BAB II LANDASAN TEORI

4

BAB II

LANDASAN TEORI

Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikem-bangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut.

2.1 Aset yang Mendasari Opsi

Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option) opsi berjangka (future option) dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah mata uang asing dengan kurs tertentu, sedangkan opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah kontrak berjangka.

Opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham. Bursa Amerika yang memperdagangkan opsi saham antara lain The Chicago

Board Option Exchange (CBOE), The Philadephia Stock Exchange (PHLX), The American Stock Exchange (AMEX), The Pacific Stock Exchange (PSE), dan New York Stock Exchange (NYSE). Bursa Indonesia yang memperdagangkan opsi

saham adalah Bursa Efek Jakarta (BEJ). Dalam penelitian ini yang digunakan adalah opsi saham.

2.2 Nilai Opsi 2.2.1 Nilai intrinsik

Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi dengan segera tidak positif, maka nilai intrinsik adalah nol. Untuk opsi call, nilai

5

intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi S_t lebih besar dari pada harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo). Sedangkan untuk opsi put nilai intrinsik akan positif jika harga saham berlaku S_t kurang dari harga eksekusi K .

2.2.2 Nilai waktu

Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat.

2.3 Tipe Opsi

Terdapat dua tipe kontrak opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise

price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada

pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama, yaitu:

? harga aset yang mendasari yang akan dibeli ? jumlah aset yang mendasari yang dapat dibeli ? harga eksekusi aset yang mendasari

? tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date.

Pada kontrak opsi put empat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi

call.

Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi adalah K, serta c c S t, menyatakan harga opsi

call Eropa pada saat t, dan p p S t, menyatakan harga opsi put Eropa pada saat t. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi yaitu

6

max _T , 0

c S K .

Jika S_T K , opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi

akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga S yang _T

lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah S_T K . Jika S_T K

opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila S_T K opsi call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put

Eropa adalah

max _T, 0

p K S .

Jika S_T K , opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak

menggunakan haknya. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put-call-parity, dapat dinyataan sebagai berikut:

, rT

c Ke p S

dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko.

Apabila C C S t, menyatakan harga opsi call Amerika dan ,

P P S t menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu

maturity untuk call adalah:

max , 0

C S T K .

Sedangkan untuk opsi put

max , 0

P K S T .

2.4 Keuntungan Opsi

Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini.

? Manajemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun dratis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.

7

? Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir.

? Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.

? Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi warrant, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.

2.5 Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi 2.5.1 Harga aset yang mendasari dan harga eksekusi

Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasari meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat.

Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak adalah sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.

2.5.2 Tanggal jatuh tempo

Untuk tipe Amerika, dari kedua macam opsi baik opsi call maupun opsi put menjadi lebih berharga jika waktu jatuh temponya semakin meningkat. Sementara untuk tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call mupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak.

2.5.3 Volatilitas

Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan terhadap suatu opsi.

8

2.5.4 Suku Bunga Bebas Risiko (Risk free interest rate)

Suku bunga bebas risiko mempengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan akan mempengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan mengasum-sikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi

call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.

2.6 Persamaan Black-Scholes

Fischer Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai opsi call Eropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini:

Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan dan konstan.

Tidak ada biaya transaksi dan pajak. Tidak ada pembayaran dividen pada opsi.

Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko.

Short selling diijinkan.

Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.

Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah berikut:

Definisi 1 (Proses Stokastik)

Proses stokastik X X t t, H adalah suatu koleksi (himpunan) dari peubah

acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X t adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan sebagai waktu (Ross 1996).

Definisi 2 (Gerak Brown)

Proses stokastik X X t t, H disebut proses gerak Brown jika (Ross 1996):

9

2 Untuk 0 t₁ t₂ t peubah acak _n X t_i X t_{i 1} ,i 1, 2, 3,...,n saling

bebas.

3 Untuk setiap t 0, X t berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian 2t .

Definisi 3 (Gerak Brown Geometris)

Jika X t t, 0 adalah gerak Brown, maka proses stokastik Z t t, 0 yang

didefinisikan Z t eX t disebut gerak Brown geometris (Ross 1996).

Definisi 4 (Proses Wiener )

Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).

