BAB II LANDASAN TEORI

(1)

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian ini, deﬁnisi, dan teori yang diperlukan serta kerangka pemikiran.

2.1 Tinjauan Pustaka

Pada tahun 1969, Shalit dan Yitzhaki [15] mengenalkan kriteria MCSD untuk membentuk portofolio efisien. Kemudian Shalit dan Yitzhaki [15] mene-rapkan kriteria MCSD untuk membentuk portofolio efisien yang terdiri atas aset pada New York Stock Exchange. Pada tahun 2012, Levy [11] melakukan pene-litian mengenai portofolio efisien dengan kriteria almost second order stochastic

dominance. Penelitian Levy [11] menunjukkan bahwa jumlah portofolio eﬁsien

yang dihasilkan oleh kriteria almost second order stochastic dominance lebih sedi-kit dari pada jumlah portofolio eﬁsien yang dihasilkan oleh kriteria second order

stochastic dominance. Hal ini menunjukkan kriteria almost second order stochas-tic dominance lebih teliti daripada kriteria second order stochasstochas-tic dominance.

Pada tahun 2014, Denuit et al. [7] mengenalkan kriteria AMCSD. Kemudian De-nuit et al. [7] menerapkan kriteria AMCSD dalam pembentukan portofolio eﬁsien yang terdiri atas aset pada New York Stock Exchange. Pada penelitian Denuit

et al. [7], jumlah portofolio eﬁsien yang diperoleh dengan kriteria AMCSD lebih

sedikit daripada jumlah portofolio efisien yang dihasilkan dengan kriteria MCSD. Hal ini menunjukkan bahwa kriteria AMCSD lebih teliti daripada kriteria MCSD dalam pembentukan portofolio efisien karena kriteria AMCSD dapat mengurangi jumlah portofolio efisien yang terbentuk.

(2)

2.2 Landasan Teori

2.2.1 Saham, Return, dan Portofolio

Berikut ini merupakan penjelasan tentang saham, return, dan portofolio. 1. Saham. Saham adalah surat bukti kepemilikan atas aset-aset perusahaan

yang menerbitkan saham (Tandelilin [16]). Saham merupakan instrumen investasi yang banyak dipilih para investor karena saham mampu membe-rikan tingkat keuntungan yang menarik. Porsi kepemilikan ditentukan oleh seberapa besar penyertaan yang ditanamkan di perusahaan (Azis dkk. [2]). 2. Return . Return merupakan keuntungan maupun kerugian dari suatu in-vestasi. Dalam Brigham dan Houston [5], perhitungan nilai return adalah

R(t) = P (t)− P (t − 1)

P (t− 1) × 100%, (2.1)

dengan R(t) adalah nilai return periode ke-t, P (t) adalah harga saham penutupan pada saat ke-t, dan P (t− 1) adalah harga saham penutupan pada saat ke- (t− 1).

3. Portofolio. Portofolio merupakan kumpulan beberapa aset. Dalam hal ini, portofolio berarti adanya minimum dua barang atau lebih yang dipegang oleh investor atau dikelolanya. Tujuan pembuatan portofolio adalah un-tuk mengurangi risiko bagi pihak yang memegang portofolio. Pengurangan risiko itu dilakukan dengan diversiﬁkasi risiko (Manurung [14]).

2.2.2 Utilitas

Menurut Charles et al. [6], utilitas adalah aturan subjektif pembuat ke-putusan berdasarkan risiko. Oleh karena itu, utilitas seseorang digunakan untuk mengevaluasi alternatif keputusan.

(3)

2.2.3 Risk Aversion

Menurut Arrow [1], risk aversion adalah kondisi dimana perilaku konsu-men atau investor sedang dalam ketidakpastian dan konsu-mencoba konsu-mengurangi keti-dakpastian tersebut. Dengan kata lain, risk aversion adalah kecenderungan yang subyektif dari investor untuk menghindari risiko yang tidak diperlukan. Apabila diberikan dua investasi dengan return yang sama dan tingkat risiko yang berbe-da, maka investor dengan risk-averse akan memilih investasi dengan risiko yang lebih kecil.

