Pada bab ini akan diuraikan konsep dan teori yang ada kaitannya dengan optimasi portofolio dengan risiko downside fuzzy. Salah satu konsep yang dibahas adalah f uzzy portf olio optimization downside risk measure (Bermudez et al., 2005). Selanjutnya akan diuraikan juga mengenai investasi, portofolio, risiko, investasi yang berisiko, risiko downside, himpunan fuzzy.
Pada era globalisasi, pasar saham tidak lagi didominasi oleh perusahaan besar dan investor institusi, investor individu juga mulai memasukinya. Hal tersebut disebabkan mudahnya menentukan alokasi aset keuangan sesuai dengan yang diinginkan. Penentukan alokasi aset tersebut, sering berhubungan dengan naik dan turunnya aset. Hal tersebut berakibat juga pada adanya ketidakpastian pengembalian aset. Ketidakpastian pengembalian aset bisa juga berasal dari kon-disi sosial, faktor analisis statistik data historis dan faktor ambigu seperti aspek psikologi investor serta efisiensi informasi.
Persoalan pemilihan alokasi aset keuangan secara umum disebut persoalan pemilihan portofolio. Persoalan tersebut kajiannya terus dilakukan sampai seka-rang. Seperti penelitian pendekatan matematika Markowitz (1952) telah meng-usulkan model mean − variance dalam persoalan pemilihan portofolio. Pen-dekatan ini menjadi pusat kegiatan penelitian di bidang keuangan.
Seperti dikemukakan sebelumnya bahwa dalam menentukan alokasi aset berhubungan dengan naik dan turunya harga aset. Hubungan tersebut berkait-an dengberkait-an risiko downside (Sukono et al., 2008). Peneliti lainnya yang melaku-kan pemilihan portofolio dengan risiko downside diantaranya adalah Postet al., (2002), Nowrochi dan David (1999).
Leon et al., (2004) mengemukakan bahwa rata-rata dari sejumlah bilangan fuzzy bisa digunakan untuk mengevaluasi pengembalian yang diharapkan dan risiko portofolio yang diberikan. Dubois dan Prade (1987) memperkenalkan inter-val rata-rata dari bilangan fuzzy sebagai sebuah interinter-val tertutup yang dibatasi oleh beberapa ekspektasi yang dihitung dari probabilitas bawah dan atas.
Popularitas risikodownsidekalangan investor tumbuh dan berkembang da-lam seleksi portofolio. Ukuran risikodownsidehanya mempertimbangkan pengem-balian yang berada di bawah risiko. Ide di balik dunia risiko downside adalah bahwa sisi kiri dari distribusi kembali melibatkan risiko sementara sisi kanan berisi peluang investasi yang lebih baik .
2.1 Investasi
Setiap manusia pernah melakukan kegiatan investasi dalam hidupnya. Kegiatan investasi sebenarnya adalah kegiatan yang penuh dengan ketidakpastian atas sesu-atu yang terjadi pada waktu yang akan datang. Karena investasi merupakan kegiatan investor yang menanamkan modalnya pada saat sekarang dengan hara-pan memperoleh pendapatan atau tingkat keuntungan di waktu yang akan datang selama umur investasi tersebut.
Bilbao-Terol et al., (2006) mengatakan bahwa investasi secara sederhana dapat diartikan sebagai komitmen atas sejumlah dana yang dilakukan pada saat ini agar memperoleh sejumlah keuntungan di masa mendatang. Harapan keun-tungan di masa depan tersebut merupakan konpensasi atas waktu dan risiko yang berkaitan dengan investasi yang dilakukan. Harapan tingkat keuntungan tersebut sering disebut sebagai return, sedangkan risiko merupakan seberapa jauh hasil yang diperoleh atau return yang menyimpang dari nilai yang diharapkan. Dari pengertian investasi tersebut, menunjukkan bahwa tujuan dari investasi tidak lain adalah untuk meningkatkan kesejahteraan investor baik sekarang maupun di masa mendatang.
