( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IV. PEMBAHASAN

IV. PEMBAHASAN

4.1 Asumsi

Berikut ini adalah asumsi yang digunakan dalam memodelkan permainan. a. Harga pasar P

()

. merupakan fungsi

turun danP''

()

. kontinu.

b. Fungsi biaya perusahaan-1 C₁

()

. dan fungsi biaya perusahaan-2 C2

()

. merupakan fungsi naik, C1''

()

. dan

()

.

'' 2 C

kontinu dengan C_i

( )

0 =0.

4.2 Permainan Supermodular

Berikut ini beberapa pegertian mengenai permainan Supermodular yang digunakan untuk menyelesaikan masalah utama yang akan dibahas dalam tulisan ini.

Definisi 33 [Fungsi Supermodular dan Submodular]

1) Suatu fungsi F:R₊2→R dikatakan

supermodular jika untuk semua

2 1 2 1 x ,y y x ≥ ≥ ,

(

x1,y1

) (

Fx2,y1

) (

Fx1,y2

) (

Fx2,y2

)

F − ≥ −

2) Suatu fungsi F:R₊2→R dikatakan

submodular jika untuk semua

2 1 2 1 x ,y y x ≥ ≥ ,

(

x1,y1

) (

Fx2,y1

) (

Fx1,y2

) (

Fx2,y2

)

F − ≤ − (Amir 1996)

Definisi 34 [Fungsi Supermodular sempurna dan Submodular sempurna]

1) Suatu fungsi F:R+2→R adalah supermodular sempurna jika untuk

semua x1≥x2,y1≥y2,

(

x1,y1

) (

Fx2,y1

) (

Fx1,y2

) (

Fx2,y2

)

F − > −

2) Suatu fungsi F:R+2→R adalah submodular sempurna jika untuk semua

2 1 2 1 x ,y y x ≥ ≥ ,

(

x1,y1

) (

Fx2,y1

) (

Fx1,y2

) (

Fx2,y2

)

F − < − (Amir 1996)

Bila dilihat dari turunan keduanya, Definisi 34 dapat ditulis sebagai berikut:

Definisi 35 [Fungsi Supermodular sempurna dan Submodular Sempurna]

1. Jika F mempunyai turunan kedua yang

kontinu dan x y y x F , , 0 2 ∀ > ∂ ∂ ∂ maka F adalah supermodular sempurna. 2. Jika F mempunyai turunan kedua yang

kontinu dan x y y x F , , 0 2 ∀ < ∂ ∂ ∂ maka F adalah submodular sempurna.

(Amir 1996)

Definisi 36 [Strict Single-Crossing Property (SSCP) dan Dual Strict Single-Crossing Property (Dual SSCP) ]

1) Fungsi F:

[ )

0,∞ 2→R mempunyai

Strict Single-Crossing Property atau

SSCP di

( )

x,y jika:

(

x1,y2

)

F

( )

x2,y2 F

(

x1,y1

)

F

(

x2,y1

)

F ≥ ⇒ > semua untuk x1>x2,y1>y2. 2) Fungsi F:

[ )

0,∞ 2→R mempunyai dual SSCP di

( )

x,y jika:

(

x1,y2

)

F

( )

x2,y2 F

(

x1,y1

)

F

(

x2,y1

)

F ≤ ⇒ < semua untuk x₁>x₂,y₁>y₂. (Amir 1996)

Teorema 4 [Permainan Supermodular]

Duopoli Cournot adalah permainan

ordinally supermodular jika memenuhi

asumsi berikut:

1. P

()

. merupakan fungsi turun dan log konkaf.

2. Ci

()

. , i=1,2 merupakan fungsi naik dan kontinu kiri.

3. ∃ kuantitas Q>0 sedemikian sehingga QP

( )

Q −Ci

( )

Q <0, i=1,2 untuk semua Q>Q.

(Amir 1996)

Bukti dapat dilihat pada Amir (1996).

Teorema 5 [Koresponden Tanggapan Terbaik yang Tak Naik dan Tak Turun]

1) Setiap fungsi x

( )

y argmaksF

( )

x,y

0 x *

≥ ∈

adalah tak turun di y jika F mempunyai SSCP.

2) Setiap fungsi x

( )

y argmaksF

( )

x,y 0 x * ≥ ∈

adalah tak naik di y jika F mempunyai

dual SSCP.