Definisi 5 (Proses Wiener Umum)

Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003):

( )

dX t adt bdW t (2.1)

adt disebut sebagi komponen deterministik dan bdW t( ) menyatakan komponen stokastik, serta W t( ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan rataan dan standar deviasi dari X.

Definisi 6 (Proses Ito’)

Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull,2003):

, ,

dX t a X t t dt b X t t dW t (2.2)

Definisi 7 (Lemma Ito’)

Misalkan proses X t memenuhi (2.2) dan fungsi Y t f X t t, adalah kontinu serta turunan-turunan f_t X t t, , f_X X t t, , f_XX X t t, kontinu,

10

2 1 , , , , 2 t X XX dY t f X t t dt f X t t dX t f X t t dX t (2.3) dengan 2 2 , , t X XX f f f f f f t X X dan 2 2 0, . dt dW t dt dtdW t dW t dt

Definisi 8 (Model Harga Saham)

Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003):

.

dS t S t dt S t dW t

(2.4)

Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate S . Parameter menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan

S t dt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi

oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah S t dW t ,

dengan menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4), yaitu: dS t S t dt S t dW t .

Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan lemma Ito’ untuk suatu fungsi V(S,t), yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh:

2 2 2 2 1 . 2 V V V V dV S S dt S dW t S t S S

(2.5)

11

Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinves-tasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual

S V

saham. Misalkan adalah nilai portofolio yang dimaksud,

maka . S S V V

(2.6)

Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai d dV V dS.

S

(2.7)

Dengan menyubstitusikan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh 2 2 2 2 1 . 2 V V d S dt t S

(2.8)

(Bukti dapat dilihat pada lampiran 1)

Return dari investasi sebesar pada saham takberisiko akan memiliki

pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt, dengan r adalah suku bu-ngan bebas resiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu:

2 2 2 2 2 1 . 2 V V r dt S dt t S

(2.9)

Substitusi (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan 2 2 2 2 2 1 2 V V V rV rS dt S dt t t S 0 2 1 2 2 2 2 rV t V S V rS S V S . (2.10)

Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes.

2.7 Formulasi Harga Black-Scholes

Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko

12

netral. Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah

. 0 , max ˆ _{S K} E _T

(2.11) Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari S , maka T

. 0 , max ˆ T T K T T K S K g S dS S E

(2.12)

Misalkan G lnS, maka 1, ₂ 1₂ dan 0 2 t G S S G S S G . Berdasarkan lemma Ito’ diperoleh 2 2 2 1 1 1 1 0 2 dG S S dt S dW t S S S

1 2 2 dt dW t .

Karena dan konstan maka G lnS mengikuti gerak Brown dengan rataan

2 2 1 dan variansi 2. Berdasarkan (2.3), S dS

merupakan tingkat pengembalian dari harga saham.

Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah dt . Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat

deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta dapat diganti dengan r. Karena G lnS berubah dari 0 sampai dengan T dan

S

G ln mengikuti gerak Brown, maka ln S berdistribusi normal dengan rataan

T

r 2

2 1

dan variansi 2T.

Misalkan pada waktu t = 0 nilai G ln S₀ dan pada waktu T nilai G lnS_T, maka pada selang waktu t 0 sampai dengan T, lnS_T lnS₀ adalah berdis-tribusi normal dengan rataan dan variansi seperti di atas, sehingga diperoleh:

13

\ lnS_T lnS₀ ~N r T, T

2 1 2

atau dapat dituliskan lnS berdistribusi normal dengan _T

T S ln ~N S r T, T 2 1 ln ₀ 2 .

Dengan demikian lnS berdistribusi normal dengan rataan _T

T r S m ₀ 2 2 1 ln

dan standar deviasi

T

s . (2.13)

Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah Q dengan

Q = ln . T m S_T

(2.14)

Substitusi m dari (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh

T r T S S T Q _T 2 1 ln ln 1 2 0 ,

maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(Q), yaitu

. 2 1 Q2/2 e Q h

(2.15)

(Bukti dapat dilihat pada lampiran 2) Persamaan (2.14) diubah menjadi

.

Q T m T

S

e

(2.16) maka, perubahan batas integral pada sisi kanan dari (2.12), dari integral menurut

T

S menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut:

Jika S_T , maka Q = .

Jika S_T K maka K =

e

Q T m sehingga Q =

T m K

ln

.

