Rangkaian DC Resistif Rangkaian DC Resistif
3.1
3.1 HUKUM HUKUM TEGANGAN TEGANGAN KIRCHHOFFKIRCHHOFF
Untuk setiap lintasan tertutup dalam sebuah jarngan yang diikuti (dilintasi) Untuk setiap lintasan tertutup dalam sebuah jarngan yang diikuti (dilintasi) dalam satu arah tunggal, hukuma tegangan Kirchhoff (kirchhoff’s voltage law) dalam satu arah tunggal, hukuma tegangan Kirchhoff (kirchhoff’s voltage law) menyatakan bahwa jumlah dari tegangan-tegangan adalah nol. Sebagian dari menyatakan bahwa jumlah dari tegangan-tegangan adalah nol. Sebagian dari tegangan tersebut mungkin adalah sumber tegangan, sedang yang lainnya tegangan tersebut mungkin adalah sumber tegangan, sedang yang lainnya diakibatkan oleh elemen-elemen pasif (Pasal 2.1). Pada rangkaian resistif arus diakibatkan oleh elemen-elemen pasif (Pasal 2.1). Pada rangkaian resistif arus searah (dc), tegangan terakhir ini adalah dalam bentuk
searah (dc), tegangan terakhir ini adalah dalam bentuk V= IRV= IR. Dalam melintasi lup. Dalam melintasi lup (loop), jika sebuah elemen dimasuki pada ujung potensial yang negative, maka (loop), jika sebuah elemen dimasuki pada ujung potensial yang negative, maka dalam penjumlahan tegangan diambil negatif.
dalam penjumlahan tegangan diambil negatif. CONTOH 3.1
CONTOH 3.1Dengan memulai Dengan memulai dari pojok dari pojok kiri bawah kiri bawah dari rdari rangkaian satu angkaian satu luplup pada
pada Gambar Gambar 3-1 3-1 dan dan menerapkan menerapkan hukum hukum tegangan tegangan Kirchhoff Kirchhoff pada pada lintasanlintasan elemen yang searah jarum jam, dihasilkan persam
elemen yang searah jarum jam, dihasilkan persamaan berikut :aan berikut :
++
++
+ +
= 0= 0Sebuah persamaan dapat dituliskan untuk sebuah lintasan tertutup seperti mnom Sebuah persamaan dapat dituliskan untuk sebuah lintasan tertutup seperti mnom pada
pada Gambar Gambar 3-1 3-1 dengan dengan mengemukakan mengemukakan tegangan tegangan vom, vom, di di mana mana o o dianggapdianggap positif berkenaan dengan m. Deng
positif berkenaan dengan m. Dengan memulai dari pojok kiri bawah,an memulai dari pojok kiri bawah,
= 0 = 0 V1 V1 V2 V2 V3 V3 V3 V3 n n m m + V1 + V1 -R1 R1 V2V2 V1 V1 R3 R3 - V3 + - V3 + + + V2 V2 --R2 R2 II GambarPersamaan hukum tegangan Kirchhoff untuk rangkaian pada Gambar 3-2 adalah Persamaan hukum tegangan Kirchhoff untuk rangkaian pada Gambar 3-2 adalah identik dengan rangkaian yang telah umum pada Gambar 3-1:
identik dengan rangkaian yang telah umum pada Gambar 3-1:
==0 0
==00
Lup dapat diikuti dalam arah yang berlawanan dengan jarum jam, yang hanya Lup dapat diikuti dalam arah yang berlawanan dengan jarum jam, yang hanya mengubah tanda dari masing-masing ruas tegangan. Biasanya yang paling mengubah tanda dari masing-masing ruas tegangan. Biasanya yang paling sederhana adalah pertama-tama menetapkan arah arus positif dan kemudian sederhana adalah pertama-tama menetapkan arah arus positif dan kemudian mengikuti lup dalam arah tersebut.
mengikuti lup dalam arah tersebut. 3.2
3.2 HUKUM HUKUM ARUS ARUS KIRCHHOFFKIRCHHOFF
Hubungan dua elemen rangkaian atau lebih menghasilkan sebuah titik sambung Hubungan dua elemen rangkaian atau lebih menghasilkan sebuah titik sambung yang disebut simpul (node). Sebuah titik dua elemen adalah sebuah simpul yang disebut simpul (node). Sebuah titik dua elemen adalah sebuah simpul sederhana (simple node); titi k sambung empet elemen atau lebih adalah simpul sederhana (simple node); titi k sambung empet elemen atau lebih adalah simpul utama (principal node). Dalam metode tegangan simpul untuk menganalisis utama (principal node). Dalam metode tegangan simpul untuk menganalisis rangkaian (Pasal 4.6), persamaan-persamaan akan diperoleh pada simpul-simpul rangkaian (Pasal 4.6), persamaan-persamaan akan diperoleh pada simpul-simpul utama dengan menerapkan hukum arus Kirchhoff (kirchhoff’s current law). utama dengan menerapkan hukum arus Kirchhoff (kirchhoff’s current law). Hukum ini menyatakan bahwa pada setiap simpul (utama atau bukan) jumlah arus Hukum ini menyatakan bahwa pada setiap simpul (utama atau bukan) jumlah arus yang masuk sama dengan jumlah arus yang keluar. Konservasi muatan listrik yang masuk sama dengan jumlah arus yang keluar. Konservasi muatan listrik adalah dasar dari hokum ini. Pertanyaan hukum arus Kirchhoff dalam bentuk lain adalah dasar dari hokum ini. Pertanyaan hukum arus Kirchhoff dalam bentuk lain adalah
adalah (i)(i) arus total ke dalam sebuah simpul adalah nol; arus total ke dalam sebuah simpul adalah nol; (ii)(ii) arus total ke luar dari arus total ke luar dari sebuah simpul adalah nol.