(Milgrom dan Shannon 1994) Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Shannon (1994).

Lemma 1 [Fungsi Supermodular dan

Submodular]

1. Misal f,g:R+→R, f adalah fungsi konkaf dan g adalah fungsi konveks, maka fungsi bernilai real

1)

( )

x,y → f

(

x+y

)

adalah

submodular pada R+× R+; 2)

( )

x,y → f

(

x−y

)

supermodular

pada lattice ϕ=

{

( )

x,y :y≥0dan

}

y x≥

3)

( )

x,y →g

(

x+y

)

supermodular

pada R+× R+.

2. Misal f,g:R+ →R, f adalah fungsi konkaf sempurna dan g adalah fungsi konveks sempurna, maka fungsi bernilai real

1)

( )

x,y → f

(

x+y

)

adalah

submodular sempurna pada

+ +_{× R}

R ;

2)

( )

x,y → f

(

x−y

)

supermodular

sempurna pada lattice

( )

{

x y y≥ x≥y

}

= , : 0dan ϕ ; 3)

( )

x,y →g

(

x+y

)

supermodular sempurna pada R+× R+. (Amir 1996)

Bukti dapat dilihat pada Amir (1996).

Lemma 2

Jika P

()

. adalah log-konkaf atau P

()

. memenuhi P'

( )

x +xP"

( )

x <0 untuk setiap

0 ≥

x dan ada kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i K sedemikian sehingga i

( )

K −C

( )

K ≤KP

( ) ( )

K −C K ,∀K,i=1,2,

KP _{i i i i i}

maka semua kuantitas pada selang

( )

Ki,∞ adalah tindakan terdominasi untuk perusahaan-i dan setiap pilihan dari korespondensi tanggapan terbaik r_i

()

. merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaingnya.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa:

1) Setiap pilihan dari koresponden

tanggapan terbaik ri

()

. merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing (Jika π adalah dual SSCP maka setiap i

pilihan r_i

()

.merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing).

2) Semua kuantitas di

( )

K_i,∞ adalah tindakan terdominasi untuk

perusahaan-i.

1) Dari hipotesis diketahui bahwa P adalah log-konkaf , maka logP

()

. adalah konkaf. Berdasarkan Lemma 1

(

x y

)

P +

log adalah submodular di

( )

_∈ +_× + R R y x, , maka untuk sembarang x1>x2,y1>y2:

(

)

(

)

(

1 2

)

(

2 2

)

1 2 1 1 log log log log y x P y x P y x P y x P + − + ≤ + − +

(

)

(

)

(

(

2 2

)

)

2 1 1 2 1 1 _log log y x P y x P y x P y x P + + ≤ + + ⇔

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

1 2 2 2 1 1 2 1 1 y x P y x P y x P y x P + + ≤ + + ⇔

Misal diasumsikan bahwa:

(

)

( )

(

2 2

)

1

( )

2

( )

2 2 1 1 2 1 1 x C y x P x x C y x P x − + ≤ − +

Substitusi (1) ke ruas kanan (2), sehingga didapat:

(

)

( )

(

)

(

) (

2 1

)

1

( )

2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P x − + + + ≤ − +

Kemudian kali silang dengan

(

)

(

1 2

)

1 1 y x P y x P + +

(

) (

₍

)

_{) ( )}

(

) (

₍

)

_{) ( )}

1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P y x P y x P x + + − + ≤ + + − + Karena x1>x2,y1>y2 dan berdasarkan hipotesis P'

()

. <0 ( P fungsi turun), C₁

()

. fungsi naik, maka

(

x1 y1

)

P + <P

(

x₁+y₂

)

dan

( )

1 1

( )

2 1 x C x C > , sehingga diperoleh:

(

)

( )

(

2 1

)

1

( )

2

( )

3 2 1 1 1 1 1 x C y x P x x C y x P x − + < − +

Karena (2) berimplikasi (3) maka π ₁ mempunyai dual strict single-crossing property (dual SSCP).