Dalam melakukan investasi di pasar modal diperlukan pengetahuan yang cukup, pengalaman dan naluri bisnis untuk menganalisa sekuritas atau mana yang akan dibeli, dijual dan mana yang dapat dimiliki. Sebagai seorang investor harus dapat bersikap rasional dalam menghadapi pasar jual beli saham. Selain itu juga investor harus mempunyai ketajaman dalam memperkirakan masa depan saham perusahaan yang akan di beli maupun di jual. Investor yang rasional ten-tunya tidak akan menyukai ketidakpastian atau risiko. Sikap investor terhadap risiko yang sangat bergantung kepada preferensi investor terhadap risiko. In-vestor yang mempunyai sikap enggan terhadap risiko disebut sebagairisk averse investors, yaitu investor yang tidak mau mengambil risiko jika investasi tersebut tidak memberikan harapan return yang layak sebagai kompensasi terhadap risiko yang ditanggung. Sedangkan investor yang berani mengambil risiko disebut seba-gai risk taker investors, yaitu investor yang lebih berani memilih risiko investasi yang tinggi dengan diikuti oleh harapan return yang tinggi juga (Carlsson et al., (2002)).
Pada umumnya investasi dibedakan menjadi dua, yaitu investasi padaf inan− cial assets dan investasi pada real assets. Investasi pada f inancial assets dilakukan di pasar uang, misalnya berupa deposito, commercial paper, surat berharga, dan yang lainnya. Atau dilakukan di pasar modal, misalnya berupa saham, obligasi, waran, opsi, dan lainnya. Sedangkan investasi pada real assets diwujudkan dalam bentuk pembelian aset produktif, pendirian pabrik, pembukaan pertambangan, pembukaan perkebunan, dan lainnya.
2.2 Portofolio
Dalam pembentukkan portofolio hubungan antar instrumen portofolio per-lu diperhatikan agar risiko yang diperoleh dapat optimum atau terkecil. Dan tahap akhir dalam tindakan portofolio yaitu melakukan evaluasi portofolio inves-tasi. Tahap ini dilakukan bila ada konstruksi portofolio yang dibangun, begitu juga sebaliknya. Dan untuk melakukan pembentukkan portofolio, investor selalu menginginkan return yang maksimum dengan risiko yang minimum.
2.3 Risiko
Risiko adalah segala sesuatu yang dapat mempengaruhi pencapaian tujuan orga-nisasi. Sedangkan manajemen risiko adalah serangkaian prosedur dan metodologi yang digunakan untuk mengidentifikasi, mengukur, memantau, dan menganda-likan risiko yang timbul dari kegiatan usaha.
Model yang berkembang dalam manajemen risiko adalah mengintegrasikan risiko dan pengelolaan usaha. Model tersebut dirancang supaya manajemen risiko memberikan nilai. Ada beberapa jenis risiko yaitu:
1. Risiko lingkungan (eksternal environmental risk), yakni kerugian kare-na bencakare-na alam, perubahan rasa dan preferansi pelanggan, kompetitor, lingkunga politis, dan ketersediaan modal dan tenaga kerja.
2. Risko proses usaha (business process risk), yakni kerugian yang diaki-batkan tidak efektif dan efisien dalam memperoleh, membiayai, mentransfor-masikan, dan memasarkan barang-barang dan jasa, serta ancaman kerugian aktiva, termasuk reputasi perusahaan.
3. Risiko informasi (inf ormation risk), yakni kerugian yang diakibatkan in-formasi yang bermutu rendah untuk pengambilan keputusan usaha dan ke-salahan memberikan informasi kepada pihak luar.
Faktor-faktor keberhasilan dalam pengelolaan risiko terdiri dari komitmen, tang-gung jawab, kesadaran, kebijakan, metodologi, keterampilan, dan pemantauan.
