KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU
WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH
TERHADAP DOLAR AMERIKA
AULIA RETNONINGTYAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014 Aulia Retnoningtyas NIM G54070075
ABSTRAK
AULIA RETNONINGTYAS. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT.
Model hidden Markov adalah model yang terdiri atas pasangan proses stokastik yaitu proses observasi dan faktor penyebab proses observasinya, di mana faktor penyebab observasinya tidak diamati secara langsung dan diasumsikan membentuk rantai Markov. Model hidden Markov satu waktu sebelumnya merupakan model hidden Markov yang proses observasinya dipengaruhi oleh faktor penyebab kejadian saat ini dan satu waktu sebelumnya. Model hidden Markov satu waktu sebelumnya dapat diaplikasikan untuk nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika di mana nilai tukar rupiah sebagai proses observasinya dan faktor penyebabnya sebagai rantai Markov. Parameter model diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan perhitungannya menggunakan metode iteratif Expectation Maximization (EM). Dengan menggunakan nilai awal yang diperoleh secara trial and error Santoso (2008) dapat memodelkan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan MAPE 14.58%. Pada tugas akhir ini nilai awal dibangkitkan secara terstruktur pada selang tertentu sehingga keakuratan model meningkat. MAPE yang diperoleh 4.13% dengan hanya satu kali iterasi.
Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah
ABSTRACT
AULIA RETNONINGTYAS. Numerical Study if the Previous Time Hidden Markov Model for the Exchange Rate of Rupiah to US Dollar. Supervised by
BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT.
Hidden Markov model is a model that consists of a pair stochastic processes, ie: the process of observation and the cause factors of the observation, where the cause factors of the observation are not observed directly and assumed to be a Markov chain. The previous time hidden Markov model is a hidden markov model that the observation process is influenced by current events and one previous time cause factors. The previous time hidden Markov model can be applied to the exchange rate of rupiah to US dollar, where the exchange rate of rupiah to US dollar is the observation and the contributing factor is a Markov chain. Parameters of the model are estimated using the maximum likelihood method and calculated using expectation maximization (EM) iterative algorithm. Using the initial value obtained by trial and error, Santoso (2008) was able to model the exchange rate of rupiah to US dollar with MAPE 14.58%. In this paper, the initial value is structuredly generated on a specific interval so that the accuracy of model increases. Retrieved MAPE is 4.13% with only one iteration.
Key words: EM algorithm, hidden Markov model, MAPE, the exchange rate of Rupiah
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU
WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH
TERHADAP DOLAR AMERIKA
AULIA RETNONINGTYAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya, sehingga karya ilmiah berjudul Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika ini dapat diselesaikan. Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada:
1. Dr Berlian Setiawaty, MS selaku dosen pembimbing I dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, bimbingan, kesabaran serta motivasi yang telah diberikan selama penulisan karya ilmiah ini.
2. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan saran.
3. Dosen-dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang diberikan, serta staf dan pegawai di Departemen Matematika atas semua bantuan dan layanannya selama ini.
4. Mama, Papa, Tika dan Widy atas doa, dukungan, semangat, kesabaran dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada penulis. Serta seluruh keluarga besar yang ada di Jakarta, Depok, Bogor dan Malang atas doa, dukungan dan kasih sayangnya.
5. Atih, Asti, Benz, Uci, Anggi, Je, Devi dan sahabat-sahabat tersayang yang ada di Malang, Surabaya dan Depok lainnya atas perhatian, semangat, dukungan dan doa yang selalu diberikan.
6. Deva, Sari, Della, Devi, Pandi, Dian, Rofi, Denda, Rizky, Mutia, Rachma, Sri, Ayung, Fajar, Imam, Lukman, Yogie dan semua teman-teman Matematika 44 lainnya, serta kakak-kakak dan adik-adik Matematika 42, 43, 45, 46, dan 47 atas dukungan dan doanya.
7. Teman-teman IPB dari departemen lainnya.
8. Semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Oktober 2014 Aulia Retnoningtyas
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 2Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2
Peubah Acak dan Sebaran 3
Nilai Harapan 5
Rantai Markov 6
Algoritme Expectation Maximization (EM) 8
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) 9 MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU
SEBELUMNYA 9
Model Hidden Markov 9
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 10
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DLLAR AMERIKA
DAN KAJIAN NUMERIKNYA 18
Data Input Nilai Tukar Rupiah 18
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 19
Penentuan Nilai Awal untuk Penduga Parameter Model Hidden Markov Satu
Waktu Sebelumnya 19 Hasil Progam 20 SIMPULAN 21 DAFTAR PUSTAKA 21 LAMPIRAN 23 RIWAYAT HIDUP 46
DAFTAR GAMBAR
1 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan 19 2 Plot persamaan baru dari data yang ada dikurangi rataannya 20 3 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan dan nilai
dugaan yang didapatkan 21
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti Lema 1 23
2 Bukti persamaan (13) sampai dengan (16) 24
3 Progam untuk mencari nilai dugaan dan MAPE minimum
menggunakan software Mathematica 9.0 37
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Nilai tukar mata uang sering digunakan untuk mengukur level perekonomian suatu negara. Nilai tukar mata uang memegang peranan penting dalam perdagangan antar negara, di mana hampir sebagian besar negara-negara di dunia saat ini terlibat dalam aktivitas ekonomi pasar bebas. Bagi perusahaan investasi dan investor mancanegara, nilai tukar mata uang akan berdampak pada return dan portofolio investasinya. Salah satu nilai tukar mata uang yang berpengaruh di negara ini adalah nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika. Faktor-faktor yang mempengaruhi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika antara lain perbedaan tingkat suku bunga, rasio ekspor dan impor, perbedaan tingkat inflasi serta kestabilan politik negara. Penting bagi pemerintah untuk mengetahui lebih dini perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika agar dapat mengantisipasi serta menentukan kebijakan ekonomi yang akan diambil selanjutnya.
Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik yaitu proses observasi dan proses yang mempengaruhi terjadinya proses observasi yang diasumsikan membentuk rantai Markov dan diasumsikan tidak diamati. Model hidden Markov dicirikan oleh beberapa parameter yaitu peluang awal, peluang transisi, dan peluang observasinya.
Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dapat dimodelkan dengan model hidden Markov jika proses yang memengaruhi proses observasinya diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. Dalam hal ini nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika sebagai proses observasinya dan faktor-faktor yang memengaruhi perubahannya sebagai proses yang memengaruhi proses observasinya.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya seperti yang dibahas pada karya ilmiah Santoso (2008). Pada model ini nilai tukar rupiah bergantung pada nilai tukar rupiah sebelumnya dan juga faktor penyebab perubahan nilai tukar pada saat ini dan satu waktu sebelumnya.
Perhitungan numerik yang dilakukan oleh Santoso (2008) menggunakan nilai awal yang ditentukan secara trial and error yang menghasilkan galat minimum 0.2934 (0.0032%) dan galat maksimum 807.6963 (5.6773%). Pada tugas akhir ini akan dicari cara menentukan nilai awal yang lebih efisien sehingga diharapkan diperoleh galat yang lebih kecil. Perhitungan numerik yang dilakukan dalam karya ilmiah ini menggunakan software Mathematica 9.0. Kelebihan progam tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta mempermudah dalam analisis data karena sudah dilengkapi dengan fungsi-fungsi yang mudah untuk digunakan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mendapatkan model hidden Markov satu waktu sebelumnya untuk nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan nilai
2
awal yang lebih tepat sehingga modelnya lebih akurat jika dibandingkan dengan Santoso (2008).
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diketahui dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. (Ross 1996)
Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω . (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Medan-𝝈𝝈
Medan-𝜎𝜎 adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω yang memenuhi kondisi berikut:
1. ∅ ∈ ℱ,
2. Jika 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, … ∈ ℱ maka ⋃ 𝐴𝐴∞𝑖𝑖=1 𝑖𝑖 ∈ ℱ, dan 3. Jika 𝐴𝐴 ∈ ℱ maka 𝐴𝐴𝐶𝐶 ∈ ℱ.
(Ross 1996) Ukuran Peluang
Misalkan ℱ adalah medan-𝜎𝜎 dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi 𝑃𝑃: ℱ → [0,1] pada (Ω, ℱ) yang memenuhi:
1. 𝑃𝑃(∅) = 0, 𝑃𝑃(Ω) = 1,
2. Jika 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, … ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu 𝐴𝐴𝑖𝑖⋂ 𝐴𝐴𝑗𝑗 = ∅ untuk setiap pasangan 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗, maka 𝑃𝑃(⋃ 𝐴𝐴∞𝑖𝑖=1 𝑖𝑖) = ∑∞𝑖𝑖=1𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖).