sebuah simpul adalah nol. CONTOH 3.2
CONTOH 3.2 Pada Gambar 3-3, lima cabang berhubungan pada sebuah titik Pada Gambar 3-3, lima cabang berhubungan pada sebuah titik sambung bersama membentuk sebuah simpul utama. Arus total ke dalam simpul sambung bersama membentuk sebuah simpul utama. Arus total ke dalam simpul adalah adalah
==00
I1 I1 I2 I2 I3 I3 I4 I4 I5 I5 Gambar 3-3 Gambar 3-3Persamaan hukum tegangan Kirchhoff untuk rangkaian pada Gambar 3-2 adalah Persamaan hukum tegangan Kirchhoff untuk rangkaian pada Gambar 3-2 adalah identik dengan rangkaian yang telah umum pada Gambar 3-1:
identik dengan rangkaian yang telah umum pada Gambar 3-1:
==0 0
==00
Lup dapat diikuti dalam arah yang berlawanan dengan jarum jam, yang hanya Lup dapat diikuti dalam arah yang berlawanan dengan jarum jam, yang hanya mengubah tanda dari masing-masing ruas tegangan. Biasanya yang paling mengubah tanda dari masing-masing ruas tegangan. Biasanya yang paling sederhana adalah pertama-tama menetapkan arah arus positif dan kemudian sederhana adalah pertama-tama menetapkan arah arus positif dan kemudian mengikuti lup dalam arah tersebut.
mengikuti lup dalam arah tersebut. 3.2
3.2 HUKUM HUKUM ARUS ARUS KIRCHHOFFKIRCHHOFF
Hubungan dua elemen rangkaian atau lebih menghasilkan sebuah titik sambung Hubungan dua elemen rangkaian atau lebih menghasilkan sebuah titik sambung yang disebut simpul (node). Sebuah titik dua elemen adalah sebuah simpul yang disebut simpul (node). Sebuah titik dua elemen adalah sebuah simpul sederhana (simple node); titi k sambung empet elemen atau lebih adalah simpul sederhana (simple node); titi k sambung empet elemen atau lebih adalah simpul utama (principal node). Dalam metode tegangan simpul untuk menganalisis utama (principal node). Dalam metode tegangan simpul untuk menganalisis rangkaian (Pasal 4.6), persamaan-persamaan akan diperoleh pada simpul-simpul rangkaian (Pasal 4.6), persamaan-persamaan akan diperoleh pada simpul-simpul utama dengan menerapkan hukum arus Kirchhoff (kirchhoff’s current law). utama dengan menerapkan hukum arus Kirchhoff (kirchhoff’s current law). Hukum ini menyatakan bahwa pada setiap simpul (utama atau bukan) jumlah arus Hukum ini menyatakan bahwa pada setiap simpul (utama atau bukan) jumlah arus yang masuk sama dengan jumlah arus yang keluar. Konservasi muatan listrik yang masuk sama dengan jumlah arus yang keluar. Konservasi muatan listrik adalah dasar dari hokum ini. Pertanyaan hukum arus Kirchhoff dalam bentuk lain adalah dasar dari hokum ini. Pertanyaan hukum arus Kirchhoff dalam bentuk lain adalah
adalah (i)(i) arus total ke dalam sebuah simpul adalah nol; arus total ke dalam sebuah simpul adalah nol; (ii)(ii) arus total ke luar dari arus total ke luar dari sebuah simpul adalah nol.
sebuah simpul adalah nol. CONTOH 3.2
CONTOH 3.2 Pada Gambar 3-3, lima cabang berhubungan pada sebuah titik Pada Gambar 3-3, lima cabang berhubungan pada sebuah titik sambung bersama membentuk sebuah simpul utama. Arus total ke dalam simpul sambung bersama membentuk sebuah simpul utama. Arus total ke dalam simpul adalah adalah
==00
I1 I1 I2 I2 I3 I3 I4 I4 I5 I5 Gambar 3-3 Gambar 3-3Persamaan yang sama diperoleh bila jumlah arus yang masuk dibuat sama dengan Persamaan yang sama diperoleh bila jumlah arus yang masuk dibuat sama dengan jumlah arus yang keluar:
jumlah arus yang keluar:
= =
3.3
3.3 PEMBAGIAN PEMBAGIAN TEGANGAN TEGANGAN DAN DAN ARUSARUS
Sebuah susunan dari dua atau lebih resistor yang tersambung seri (Gambar 3-4) Sebuah susunan dari dua atau lebih resistor yang tersambung seri (Gambar 3-4) sering dikenal sebagai pembagi tegangan (voltage divider). Dari hukum ohm, sering dikenal sebagai pembagi tegangan (voltage divider). Dari hukum ohm,
==
= =
= =
= =
Yakni tegangan total
Yakni tegangan total
dan daya total yang diserap dan daya total yang diserap
dibagi dalam dibagi dalam perbandingan tahapan. perbandingan tahapan. R1 R1 R2 R2 R3 R3 R4 R4 V1 V1 V2 V2 V3 V3 V4 V4 + + --+ + --+ + --+ + --VT VT II + + --Gambar 3-4 Gambar 3-4Dua tahanan atau lebih dalam hubungan paralel (Gambar 3-5) akan membagi arus Dua tahanan atau lebih dalam hubungan paralel (Gambar 3-5) akan membagi arus total I
total ITT dan daya total yang terserap P dan daya total yang terserap PTT dalam perbandingan tahanan secara dalam perbandingan tahanan secara
terbalik : terbalik :
== //
//
==
==
//
//
==
Khususnya, untuk n = 2, Khususnya, untuk n = 2,
=
+
=
+
=
+
=
+
3.4 REDUKSI JARINGAN SERI-PARALEL
Metode arus mata jala (mesh) dan tegangan simpul pada Bab 4 merupakan teknik yang terpentin dari analisis rangkaian resistif. Akan tetapi, tahanan pengganti dari cabang-cabang seri dan parallel (Pasal 2.7) yang digabungkan dengan aturan-aturan pembagi tegangan dan arus memberikan suatu cara lain guna menganalisis sebuah jaringan. Metode ini adalah membosankan dan biasanya memerlukan penggambaran beberapa rangkaian tambahan. Meskipun demikian, proses pengurangan jaringan memberikan suatu gambaran dengan sesuatu pengamatan jaringan untuk memilih kombinasi seri dan paralel dari resistor.
