MATEMATIKA SISTEM INFORMASI Maret 2020 #2 Widianto Muttaqien Mukhodim

MATEMATIKA

SISTEM

INFORMASI 2

11 Maret 2020 | #2

Widianto Muttaqien Mukhodim

Pengertian

● Linear Programming (LP) adalah salah satu teknik riset operasi yang paling banyak dipergunakan dalam praktek dan paling dikenal karena mudah dipahami.

● LP menggunakan model matematika linear. Dengan menggunakan teknik LP, kita bisa mencapai “output” yang optimum (= maksimum atau

Metode

Metode-metode yang ada di Linear Programing: ● Grafik → untuk model dengan dua variabel

● Simplex → untuk model dengan dua variabel atau lebih ● Dualitas → digunakan bila terjadi perubahan kapasitas

Tujuan

Tujuan Umum Perusahaan:

Maksimalisasi keuntungan, namun karena terbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.

4 Ciri Khusus Linier Programming:

1. Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi

2. Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan 3. Ada beberapa alternatif penyelesaian

Tujuan

5 syarat tambahan dari permasalahan Linear Programming (asumsi dasar): 1. Certainty (kepastian): fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui

dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa.

2. Proportionality (proporsionalitas): proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala.

3. Additivity (penambahan): aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu.

4. Divisibility (bisa dibagi-bagi): solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.

5. Non-negative variable (variabel tidak negatif): bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif.

Fungsi-Fungsi

1. Fungsi Tujuan (objective function)

Fungsi yang menyatakan tujuan yang akan dicapai, dapat berupa laba maksimal atau biaya minimal

2. Fungsi Kendala (constraints or subject to)

Fungsi yang menyatakan batasan atau kendala dari faktor produksi yang dimiliki

Simbol yang digunakan: <, >, = 3. Fungsi Status (status function)

Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel yang terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh negatif

Fungsi Matematika untuk Masing-Masing Fungsi

1. Fungsi Tujuan Maks. Laba Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n 2. Fungsi Kendala a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ≤ b₂ … a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n ≤ b_n 3. Fungsi Status x₁; x₂ … Xn ≥ 0

Bentuk Umum Model LP: - Maksimum/Minimum: Z = Fungsi Tujuan - dengan syarat: ( ≤ , = , ≥ ) Fungsi Batasan

Studi Kasus (Contoh 1)

Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, meja dan kursi yang diproses melalui dua bagian fungsi: perakitan dan pemolesan.

Pada bagian perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja.

Untuk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja pemolesan, sedangkan untuk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan 4 jam kerja pemolesan.

Laba untuk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000,-

Studi Kasus (Contoh 1) - Penyelesaian

Perumusan persoalan dalam bentuk tabel:

Proses

Waktu yang dibutuhkan per unit

Total jam tersedia

Meja Kursi

Perakitan 4 2 60

Pemolesan 2 4 48

Perumusan persoalan dalam model LP untuk contoh 1

1. Definisi Variabel Keputusan

Keputusan yang akan diambil adalah berapakah jumlah meja dan kursi yang akan dihasilkan. Jika meja disimbolkan dengan X₁ dan kursi dengan X₂, maka definisi variabel keputusan:

X₁ = jumlah meja yang akan dihasilkan (dalam satuan unit) X₂ = jumlah kursi yang akan dihasilkan (dalam satuan unit)

2. Perumusan Fungsi Tujuan

Laba untuk setiap meja dan kursi yg dihasilkan masing-masing Rp80.000 dan Rp60.000. Tujuan perusahaan adalah untuk memaksimumkan laba dari sejumlah meja dan kursi yg dihasilkan.

Dengan demikian, fungsi tujuan dapat ditulis:

Maks.: Laba = 8X₁ + 6X₂ (dalam satuan Rp10. 000)

3. Perumusan Fungsi Kendala

a. Kendala pada proses perakitan Utk menghasilkan 1 buah meja diperlukan waktu 4 jam dan untuk menghasilkan 1 buah kursi diperlukan waktu 2 jam pada proses perakitan. Waktu yang tersedia adalah 60 jam.

4X₁ + 2X₂ ≤ 60

b. Kendala pada proses pemolesan Untuk menghasilkan 1 buah meja diperlukan waktu 2 jam dan untuk menghasilkan 1 buah kursi diperlukan waktu 4 jam pada proses

pemolesan. Waktu yang tersedia adalah 48 jam.

2X₁ + 4X₂ ≤ 48

4. Kendala non-negatif

Meja dan kursi yang dihasilkan tidak memiliki nilai negatif.