Pasangan (Ω, ℱ, 𝑃𝑃) disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Kontinu Absolut
Jika 𝑣𝑣 dan μ merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, ℱ). Ukuran peluang 𝑣𝑣 dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang 𝜇𝜇 jika 𝜇𝜇(𝐴𝐴) = 0 maka 𝑣𝑣(𝐴𝐴) = 0, untuk setiap 𝐴𝐴 ∈ ℱ. Dinotasikan 𝑣𝑣 ≪ 𝜇𝜇. (Royden 1963)
3 Radon Nikodym
Jika 𝑃𝑃 dan 𝑃𝑃� merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, ℱ) dan 𝑃𝑃� ≪ 𝑃𝑃 , maka terdapat peubah acak taknegatif Δ sehingga 𝑃𝑃�(𝐶𝐶) = ∫ ∆𝑑𝑑𝑃𝑃𝑐𝑐 untuk semua 𝐶𝐶 ∈ ℱ. Dinotasikan 𝑑𝑑𝑃𝑃�
𝑑𝑑𝑃𝑃�ℱ = ∆. (Wong dan Hajek 1985) Kejadian Saling Bebas
Kejadian 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 dikatakan saling bebas jika 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴)𝑃𝑃(𝐵𝐵). Secara umum, himpunan kejadian {𝐴𝐴𝑖𝑖; 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼} dikatakan saling bebas jika 𝑃𝑃(⋂ 𝐴𝐴𝑖𝑖∈𝐽𝐽 𝑖𝑖) = ∏ 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖∈𝐽𝐽 𝑖𝑖) untuk setiap himpunan bagian berhingga 𝐽𝐽 dari 𝐼𝐼 . (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peluang Bersyarat
Misalkan (Ω, ℱ, 𝑃𝑃) adalah ruang peluang dan 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ ℱ maka peluang A dengan syarat B didefinisikan sebagai 𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵) . (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak
Misalkan ℱ adalah medan-𝜎𝜎 dari Ω. Peubah acak X merupakan fungsi 𝑋𝑋: 𝛺𝛺 → ℝ di mana {𝜔𝜔 𝜖𝜖 𝛺𝛺 ∶ 𝑋𝑋 (𝜔𝜔) ≤ 𝑥𝑥} 𝜖𝜖 ℱ untuk setiap 𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℝ. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋𝑋 adalah suatu fungsi 𝐹𝐹 ∶ ℝ → [0,1] di mana 𝐹𝐹𝑋𝑋 (𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥). (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peubah Acak Diskret
Misalkan Ω adalah ruang contoh, ℱ adalah medan-σ dari Ω dan 𝑆𝑆 adalah himpunan berhingga. Suatu fungsi 𝑋𝑋 ∶ Ω → S disebut peubah acak diskret jika memenuhi sifat ∀ 𝐴𝐴 ⊆ 𝑆𝑆 berlaku {𝜔𝜔 ∈ Ω ∶ 𝑋𝑋(𝜔𝜔) ∈ 𝐴𝐴} ∈ ℱ. (Ross 1996)
Fungsi Massa Peluang
Misalkan (Ω, ℱ, 𝑃𝑃) adalah ruang peluang dan 𝑆𝑆 adalah himpunan berhingga. Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 𝑋𝑋 adalah fungsi 𝑝𝑝 ∶ 𝑆𝑆 → [0,1] didefinisikan oleh 𝑝𝑝𝑋𝑋(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥),∀𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆.(Grimmet dan Stirzaker 2001) Fungsi Massa Peluang Bersama
Misalkan (Ω, ℱ, 𝑃𝑃) adalah peluang dan S adalah himpunan berhingga. Fungsi massa peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi 𝑓𝑓: 𝑆𝑆 × 𝑆𝑆 → [0,1] yang didefinisikan oleh
𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥, 𝑋𝑋 = 𝑦𝑦), ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑆𝑆. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
4
Fungsi Massa Marginal
Misalkan 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) adalah fungsi massa peluang bersama dari peubah acak diskret 𝑋𝑋 dan 𝑋𝑋. Misalkan 𝐴𝐴 adalah himpunan nilai yang mungkin dari 𝑋𝑋, dan 𝐵𝐵 adalah himpunan nilai yang mungkin dari 𝑋𝑋. Selanjutnya fungsi 𝑝𝑝𝑋𝑋(𝑥𝑥) = ∑𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dan 𝑝𝑝𝑋𝑋(𝑦𝑦) = ∑𝑥𝑥∈𝐴𝐴𝑝𝑝𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) masing-masing disebut fungsi massa marginal dari 𝑋𝑋 dan 𝑋𝑋. (Ross 1996)
Fungsi Massa Peluang Bersyarat
Jika 𝑋𝑋 dan 𝑋𝑋 merupakan peubah acak diskret, maka fungsi massa peluang bersyarat dari 𝑋𝑋 jika diberikan 𝑋𝑋 = 𝑦𝑦, terdefinisi untuk setiap 𝑦𝑦 sedemikian sehingga𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑦𝑦) > 0adalah 𝑝𝑝𝑋𝑋|𝑋𝑋(𝑥𝑥|𝑦𝑦) =𝑃𝑃(𝑋𝑋=𝑥𝑥,𝑋𝑋=𝑦𝑦)
𝑃𝑃(𝑋𝑋=𝑦𝑦) .(Ross 1996) Peubah Acak Kontinu
Peubah acak 𝑋𝑋 disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai 𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥) = ∫ 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢−∞𝑥𝑥 untuk suatu fungsi 𝑓𝑓: ℝ → (0, ∞) yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝑋𝑋 disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. (Ross 1996)
Fungsi Kepekatan Peluang Bersama
Misalkan X dan Y peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah 𝑓𝑓𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =𝜕𝜕2𝐹𝐹(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦 .(Grimmet dan Stirzaker 2001) Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal
Misalkan X dan Y peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dan fungsi kepekatan peluang bersama 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦). Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut
𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 ∞ −∞ 𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑦𝑦) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥. ∞ −∞ (Ross 1996)
Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat
Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marginal 𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑦𝑦) > 0, maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat 𝑋𝑋 = 𝑦𝑦 adalah 𝑓𝑓𝑋𝑋|𝑋𝑋(𝑥𝑥|𝑦𝑦) =𝑓𝑓𝑋𝑋𝑋𝑋(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
5 Nilai Harapan
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑝𝑋𝑋(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) maka nilai harapan dari X adalah 𝐸𝐸[𝑋𝑋] = ∑ 𝑥𝑥𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑋𝑋(𝑥𝑥) asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak. (Hogg and Craig 2014)
Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu
Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑥𝑥) maka nilai harapan dari X adalah 𝐸𝐸[𝑋𝑋] = ∫ 𝑥𝑥𝑓𝑓−∞∞ 𝑋𝑋(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 asalkan integralnya ada. (Hogg and Craig 2014)
Nilai Harapan Bersyarat
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑓𝑋𝑋|𝑋𝑋(𝑥𝑥|𝑦𝑦) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat 𝑋𝑋 = 𝑦𝑦, maka nilai harapan dari X dengan syarat 𝑋𝑋 = 𝑦𝑦 adalah 𝐸𝐸[𝑋𝑋|𝑋𝑋 = 𝑦𝑦] = ∫ 𝑥𝑥𝑓𝑓−∞∞ 𝑋𝑋|𝑋𝑋(𝑥𝑥|𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥. (Hogg dan Craig 2014)
Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1
Jika f kontinu pada [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], maka fungsi g didefinisikan oleh g(𝑥𝑥) = ∫ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 , 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 adalah kontinu pada [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) dan g′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). (Stewart 1998)
Himpunan dan Fungsi Konveks
Misalkan 𝑆𝑆 ⊂ ℝ𝑁𝑁 adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua 𝑥𝑥, 𝑥𝑥′ ∈ 𝑆𝑆 dan 𝜆𝜆 ∈ [0,1] maka (1 − 𝜆𝜆)𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝑥𝑥′ ∈ 𝑆𝑆 . Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks S. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan
𝑓𝑓�(1 − 𝜆𝜆)𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝑥𝑥′� ≤ (1 − 𝜆𝜆)𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝜆𝜆𝑓𝑓(𝑥𝑥′). (Osborne 1997)
Fungsi Konveks
Misalkan f memiliki turunan kedua. f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika ∇2𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆 dan merupakan strictly convex jika ∇2𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆. (Osborne 1997)
Ketaksamaan Jensen
Misalkan 𝑋𝑋 adalah peubah acak dengan 𝐸𝐸[𝑋𝑋]berhingga dan g(𝑥𝑥) adalah fungsi konveks. Maka 𝐸𝐸[g(𝑋𝑋)] ≥ g(𝐸𝐸[𝑋𝑋]). (Krantz 1999)
6
Rantai Markov Ruang State
Misalkan 𝑄𝑄 ⊂ ℝ merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka 𝑄𝑄 disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Proses Stokastik
Proses stokastik 𝑆𝑆 = {𝑆𝑆𝑡𝑡, 𝑡𝑡 𝜖𝜖 𝑇𝑇} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state K. Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, St adalah suatu peubah acak. (Ross 1996)
Dalam hal ini anggap t sebagai waktu dan nilai dari peubah acak St sebagai
state (keadaan) dari proses pada waktu t.
Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Proses stokastik {𝑆𝑆𝑡𝑡, 𝑡𝑡 = 0,1,2, … } , dengan ruang state {1,2,3, … , 𝑁𝑁} , disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap {𝑡𝑡 = 0,1,2, … , 𝑇𝑇} berlaku
𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖, 𝑆𝑆𝑡𝑡−2 = 𝑖𝑖𝑡𝑡−1) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗
untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑖𝑖0, 𝑖𝑖1, 𝑖𝑖2, … , 𝑖𝑖𝑡𝑡−1, 𝑖𝑖𝑡𝑡, 𝑗𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑁𝑁}. (Ross 1996)
Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini 𝑆𝑆𝑡𝑡 dengan syarat state yang lalu 𝑆𝑆0, 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑡𝑡−2 dan state sebelumnya 𝑆𝑆𝑡𝑡−1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property).
Proses di atas dapat digambarkan sebagai N-state rantai Markov dengan peluang transisi �𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗� 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1,2,3, … , 𝑁𝑁. Nilai dari 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 menyatakan peluang bahwa, jika proses tersebut berada pada state i, maka berikutnya akan beralih ke state j. Karena 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 adalah nilai peluang dan proses tersebut harus bertransisi, maka
1. 0 ≤ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 ≤ 1, untuk 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑁𝑁}, dan 2. ∑𝑁𝑁𝑗𝑗 =1𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 = 1, untuk 𝑖𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑁𝑁}.