Dengan menggunakan (2.15), (2.16) dan perubahan batas integral serta misalkan s = T, maka (2.12) menjadi:

14

dQ Q h K e K S E s m K m Qs T / ln 0 , max ˆ = s m K m Qs dQ Q h e / ) (ln ) ( – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K Q m Qs dQ e e / ) (ln 2 / 2 2 1 – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K m Qs Q dQ e / ) (ln 2 / ) 2 2 ( 2 2 1 – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K m s s Q _dQ e / ) (ln 2 / ) 2 ) ( ( 2 2 2 1 – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K s Q s m _{e dQ} e / ) (ln 2 / ) ) ( ( 2 / 2 2 2 1 – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K s m dQ s Q h e / ) (ln 2 / ) ( 2 – ( ) , / ) (lnK m s dQ Q h K

sehingga (2.12) dapat dinyatakan dengan

0 , max ˆ _{S K} E _T = s m K s m dQ s Q h e / ) (ln 2 / ) ( 2 – ( ) . / ) (lnK m s dQ Q h K (2.17)

Jika N(x) didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal kumulatif, maka s m K s m dQ s Q h e / ) (ln 2 / ) ( 2 = em 2T/2[1 N[(lnK m)/s s]]

= em 2T/ 2[ [( lnN K m) /s s]].

Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di atas disubstitusi dengan (2.13) dan s = T maka diperoleh ,

s m K T m s m _{h Q s dQ e N K S r T T T} e / ) (ln 2 0 2 / 2 / _/ 2 ln ln ) ( 2 2

2 2 / 2 2 0 ln / / 2 m T e N S K r T T T

15

2 2 / 2 0 ln / / 2 m T e N S K r T T

em 2T/2N d₁ , dengan / . 2 / ln 2 0 1 S K r T T d

Dengan alasan yang seperti di atas, maka

(ln ) / ln ( ) 1 K m s K m K h Q dQ K N S

KN ln K m S . (2.18)

Dengan menyubstitusikan m dan s pada (2.13) ke dalam (2.18) diperoleh 2 0 (ln ) / ( ) ln ln / 2 K m s K h Q dQ KN K S r T T

2 0 ln / / 2 KN S K r T T

= KN d₂ , dengan 2 2 ln 0/ / , 2 d S K r T T

sehingga (2.12) menjadi Eˆ [max(ST – K, 0)] /2 _{1 2} 2 d KN d N em T

_elnS0 r 2/2T 2T/2_{N d1 KN d2}

=S₀erTN d₁ KN d₂ . (2.19) Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai

0 , max ˆ _{S K} E e c rT _{T . (2.20)}

Dengan substitusi (2.19) ke dalam (2.20) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu

16

0 1 2 rT c S N d Ke N d

(2.21) dan dengan put-call-parity diperoleh harga opsi put Eropa

2 0 1 rT p Ke N d S N d dengan 2 1 ln 0/ / 2 d S K r T T dan 2 2 ln 0/ / 1 2 d S K r T T d T .

2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa cS, t pada (2.21) merupakan solusi dari (2.10), maka kita tentukan turunan-turunan (2.21) terhadap t dan S serta peubah T diganti dengan T t.

Turunan d1 terhadap S adalah

2 1 ( / ) 1 t T t T K K S S d

t T S 1 . (2.22)

Dari persamaan d₂ d₁ T t, turunan terhadap t dan S berturut-turut adalah t T t d t d 2 2 1

dan 2 1 d d T t S S S

sehingga 2 1 d d S S . (2.23)

17

Turunan parsial (2.21) terhadap t adalah'

( ) ( ) 1 2 1 2 2 ' d r T t r T t ' d c SN d rK N d K N d t t t

= 1 ( ) 2 1 2 1 ' d r T t '( ) d SN d rK N d SN d t t = 1 2 ( ) 1 2 ' d d r T t SN d rK N d t t . (2.24)

Substitusi (2.23) ke dalam (2.24) diperoleh ( ) 1 2 ' 2 r T t c SN d rK N d t T t

(2.25) dengan ( ) 1 2 ' ' r T t SN d N d Ke . (2.26)

(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3) Turunan parsial (2.21) terhadap S adalah