Misal diasumsikan bahwa:

(

)

( )

(

2 2

)

2

( )

2

( )

4 2 1 2 1 2 1 y C y x P y y C y x P y − + ≤ − +

Substitusi (1) ke ruas kanan (4), sehingga didapat:

(

)

( )

(

)

(

) (

2 1

)

2

( )

2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y C y x P y x P y x P y y C y x P y − + + + ≤ − +

Kemudian kali silang dengan

(

)

(

2 1

)

1 1 y x P y x P + +

(

)

( ) (

₍

)

₎

(

)

( ) (

₍

)

₎

1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 y x P y x P y C y x P y y x P y x P y C y x P y + + − + ≤ + + − + Karena x₁>x₂,y₁>y₂, P

()

. fungsi turun dan C2

()

. fungsi naik, maka

(

x1 y1

) (

Px2 y1

)

P + < + dan C2

( )

y1 >

( )

2 2 y C , sehingga diperoleh :

(

)

( )

(

1 2

)

2

( )

2

( )

5 2 1 2 1 1 1 y C y x P y y C y x P y − + < − +

Karena (4) berimplikasi (5) maka π ₂ mempunyai dual SSCP, sehingga π _i

mempunyai dual SSCP. Akibatnya

berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan

()

.

i

r merupakan fungsi tak naik di

kuantitas pesaing .

2) Berdasarkan hipotesis diketahui bahwa

i

K adalah kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i, maka Ki∈r

( )

0 . Akibatnya imbalan akan menurun jika perusahaan memilih kuantitas lebih dari

i

K , sehingga kuantitas di

( )

Ki,∞ tidak dapat menjadi tanggapan terbaik. Jadi semua kuantitas di

( )

K_i,∞ adalah tindakan terdominasi untuk

perusahaan-i.

Lemma 3

Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli kuantitas adalah permainan supermodular,

maka N tidak kosong dan terdapat titik

( )

x,y dimana perusahaan-1 (perusahaan-2 ) menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi (lebih rendah) pada N. Titik

( )

x,y terletak pada r₂

()

. =min r₂

()

. dan merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa:

1) Duopoli kuantitas adalah permainan supermodular dengan N ≠∅ dan terdapat titik

( )

x,y dimana perusahaan-1 (perusahaan-2) menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi (lebih rendah) pada N.

2) Titik

( )

x,y terletak pada

()

. min

()

.

2 r2

r = dan merupakan pilihan

kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah.

1) Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli

kuantitas memenuhi Teorema 4 untuk

menjadi permainan supermodular yaitu:

a) P

()

. merupakan fungsi turun dan log konkaf.

b) C_i

()

. merupakan fungsi naik dan kontinu kiri, i=1,2.

c) Karena Ki adalah kuantitas

monopoli optimal untuk perusahaan-i, maka imbalan akan

menurun jika perusahaan memilih lebih dari Ki. Akibatnya ada

kuantitas pada selang

( )

K_i,∞ ,

misal Q, yang menyebabkan

perusahaan merugi atau

( )

Q −C

( )

Q <0

QP _i .

Berdasarkan Lemma 2 duopoli kuantitas

menjadi permainan supermodular dengan

himpunan tindakan efektif

[ ] [ ]

0,K1×0,K2 .

Karena itu, N tidak kosong dan

[ ]

0,Ki

merupakan selang tertutup sehingga merupakan complete lattice, dan menurut

Teorema 2, N mempunyai anggota terbesar .

Misalkan diberikan anggota terbesar yaitu

( )

x,y . Tetapi berdasarkan Teorema 2, perusahaan-2 sekurang-kurangnya memilih

( )

x,y dari semua kesetimbangan di N, maka

pada titik

( )

x,y perusahaan-1 menghasilkan

kuantitas tertinggi di N, sedangkan

perusahaan-2 menghasilkan kuantitas terendah di N.

2)

( )

x,y ∈ r2

()

. karena pada titik

( )

x,y perusahaan-1 menghasilkan kuantitas tertinggi di N, sedangkan perusahaan-2

Berdasarkan Teorema 2 untuk pemetaaan

( )

x,y →

(

r₁

( ) ( )

y,r₂ x

)

yang tak turun akan mempunyai titik tetap terbesar.

Misalkan

( )

x',y' ∈N titik tetap terbesar dengan

( )

x',y' ∈r₂

()

. dan

y

'

<

y

. Kontradiksi dengan titik ekstrim

( )

x,y ,

maka

( )

x,y merupakan pilihan

kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terkecil.