Peluang transisi ini dapat ditulis dalam bentuk matriks P yang disebut sebagai matriks transisi. 𝐏𝐏 = �𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗�𝑁𝑁×𝑁𝑁 = � 𝑝𝑝11 𝑝𝑝21 ⋯ 𝑝𝑝𝑁𝑁1 𝑝𝑝12 𝑝𝑝22 ⋯ 𝑝𝑝𝑁𝑁1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑝𝑝1𝑁𝑁 𝑝𝑝2𝑁𝑁 ⋯ 𝑝𝑝𝑁𝑁𝑁𝑁 �
dengan j menyatakan baris dan i menyatakan kolom dari matriks P. Terakses
Peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i dinotasikan dengan 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑘𝑘). Suatu state j disebut terakses dari state i (notasi ∶ 𝑖𝑖 → 𝑗𝑗), jika minimal ada sebuah bilangan bulat 𝑘𝑘 ≥ 0 sehingga 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑘𝑘)> 0 di mana 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑘𝑘) adalah peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i. (Ross 1996)
7
Kelas State
Kelas state dari suatu rantai Markov, adalah suatu himpunan takkosong 𝑆𝑆 sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari 𝑆𝑆 berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota 𝑆𝑆 yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari 𝑆𝑆. (Ross 1996)
Rantai Markov Tak Tereduksi
Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state (satu gugus tertutup state), yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Ross 1996)
First-Passage Time Probability
𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑛𝑛) menyatakan peluang bahwa mulai dari state i, proses bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap 𝑛𝑛 = 1,2,3, …
𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑛𝑛) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑗𝑗, 𝑋𝑋𝑘𝑘 ≠ 𝑗𝑗 untuk semua 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 − 1|𝑋𝑋0 = 𝑖𝑖)
𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {0,1,2, … }, dan 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑛𝑛) = 0 untuk semua 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {0,1,2, … }. Selanjutnya, untuk setiap 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {0,1,2, … }, didefinisikan 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 = ∑∞𝑛𝑛=1𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑛𝑛). (Ross 1996)
Recurrent dan Transient
State i disebut recurrent jika 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1, dan disebut transient jika 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 < 1. (Ross 1996)
Reccurent dan Transient
State i adalah berulang (recurrent) jika ∑∞𝑛𝑛=0𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑛𝑛) = ∞. (Ross 1996) Periode, Periodik, dan Aperiodik
1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑛𝑛) = 0 untuk semua n yang tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisior) bagi n sehingga 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑛𝑛)> 0.
2. Suatu state dengan periode = 1 disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode ≥ 2 disebut periodik. (Ross 1996)
Positive Recurrent dan Null Recurrent
Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 1996)
Ergodic
Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. (Ross 1996)
8
Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi
Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim𝑛𝑛→∞𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑛𝑛) ada dan nilainya tak tergantung dari i.
𝜋𝜋𝑗𝑗 = lim𝑛𝑛→∞𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑛𝑛), 𝑗𝑗 ≥ 1. 𝜋𝜋𝑗𝑗 adalah solusi unik tak negatif dari
𝜋𝜋𝑗𝑗 = � 𝜋𝜋𝑗𝑗𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 � 𝜋𝜋𝑗𝑗 = 1 𝑁𝑁 𝑗𝑗 =1 . (Ross 1996)
Vektor Peluang Steady State
Vektor peluang 𝜋𝜋 = (𝜋𝜋1, 𝜋𝜋2, 𝜋𝜋3, … , 𝜋𝜋𝑁𝑁), yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1,2,3, … , 𝑁𝑁 untuk 𝑛𝑛 → ∞ di mana 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗) = � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = � 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1
disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena π adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan tak negatif serta jumlah semua unsurnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga disebut sebaran stationer, atau sebaran setimbang (equilibrium distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan. (Ross 1996)
Algoritme Expectation Maximization (EM)
Misalkan {𝑃𝑃𝜃𝜃, 𝜃𝜃 ∈ Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada (Ω, ℱ) dan kontinu absolut terhadap 𝑃𝑃0. Misalkan 𝒴𝒴 ⊂ ℱ. Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi 𝒴𝒴 adalah
𝐿𝐿(𝜃𝜃) = 𝐸𝐸0�𝑑𝑑𝑃𝑃𝑑𝑑𝑃𝑃𝜃𝜃0|𝒴𝒴�. Penduga Maximum Likelihood (MLE) didefinisikan oleh
𝜃𝜃� ∈ arg max𝜃𝜃∈𝛩𝛩 𝐿𝐿(𝑥𝑥).
Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung, oleh karena itu diperlukan suatu metode aproksimasi berulang, yakni algoritme Expectation Maximization (EM). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:
1. Tentukan nilai awal parameter 𝜃𝜃�𝑘𝑘 dengan 𝑘𝑘 = 0,
2. Tentukan 𝜃𝜃∗ = 𝜃𝜃�𝑘𝑘 dan hitung 𝒬𝒬(𝜃𝜃, 𝜃𝜃∗) dengan 𝒬𝒬(𝜃𝜃, 𝜃𝜃∗) = 𝐸𝐸𝜃𝜃∗�𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑃𝑃𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑃𝑃𝜃𝜃∗|𝒴𝒴�,
9 3. Cari 𝜃𝜃�𝑘𝑘+1 ∈ arg max 𝒬𝒬(𝜃𝜃, 𝜃𝜃∗),
4. Ganti 𝑘𝑘 dengan 𝑘𝑘 + 1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih 𝜃𝜃�𝑘𝑘+1 dan 𝜃𝜃�𝑘𝑘 kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan.