2.4 Investasi yang Berisiko
pengembalian yang dicapai secara nyata (actual return). Semakin besar penyim-pangannya maka semakin besar tingkat risikonya. Adapun alat yang digunakan sebagai ukuran dalam menghitung tingkat pengembalian dan risiko dalam porto-folio adalah sebagai berikut:
1. Return, return ekspektasi dan risiko saham (a) Return
Pt−1 : Harga saham periode sebelumnya
(b) Return ekspektasi saham
E(Ri) =
PN
j=1Rij
N (2.2)
E(Ri) = Tingkat keuntungan yang diharapakan dari nvestasi
Rij = Return saham iperiode j
N = Jumlah periode (c) Risiko saham
Dimana N adalah return yang terjadi pada periode pengamatan 2. Return, return ekspekstasi dan risiko pasar
(a) Return pasar (IHSG)
Rm,t =
IHSGt−IHSGt−1
IHSGt−1
(2.4)
Dimana:
Rm,t : Return pasar periode t
IHSGt : IHSG periode t
(b) Return ekspektasi pasar
E(Rm) =
PN
t=1Rm, t
N (2.5)
Dimana E(Rm) adalah return ekspektasi pasar
(c) Risiko pasar
Dimana σm2 adalah varian pasar
3. Alpha dan beta sekuritas (a) Alpha sekuritas
4. Kesalahan residu dan varian dari kesalahan residu (a) Kesalahan residu
Ri =αi+aβi.Rm+̺i (2.10)
Dimana ̺i adalah kesalahan residu
(b)Varian dari kesalahan residu
σi2 =βi2σ2m+σei2 (2.11)
Dimana:
σei2 : Varian dari kesalahan residu sekuritas kei
σi2 : Varian saham i
Beta dari portofolio (βp) yang merupakan rata-rata terimbang dariβp
masing-Alpha dari portofolio (αp) yang merupakan rata-rata tertimbang dari αp
tiap-tiap sekuritas.
Dengan mensubstitusikan karakteristik antara βp dengan αp maka return
ekspektasi portofolio adalah sebagai berikut:
E(Rp) = αp+βp.E(Rm) (2.15)
(b) Risiko portofolio varian dari portofolio
σp2 =βp2.σm2+ (
Tanaka dan Guo (1999) mengemukakan sebuah alternatif untuk memilih saham mana yang masuk dalam portofolio dengan menggunakanexcess return to beta (ERB). Dimana ERB merupakan selisih antara tingkat pengembalian saham dengan tingkat pengembalian aset bebas risiko yang selanjutnya dibagi dengan beta saham tersebut. Excess return to beta ini diurutkan dari terbesar sampai yang terkecil. ERB juga mengukur tingkat tambahan pengembalian pada sebuah saham per unit dari risiko yang tidak dapat diversifikasi. Untuk menghitung excess return to beta adalah sebagai berikut:
ERB= (Ri−Rf) βi
(2.17) Dimana:
ERB = Excess return to beta
Ri = Tingkat pengembalian saham kei
Rf = Tingkat pengembalian aset bebas risiko
Selanjutnya, Carlson et al., (2000) memberikan rumusan mengenai saham-saham yang masuk dalam portofolio yaitu saham-saham-saham-saham yang memiliki ERB di atas batas tertentu yang disebut dengan cut−of f −rate, yang dapat dihitung sebagai berikut:
σm2 = Varians tingkat pengembalian pasar βj = Beta saham kej
σej2 = Varians saham yang tidak dihubungkan dengan pasar ke j
Ri = Tingkat pengembalian saham kei
Rf = Tingkat pengembalian aset bebas risiko
Dubois dan Prade (1987) juga memperkenalkan analisis network atau je-jaring yang diaplikasikan kepada model portofolio. Model portofoloio ini selalu dipresentasikan dalam bentuk node yang selalu berhubungan dengan input yang masing-masing sebagai penawaran (supplies) dan permintaan (demands) dan ini merupakan komponen pertama. Komponen kedua yang digunakan dalam mo-del portofolio adalah titik transaksi (point transaction) atau node portofolio (portf olio nodes).
2.5 Risiko Downside
Sebuah estimasi potensi keamanan mengalami penurunan nilai jika kondisi pasar berubah, atau jumlah kerugian yang dapat diderita sebagai akibat dari penu-runan. Pemilihan portofolio berpedoman pada optimisasi alokasi aset portofolio. Dalam alokasi asset portofolio akan berkaitan dengan probabilitas penurunan har-ga asset. Hubunhar-gan demikian akan berkaitan denhar-gan risiko downside.