CONTOH 3.3 Hitung daya total yang disalurkan oleh sumber 60 V dan daya yang diserap di dalam masing-masing resistor ada jaringan Gambar 3-6
=75=12
Ω
=126
126 =4
ΩKedua pengganti ini adalah paralel (Gambar 3.7), memberikan
=412
412 =3
ΩSelanjutnya pengganti 3 Ω ini seri dengan 7 Ω (Gambar 3-8), sehingga untuk seluruh rangkaian,
=73=10
Ω c d a b 12Ω 4Ω e f e f g 60 v 3 Ω Gambar 3-7 Gambar 3-8Daya total yang diserap, yang sama dengan daya total yang disalurkan oleh sumber, sekarang dapat dihitung sebagai
=
=60
10 =360
=
Ω= 773360=252
= 373360=108
Selanjutnya daya
dibagi Antara
dan
sebagai berikut :
= 12
412108=81
= 4412108=27
Akhirnya, daya-daya ini dibagi Antara masing-masing tahanan sebagai berikut :
Ω= 612681=27
Ω= 77527=15,75
Ω= 12
12681=54
Ω= 57527=11,25
3.5 SUPERIOR
Sebuah jaringan linear (misalnya sebuah jaringan resistif arus searah) yang mengandung dua atau lebih sumber-sumber yang bebas dapat dianalisis guna mendapatkan berbagai tegangan dan arus-arus cabang dengan mengijinkan sumber-sumber bertindak satu (sumber) pada suatu waktu, kemudian menjumlahkan hasil-hasilnya. Prinsip ini diterapkan karena hubungan linear Antara arus dan tegangan. Dengan sumber-sumber yang tak-bebas, superposisi hanya dapat digunakan bila fungsi-fungsi kontrol berada diluar jaringan yang mengandung sumber-sumber, sehingga pengontrol-pengontrol tidak berubah ketika sumber-sumber bertindak pada suatu waktu. Sumber-sumber tegangan akan ditindas sedangkan tindakan-tindakan sumber tunggal diganti dengan rangkaian hubung singkat; sumber-sumber arus diganti dengan rangkaian-rangkaian terbuka. Superposisi tidak dapat langsung diterapkan pada perhitungan daya, sebab daya dalam sebuah elemen sebanding dengan kuadrat arus atau kuadrat tegangan, yang mana adalah tidak linear.
CONTOH 3.4Hitung arus dalam resistor 23 Ω pada Gambar 3-9(a) dengan menerapkan prinsip superposisi.
Dengan sumber 200 V bertindak sendiri, sumber 20 A diganti dengan sebuah rangkaian terbuka Gambar 3-9(b)
=4727423
54 =60,5
Ω
= 20060,5=3,31
Bila sumber 20 A bertindak sendiri, sumber 200 V diganti dengan sebuah hubung singkat, Gambar 3-9(c). Tahanan pengganti sebelah kiri sumber adalah
=42747
74 =21,15
Ω Maka
"
Ω= 21,15
21,152320=9,58
Arus total dalam resistor 23 ohm adalah
Ω=
′ Ω
′′ Ω=11,23
3Ω 27Ω 47Ω 20 A 200 V 23Ω (a) 4Ω 27Ω 47Ω 200 V 23Ω (b) r.t I 23Ω 4Ω 27Ω 47Ω 23Ω (C) I 23Ω h.s 20 AGambar 3-9 3.6 TEOREMA THEVENIN DAN NORTON
Sebuah jaringan linear, aktif, resistif yang mengandung satu atau lebih sumber tegangan atau sumber arus dapat diganti dengan satu sumber tegangan dan satu tahanan (resistansi) seri (teorema Thevenin); atau oleh satu sumber arus dan satu tahanan paralel (teorema Norton). Tegangan tersebut tegangan pengganti Thevenin, V’ , dan arus disebut arus pengganti Norton, I’ . kedua tahanan adalah sama, R’ . Bila terminal-terminal ab padaGambar 3-10(a) adalah rangkaian terbuka, sebuah tegangan akan muncul Antara kedua terminal tersebut
Jaringan Aktif Linear
a
b
(a)
a
b
(b)
R’ V’a
b
(c)
R’ I’ Gambar 3-10Dari Gambar 3-10(b) adalah jelas bahwa ini haruslah tegangan V’ dari rangkaian pengganti Thevenin. Jika sebuah hubung singkat dipasang pada terminal-terminal
sebagaimana diberikan oleh garis putus-putus pada Gambar 3-10(a), akan dihasilkan suatu arus. Dari Gambar 3-10(c) adalah jelas bahwa arus ini haruslah I’ dari rangkaian pengganti Norton. Sekarang, jika rangkaian-rangkaian dalam (b) dan (c) adalah penggantidari jaringan aktif yang sama, mereka adalah ekivalen satu sama lain. Selanjutnya I’= V’/R’ . jika kedua V’ dan I’ telah ditentukan dari jaringan aktif, maka R’= V’/I’ .