X₁, X₂ ≥ 0

Perumusan persoalan dalam bentuk matematika: Maks.: Laba = 8X₁ + 6X₂ (dalam satuan Rp10. 000) Dengan kendala:

4X₁ + 2X₂ ≤ 60 2X₁ + 4X₂ ≤ 48 X₁, X₂ ≥ 0

Studi Kasus (Contoh 1) - Penyelesaian

1. Daerah solusi layak (feasible solution region)?

2. Solusi optimal dari semua titik layak

(feasible points) pada daerah solusi layak?

Studi Kasus (Contoh 2)

Chocolatier Burie, sebuah rumus produksi coklat Belgia, memiliki 2 jenis

produksi coklat: coklat handmade dan machine-made. Pengalokasian sumber daya untuk setiap produk diberikan oleh data berikut:

Sumber Daya

Penggunaan Sumber Daya Per Unit Adonan (jam)

Ketersediaan Sumber Daya

(jam) Adonan

Coklat Mesin (M) Coklat Handmade (H)

Manuasi 4 18 1296

Mesin 12 6 1824

Keuntungan Per

Studi Kasus (Contoh 2)

Perusahaan ingin menentukan berapa unit adonan coklat mesin dan coklat handmade yang harus diproses agar diperoleh keuntungan semaksimal mungkin.

Studi Kasus (Contoh 2) - Penyelesaian

Model PL untuk problem Chocolatier Burie: Maks Z = 55M + 89H

Dengan kendala: 4M + 18H ≤ 1296 12M + 6H ≤ 1824

Studi Kasus (Contoh 2) - Penyelesaian

Berdasarkan daerah solusi layak, kemungkinan solusi optimal diberikan oleh 4 titik sudut:

(0 , 0), (0 , 72), (130.5 , 43) dan (152 , 0)

Diperoleh solusi optimal Z = 11004.5, dengan M = 130.5 dan H = 43 (M, H) Z = 55M + 89H (0, 0) 0 (0, 72) 6408 (130.5, 43) 11004.5 (152, 0) 8360

Studi Kasus (Contoh 3)

MultiBand Enterprises adalah suatu perusahaan yang memproduksi dua macam produk, yaitu radio portable (PR) dan radio citizen band (CB). Manajer pemasaran menyatakan bahwa perusahaan selalu dapat menjual semua produk dihasilkan. Selanjutnya, sang manajer pemasaran ini bertanya ke manajer operasi tentang besarnya kapasita produksi/bulan. Manajer operasi menyatakan bahwa kapasitas output tergantung produk mana yang diproduksi.

Selanjutnya manajer operasi menyatakan bahwa ada 3 jenis pekerjaan dilakukan dalam pembuatan produk radio tersebut, yaitu sub assembly, assembly, dan inspeksi. Kedua produk tersebut membutuhkan waktu pengerjaan yang berbeda untuk setiap jenis pekerjaan tadi. Jadi kapasitas produksinya tergantung pada produk mana yang akan diproduksi.

Studi Kasus (Contoh 3)

Waktu yang tersedia untuk pekerjaan sub assembly setiap bulannya adalah 326 jam, untuk assembly adalah 354 jam, dan untuk inspeksi adalah 62 jam.

Sedangkan setiap unit radio CB membutuhkan 0.4 jam untuk pekerjaan sub assembly, 0.5 jam untuk assembly, dan 0.05 jam untuk inspeksi.

Radio portable (PR) untuk setiap unitnya membutuhkan waktu 0.5 jam untuk pekerjaan sub assembly, 0.3 jam untuk assembly, dan 0.1 jam untuk inspeksi.

Wakil direktur menyatakan bahwa untuk setiap CB yang terjual diperoleh keuntungan sebesar $50 dan untuk setiap PR didapat $40.

Jadi berapa kapasitas output dari MultiBand setiap bulannya (berapa CB dan PR yang harus diproduksi) agar keuntungan yang diperoleh sebesar mungkin?

Studi Kasus (Contoh 4)

Redi Mix memproduksi cat interior dan eksterior dari dua bahan mentah: M1 dan M2. Tabel berikut memberikan data dasar:

Survey pemasaran menunjukkan bahwa permintaan harian untuk cat interior maksimal 1 ton lebih banyak dari yang untuk eksterior. Juga, permintaan harian maksimum untuk cat interior adalah 2 ton. Redi Miks ingin menentukan berapa ton cat interior dan eksterior harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan harian. Buatlah model PL-nya dan tentukan solusi optimalnya!

Kebutuhan bahan mentah (per ton)

Ketersediaan maksimum harian

Cat eksterior Cat interior

Bahan mentah M1 6 4 24

Bahan mentah M2 1 2 6