_i memenuhi

persamaan :

<y1, y1>



₁+ <y2, y1>



₂ + …….+ <yn, y1>



_n = c1

<y1, y2>



₁+ <y2, y2>



₂ + …….+ <yn, y2>



_n = c2











<y1, yn>



₁+ <y2, yn>



₂ + …….+ <yn, yn>



_n = cn

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

a. Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi Polinomial

Misalkan X adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada [-1, 2], dengan perkalian dalam yang didefinisikan

dengan :

2

Penyelesaian :

Akan dicari fungsi polinomial berderajat satu yang merupakan aproksimasi terbaik ke fungsi

2

1

,

)

(

t



t

2





t



x

. Dengan langkah-langkah

berikut :

Langkah I

Diketahui ruang vektor X adalah ruang yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada [-1, 2], dengan perkalian dalam yang didefinisikan

dengan 2

2

Langkah II Asumsi :

(1) Ruang vector X memenuhi ruang Hilbert

]

(3) Vektor-vektor yang mambangun polinomial berderajat satu adalah

a

t

y

1

(

)



dan

y

2

(

t

)



b



ct

Langkah III Masalah :

Akan dicari fungsi polynomial berderajat satu yang merupakan aproksimasi terbaik ke fungsi

2

Langkah IV Solusi :

Masalah yang hanya bergantung pada vektor-vektor yang membangun polinomial bederajat satu :

y

1

(

t

)



a

dan

y

2

(

t

)



b



ct

. Masalah ini

dapat diselesaikan dengan memberlakukannya sebagai masalah norm minimum di ruang Hilbert C[-1,2] sebab untuk setiap

x

,

y



C

[



1

,

2

]

adalah

Dan vektor yang dicari dapat dinyatakan sebagai

menemukan scalar



₁ dan



₂ yang

meminimalkan

x





₁

y

₁





₂

y

₂ .

Menurut Teorema proyeksi vektor minimal tunggal

x

ˆ

adalah proyeksi orthogonal x pada M (ruang bagian dari ruang Hilbert) atau selisih

x



x

ˆ

orthogonal terhadap setiap vector

y

₁

,

i



1

,

2

.

Dapat dibentuk :



Selanjutnya diperoleh :



Berdasarkan (2.1) diperoleh :

a

Dengan perhitungan diperoleh:

c

Jadi, diperoleh fungsi aproksimasi terbaik ke fungsi

x

(

t

)



t

2

,



1



t



2

:

Kesalahan optimalnya atau minimumnya yaitu :

Jadi jarak minimum adalah

b. Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi

Rasional

Misalkan X adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada [1,8], dengan perkalian dalam yang didefinisikan dengan :

t

Penyelesaian :

Akan dicari fungsi polinomial berderajat satu yang merupakan aproksimasi terbaik ke fungsi

8

x

. Dengan langkah-langkah

berikut :





Berdasarkan (2.1) diperoleh :

a

Dengan perhitungan diperoleh:

c

Jadi, diperoleh fungsi aproksimasi terbaik ke

fungsi

(

)



1

,

1



t



8

Kesalahan optimalnya atau minimumnya yaitu :

063

,

0

08

,

200

7

,

12

2 2

2 2





c

a

c

a

Jadi jarak minimum adalah





0

,

063

IV. KESIMPULAN

Masalah optimisasi khususnya aproksmasi fungsi terbaik yang tidak medapatkan solusi terbaik (ralat yang besar) dalam ruang fisis atau yang dikenal sebagai ruang real , dapat dipecahkan dengan sistem matematis yang sederhana, dengan masalah aproksimasi tersebut ke ruang abstrak (berisi aksioma-aksioma) atau ruang vekor, khususnya pada ruang Hilbert C[a,b]. Masalah tersebut dikenal sebagai masalah minimum norm dalam ruang Hilbert C[a,b]. Dengan menggunakan konsep minimum norm akan diperoleh kesalahan optimal (galat) yang minimum.

Dalam penyelesaian masalah minimum norm dengan menggunakan ruang Hilbert C[a,b] maka fungsi aproksimasi tidak tergantung pada pemilihan basis, asalkan basis yang dipilih membangun ruang Hilber C[a, b].

DAFTAR PUSTAKA

[1] Amanto, Suharsono, dan Waluyo, J.,2003. Penyelesaian Masalah Minimum Norm dalam Ruang Hilbert L2[a,b].Jurnal

Matematika, Aplikasi dan

Pembelajarannya (JMAP), Vol 2, hal. 124 – 131.

[2] Atkinson, K. And Han, W., 2001.Theoretical Numerical Analysis : A Functional Analysis Framework. Springer Verlag, New York.

[3] Berberian, SK., 1961. Introduction to Hilbert Space, Academic Press, Inc., New York.

[4] Joko Waluyo, 2003.Penyelesaian Masalah Minimum Norm Dalam Ruang Hilbert

C[a,b].Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA Unila.

[5] Kreyzig, Erwin. 1978.Introductory Functional Analysis with Applications. New York : John Willey.