Misalkan g x
( )
log 1 x =
, karena turunan kedua dari 𝑙𝑙(𝑥𝑥) selalu positif
∇2𝑙𝑙(𝑥𝑥) = ∇2log �1 𝑥𝑥� = 𝑥𝑥12 > 0, ∀𝑥𝑥 > 0
maka 𝑙𝑙(𝑥𝑥) merupakan fungsi konveks. Karena log �1
𝑥𝑥� merupakan fungsi konveks, maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan �𝜃𝜃�𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ≥ 0�, yang merupakan fungsi Likelihood yang takturun yaitu
log 𝐿𝐿�𝜃𝜃�𝑘𝑘+1� − log 𝐿𝐿𝜃𝜃�𝑘𝑘 ≥ 𝒬𝒬�𝜃𝜃�𝑘𝑘+1, 𝜃𝜃�𝑘𝑘+1�.
Bentuk 𝒬𝒬(𝜃𝜃, 𝜃𝜃∗) disebut Pseudo Likelihood bersyarat. (Elliot et al. 1995)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut
𝑀𝑀𝐴𝐴𝑃𝑃𝐸𝐸 =100%𝑛𝑛 � �𝐴𝐴𝑡𝑡𝐴𝐴− 𝐹𝐹𝑡𝑡 𝑡𝑡 � 𝑛𝑛
𝑡𝑡=1
dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, 𝐴𝐴𝑡𝑡 menyatakan nilai yang sebenarnya, dan 𝐹𝐹𝑡𝑡 menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010)
MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU
SEBELUMNYA
Model Hidden Markov
Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {𝑆𝑆𝑡𝑡, 𝑋𝑋𝑡𝑡}. {𝑆𝑆𝑡𝑡} dengan state {1,2, … , 𝑁𝑁} adalah proses penyebab terjadinya {𝑋𝑋𝑡𝑡} yang tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. {𝑋𝑋𝑡𝑡} adalah proses observasinya. Karakteristik {𝑆𝑆𝑡𝑡} hanya bisa diamati melalui proses observasinya.
Pada saat 𝑆𝑆𝑡𝑡 berada pada state j (𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗), proses yang diamati 𝑋𝑋𝑡𝑡 menyebar normal dengan nilai harapan 𝜇𝜇𝑗𝑗 dan ragam 𝜎𝜎𝑗𝑗2 . Fungsi kerapatan peluang bersyarat dari 𝑋𝑋𝑡𝑡 dengan syarat 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗 adalah
10 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗) = 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎𝑗𝑗exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇𝑗𝑗�2 2𝜎𝜎𝑗𝑗2 � (1) dengan 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑁𝑁.
Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati 𝑆𝑆𝑡𝑡 berada pada state j adalah
𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗) = 𝜋𝜋𝑗𝑗 (2)
dengan 𝑗𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁𝑁} . Karena {𝑆𝑆𝑡𝑡} rantai Markov maka matriks peluang transisinya 𝑃𝑃 = �𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗�
𝑁𝑁×𝑁𝑁
𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1= 𝑖𝑖) (3)
dengan 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑁𝑁}.
Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama 𝑦𝑦𝑡𝑡 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, yaitu
𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡= 𝑗𝑗)=𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗) = 𝜋𝜋𝑗𝑗 𝜎𝜎𝑗𝑗√2𝜋𝜋exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇𝑗𝑗�2 2𝜎𝜎𝑗𝑗2 �. (4)
Fungsi kerapatan peluang marjinal tak bersyarat dari 𝑋𝑋𝑡𝑡 diperoleh dengan menjumlahkan 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗) untuk semua kemungkinan nilai dari j, yaitu
𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡)=� 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑖𝑖) 𝑁𝑁
𝑖𝑖=1
. (5)
Dari persamaan (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh
𝑓𝑓(𝑦𝑦1, … , 𝑦𝑦𝑇𝑇) = ∑𝑁𝑁𝑖𝑖1=1…∑𝑖𝑖𝑁𝑁𝑇𝑇=1𝜋𝜋𝑖𝑖1𝑝𝑝𝑖𝑖1𝑖𝑖2… 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑇𝑇−1𝑖𝑖𝑇𝑇𝑓𝑓(𝑦𝑦1, 𝑆𝑆1 = 𝑖𝑖1) …𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑇𝑇, 𝑆𝑆𝑇𝑇 = 𝑖𝑖𝑇𝑇).
(6) Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter 𝜃𝜃 = (𝜇𝜇, 𝜎𝜎, 𝜋𝜋, P), 𝜇𝜇 = (𝜇𝜇1, 𝜇𝜇2, … , 𝜇𝜇𝑁𝑁), ragam 𝜎𝜎 = (𝜎𝜎12, 𝜎𝜎22, … , 𝜎𝜎𝑁𝑁2), peluang 𝜋𝜋 = (𝜋𝜋1, 𝜋𝜋2, … , 𝜋𝜋𝑁𝑁) dan P = �𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗�𝑁𝑁×𝑁𝑁.