CONTOH 3.5Tentukan rangkaian-rangkaian pengganti Thevenin dan Norton untuk jaringan aktif pada Gambar 3-11(a).
a b (a) 10 V 20 V 3Ω 6Ω 3Ω a b (b) 10 V 20 V 3Ω 6Ω 3Ω -+ + -I a b (c) 3Ω 6Ω 3Ω hubung singkat hubung singkat Gambar 3-11
Dengan terminal ab terbuka, kedua sumber mengalirkan suatu arus yang searah jarum jam melalui resistor 3 Ω dan 6 Ω [Gambar 3-11(b)].
=2010
36 =309
Karena di sebelah kanan atas tidak ada arus yang lewat melalui resistor 3 Ω, tegangan Thevenin dapat diambil dari salah satu cabang aktif:
=
′=203093=10
atau
=
′=309610=10
Tahanan R’ dapat diperoleh dengan menghubungkan singkatan sumber-sumber tegangan [Gambar 3-11(c)] dan menentukan tahanan pengganti jaringan ini pada terminal ab :
′=3369=5
ΩBila sebuah hubungan singkat dipasang pada terminal-terminal, arus hubungan singkat His diperoleh dari kedua sumber. Dengan menganggap bahwa dia melintasi hubungan singkat dari a ke b, dengan superposisi diperoleh
ℎ
=
′= 663 20
3
333 10
6
=2
Gambar 3-12 memperlihatkan kedua rangkaian pengganti. Dalam hal ini, V’, R’ dan I’ diperoleh secara tersendiri karena mereka dikaitkan dengan hukum Ω, setiap dua rangkaian pengganti dapat digunakan.
5 ohm
10 V
a
b (a) Pengganti Thevenin
5 ohm 2A
(b) Pengganti Norton
Gambar 3-12
Nilai rangkaian-rangkaian pengganti Thevenin dan Norton adalah jelas bila sebuah jaringan aktif akan diperiksa pada sejumlah kondisi beban, masing-masing dinyatakan oleh sebuah resistor. Ini dianjurkan pada Gambar 3-13, dimana adalah jelas bahwa resistor R1, R2 . . . , Rn dapat ditambahkan pada suatu waktu dan arus dan daya yang dihasilkan diperoleh dengan mudah. Jika ini diusahakan dalam rangkaian semula misalnya dengan menggunakan reduksi jaringan, pekerjaan akan sangat membosankan dan menghabiskan waktu.
a
b
R1 R2 …... Rn R’
Gambar 3-13
3.7 TEORAMA PENGALIHAN DAYA MAKSIMUM
Kadang-kadang diinginkan untuk mendapatkan pengalihkan daya maksimum dari sebuag jaringan aktif ke sebuah resistor beban luar R L. Dengan menganggap
jaringan adalah linear, dapat dikurangi menjadi pengganti seperti Gambar 3-14. Maka
=
′
′
Sehingga daya yang diserap oleh beban adalah
=
′
′
=
′
4
′[1
′
′
]
Terlihat bahwa P L mencapai nilai maksimumnya, V’ 2 /4R’ . bila R L = R’ , dalam hal
mana daya dalam R’ adalah juga V’ 2 /4R’ . Akibatnya bila daya yang dialihkan adalah maksimum, efisiensi adalah 50%.
R1 R’ V' I Pmaks Gambar 3-14’
Soal-soal dengan Penyelesaian
3.1 Gambarkan karakteristik tegangan terhadap arus untuk sumber 60 V pada Gambar 3-15(a). Tunjukkan titik-titik untuk posisi-posisi saklar a, b, c dan d . a b c d (a) 10 ohm 2 ohm 30 a b c d 0 6 60 I, A 60 V, V (b) Gambar 3-15
= 60/∞ = 0 A;
= 60/10 =6 A;
= 60/2 = 30 A; dan
= 60/1 = 60 A. Hubungan ini diperlihatkan pada Gambar 3-15( b). Sumber tetap konstan pada 60 V untuk semua arus. Akan tetapi tahanan nol tidak diperbolehkan. 3.2 Hitung tahanan dalam sebuah baterai yang mempunyai tegangan rangkaianterbuka sebesar 12,0 V dan menyalurkan 100 A ke sebuah tahanan 0,10 Ω. Model baterai bersama tahanan dalamnya ditunjukkan pada Gambar 3-16.
=100= 12
0,10
dari mana R = 0,02 Ω + -R 100 A 0,10 ohm Gambar 3-163.3 Pengikutan yang dilakukan terhadap sebuah sumber arus searah praktis memperlihatkan tegangan terminal sebesar 100 V untuk tahanan beban 100 Ω, dan 105 V untuk tahanan 210 Ω. Tentukan model rangkaian untuk sumber ini.
Sebuah sumber tegangan konstan dan sebuahtahanan seri dapat digunakan membuat model sumber praktis, seperti pada Gambar 3-16. Persamaan-persamaan berikut dapat dituliskan
I 1= 100/100 = 1,0 A V = 1,0 R + 100 (V)
I 2= 105/210 = 0,5 A V = 0,5 R + 105 (V)
Pemecahan kedua persamaan tersebut secara simultan memberikan V + 100 V . R = 10 Ω.
3.4 Hitung daya disalurkan oleh sumber tak-bebas pada Gambar 3-17.
2 ohm 3 ohm
4I (V)
I
Gambar 3-17
Dengan menggunakan hukum tegangan Kirchhoff, 10 = 2 I + 4 I + 3 I atau I = 1,11 A. Arus memasuki terminal positif. Jadi, daya yang
diserap adalah 1,11 x 4(1,11) = 4,93 W dan daya yang disalurkan adalah – 4,93 W.