ƒ

Lemma 4

Berdasarkan hipotesis Lemma 2, jika setiap titik

(

xs,ys

)

∈ harus terletak diS₁ r₂

()

. dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks arg 1 2 1 x y x y r S 0 x ∈ = ≥ π ,

dengan r₂

()

. adalah pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah, maka

(

xs,ys

)

₁

( )

x,y 1 π π ≥ . Bukti. Akan dibuktikan: • Setiap titik

(

,

)

2

()

. s s r y x ∈ dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks arg _{1 2} 1 x y x y r S 0 x ∈ = ≥ π • π1

(

xs,ys

)

≥π1

( )

x,y

Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik

(

xs,ys

)

∈r2

()

. .

Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2

()

. kontinu kanan.

Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg

(

xs,ys

)

∉r₂

()

. sedemikian sehingga

( )

s s

x r

y > 2 . Dari Lemma 2 diketahui

bahwa setiap pilihan r₂

()

. adalah tak naik. Karena itu, himpunan titik dir2

()

. tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r₂

()

. yang tak kontinu. r2

()

. bernilai banyak di x . Karena itu dapat s

ditentukan bahwa untuk ε >0 sedemikian sehingga pilih xs+ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik

follower yang unik yaitu r₂

()

. bernilai tunggal di xs+ε. Karena ys >r2

( )

xs dan

()

. 2

r kontinu kanan maka r2

(

xs+ε

)

<ys. Diketahui pula π1

( )

x,y kontinu di x dan

turun di y, maka menghasilkan imbalan

leader yaitu:

(

)

(

s s

) (

s s

)

y x x r x , 2 1 , 1 ε ε π π + + >

Kontradiksi dengan hipotesis bahwa

(

s s

)

y

x , adalah kesetimbangan Stackelberg. Karena itu haruslah

(

,

)

2

()

.

s s r y x ∈ dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks arg _{1 2} 1 x y x y r S 0 x ∈ = ≥ π terpenuhi atau S

(

x r

( )

x

)

0 x 2 1 1 argmaksπ , ≥ = .

Jadi semua titik di S menghasilkan imbalan 1

yang sama untuk leader. Dari Lemma 3,

( )

x,y adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan

( )

x,y ∈ r₂

()

. , maka π1

(

xs,ys

)

≥π1

( )

x,y .

4.3 Model Duopoli Cournot

Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar yang akan menghasilkan model duopoli Cournot.

Teorema 6

Jika diketahui bahwa:

1. Tidak ada kesetimbangan Cournot-Nash yang terletak di batas daerah.

2. P

()

. adalah log-konkaf atau P

()

. memenuhi P'

( )

x +xP"

( )

x <0,∀x≥0. 3. ∃ kuantitasK sedemikian sehingga

( )

( )

( ) ( )

. 2 , 1 , , = ∀ − ≤ − i K K C K P K K C K KP _{i i i i i} 4. P adalah log-konkaf sempurna yaitu

() ()

. . '2

()

. 0 " _{P − P <}

P atau C_i'

()

. >0, maka E=

{

( )

e,e,N

}

.

Sebelum membuktikan Teorema 6 akan diberikan terlebih dahulu lemma berikut ini.

Lemma 5

Jika asumsi Teorema 6 dipenuhi, maka titik ekstrim kesetimbangan Nash

( )

x,y ∉S1.

Bukti.

Akan dibuktikan bahwa:

1) r2'

()

. <0 di sembarang titik pada fungsi

tanggapan minimal r2

()

. , sepanjang titik tersebut terletak di dalam daerah fisibel.

1) Berdasarkan Lemma 2, setiap pilihan dari r₂

()

. tak naik, maka r2'

()

. ≤0.

Imbalan untuk perusahaan-2 pada sembarang titik di r₂

()

. adalah:

( )

[

x r2 x

]

r2

( )

xP

[

x r2

( )

x

]

C2

[ ]

r2

( )

x

2 , = + −

π

Untuk setiap x≥0 sedemikian sehingga

()

. 0 2 >

r , maka first-order condition

diberikan oleh:

( )

[

]

( )

0 , 2 2 2 = ∂ ∂ x r x r x π

( )

[

x+r₂ x

]

+r₂

( )

xP'

[

x+r₂

( )

x

]

−C₂'

[ ]

r₂

( )

x =0

( )

6 P

Turunkan (6) terhadap x, sehingga didapat:

( )

(

)

[

( )

]

( )

[

( )

]

( )

( )

(

1

)

[

( )

]

[ ]

( )

( )

0

( )

7 1 ' 2 2 " 2 2 " ' 2 2 2 ' ' 2 2 ' ' 2 = − + + + + + + + x r x r C x r x P x r x r x r x P x r x r x P x r Substitusi (6) ke (7)

( )

(

)

[

( )

]

( )

[

( )

]

( )

[ ]

[

( )

]

( )

[

]

(

( )

)

[

( )

]

( )

[ ]

( )

0 1 1 ' 2 2 " 2 2 " ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' ' 2 2 ' ' 2 = − + + + + − + + + + + x r x r C x r x P x r x r x P x r x P x r C x r x P x r x r x P x r Akan dibuktikan r₂'

()

. <0.

Andaikan untuk suatu x ,0

( )

0 0 ' 2 x = r , maka:

( )

[

]

[ ]

( )

_[

[

_{( )}

_]

( )

]

( )

[

_{0 2 0}

]

0 " 0 2 0 ' 0 2 0 0 2 ' 2 0 2 0 ' = + + + − + + x r x P x r x P x r x P x r C x r x P

( )

[

]

[

( )

]

( )

[

]

[ ]

( )

{

_{0 2 0 2}' _{2 0}

}

0

( )

8 0 2 0 " 0 2 0 2 ' = − + + + + − x r C x r x P x r x P x r x P

Berdasarkan hipotesis P'

()

. <0 dan dari (6)

( )

[

]

( )

[

( )

]

( )

[

2 0

]

0 ' 2 0 2 0 ' 0 2 0 2 0 = − + + + x r C x r x P x r x r x P

Karena P'

()

. <0 dan r₂

()

. >0, maka

( )

[

]

[

2

( )

0

]

' 2 0 2 0 r x C r x x P + >

Sehingga (8) kontradiksi dengan hipotesis yaitu P

()

. adalah log-konkaf sempurna

()

() ()

(

−P'2. +P".P. <0

)

atau C2'

()

. >0, sehingga haruslah r2'

()

. ≠0 untuk r2

()

. >0. Dan berdasarkan Lemma 2 maka r₂'

()

. <0. 2) Misalkan

(

xs,r2

( )

xs

)

adalah

kesetimbangan Stackelberg dengan

perusahaan-1 sebagai leader. Karena

( )

x,y adalah interior solution berdasarkan asumsi, maka harus memenuhi: 1

( )

, =0 ∂ ∂ x y x π

Jika

(

xs,r2

( )

xs

)

juga merupakan interior

solution, maka akan memenuhi:

( )

(

)

(

( )

_{) ( )}

0 , , ' 2 2 1 2 1 ≤ ∂ ∂ + ∂ ∂ s s s s s x r y x r x x x r x π π Diketahui r₂'

()

. <0 dan

( )

= ∂ ∂ y y x, 1 π

(

x y

)

xP' + , karena P'

()

. <0 dan x≥0 maka 1 <0 ∂ ∂ y π . Sehingga diperoleh

( )

(

)

0 , 2 1 < ∂ ∂ x x r xs s π . Akibatnya x≠xs dan

( ) ( )

s x r x

r2 ≠ 2 . Terbukti bahwa titik ekstrim

kesetimbangan Nash

( )

x,y ∉S1.

Bukti Teorema 6.

Akan dibuktikan bahwa : E=

{

( )

e,e,N

}

Menurut Proposisi 1(a) akan dibuktikan: 1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik

berada pada sembarang titik di Si

daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih

memilih imbalan pada sembarang titik terburuk di N daripada sembarang imbalan sebagai follower.

Lemma 2 dan Lemma 3 menunjukkan bahwa duopoli kuantitas adalah permainan

supermodular. Jadi kesetimbangan

Cournot-Nash ada. Karena ruang strategi efektif

[ ]

0,Ki⊂R merupakan selang tertutup, akibatnya

[ ]

0,Ki lengkap dan terbatas total

(lihat Teorema 1). Sehingga ruang strategi

[ ]

0,Ki merupakan ruang metrik kompak

dengan metrik ρ nilai mutlak. Diketahui pula fungsi imbalan kontinu, maka kesetimbangan Stackelberg juga ada yaitu

2

S

S dan 1 tidak kosong .