2.2.4 Variabel Acak

Berikut ini adalah deﬁnisi dan teorema tentang variabel acak menurut Bain dan Engelhardt [3].

Definisi 2.2.1. Suatu variabel acak X adalah suatu fungsi yang dideﬁnisikan

pada ruang sampel S yang memetakan setiap hasil e yang mungkin di S ke suatu bilangan real X(e) = x.

Variabel acak dibedakan menjadi 2 yaitu variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

Definisi 2.2.2. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel

acak, X, adalah himpunan terhingga terhitung x1,x2, . . ., xn atau himpunan tak

terhingga terhitung x1,x2, . . ., maka X disebut variabel acak diskrit. Fungsi f (x) = P [X = x], x = x1, x2, . . .

menunjukkan probabilitas untuk setiap nilai x yang mungkin disebut dengan fungsi densitas probabilitas diskrit.

Definisi 2.2.3. Fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak X untuk

sembarang bilangan real x dideﬁnisikan sebagai F (x) = P [X ≤ x].

(4)

Definisi 2.2.4. Jika X adalah suatu variabel acak diskrit dengan fungsi densitas

probabilitas f (x) maka harga harapan dari X dideﬁnisikan sebagai E(X) =∑

x

xf (x).

Definisi 2.2.5. Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat

suatu fungsi densitas probabilitas dari X yaitu f (x), sedemikian sehingga fungsi distribusi kumulatif dari X dapat dinyatakan sebagai

F (x) =

∫ x −∞

f (t)dt.

Teorema 2.2.1. Suatu fungsi f (x) adalah fungsi densitas probabilitas dari

vari-abel acak kontinu X jika dan hanya jika memenuhi 1. f (x)≥ 0, untuk semua bilangan real x, dan 2. ∫_−∞∞ f (x)dx = 1.

Definisi 2.2.6. Jika X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas

pro-babilitas f (x), maka harga harapan X dideﬁnisikan oleh E(X) =

∫ _∞

−∞

xf (x)dx,

apabila integral tersebut konvergen absolut. Selain itu dapat dikatakan E(X) tidak ada.

Teorema 2.2.2. Jika X adalah suatu variabel acak dengan suatu fungsi densitas

probabilitas f (x) dan c(x) adalah suatu fungsi bernilai real dimana daerah asal meliputi semua nilai yang mungkin dari X, maka

1. E[c(X)] =∑_xc(x)f (x) jika X adalah diskrit. 2. E[c(X)] =∫_−∞∞ c(x)f (x)dx jika X adalah kontinu.

2.2.5 Uji Keacakan

Uji keacakan adalah uji untuk mengetahui apakah sampel diambil secara acak atau tidak. Uji keacakan yang digunakan dalam penelitian ini adalah uji keacakan menurut Wackerly et al. [17] dengan hipotesis nol bahwa data bersifat acak. Berikut ini langkah-langkah uji keacakan menurut Wackerly et al. [17].

(5)

1. mencari nilai median dari data,

2. memberikan tanda (−) untuk data yang mempunyai nilai di bawah median dan tanda (+) untuk data yang mempunyai nilai di atas median,

3. menghitung n1 dan n2, dimana n1 adalah banyak data yang berada di atas

median, serta n2 adalah banyak data yang berada di bawah median,

4. menghitung D, dengan D adalah jumlah runtun yang berubah tanda, 5. menghitung E(D), dengan rumus berikut,

E(D) = 2n1n2 n1+ n2

+ 1, (2.2)

6. menghitung V (D), dengan rumus berikut,

V (D) = 2n1n2(2n1n2− n1− n2)

(n1+ n2)2(n1+ n2− 1)

, (2.3)

7. menghitung Zhitung, dengan rumus berikut,

Zhitung =

D− E(D)

√

V (D) ,

8. memberi kesimpulan bahwa hipotesis nol ditolak jika Zhitung ≤ −Zα/2 atau

Zhitung ≥ Zα₂.