3.5 Rencanakan sebuah sumber arus 10 mA dengan menggunakan sebuah sumber 20 V dan sebuah tahanan R. Gambarkan arus terhadap beban untuk 0 ≤ R L≤ 100 Ω.
Dengan menganggap bahwa 10 mA adalah arus maksimum, dia akan terjadi pada RL = 0. Maka
10 x
10
−
= 20/R atau R = 2000 Ω Untuk R L = 100 ΩI =
+
= 9,2 mAKarena hubungan arus terhadap tahanan harus benar, karakteristikpada rangkuman 0 ≤ R L ≤ 100 Ω adalah seperti diperlihatkan pada Gambar
3-18. 10 9,76 9,52 0 50 100 I, mA RL,ohm 7A a b 1000 ohm 10 V + - 1 ohm I Gambar 3-18 Gambar 3-19
3.6 Dua tahanan 1 Ω bernilai 25 W dan 50 W tersedia untuk digunakan dalam rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar 3-19(a). Dapatkah salah satu dari tahanan tersebut digunakan? (b) Hitung daya yang diserap oleh masing-masing elemen.
Resistor 1000 Ω membuat sumber arus 7 A praktis dengan menyediakan suatu lintasan arus bila sakelar membuka. Bila sakelar menutup
=
10001000
1
7=
6,
99≈
7 1Ω=
7
2
1=
49 (a) Resistor 25 W mungkin tidak digunakan, karena 49 W jauh melewati batas yang diijinkan
(b) 10
=
7
10=
70
=
7
1
10=
3 7=
3
7=
21 Arus memasuki sumber 7 A pada terminal +. Akibatnya, sumber ini menyerap daya sebesar 21 W, sedang sumber 10 V menyalurkan daya sebesar 70 W anggap 7 A dalam tahanan 1Ω) membuat kedua arus dan daya nol dalam resistor 1000 Ω.
3.7 Pada Gambar 3-20 sumber arus bebas dan tak-bebas mengalorkan arus melalui tahanan R. Apakah nilai R tertentukan secara unik?
R I 10 A + VR -2 VR (A) Gambar 3-20
Menurut definisi dari sumber yanh bebas arus I harus 10 A. Maka I = 10 A = 2 = 5 V 5 V = (10)(R) R = 0,5 Ω Tidak ada nilai R lain yang mungkin.
3.8 Dalam rangkaian yang diperlihatkan pada gambar 3-21, hitung dya yang diserap oleh baterai 5 V.
2 A R2 R3 3A A 5V R1 -2A -+ 10 V B -+ 6 V I I
Gambar 3-21
Arus I yang memasuki baterai 5 V pada terminal + dapat diperoleh dengan menggunakan hukum Kirchhoff pada salah satu simpul A atau B. Pada A
3 + I + (- 2) = 0 I = - 1 A
Maka daya yang diserap adalah 5 = (-1)(5) = -5 W. Baterai 5 V menyalurkan atau menyampaikan 5 W ke rangkaian.
3.9 Dengan menghubungkan ke Gambar 3-22, hitung energi yang terdisipasi dalam resistor 5 Ω dalam selang waktu 0 < t < 5 ms, jika = 5000 t (V).
Vg R 5 ohm 2 Vg (A) i Gambar 3-22
=
2=
104
=
25=
5×
1082
=∫
5×
1082 =(
5×
108)[
3 3]
6 5×
10
3=
20,
8 5×
10
3 03.10 Hitung daya keluaran (output) dari sebuah motor 250 V dc jika efisiensi adalah 92% bila arus masukan (input) adalah 12 A.
Menurut definisi,
Persen efisien =
(100%)
Menurut data, Pin = (250)(12) = 3000 W, maka Pkel =
92%
100%(3000) = 2760 W
3.11 Untuk rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar3.23, bayangkan elemen-elemen yang diperlihatkan disebelah kanan dihubungkan satu per
satu pada suatu waktu ke terminal-terminal ab. Kontrol terhadap sumber-sumber tak-bebas adalah . Tentukan parameter tak-bebas (dependent) dalam masing-masing keadaan.
(a) (b) (c) (d) (e) R a b + -V ab + 36 V -18 ohm 2 ohm 75 V Vg Ig Ki (V) Kig Ig Gambar 3-23
Karena tegangan pada tahanan (resistansi) 18 Ω adalah 36 V, arus I harus 2 A. selanjutnya hukum tegangan Kirchhoff memberikan
+ (2)(2) – 75 + 36 = 0 atau = 35 V (a) = 35 V (b) = + 2 A (c) = 35 V k = 17,5 Ω (d) =
k = -1 (e) = = 35 V R = 17,5 Ω3.12 Tentukan pembacaan-pembacaan dari sebuah voltmeter ideal dalam Gambar 3-24 yang dihubungkan (a) terminal a dan b, (b) terminal c dan g. Daya rata-rata dalam resistor 5 Ω adalah 20 W.
VM VM + -a d c e f g h 13 ohm R 6 ohm 90 V 17 ohm 5 ohm 20 W 7 ohm 8 ohm Gambar 3-24
=
2
5
=√
20 5=±
2 Arah I melalui resistor 5 Ω ditentukan dengan memperhatikan bahwa polaritas sumber 90 V memerlukan arus yang lewat dari d ke c. jadi d
adalah positif terhadap c dan = (2) (5) = 10 V.
Sebuah voltmeter ideal menunjukkan tegangan tanpa mengalirkan arus. Dia bisa dianggap memiliki tahanan tak-berhingga.
(a) Hukum tegangan Kirchhoff diterapkan pada lup tertutup acdba menghasilkan
=
0 0
10
0
=
0
=
10Jika voltmeter adalah dari jenis digital, dia akan menunjukkan – 10 V. Sebuah galvanometer kumparan putar akan berusaha menuju skala bawah dengan jarum penunjuk tertahan pada pasak. Jika kawat sambung dibalik, dia akan menunjukkan 10 V (dan dengan kawat sambungan yang positif pada titik b, diketahui bahwa b adalah 10 volt positif terhadap a).