1. Sudah dibuktikan di Lemma 4.

2. Misalkan

(

x ,s ys

)

adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader dan

( )

x,y adalah titik ekstrim kesetimbangan

Cournot-Nash. Sebagaimana ditunjukkan di Lemma 5

( ) (

_{x,y ≠ x}s_,ys

)

_{. Berdasarkan Lemma 3}

dan Lemma 4 kedua titik terletak pada

()

. 2

r fungsi tanggapan minimal

perusahaan-2.

(

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

( )

9 1 1 s s s s s s s x C y x P x x C y x P x x C y x P x − + ≥ − + > − +

dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat kesetimbangan Stackelberg yang digambarkan dalam Lemma 4 dan menurut Lemma 5

( )

x,y ∉S₁. Pertidaksamaan kedua mengikuti sifat kesetimbangan Nash. Karena

1

π menurun pada y, maka pertidaksamaan (9) menghasilkan r₂

( )

xs =ys<y=r₂

( )

x dan r₂

()

. merupakan fungsi turun sehingga menghasilkan xs> .Maka untuk setiap y, x

keuntungan pemain-2 memenuhi:

( )

x y C₂

( )

y yP

( )

x y C₂

( )

y

( )

10

yP + − > s+ −

Ambil sup y≥0 pada kedua sisi dari

pertidaksamaan (10), berdasarkan definisi

( )

x,y dan Lemma 4 menghasilkan:

( )

_{x y C}

( )

_{y y}s_P

(

_xs _ys

) ( )

_{C y}s

P

y + − ₂ > + − ₂

Ini berarti follower lebih memilih kesetimbangan Cournot-Nash terburuk daripada kesetimbangan Stackelberg. Cara yang sama dilakukan untuk perusahaan-2 sebagai leader dengan

( )

x,y sebagai titik ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash.

4.4 Model Duopoli Stackelberg

Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan biaya yang akan menghasilkan model duopoli Stackelberg.

Teorema 7

Jika P

()

. log-konveks sempurna yaitu

() ()

. . '2

()

. 0

" _{− P >}

P

P , Ci

()

. =0 untuk i=1,2

dan limxP

(

x y

)

0, y tetap

x→∞ + = ∀ , maka

( )

{

e,l,S1

} ( )

{

l,e,S2

}

E= ∪ .

Bukti.

Dari hipotesis diketahui P

()

. log konveks sempurna maka log P konveks sempurna.

Berdasarkan Lemma 1, karena log P konveks sempurna maka supermodular sempurna di

( )

x,y , maka untuk sembarang

2 1 2 1 x ,y y x > > :

(

)

(

)

(

1 2

)

(

2 2

)

1 2 1 1 log log log log y x P y x P y x P y x P + − + > + − +

(

)

(

)

(

(

2 2

)

)

2 1 1 2 1 1 log log y x P y x P y x P y x P + + > + + ⇔

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

11 2 2 2 1 1 2 1 1 y x P y x P y x P y x P + + > + + ⇔

Misal diasumsikan bahwa:

(

)

( )

(

2 2

)

1

( )

2

( )

12 2 1 1 2 1 1 x C y x P x x C y x P x − + ≥ − + Substitusi (11) ke (12), didapat:

(

)

( )

(

)

(

) (

2 1

)

1

( )

2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P x − + + + > − +

Kemudian kali silang dengan

₍

(

)

₎

2 1 1 1 y x P y x P + +

(

) (

₍

)

_{) ( )}

(

) (

₍

)

_{) ( )}

1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x C y x P y x P y x P x x C y x P y x P y x P x + + − + > + + − +

Karena x1>x2,y1>y2, P fungsi turun dan

()

.

1

C fungsi naik, maka

(

x1 y1

) (

Px1 y2

)

P + < + dan

( )

_{1 1}

( )

₂ 1 x C x C > , sehingga diperoleh:

(

)

( )

(

_{2 1}

)

₁

( )

₂

( )

13 2 1 1 1 1 1 x C y x P x x C y x P x − + ≥ − +

Karena (12) berimplikasi (13) maka π 1

adalah SSCP. Untuk membuktikan π ₂

adalah SSCP dilakukan cara yang sama, sehingga π mempunyai SSCP. Akibatnya _i berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan ri

()

. merupakan fungsi tak turun di kuantitas pesaing.