( ) 1 2 1 1 2 ( ) ' d r T t ' d c N d SN d K N d S S S (2.27)

Substitusi (2.23) dan (2.26) ke dalam (2.27) diperoleh

1 2 1 1 1 ( ) ' d ' d c N d SN d SN d S S S

1 1 1 1 1 ( ) ' d ' d c N d SN d SN d S S S

= N d₁

(2.28) 2 1 1 2 ' d c N d S S (2.29)

Substitusi (2.22) ke dalam (2.29) diperoleh 2 1 2 1 ' c N d S S T t

(2.30)

Peubah V pada (2.10) diubah dengan c maka menjadi

0 2 1 2 2 2 2 2 _rc S c S S c rS t c (2.31)

18

2 2 2 ( ) 1 2 2 1 ' 2 2 r T t c c c rS S rc SN d rK N d t S S T t

2 2 1 1 1 1 ' 2 rSN d S N d S T t

( ) 1 2 r T t r SN d K N d

= rSN d₁ rSN d₁ + 2 2 1 1 1 1 ' ' 2 2 SN d S N d T t S T t + rK r T t( )N d₂ rK r T t( )N d₂ = 0

2. 9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika

Persamaan (2.4) menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah .

dS t S t dt S t dW t

Seperti halnya pada penurunan Persamaan Black-Scholes, dibentuk suatu porto-folio dengan membeli sebuah opsi put Amerika dan menjual sejumlah saham,

maka diperoleh:

V S .

Dengan memilih V

S

dan analogi (2.8), maka nilai portofolio berubah

menjadi dt S V S t V d ₂ 2 2 2 2 2 1 .

Pada Persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah dibentuk suatu persamaan dengan return takberisiko, agar tidak terjadi peluang

arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh

pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga dt S V S V r dt r d .

19

Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan meng-eksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:

dt S V S V r dt S V S t V 2 2 2 2 2 2 1 atau 0 2 1 2 2 2 2 2 rV S V S S V rS t V . (2.32)

Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Ame-rika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut:

0 2 1 2 2 2 2 2 rV S V S S V rS t V (2.33) 0 2 1 2 2 2 2 2 rV S V S S V rS t V . (2.34)

Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka perlu adanya nilai batas untuk menentukan nilai opsi put Amerika

2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika

Pauly (2004) menyatakan, kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika adalah

, , ,

V S t K S S t . (2.35)

Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika 0 = V = K – S seseorang dapat membeli opsi put V, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak berisiko sebesar

0

K S V . Karena Black-Scholes dengan asumsi tidak terjadi kesempatan

arbitrase, maka (2.35) adalah kendala yang benar untuk opsi put Amerika.

Misalkan S(t) menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan 0 S t K , jika S S t maka opsi akan dieksekusi, namun jika S t S opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian (2.35) dapat dinyatakan dengan:

20

, ( ) ( , ) ( ) , ( ) . K S S S t V S t K S S t S

(2.36)

Karena S(t) tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap V(S,t) ini disebut masalah nilai batas bebas (free boundary-value problem), sehingga ketika

( )

S S t K nilai V S t, K S , serta V harus memenuhi (2.33), sehingga

nilai opsi put Amerika memenuhi:

0 2 1 2 2 2 2 2 rV S V S S V rS t V ( , ) V S t K S . (2.37)

Pada saat S t S , nilai V(S,t) (K S) , serta V harus memenuhi (2.34), sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi:

0 2 1 2 2 2 2 2 rV S V S S V rS t V ) ( ) , (S t K S V (2.38)

Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika adalah sebagai berikut: untuk S < S(t) 0 2 1 2 2 2 2 2 rV S V S S V rS t V ( , )V S t K S untuk S(t )< S 0 2 1 2 2 2 2 2 rV S V S S V rS t V V(S,t) (K S) . Syarat batas 0 lim ( , ) 0 lim ( , ) S S V S t V S t K dan syarat akhir ( ( ), )V S t t K S t( ) . (2.39)

21

BAB III

PENDEKATAN ANALITIK UNTUK HARGA OPSI AMERIKA Penelitian dengan pendekatan analitik untuk menentukan harga opsi Amerika telah dilakukan oleh beberapa peneliti. Salah satu peneliti adalah MacMillan, yang selanjutnya dikembangkan oleh Barone-Adesi dan Whaley (Hull 2003). Mereka memisahkan harga opsi menjadi dua komponen, yaitu: harga opsi Eropa dan premi eksekusi awal. Kemudian diperoleh persamaan diferensial parsial untuk premi eksekusi awal. Dari persamaan diferensial tersebut, akan diberikan beberapa asumsi penyederhanaan untuk mendapatkan persamaan kuadratik untuk mengaproksimasi solusi.