2.2.6 Uji Kenormalan

Uji kenormalah merupakan uji yang digunakan untuk mengetahui apakah data berasal dari populasi berdistribusi normal. Uji Jarque-Bera merupakan salah satu uji kenormalan. Menurut Gujarati [8], statistik uji Jarque-Bera dideﬁnisikan

J B = n 6 [ S2+ (K− 3) 2 4 ] , (2.4)

dengan n adalah ukuran sampel. S adalah kemencengan dan K adalah kerun-cingan. Deﬁnisi S dan K secara berturut-turut adalah

S = 1 n ∑n i=1(xi− x) 3 (_n1 ∑n_i=1(xi− x)2) 3 2 ,

(6)

K = 1 n ∑n i=1(xi− x)4 (_n1∑n_i=1(xi− x)2)2 ,

dengan x adalah rata-rata sampel. Jika J B < χ2_(α,2) maka data berasal berdistri-busi normal.

2.2.7 Kriteria Stochastic Dominance

Kriteria stochastic dominance adalah kriteria yang menyatakan hubungan dua fungsi distribusi, yaitu apakah suatu fungsi distribusi lebih dominan daripada fungsi distribusi yang lain (Heyer [10]). Konsep stochastic dominance berasal dari teori utilitas dalam pengambilan keputusan optimal untuk memilih beberapa alternatif investasi. Apabila terdapat investasi A dan B, maka investasi B lebih disukai daripada investasi A jika dan hanya jika harga harapan B lebih besar dari harga harapan A. Selanjutnya kriteria dasar stochastic dominance dapat dituliskan sebagai

EA(x)≤ EB(x).

Kriteria stochastic dominance dibagi menjadi tiga orde yaitu kriteria ﬁrst-order

stochastic dominance (FSD), kriteria second-order stochastic dominance (SSD),

dan kriteria third-order stochastic dominance (TSD). Hal ini didasarkan pada karakteristik fungsi utilitas masing-masing orde.

1. Kriteria ﬁrst-order stochastic dominance (FSD). Fungsi utilitas yang digu-nakan pada F SD adalah fungsi utilitas monoton naik yang dideﬁnisikan sebagai

U1 ={fungsi utilitas u|u

′

(x)≥ 0}.

Investasi B mendominasi A secara F SD pada fungsi utilitas U1 jika dan

hanya jika

FA(x)≥ FB(x), (2.5)

untuk semua xϵS. S adalah himpunan bilangan semesta yang memuat variabel acak X.

(7)

2. Kriteria second-order stochastic dominance (SSD). Fungsi utilitas yang di-gunakan pada SSD adalah fungsi utilitas yang memiliki sifat risk aversion, dideﬁnisikan sebagai

U2 ={fungsi utilitas u|u′(x)≥ 0 dan u′′(x)≤ 0}.

Investasi B mendominasi A secara SSD pada fungsi utilitas U2 jika dan

hanya jika _∫ x −∞ FA(t)dt≥ ∫ x −∞ FB(t)dt, (2.6)

3. Kriteria third-order stochastic dominance (TSD). Fungsi utilitas yang digu-nakan pada T SD adalah fungsi utilitas yang memiliki sifat ruin aversion, dideﬁnisikan sebagai

U3 ={fungsi utilitas u|u

′

(x)≥ 0, u′′(x)≤ 0 dan u′′′(x)≥ 0}.

Investasi B mendominasi A secara T SD pada fungsi utilitas U3 jika dan

hanya jika _∫ x −∞ ∫ y ∞ FA(t)dtdy ≥ ∫ x −∞ ∫ y −∞ FB(t)dtdy,

2.2.8 Kriteria Almost Stochastic Dominance

Kriteria almost Stochastic Dominance (ASD) merupakan kriteria alternatif dalam pengambilan keputusan apabila kriteria stochastic dominance tidak terpe-nuhi (Levy [11]). Diasumsikan terdapat dua alternatif investasi yaitu A dan B.