Diberikan permainan simetri, karena

(

)

0

lim + =

∞

→ xPx y

x maka berdasarkan

Teorema 3 diketahui bahwa kedua pemain lebih memilih kesetimbangan Cournot

terkecil

( )

x,x daripada semua

kesetimbangan Cournot yang lain. Selanjutnya akan dibedakan menjadi dua kasus.

Kasus 1 : Jika x finite

Dengan menggunakan proposisi 1 (b) akan dibuktikan bahwa :

1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di S _i

daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih

memilih imbalan follower terburuk daripada sembarang titik di N.

Bukti bagian

1. Dibuktikan di lemma 6.

2. Misalkan

(

x ,s ys

)

adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader.

(

xs,ys

)

∉N, analog seperti pada lemma 5. Didapat :

(

x y

)

xP

( )

x y x P

(

x y

)

P

xs s+ s > + ≥ s s+

dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat Stackelberg dan pertidaksamaan kedua dari sifat Nash. Karena ys <y dan analog dengan Lemma 5, r₂

()

. adalah fungsi naik, maka xs< . Untuk setiap y berlaku : x

(

x y

)

yP

(

x y

)

( )

14

yP s+ > +

Ambil supy≥0 pada kedua sisi

pertidaksamaan (14) menghasilkan :

(

x y

)

xP

( )

x P

ys s+ s > 2

Ini berarti follower lebih memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada kesetimbangan Cournot terbaik.

Kasus 2 : Jika x=+∞

Berdasarkan asumsi, kesetimbangan Cournot yang berhubungan dengan

( )

x,x

adalah 0, karena lim

( )

2 lim

( )

0

x→∞xP x≤x→∞xPx+y= ,

yang juga imbalan terkecil untuk pemain. Karena itu leader selalu mengambil kuantitas finite maka follower akan bereaksi dengan kuantitas finite sebab

(

x+ y

)

→0

xP untuk x→∞, ∀ tetap. y

Akibatnya menghasilkan imbalan kesetimbangan Stackelberg lebih dari 0 untuk kedua pemain. Maka follower akan memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada Kesetimbangan Nash yang unik.

ƒ

Lemma 6

Berdasarkan asumsi Teorema 7, kesimpulan Lemma 4 diperoleh.

Bukti.

Akan dibuktikan:

• Setiap titik

(

xs,ys

)

∈r₂

()

. dan

( ) ( )

()

{

, : , .

}

maks arg _{1 2} 1 x y x y r S 0 x ∈ = ≥ π • π₁

(

xs,ys

)

≥π₁

( )

x,y

Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik

(

xs,ys

)

∈r₂

()

. .

Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2

()

. kontinu kiri.

Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg

(

xs,ys

)

∉r₂

()

. sedemikian sehingga

( )

s s

x r

y > ₂ . Dari Teorema 7 diketahui

bahwa setiap pilihan r2

()

. adalah tak turun. Karena itu, himpunan titik dir2

()

. tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r₂

()

. yang tak kontinu. r₂

()

. bernilai banyak di xs. Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε>0 sedemikian sehingga pilih xs−ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik

follower yang unik yaitu r₂

()

. bernilai tunggal di xs−ε.

Ini tidak fisibel jika xs =0, walaupun

( )

0,y = ,0∀y 1

π . Karena itu haruslah

0 >

s

x .

Karena ys >r₂

( )

xs dan r₂

()

. kontinu kiri maka r₂

(

xs−ε

)

<ys. Diketahui pula

( )

x,y 1

π kontinu di x dan turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu:

(

)

(

_xs _{,r x}s

) (

_xs_,ys

)

1 2 1 ε ε π π − − >

Kontradiksi dengan hipotesis bahwa

(

_{x ,}s _ys

)

_{adalah kesetimbangan Stackelberg.}

Karena itu haruslah

(

xs,ys

)

∈r₂

()

. dan

( )

(

x r x

)

S 0 x 2 1 1 argmaksπ , ≥

= . Jadi semua titik

di S1 menghasilkan imbalan yang sama

untuk leader. Dari Teorema 7,

( )

x,y adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan

( )

x,y ∈r2

()

. , maka

(

xs,ys

)

₁

( )

x,y

1 π