3.1 Penentuan Harga Opsi Call Amerika

Mengacu pada Hull (2003), untuk menentukan harga opsi Amerika dengan pendekatan analitik digunakan beberapa pemisalan, yaitu: misalkan v adalah harga

opsi, dengan ₂ 2 , S v v S v v_{S SS} dan t v

v_t serta K menyatakan harga

eksekusi. Kemudian misalkan V S, t dan vS, T masing-masing menyatakan harga opsi Amerika dan Eropa. Harga opsi call dinyatakan oleh C S,t untuk opsi Amerika dan c S,T untuk opsi Eropa.

Misalkan opsi tidak memberikan dividen, sehingga persamaan diferensial parsial yang menyatakan harga opsi call Amerika berdasarkan (2.10) diberikan oleh

2 2 1

0

2 S CSS rSCS Ct rC . (3.1) Selanjutnya premi eksekusi awal didefinisikan oleh

T S c T S C T S, ( , ) , . (3.2) dengan S menyatakan harga saham, dan T waktu jatuh tempo serta (3.2) harus memenuhi 2 2 1 0 2 S SS rS S t r . (3.3) Misalkan

22

2 2 , 1 , h e r t T r , dan S, h( )g S,h . (3.4) Dari (3.4) diperoleh SS SS S S hg , hg dan t t t hg hg . h _tg h g_SS_t g_hh_t

h 1g h 0 g_hh 1 h g hh g_h. (3.5)

Selanjutnya kedua ruas (3.3) dikalikan dengan 2₂ sehingga didapat persamaan

2 2 2 2 2 2 2 0 SS S t r r S S . (3.6)

Substitusi (3.4) ke dalam (3.6) diperoleh 2

0

SS S t

S S hg

r , (3.7)

dan substitusi (3.5) ke dalam (3.7) diperoleh

2 ₀ SS S h S hg Shg h g hh g hg r 2 0 SS S h g S g Sg h h g g r h

2 0 r SS S h g S g Sg re g g r h 2 1 0 SS S h g S g Sg h g g h 2 1 0 SS S h g S g Sg h g h . (3.8)

Pendekatan analitik diperoleh dengan mengasumsikan suku terakhir pada (3.8) dapat diabaikan karena nilainya relatif kecil. Asumsi tersebut didasarkan pada hal-hal berikut.

Untuk , maka lim1 h = lim1 1 e r = lime r = 0,

sedangkan untuk 0 , maka lim 0

23

Dengan demikian maka diperoleh

2 ₀

SS S

g

S g Sg

h . ( 3.9)

Persamaan (3.9) adalah persamaan diferensial biasa orde dua yang mempunyai dua solusi yang berbentuk aS . Misalkan g aS dan disubstitusikan ke dalam (3.9) diperoleh

2 ₁ 2 1 ₀ S aS S aS aS h 2 1 0 aS h . (3.10)

Akar polinomial karakteristik dari (3.10) adalah

2 1 1 4 1 1 2 h 2 2 1 4 1 1 2 h . (3.11)

Karena 4 /h 0, maka ₁ 0 dan ₂ 0 sehingga solusi umum (3.9) adalah

2 1 2 1 ) (S a S a S g . (3.12)

Nilai ₁ dan ₂ berdasarkan (3.11) dapat ditentukan, selanjutnya akan ditentukan koefisien a dan ₁ a . Karena _{2 1} 0 dan misalkan a₁ 0 maka

1 2

1 2

0 0

lim ( ) lim

S g S S a S a S . Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa ketika S 0, mendekati nol. Misalkan a₁ 0 maka diperoleh persamaan

2 2 , , cS ha S S C . (3.13) Persamaan (3.13) merupakan pendekatan untuk harga opsi call Amerika. Untuk menentukan a diperhatikan beberapa kondisi berikut: ₂

1 untuk S 0, berakibat max S K 0 sehingga ketika S meningkat maka ,

C S T akan mendekati S K ,

2 jika S menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal, maka analog dengan (2.36), untuk S S harga

24

opsi call Amerika diberikan oleh (3.13), dan untuk S S harga opsi call Amerika adalah S K.