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Pada bab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya (Hamilton 1996) sebagai berikut
𝑋𝑋𝑡𝑡− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗= 𝜙𝜙 �𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ � + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (7)
di mana 𝜀𝜀𝑡𝑡~𝑁𝑁(0, 𝜎𝜎2) bebas stokastik identik, {𝑋𝑋𝑡𝑡} proses yang diamati dan bernilai skalar, {𝑆𝑆𝑡𝑡∗} rantai Markov dengan ruang state 𝑆𝑆∗ = {1,2} dan matriks transisi 𝐏𝐏∗ = �𝑝𝑝11 ∗ 𝑝𝑝 21∗ 𝑝𝑝12∗ 𝑝𝑝22∗ � di mana 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 ∗ = 𝑃𝑃(𝑆𝑆 𝑡𝑡∗ = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ = 𝑖𝑖), 𝜇𝜇1, 𝜇𝜇2, dan 𝜙𝜙 adalah konstanta real.
Karena 𝑋𝑋𝑡𝑡 tidak hanya bergantung kepada 𝑆𝑆𝑡𝑡∗ tetapi juga pada 𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ , maka agar tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru 𝑆𝑆𝑡𝑡 di mana
11 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1 jika 𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 1 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ = 1 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2 jika 𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 2 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ = 1 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3 jika 𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 1 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ = 2 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4 jika 𝑆𝑆𝑡𝑡∗= 2 dan 𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ = 2. (8) Lemma 1
{𝑆𝑆𝑡𝑡} adalah rantai Markov dengan ruang state {1,2,3,4} dan matriks transisi 𝐏𝐏 = � 𝑝𝑝11∗ 0 𝑝𝑝11∗ 0 𝑝𝑝12∗ 0 𝑝𝑝12∗ 0 0 𝑝𝑝21∗ 0 𝑝𝑝21∗ 0 𝑝𝑝22∗ 0 𝑝𝑝22∗ �.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Selanjutnya, karena 𝜀𝜀𝑡𝑡~ 𝑁𝑁(0, 𝜎𝜎2) bebas stokastik identik maka dapat diperoleh fungsi sebaran bagi 𝜀𝜀𝑡𝑡
𝐹𝐹𝜀𝜀𝑡𝑡(𝑦𝑦𝑡𝑡) = 𝑃𝑃(𝜀𝜀𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦𝑡𝑡) = � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −(𝜀𝜀𝑡𝑡− 0)2 2𝜎𝜎2 � 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑡𝑡 𝑦𝑦𝑡𝑡 −∞ = � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −(𝜀𝜀𝑡𝑡)2 2𝜎𝜎2 � 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑡𝑡 𝑦𝑦𝑡𝑡 −∞ . (9)
Berdasarkan persamaan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi {𝑋𝑋𝑡𝑡} : 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑡𝑡(𝑦𝑦𝑡𝑡) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦𝑡𝑡) = 𝑃𝑃�𝜙𝜙�𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ � + 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗+ 𝜀𝜀𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦𝑡𝑡� = 𝑃𝑃 �𝜀𝜀𝑡𝑡 ≤ 𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗− 𝜙𝜙�𝑋𝑋𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ �� = � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −(𝜀𝜀𝑡𝑡)2 2𝜎𝜎2 � 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑡𝑡 𝑦𝑦𝑡𝑡−𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗−𝜙𝜙�𝑋𝑋𝑡𝑡−1−𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ � −∞ . Misalkan 𝑣𝑣 = 𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗− 𝜙𝜙�𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ �, maka 𝐹𝐹𝑋𝑋𝑡𝑡(𝑦𝑦𝑡𝑡) = � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −(𝜀𝜀𝑡𝑡)2 2𝜎𝜎2 � 𝑑𝑑𝜀𝜀𝑡𝑡 𝑣𝑣 −∞ dan
12 𝑓𝑓𝑋𝑋𝑡𝑡(𝑦𝑦𝑡𝑡) = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦𝑡𝑡𝐹𝐹𝑋𝑋𝑡𝑡(𝑦𝑦𝑡𝑡) = 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −(𝑣𝑣)2 2𝜎𝜎2 � 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑦𝑦𝑡𝑡 = 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � − �𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗− 𝜙𝜙 �𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇𝑆𝑆 𝑡𝑡−1 ∗ �� 2 2𝜎𝜎2 � = 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � − �𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗− 𝜙𝜙 �𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ �� 2 2𝜎𝜎2 �. (10)
Misalkan 𝒴𝒴𝑡𝑡 adalah medan-𝛔𝛔 yang dibangun oleh 𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2, 𝑋𝑋3, … , 𝑋𝑋𝑡𝑡. Karena 𝑆𝑆𝑡𝑡 merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kerapatan peluang bagi 𝑋𝑋𝑡𝑡 . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor (4 × 1) dilambangkan dengan 𝜂𝜂𝑡𝑡, sehingga diperoleh
𝜂𝜂𝑡𝑡 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1)⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇1− 𝜙𝜙(𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇1)�2 2𝜎𝜎2 � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇2− 𝜙𝜙(𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇1)�2 2𝜎𝜎2 � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇1− 𝜙𝜙(𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇2)�2 2𝜎𝜎2 � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇2− 𝜙𝜙(𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇2)�2 2𝜎𝜎2 �⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ . (11)
Misalkan 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 = �𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1(1) 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1(2) 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1(3) 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1(4) �𝑇𝑇 melambangkan vektor (4 × 1) di mana 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1(𝑗𝑗 ) pada vektor merepresentasikan 𝑃𝑃{𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1} dan ⨂ melambangkan perkalian elemen per elemen, maka
𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑆𝑆(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⨂ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡= 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡= 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡= 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡= 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1)⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑆𝑆(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1)⎦ ⎥ ⎥ ⎤ . (12)
Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis
𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡= 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡= 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) (13) sehingga diperoleh
13 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1) = � 𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 4 𝑗𝑗 =1 = � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡= 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 4 𝑗𝑗 =1 = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) + 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) + 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) + 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡−1)𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) (14) = 𝟏𝟏′�𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1⨂𝜂𝜂𝑡𝑡� (15) di mana 𝟏𝟏′ = [1 1 1 1].