FA(x) adalah distribusi kumulatif dari A dan FB(x) adalah distribusi kumulatif

dari B, dengan X adalah variabel acak. Berdasarkan Levy [12] , kriteria ASD dibagi menjadi dua yaitu kriteria almost ﬁrst-order stochastic dominance (AFSD) dan kriteria almost second-order stochastic dominance (ASSD).

(8)

1. Kriteria almost ﬁrst-order stochastic dominance (AFSD). Kriteria AF SD digunakan apabila kriteria F SD yang ditunjukkan pada persamaan (2.5) tidak terpenuhi. Daerah yang tidak terpenuhi untuk F SD dinotasikan sebagai

S1(FA, FB) ={x|FB(x) > FA(x)}.

Rasio ε1 dideﬁnisikan sebagai ε1 = ∫ S1(FB(x)− FA(x))dx ∫ S|FB(x)− FA(x)|dx ,

dengan ε1 < 0, 5. Investasi B mendominasi investasi A secara AF SD pada

fungsi utilitas U₁∗(ε1) jika dan hanya jika

∫ S1 (FB(x)− FA(x))dx≤ ε1 ∫ S |FB(x)− FA(x)|dx,

dengan U₁∗(ε1) adalah fungsi utilitas yang dideﬁnisikan sebagai U₁∗(ε1) = {u : u

′

(x)≥ 0, u′(x)≤ inf{u′(x)}[1

ε1

− 1], ∀xϵS}.

2. Kriteria almost second-order stochastic dominance (ASSD). Kriteria ASSD digunakan apabila kriteria SSD yang ditunjukkan pada persamaan (2.6) tidak terpenuhi. Daerah yang tidak terpenuhi untuk SSD dinotasikan se-bagai S2(FA, FB) = {x|FA(x) < FB(x); ∫ x −∞ FB(t)dt≥ ∫ x −∞ FA(t)dt}.

Rasio ε2 dideﬁnisikan sebagai ε2 = ∫ S2(FB(x)− FA(x))dx ∫ S2FA(x)− FB(x)dx + ∫ S2FB(x)− FA(x)dx .

dengan ε2 < 0, 5. Investasi B mendominasi investasi A secara ASSD pada

fungsi utilitas U₂∗(ε2) jika dan hanya jika

∫ S2 (FB(x)− FA(x))dx≤ ε2 ( ∫ S2 FA(x)− FB(x)dx + ∫ S2 FB(x)− FA(x)dx ) .

dengan U₂∗(ε2) adalah fungsi utilitas yang dideﬁnisikan sebagai U2∗(ε2) = {u : u ′ (x)≥ 0, u′′(x)≤ 0, −u′′(x)≤ inf{−u′′(x)}[1 ε2 − 1], ∀xϵS}. (2.7)

(9)

2.2.9 Kriteria Marginal Conditional Stochastic

Dominance

Berdasarkan Shalit dan Yitzhaki [15], kriteria MCSD memberikan kondisi probabilitas untuk semua individu yang risk-averse dapat memperoleh portofolio eﬁsien dengan melakukan perubahan marjinal pada porsi salah satu aset dalam portofolio. Perubahan marjinal dilakukan dengan meningkatkan porsi dari salah satu asetnya daripada aset yang lain dalam suatu portofolio. Kelebihan dari kriteria MCSD adalah dapat melibatkan perbandingan lebih dari dua aset.

Misalkan investor dengan fungsi utilitas U2, dideﬁnisikan sebagai U2 ={fungsi utilitas u|u

′

≥ 0 dan u′′ ≤ 0 }.