(b) Hukum arus Kirchhoff diterapkan pada lintasan cefgc memberikan
=
02
17
90
2
6
=
0 =
44 Dalam hubungan ini, voltmeter membaca 44 volt positif, menunjukkan bahwa titik g adalah 44 volt atas titik c.
3.13 Untuk jaringan bertingkat (tangga) yang diperlihatkan pada Gambar 3-25, hitung tegangan sumber yang menghasilkan arus sebesar 7,5 mA dalam resistor 3 Ω. a b c d e f g h Vg 8 ohm 12 ohm 4 ohm 7 ohm 6 ohm 2 ohm 1 ohm 3 ohm 7,5 mA (1 A) Gambar 3-25
Arus sebesar 1 A akan dianggap : tegangan yang diperlukan untuk menghasilkan 1 A adalah dalam rasio yang sama dengan 1 A seperti sama dengan 7,5 mA. Karena linearitas jaringan
= 1(1 + 3 + 2) = 6 V = 6
6 = 1 A
Maka menurut hukum arus Kirchhoff, = 1 + 1 = 2 A dan = 2(4) + 6 = 14 V = 14
7 = 2 A
Juga dari hukum arus Kirchhoff, = 2 +2 = 4 A; maka ℎ = 4(8) + 14 + 4(12) = 94. Sekarang dengan menskala ke bawah,
ℎ
1 =
7
,
5 sehingga = 0,705 V3.14 Tentukan arus I untuk rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar 3-26.
-3 A
4 A 2 A
I
Gambar 3-26
Tanpa nilai-nilai resistor tidak mungkin untuk menghitung arus-arus cabang. Meskipun demikian, jarang didalam daerah yang berwarna gelap bisa dipandang sebagai sebuah simpul tunggal, pada mana hukum arus Kirchhoff memberikan
2 – 3 – I – 4 = 0 atau I = - 5 A
3.15 Pada Soal 2.7 sebuah sumber 50 V ditentukan menyalurkan 13,7 A ke jaringan yang diperlihatkan pada Gambar 3-27. Hitung arus dalam semua
cabang jaringan. 3 ohm 6 ohm 2 ohm 13,7 A 8 ohm 12 ohm I1 I2 I3 I4 I5 I6 5 ohm a b Gambar 3-27
Tahanan-tahanan pengganti di sebelah kiri dan sebelah kanan cabang ab ditentukan sebagai berikut :
= 5 +
12
8
20 = 9,80 Ω
=
6
3
9 = 2,00 Ω
Dengan memperhatikan pada jaringan yang direduksi, Gambar 3-28, 3
=
2,
011
,
8
13,
7=
2,
32 4=
9,
811
,
8
13,
7=
11,
38 Pembagian arus-arus ini selanjutnya diperoleh dengan menghubungkan ke jaringan mula-mula. 1
=
8 20
2,
32=
0,
93 A 2=
12 20
2,
32=
1,
39 A 5=
3 9
11,
38=
3,
79 A 6=
6 9
11,
38=
7,
59 A 9,8 ohm 2,0 ohm 13,7 A 2 ohm I3 I4 VM V kel R 2250 ohm 250 ohm V mas + -+ -Gambar 3-28 Gambar 3-293.16 Pembagi tegangan yang diperlihatkan pada Gambar 3-29 juga disebut pelemah (attenuator ). (Sedangkan resistor tunggal mempunyai titik sambung yang dapat diatur, disebut potensiometer atau pot ). Untuk menentukan efek pembebanan, hitung perbandingan
untuk nilai-nilai R berik ut (a) ∞, (b) 1 MΩ, (c) 10kΩ, (d) 1kΩ. (a) = 250 2250
+
250= 0,100(b) Dengan R = 10 6 Ω, paralel yang ekivalen dengan 250 Ω harus ditentukan lebih dahulu.
=
250
10 6
250
106=
249,
9Ω /
=
249,
9 2250
249,
9=
0,
100 (c)=
250
10000
250+
10000=
243,
9Ω /
=
243,
9 2250+
243,
9=
0,
098 (d)=
250
1000
250+
1000=
200,
0Ω /
=
200 2250+
200=
0,
082Sebuah pembagi tegangan bisa dibangun agar menghasilkan suatu perbadingan 1 : 10. Akan tetapi, pembebanan dapat sangat banyak
mengubah perbadingan ini.
3.17 Hitung arus dalam masing-masing resistor pada Gambar 3-30(a) dengan menggunakan metode pengurangan (reduksi) jaringan.