Beberapa investasi memiliki jumlah terbatas risiko downside, sementara yang lain memiliki risiko yang tak terbatas. Pembelian saham, misalnya, memi-liki jumlah terbatas risiko downside; investor dapat kehilangan seluruh inves-tasinya. Penjualan saham, seperti yang dicapai melalui penjualan pendek (atau ”short-selling”) memerlukan risiko downside terbatas, karena harga bisa terus meningkat tanpa batas.
2.6 Himpunan Fuzzy
Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi se-cara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi, dan sebagainya. Misalnya, pada himpunan orang tinggi, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak tinggi. Anggap bahwa definisi orang tinggi adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama dengan 1.75 meter, maka orang yang tingginya 1.74 meter menurut definisi terse-but termasuk orang yang tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya 1.74 meter itu tidak termasuk orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa batas antara kelompok orang tinggi dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat ditentukan secara tegas.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu, L.A. Zadeh mengaitkan himpunan tersebut dengan suatu fungsi yang menya-takan nilai keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan menga-itkan pada interval [0,1]. Himpunan tersebut disebut himpunan fuzzy dan fungsi ini disebut fungsi keanggotaan (membershipf unction) dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan.
2.6.1 Fungsi keanggotaan pada himpunan fuzzy
Ketika A adalah sebuah himpunan tegas (crisp), fungsi keanggotaannya hanya terdapat 2 nilai kemungkinan, yaitu 0 dan 1, denganfA(x) = 1 atau 0 tergantung
padaxtermasuk anggota atau tidak termasuk anggota dalamA. Satu (1) berarti suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan. Nol (0) berarti suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.
Sebuah himpunan fuzzyA pada X ditandai oleh fungsi keanggotaan fA(x)
[0,1] dengan nilai dari fA(x) pada x mewakili derajat keanggotaan x pada A.
Maka, semakin dekat nilai fA(x) ke semesta pembicaraan, semakin tinggi
dera-jat keanggotaan x pada A. Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy.
Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan dan nilai semesta pem-bicaraan dapat berupa bilangan positif atau negatif. Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh di-operasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Fungsi keanggotaan (membership func-tion) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik titik input data ke dalam nilai keanggotaan yang mempunyai interval antara 0 sampai 1.
Definisi 2.1:
X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy A pada Xditan− dai oleh f ungsi keanggotaannya:
A:X →[0,1]
dan A(x) diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen x pada
him-punan f uzzy A untuk setiap x∈X.
Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan un-tuk mewakili keanggotaan penuh, dan nilainilai di antaranya digunakan unun-tuk mewakili derajat keanggotaan menengah. PemetaanAjuga disebut sebagai fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzyA.
Definisi 2.2:
Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi keanggotaannya
sama dengan 0 pada X Definisi 2.3
Dua himpunan fuzzy A dan B adalah sama, ditulis A=B,
2.6.2 Bilangan fuzzy
Sebuah bilangan fuzzy merupakan perluasan dari bilangan biasa, dalam arti bah-wa hal itu tidak mengacu pada suatu nilai tunggal melainkan pada suatu him-punan nilai-nilai yang mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan memiliki bobot sendiri antara 0 dan 1. Bobot ini disebut sebagai fungsi keang-gotaan. Dengan demikian, sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah kasus khusus dari himpunan fuzzy konveks. Sama seperti Logika Fuzzy yang merupakan perluasan dari Logika Boolean (di mana hanya menggunakan ya dan tidak dan tidak ada di antaranya), bilangan fuzzy merupakan perluasan dari bilangan real. Perhitungan dengan menggunakan bilangan fuzzy memungkinkan penggabungan ketidakpas-tian parameter, sifat, geometri, kondisi awal, dan sebagainya.
