METODE SIMPLEKS YANG DIREVISI

(1)

METODE SIMPLEKS YANG DIREVISI 1. Bentuk Standar Dalam Matriks

Maksimumkan atau minimumkan: Z = CX

Batasan: (A,I)X = b

Contoh:

Maksimumkan: Z = 3X1 + 2X2 Batasan: X1 + 2X2≤ 6

2X1 + X2≤ 8 -X1 + X2≤ 1 X2≤ 2 Bentuk standar simpleks:

Maksimumkan: Z = 3X1 + 2X2 + 0X3 – 0X4 + 0X5 + 0X6 Batasan: X1 + 2X2 + X3 = 6

2X1 + X2 + X4 = 8 -X1 + X2 + X5 = 1 X2 + X6 = 2

Bentuk standar matriks:

Maksimumkan:

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

6 5 4 3 2 1

0 0 0 0 2 3

X X X X X X

Z

Batasan:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

−

2 1 8 6

1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 1

0 0 1 0 1 2

0 0 0 1 2 1

6 5 4 3 2 1

X X X X X X

2. Pemecahan Dasar dan Basis

(A,I)X = b memiliki m persamaan dan n variable yang tidak diketahui. Sebuah

(2)

lalu memecahkan m persamaan dengan m variable yang tidak diketahui. Secara

matematis anggaplah:

( )

=

_∑

n

j J jX

P X

I A,

Dimana Pj adalah vector kolom ke – j dari (A,I). Dari contoh diatas, dimana kita memiliki m = 4 dan n = 6. Ini berarti basis terdiri dari m = 4 vektor dan n – m = (6 – 4 =

2) variable yang berkaitan, dengan vector sisanya ditetapkan sama dengan nol. Dengan

menganggap X3 = X4 = X5 = X6 = 0, kita menemukan bahwa vector:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

0 0 0 1

3

P

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

0 0 1 0

4

P

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

0 1 0 0

5

P

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

1 0 0 0

6

P

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

, , , ₄ ₅ ₆ 3 P P P

P

B

3. Table Simpleks Dalam Bentuk Matriks Maksimumkan atau minimumkan: Z = CX

Batasan: (A,I)X = b

Bagi vector X kedalam XI dan XII, dimana XII bersesuaian dengan elemen-elemen dari X yang berkaitan dengan basis awal B = I. Bagi C kedalam CI dan CII untuk bersesuaianan dengan XI dan XII. Jadi bentuk standar dapat ditulis sebagai:

Maksimumkan : Z = CX; menjadi: Z – CIXI – CIIXII = 0 Batasan: (A,I)X = b;

Karena XII bersesuaian dengan elemen-elemen dari X yang berkaitan dengan basis awal B = I, sehingga: AXI + IXII = b

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ − −

b X

X Z

I A

C C

II I II

I 0

0 1

(3)

(A,I) yang berkaitan dengan XB. Anggaplah CB adalah elemen C yang berkaitan dengan XB, sehingga:

Z = CBXB; sama dengan Z - CBXB = 0, dan BXB = b

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ −

b X

Z B

C

B

B 0

0 1

sama dengan:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

− −

b B

b B C

b B

B C

X

Z _B _B

B

1 1 1

1 0 0

1

Table simpleks yang bersesuaian dengan XB diperoleh dengan mempertimbangkan:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ − −

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− −

b B

B C

X X Z

I A

C C

B B

C _B

II I II I

B 0

0 1 0

1

0 1

1 1 1

1

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣

⎡ − + − +

− −

b B

b B C

X X Z

I B A

B

I B C C A B C

C B

II I B

II B

i

1 1 1

1

1 1

0 1

Ingat: XII bersesuaian dengan elemen-elemen dari X yang berkaitan dengan basis awal B = I, sehingga iterasi simpleks umum dalam bentuk matriks:

Dasar XI XII Pemecahan

Z CBB-1A - CI CBB-1 – CII CBB-1b

XB B-1A B-1 B-1b

4. Langkah-Langkah Metode Simpleks Primal Yang Direvisi.

Langkah 1: Penentuan variable masuk Pj.

Hitung Y = CBB-1 untuk setiap vector non dasar Pj, hitung Zj – Cj = YPj - Cj

Untuk program maksimalisasi (minimalisasi), vector Pj dipilih yang memiliki Zj – Cj paling negative (positif) (tentukan sembarang jika terdapat lebih dari satu yang sama).

(4)

Langkah 2. Penentuan variable keluar Pr. a. Nilai variable dasar saat ini yaitu:

XB = B-1b

b. Koefisien batasan dari variable masuk yaitu: αj

= B-1Pj

variable keluar Pr (baik maksimalisasi maupun minimalisasi) harus berkaitan dengan:

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

≥

=min − , 0

1

j k j k

k

b B

α α θ

Langkah 3. Penentuan basis berikutnya.

dimana:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− + − −

=

j r j m

j r

j r j

α α

α α α

α α

ξ

/ / 1

/ /

2 1

M M

Dari contoh berikut, maka langkah-langkah perhitungan metode simpleks primal yang

direvisi adalah sebagai berikut:

Maksimumkan: Z = 3X1 + 2X2 + 0X3 – 0X4 + 0X5 + 0X6 Batasan: X1 + 2X2 + X3 = 6

2X1 + X2 + X4 = 8 -X1 + X2 + X5 = 1 X2 + X6 = 2 Pemecahan Awal:

XB = (X3,X4,X5,X6) CB = (0,0,0,0)

(

P P P P

)

I

B =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

, , , ₄ ₅ ₆ 3

(5)

Iterasi Pertama:

Langkah 1. Perhitungan Zj – Cj untuk non dasar P1 dan P2

(

)

[

0,0,0,0

]

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 , 0 , 0 , 0 B C =

Y _B -1 =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

Z1 – C1, Z2 – C2 = Y(P1,P2) – (C1,C2)

[

]

[ ]

3,2

1 0

1 1

-1 2

2 1

0,0,0,0 C

Z , C

-Z₁ ₁ ₂ ₂ −

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

Z1 – C1, Z2 – C2 = (-3,-2)

Karena P1 memiliki nilai paling negative, maka P1 ditetapkan sebagai vector masuk.

Langkah 2. Penentuan vector keluar dengan diketahui bahwa P1 memasuki basis.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= = = =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= = = =

− −

0 1 2 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

2 1 8 6

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 1 1 1

1

P IP P B

b Ib b B XB

α

Perhitungan untuk langkah 1 dan 2 dapat diringkaskan sebagai berikut:

Dasar X1 X2 X3 X4 X5 X6 Pemecahan

Z -3 -2 0 0 0 0 0

X3 1 6

X4 2 8

X5 -1 1

X6 0 2

(6)

Langkah 3. Penentuan inverse basis berikutnya.

Maka basis berikutnya:

⎥

Basis baru ini berkaitan dengan vector dasar:

XB = (X3,X1,X5,X6)

Iterasi Kedua:

(7)

Karena P2 memiliki nilai paling negative, maka P2 merupakan vector masuk.

Langkah 2. Penentuan vector keluar dengan diketahui bahwa P2 memasuki basis.

⎥

Perhitungan untuk langkah 1 dan 2 dapat diringkaskan sebagai berikut:

Dasar X1 X2 X3 X4 X5 X6 Pemecahan

Langkah 3. Penentuan inverse basis berikutnya.

( )

Maka basis berikutnya:

⎥ next

(8)

= (2/3*1+0+0+0), (2/3*-1/2+0+0+0), (0), (0)

= (-1/3*1+0+0+0), (-1/3*-1/2+1*1/2+0+0), (0), (0)

= (-1*1+0+0+0), (-1*-1/2+0+1*1/2+0), (0+0+1+0), (0)

= (-2/3*1+0+0+0), (-2/3*-1/2+0+0+0), (0), (1)

Sehingga: B_next−1 = 2/3 -1/3 0 0

-1/3 2/3 0 0

-1 1 1 0

-2/3 1/3 0 1

Basis baru ini berkaitan dengan vector dasar:

XB = X2, X1, X5, X6 CB = (2, 3, 0, 0) Iterasi Ketiga:

Langkah 1. Perhitungan Zj – Cj untuk non dasar P3 dan P4

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− − −

−

=

1 0 3 / 1 3 / 2

0 1 1 1

0 0 3 / 2 3 / 1

0 0 3 / 1 3 / 2

0 , 0 , 3 , 2 B C = Y _B -1

-1 BB C =

Y = {(2*2/3 + 3*-1/3 + 0 + 0), (2*-1/3 + 3*2/3 + 0 + 0), (0), (0)}

-1 BB C =

Y = (1/3, 4/3, 0, 0)

Z3 – C3, Z4 – C4 = Y(P3,P4) – (C3,C4)

[

]

[ ]

0,0

0 0

1 0

0 1

0 0, , 3 / 4 1/3, C

Z , C

-Z₃ ₃ ₄ ₄ −

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

Z3 – C3, Z4 – C4 = {(1/3*1 + 0 + 0 + 0), (0 + 4/3*1 + 0 + 0)} – (0, 0) Z3 – C3, Z4 – C4 = (1/3, 4/3) – (0, 0) = (1/3, 4/3)

(9)

Pemecahan Optimal:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

+ + +

−

+ + + −

+ + +

−

+ + −

+

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− − −

−

= =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

−

3 / 2 3

3 / 10

3 / 4

) 2 * 1 0 8 * 3 / 1 6 * 3 / 2 (

) 0 1 * 1 8 * 1 6 * 1 (

) 0 0 8 * 3 / 2 6 * 3 / 1 (

) 0 0 8 * 3 / 1 6 * 3 / 2 (

2 1 8 6

1 0 3 / 1 3 / 2

0 1 1 1

0 0 3 / 2 3 / 1

0 0 3 / 1 3 / 2

1

6 5 1 2

b B

X X X X

[

]

3 2 12 3 / 38 0 0 3 / 10 * 3 3 / 4 * 2

3 / 2 3

3 / 10

3 / 4

) 0 , 0 , 3 , 2

( = + + + = =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

=C_BX_B

Z

Kesimpulan:

X1 = 10/3 X2 = 4/3 Z = 38/3

REFERENSI

1. Taha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1, Jakarta: Binarupa Aksara, 1996