2 ohm 4 ohm 4 ohm 4 ohm 4 ohm 6 ohm 3 ohm 25 V IA IB IC ID IE IF (a) Gambar 3-30
Sebagai langkah pertama, kombinasi paralel dua resistor diubah menjadi penggantinya. Untuk 6 Ω 3 Ω = (6)(3)/(6 + 3) = 2 Ω. Untuk kedua resistor 4 Ω, = 2 Ω. Rangkaian digambarkan kembali dengan menambahkan resistor-resistor seri [Gambar 3-30(b)]. Sekarang kedua resistor paralel 6 Ω mempunyai pengganti = 3 Ω, dan ini seri dengan 2 O Ω, Karena itu = 5 Ω seperti diperlihatkan pada Gambar 3-30(c). Arus total yang dihasilkan adalah
= 25
2 ohm
6 ohm 6 ohm
IT IC IF
25 V (b) 5 ohm 25 V (c) IT Gambar 3-30 ( Lanjutan)
Sekarang arus-arus cabang dapat diperoleh dengan meninjau kembali rangkaian-rangkaian dari Gambar 3-30(b) dan 3-30(a)
=
=
1 2=
2,
5 =
=
1 2=
1,
25 =
3 6
3=
5 3 =
6 6
3=
10 3 3.18 Tentukan arus dalam tahanan 10 Ω pada Gambar 3-31(a) dengan menggunakan superposisi. 20 ohm 5 A 20 ohm 30 ohm 10 ohm 50 V (a) Ii Ii (b) 50 V 10 ohm 30 ohm 20 ohm 20 ohm terbuka
hubung singkat 10 ohm 30 ohm 20 ohm 5 A 20 ohm Ii (c) Gambar 3-31
Untuk mengijinkan sumber 50 V bertindak sendiri, sumber 5 A diganti dengan sebuah rangkaian terbuka [Gambar 3-31(b)]. Maka
′
=
5010
20
20=
1 Selanjutnya, sumber tegangan dilepas dan diganti dengan sebuah hubung singkat [Gambar 3-31(c)].
′′
=
2050
5=
2 Sekarang; =
′
′′=
1 3.19 Gantikan jaringan aktif disebelah kiri terminal-terminal ab pada Gambar 3-32(a) dengan sebuah pengganti Thevenin.
26 ohm 60 ohm 200 V (a) a b I hubung singkat a b R’= 50 ohm V’= 80 V (b) Gambar 3-32
Tegangan rangkaian terbuka adalah tegangan apda resistor 40 Ω =
40
60
+
40
(200) = 80 VTahanan R’ dapat diperoleh dengan melihat kedalam rangkaian ab dengan tegangan sumber terhubung singkat
R’ =26 +
40
60
100 = 50 Ω
Lihat Gambar 3-32(b) untuk pengganti Thevenin.
Arus Norton I’ adalah arus hubung singkat. Dengan menganggap arah dari a ke b melalui suatu hubung singkat terpasang [lihat Gambar 3-32(a)].
=
200 60
40
26
66=
2,
64 danℎ=
′=
40 66
2,
64=
1,
60 Tahanan paralel R’ diperoleh pada soal 3.19. Untuk pemeriksaan′
=
ℎ
=
80
1
,
60=
50 Ω Gambar 3-33 memperlihatkan pengganti Norton.R’= 50 ohm I’= 1,60 A
Gambar 3-33
3.21 Tentukan pengganti Thevenin untuk jaringan aktif yang diperlihatkan pada Gambar 3-34. 4 Ω 6Ω a b Ii (V) Gambar 3-34
Karena rangkaian mengandung sebuah sumber tak-bebas (dependent). Vterbuka dan Ihubung singkat akan digunakan untuk mendapat R’ .
Bersama sebuah hubung singkat yang terpasang.
20
ℎ
4
6=
0 dan =
0Maka Ihubung singkat= I’= 5 A. Dengan rangkaian terbuka,
20
4
6
6 =
0 dan =
5 Maka, V’ = 5(6) = 30 V dan R’ = 30/5 = 6 Ω .Lihat Gambar 3-35(a) dan (b) untuk kedua rangkaian pengganti Thevenin dan Norton.
R’ = 6 Ω V’ = 30 V (a) a b (b) R’ = 6Ω a b I’ = 5 A Gambar 3-35
3.22 Sebuah rangkaian pengganti Thevenin dapat diubah menjadi sebuah rangkaian pengganti Norton dengan pembatas-pembatas tertentu terhadap tahanan (resistasi) seri R’. Nyatakan pembatasan tersebut.
Karena I’ = V’/R’, nilai R’ = 0 tidak diperbolehkan, sebab dia akan menyatakan secara tidak langsung bahwa arus I’ adalah tak berhingga. Pada ekstrim lainnya, R’ = ∞ akan membuat I’ = 0. Sebuah sumber tegangan praktis harus mencakup sebuah tahanan syang bukan nol maupun tak berhingga. Dengan cara yang sama, sebuah sumber arus praktisharus mencakup sebuah tahanan shunt yang tidak boleh nol atau tak berhingga. 3.23 Hitung nilai tahanan R yang dapat diatur agar menghasilkan daya
maksimum pada terminal-terminal ab dari rangkaian pada Gambar 3-36.
15Ω 5Ω 10Ω 100 V a b R Gambar 3-36
Mula-mula diperoleh pengganti Thevenin dengan V’ = 60 V dan R’ = 11 Ω. Menurut Pasal 3.7, pengalihan daya maksimum terjadi untuk R’ = 11 Ω dengan
=
′2
4′ = 81,82 W
Soal-soal Tambahan
3.24 Elemen rangkaian apa yang ditunjukkan oleh Gambar 3-37(a) dan (b)? Jawab; (a) sebuah sumber 10 V dengan rentang arus 0 sampai Io. (b)
sebuah sumber 3 A dengan rentang tegangan 0 sampai .