Investor tersebut mengelola portofolio yang terdiri atas n aset. Porsi dari aset ke- i adalah αi, sehingga

Σn_i=1αi = 1. (2.8)

Kekayaan akhir dideﬁnisikan sebagai

W = w0(1 +

n

∑

i=1

αiRi),

dengan W adalah kekayaan akhir, w0adalah kekayaan awal, dan Riadalah return

dari aset ke- i. Return dari portofolio adalah R+ dideﬁnisikan sebagai

R+ = Σni=1αiRi. (2.9)

Tujuan akhir dari investor adalah memilih porsi untuk memaksimalkan

E[u(W )]. Menurut Shalit dan Yitzhaki [15], aset k mendominasi aset j

berda-sar MCSD jika memenuhi kondisi E[u′(W )(Rk− Rj)]≥ 0. Selanjutnya, µi (r+)

adalah harga harapan bersyarat dari return pada aset i ketika return portofolio sebesar r+. µi(r+) dideﬁnisikan sebagai

µi(r+) = E[Ri|R+= r+]. (2.10)

Berdasarkan Shalit dan Yitzhaki [15], apabila diberikan portofolio, aset k men-dominasi aset j secara MCSD jika dan hanya jika

(10)

Berdasarkan Shalit dan Yitzhaki [15], teorema MCSD disajikan dalam ben-tuk suatu kurva yang bernama absolute concentration curve (ACC). Nilai ACC dari aset i merupakan fungsi distribusi kumulatif dari nilai harapan bersyarat

return aset i. Kurva ACC biasanya digunakan pada bidang keuangan, khususnya

pada bidang ilmu tentang ketimpangan pendapatan. ACC dirumuskan sebagai

ACCiα(ξ) = ∫ F−1 R+(ξ) −∞ µi(r+)f (r+)dr+ (2.11) dengan ξ =∫r+ −∞f (rAM CSD+)dr+.

Teorema 2.2.3. Diberikan portofolio, aset k mendominasi aset j untuk semua

fungsi utilitas U2 pada W jika dan hanya jika

ACCkα(ξ)≥ ACCjα(ξ). (2.12)

Selanjutnya dideﬁnisikan B(t) adalah selisih kurva ACC sebagai

B(t) =

∫ t a

(µk(r+)− µj(r+))dFR+(r+) dengan tϵ[a, b], [a, b] adalah interval terbatas dari return.

2.3 Kerangka Pemikiran

Para investor yang mempunyai sifat risk averse dapat menggunakan kri-teria M CSD untuk memperoleh portofolio yang eﬁsien. Krikri-teria ini didasarkan pada kurva ACC dari dua aset. Apabila nilai ACC aset k lebih dari nilai ACC aset j, maka aset k mendominasi aset j secara MCSD.

Suatu daerah di antara kedua kurva ACC dikatakan tidak memenuhi kri-teria M CSD apabila pada daerah tersebut ditemukan nilai ACC aset k kurang dari nilai ACC aset j. Apabila terdapat daerah yang tidak memenuhi kriteria

M CSD, maka digunakan kriteria AM CSD. Nilai AMCSD diperoleh dari

ha-sil bagi daerah yang tidak memenuhi MCSD dengan total rentang daerah yang memenuhi maupun tidak memenuhi MCSD. Berdasarkan Levy et al. [13], krite-ria AMCSD terpenuhi jika nilai AMCSD bernilai kurang dari 0, 032. Jika nilai

(11)

kriteria AMCSD antara aset k dan aset j bernilai kurang dari 0, 032 maka aset

k mendominasi aset j secara AMCSD.

Pada pembentukan portofolio efisien, kriteria AMCSD digunakan untuk mengetahui apakah suatu portofolio efisien atau tidak efisien. Jika dalam folio terdapat aset yang mendominasi aset lainnya secara AMCSD, maka porto-folio belum efisien. Akan tetapi, jika dalam portoporto-folio tidak ada aset yang saling mendominasi secara AMCSD, maka portofolio efisien.