Sebelum menjelaskan tentang bilangan fuzzy, berikut beberapa hal dan definisi yang penting dalam teori himpunan fuzzy: (Inuiguchi et al., 1990)
1. Sebuah himpunan fuzzy A pada R (barisan bilangan real) didefinisikan se-bagai himpunan pasangan terurut A= {(x, µA(x))|x ∈R}, di mana µA˜(x) disebut sebagai fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy.
2. Sebuah himpunan fuzzyA disebut normal jika terdapat paling sedikit satu titik x∈R denganµA˜(x) = 1
3. Sebuah himpunan fuzzyApadaRadalah konveks jika untuk setiapx, y ∈R setiap λ∈[0,1] sehingga µA(λx+ (1−λ)y)≥min{µA(x), µA(y)}.
4. Sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah himpunan fuzzy pada barisan bilangan real yang memenuhi kondisi normalitas dan konveksitas.
Definisi 2.4
Bilangan fuzzy A˜ adalah sebuah normalisasi himpunan fuzzy konveks pada barisan
bilangan R sehingga:
1. Terdapat paling sedikit satux0 ∈R dengan µA˜(x0) = 1 2. µA˜(x) setidaknya kontinu sebagian
µA˜(x) = 0, untuk yang lainnya
(2.19)
dimanamA adalah nilai rata rata dari ˜A dan αA dan βA adalah penyebaran kiri
dan kanan berturut-turut, ini disebut sebagai bilangan fuzzy triangular. Sebuah bilangan fuzzy triangular ditunjukkan dengan ˜A= (mA, αA, βA) danF(R) adalah
himpuanan dari bilangan fuzzy triangular.
Definisi 2.5
Sebuah bilangan fuzzy A˜={(x, µA˜(x))|x∈R} adalah non negatif jika danhanya jika µA˜(x) = 0 untuk semua x < 0 . Jadi sebuah bilangan fuzzy triangular
˜
2.6.3 Metode penyelesaian program linear
Permasalahan dalam bentuk Fuzzy Linear Programming (FLP) ditransfor-masi ke bentuk Linear Programming (LP), akan dicari solusi yang optimal dari model tersebut dan solusinya digunakan sebagai solusi yang optimal dari FLP.
Linear Programmingadalah sebuah metode matematika yang digunakan un-tuk mencari hasil paling optimum dalam suatu model matematika dengan be-berapa daftar kendala yang direpresentasikan dalam persamaan linear. Sebuah permasalahan LP dapat didefinisikan sebagai berikut:
M aks:z =cx (2.20)
dimana: x= (x1, ..., xn)T, c = (c1, ..., cn), b= (x1, ..., xn)T, danA= [aij]mn
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persoalan LP, diantaranya dengan menggunakan metode grafik dan metode simplex. Metode grafik tidak dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan program linear yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, jadi untuk menyelesaikannya digunakan metodesimplex.
Langkah-langkah penyelesaian program linear dengan metode grafik:
1. Bentuk model matematika dari persoalan untuk: a. Fungsi tujuan (objective function)
b. Fungsi kendala (constraint)
2. Ubah bentuk pertidaksamaan pada kendala menjadi persamaan. 3. Gambarkan grafik pada langkah ke-2 dan tentukan daerah layak.
4. Uji titiktitik ekstrim yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai titik ke fungsi tujuan.
Langkah-langkah penyelesaian program linear dengan metode simplex:
1. Formulasikan dan standarisasikan persoalan ke model linear.
2. Tambahkan variabelslackpada masing masingconstraint(pembatas) untuk memperoleh bentuk standar. Model ini digunakan untuk identifikasi solusi
feasible awal dari pembatas bernilai lebih kecil atau sama dengan. 3. Buat tabelsimplex awal.
4. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai (cj −zj) yang paling
positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai (cj−zj) yang paling
negatif untuk kasus minimasi.
5. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci.
7. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.
(a) Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemencell.
(b) Baris z baru dan barisbaris lainnya ditentukan dengan cara: Baris lama(nilai kolom kunci baris yang sesuai baris kunci baru)
(c) Letakkan nilai nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel
8. Lakukan uji optimalitas. Jika semua koefisien pada baris (cj −zj) sudah