V,V 10 Io (a) I, A V,V (b) I, A Vo 3 Gambar 3-37
3.25 Rangkaian pengganti dan sebuah baterai diperlihatkan pada Gambar 3-38. Tentukan hubungan Antara tegangan terminal V dan arus I. Jawab : V = 0,05 I + 45 (V) + -V I 0,5Ω 45 V Beban Gambar 3-38
3.26 Sebuah sumber arus praktis mempunyai arus sebesar 22,0 A. Pembebanan sumber dengan 50,0 Ω menghasilkan tegangan minimal sebesar 390,3 V. Tentukan konstanta-konstanta sumber I dan R. Jawab : 22,0 A; 27,5 Ω 3.27 Pada Gambar 3-39, apakah nilai yang diijinkan untuk daya dari resistor
adalah memadai jika resistor tersebut dihubungkan ke terminal ab (a) satu setiap waktu? (b) ketiga-tiganya paralel? Jawab : (a) masing-masing tidak memadai; (b) memadai
100 V 200Ω a b 2 kΩ 10 kΩ 30 kΩ 1 W Gambar 3-39
3.28 Tentukan daya yang disalurkan oleh sumber arus pada Gambar 3-40. Jawab : 228 W 4 A 2Ω 4Ω 5Ω I 20Ω 5Ω Vg 2Vg (A) Gambar 3-40 Gambar 3-41
3.29 Hitung energi ter disipasi di dalam resistor 5 Ω pada Gambar 3-41 selama selang waktu 0 ≤ t ≤ 5 jika
= (10 + 10
−
/
10) (V) Jawab : 32,1 kJ3.30 Untuk rangkaian ada Gambar 3-42, perlihatkan bahwa daya yang disalurkan oleh sumber-sumber sama dengan daya terdisipasi di dalam resistor. Jawab : PT = 940,3 W
3Ω + VR -3 VR 1,75 V 10 A 500Ω V m n p q r 75 V 18Ω 12Ω 25 V 42Ω 11Ω Hitam Merah 17Ω + -Gambar 3-42 Gambar 3-43
3.31 Pada Gambar 3-43, tentukan pembacaan sebuah voltmeter digital bila dihubungkan (a) merah ke m, hitam ke r ; (b) merah ke q, hitam ke r ; (c) merah ke q, hitam ke m; (d )merah ke p, hitam ke n. Jawab : (a) 66 V; (b) 14 V;(c) – 52 V;(d ) – 25 V
3.32 Tentukan arus 1 dan 2 pada Gambar 3-44. Jawab : - 6 A, 9 A 2 A 7 A 3 A I1 I2 1 A 4 A V R1 R2 + -I2 Gambar 3-44 Gambar 3-45
3.33 Hitung 2/ untuk rangkaian pada Gambar 3-45 Jawab : 1
1+
µ
2
+
1+
µ
13.34 Hitung nilai tegangan sumber pada Gambar 3-46 jika daya terdisipasi dalam resistor 3 Ω adalah 0,75 W. Jawab : = 0,49 R + 3,0 (V)
V1 8Ω 4Ω R 3Ω 4Ω 8Ω 4Ω 2Ω 36,0Ω 12,0Ω + -V1 105 V 28,7Ω V2 + -16,4Ω 74,0Ω Gambar 3-46 Gambar 3-47
3.35 Dengan menggunakan aturan pembagi tegangan, hitung 1 dan 2 pada Gambar 3-47.
Jawab : 11,39 V – 73,07 V.
3.36 Rencanakan sebuah rangkaian pembagi tegangan tinggi yang mengurangi 1 MV menjadi 100 V dan membatasi arus maksimum sampai 0,5 A.
Jawab : = 2 MΩ, = 200 Ω
3.37 Tunjukkan bahwa dengan empat resistor paralel: 4=
∗
∗
+
4 dimana∗
=123 13
+
23+
123.38 Pada Gambar 3-48, kedua ampermeter menunjukkan 1,70 A. Sumber menyalurkan 300 W. Hitung 1dan 2. Jawab : 23,9 Ω, 443 Ω.
28Ω R1 Sumber + + 95Ω R2 154,3Ω A A Gambar 3-48
3.39 Dengan menggunakan pengurangan jaringan, tentukan arus dalam masing-masing resistor pada Gambar 3-49.
Jawab : 2
,
45Ω= 3,10 A, 17,
47Ω = 0,595 A, 6,
30Ω = 1,65 A, 6,
7Ω = 0,855 A, 10,
0Ω = 0,466 A,12,
0Ω= 0,389 A , , , , , 2,45Ω 18 V 10,0Ω 12,0Ω 17,47Ω 6,30Ω 6,7Ω Gambar 3-493.40 Resistor 12Ω pada Gambar 3-50 mendisipasikan daya 147 W. Hitung tegangan sumber . Jawab : 100 V.
Vg 8,8Ω 4,0Ω 16,0Ω + Vg - 10,0Ω 8,2Ω 14,0Ω 12,0Ω 5,8Ω (A) Gambar 3-50
3.41 Dengan menggunakan superposisi, hitung arus I pada Gambar 3-51. Jawab : 16,2 A
5 A 12Ω 30Ω 25 A
8Ω
Gambar 3-51
3.42 Dengan menggunakan superposisi, hitung arus I pada Gambar 3-52. Jawab : - 12 A
5Ω 3 Vr 2Ω + Vr -3Ω 2 A 4 V I Gambar 3-52
3.43 Pada tanpa beban, tegangan terminal dari sebuah generator arus searah (dc) adalah 120 V. Bila menyalurkan arus nominalnya sebesar 40 A, tegangan terminalnya turun menjadi 112 V. Nyatakan generator tersebut dengan pengganti Thevenin. Jawab : V’ = 120 V, R’ =0,2Ω
3.44 Pada Gambar 3-53, ganti jaringan di sebelah kiri terminal-terminal ab dengan pengganti Theveninnya. Juga tentukan pengganti Norton dari jaringan tersebut. Jawab : V’ = 100 25
+
(V), R’ = 50+
625 +
25 (Ω), I’ = 2 +
12,
5(A) a b R 25Ω 25Ω 100 V Gambar 3-533.45 Ganti rangkaian pada Gambar 3-54 dengan pengganti Norton-nya. Jawab : I’ = 0,8 A. R’ =10,0 Ω 6Ω 4Ω 8Ω 3 A 20 V Gambar 3-54
3.46 Ganti rangkaian pada Gambar 3-55 dengan pengganti Thevenin-nya. Jawab : V’ = - 2903 , R’ = 38,707 Ω