Dengan memperhatikan kondisi di atas maka

2 2 , ha S S c K S . (3.14)

Untuk menentukan nilai S , diferensialkan (3.14) terhadap S maka berdasarkan , (2.28) diperoleh 2 1 1 2 2 1 N d S h a S

(3.15) dengan 2 1 ln / 2 S K r d S .

Dengan menggunakan (3.15) dapat ditentukan nilai dari a , yaitu ₂

2 1 2 1 2 1 N d S a h S . (3.16)

Substitusi (3.16) ke dalam (3.14), maka diperoleh

2 2 1 1 2 1 , N d S S K c S h S h S 1 2 1 , N d S c S S

₁ 2 , 1 S c S N d S . (3.17)

Setelah a dapat ditentukan, maka harga opsi call Amerika adalah sebagai ₂

berikut:

untuk S S , maka substitusi (3.16) ke dalam (3.13) diperoleh

2 2 1 1 2 1 , , N d S C S c S h S h S 2 2 1 2 1 , N d S _S c S S S 2 1 2 , 1 S S c S N d S S ,

25

sedangkan untuk S S harga opsi call Amerika adalah S K . Dengan demikian

harga opsi call Amerika adalah

S S K S S S S S A S c S C jika , jika , / , , 2 2 _(3.18) untuk nilai _{2 1} 2 1 S A N d S .

3.2 Penentuan Harga Opsi Put Amerika

Misalkan P S T menyatakan harga opsi put Amerika dan , p S, T untuk opsi Eropa. Persamaan diferensial parsial yang menyatakan harga opsi put Amerika diberikan oleh

1 2 2 0

2 S PSS rSPS Pt rP . Misalkan premi eksekusi awal untuk opsi put Amerika didefinisikan oleh

, ( , ) ,

S T P S T p S T

(3.19) dengan S, h( )g S h . ,

Pada opsi put Amerika nilai a₂ 0, karena ₂ 0 dan premi eksekusi awal untuk opsi put Amerika harus mendekati nol ketika S mendekati tak hingga. Sehingga harga pendekatan untuk opsi put Amerika dinyatakan oleh

1 1 , , p S haS S P . (3.20)

Untuk menentukan nilai dari a , diperhatikan kondisi berikut: ₁

jika S menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal, maka berdasarkan (2.36), untuk S S harga opsi

put Amerika diberikan oleh (3.20), dan untuk S S harga opsi put Amerika

adalah K S .

Dengan memperhatikan kondisi di atas maka

1

1 ,

K S p S ha S . (3.21)

Untuk menentukan nilai S , didiferensialkan (3.21) terhadap S maka diperoleh

1 1

1 1 1

1 N d S h a S

26

dengan 2 1 ln / 2 S K r d S .

Dengan menggunakan (3.22) dapat ditentukan nilai dari a , yaitu ₁

1 1 1 1 1 1 N d S a h S . (3.23)

Substitusi (3.23) ke dalam (3.21) diperoleh

1 1 1 1 1 1 , N d S S K S p S h h S

1 1 1 , N d S S p S ₁ 1 , 1 S p S N d S . (3.24)

Setelah a dapat ditentukan, maka harga opsi put Amerika adalah sebagai berikut. ₁

Untuk S S , maka substitusi (3.23) ke dalam (3.20) diperoleh 1 1 1 1 1 1 , , N d S S P S p S h h S

1 1 1 1 1 , N d S S S p S S 1 1 1 , 1 S S p S N d S S ,

sedangkan untuk S S harga opsi put Amerika adalah K S . Dengan demikian

harga opsi put Amerika adalah

S S S K S S S S A S p S P jika , jika , / , , 1 1 _(3.25) dengan A₁ 1 N d S₁ S / ₁ .

27

Untuk menentukan nilai opsi put dengan menggunakan formula (3.25), maka terlebih dahulu ditentukan nilai S dengan metode numerik, misalnya dengan metode Newton yang tidak akan dibahas lebih lanjut.