Berdasarkan persamaan (14) dan (15) maka dapat diperoleh
𝑃𝑃�𝑦𝑦𝑡𝑡,𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1� 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1) = 𝑃𝑃�𝑦𝑦𝑡𝑡,𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1� 𝑃𝑃(𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑃𝑃(𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) =𝑃𝑃�𝑦𝑦𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡,𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1� 𝑡𝑡, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) =𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑃𝑃(𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝑦𝑦𝑡𝑡, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝑡𝑡, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1) = 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑦𝑦𝑡𝑡,𝒴𝒴𝑡𝑡−1� = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡) (16)
sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡) =𝑃𝑃�𝑦𝑦𝑡𝑡,𝑆𝑆𝑡𝑡=𝑗𝑗 |𝒴𝒴𝑡𝑡−1� 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 =𝟏𝟏′𝜉𝜉̂�𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1⨂𝜂𝜂𝑡𝑡 𝑡𝑡|𝑡𝑡−1⨂𝜂𝜂𝑡𝑡� (17) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡+1|𝑡𝑡(𝑗𝑗 ) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑡𝑡) = � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡) 4 𝑗𝑗 =1 = � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡)𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(𝑗𝑗 ) 4 𝑗𝑗 =1 = � 𝑝𝑝𝑗𝑗𝑖𝑖𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(𝑗𝑗 ) 4 𝑗𝑗 =1 𝜉𝜉̂𝑡𝑡+1|𝑡𝑡 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑝𝑝11∗ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(1)+ 𝑝𝑝11∗ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(3) 𝑝𝑝12∗ 𝜉𝜉̂ 𝑡𝑡|𝑡𝑡(1)+ 𝑝𝑝12∗ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(3) 𝑝𝑝21∗ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(2)+ 𝑝𝑝21∗ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(4) 𝑝𝑝22∗ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(2)+ 𝑝𝑝22∗ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(4)⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
14 = � 𝑝𝑝11∗ 0 𝑝𝑝11∗ 0 𝑝𝑝12∗ 0 𝑝𝑝12∗ 0 0 𝑝𝑝21∗ 0 𝑝𝑝21∗ 0 𝑝𝑝22∗ 0 𝑝𝑝22∗ � ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(1) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(2) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(3) 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(4)⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = 𝐏𝐏𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 𝜉𝜉̂𝑡𝑡+𝑚𝑚|𝑡𝑡 = 𝐏𝐏m𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡. (18)
Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal bagi 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 adalah dengan membuat 𝜉𝜉̂1|0 sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat 𝜋𝜋 = [𝜋𝜋1 𝜋𝜋2 𝜋𝜋3 𝜋𝜋4] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu
𝜋𝜋 = 𝐏𝐏𝜋𝜋
𝜋𝜋1+ 𝜋𝜋2+ 𝜋𝜋3+ 𝜋𝜋4 = 1.
Penduga kemungkinan maksimum bagi 𝜃𝜃 diperoleh dengan memaksimumkan
ℒ(𝜃𝜃) = � log 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃) 𝑇𝑇
𝑡𝑡=1
dengan membuat turunan pertama dari log-likehood terhadap parameter θ sama dengan nol, maka diperoleh
𝜇𝜇̂1= �∑ �𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙�� − 𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙��𝜙𝜙� + 𝐶𝐶𝜙𝜙�𝑇𝑇 1 2+ 𝐷𝐷� 𝑡𝑡=1 � × 𝑄𝑄 (19) 𝜇𝜇̂2= �∑ �𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝜙𝜙�𝑇𝑇 2+ 𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙�� − 𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙��𝜙𝜙��1 𝑡𝑡=1 � × 𝑅𝑅 (20) 𝜙𝜙� = �∑ [(𝑦𝑦 1 𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂1)2(𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) + (𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂2)2(𝐷𝐷 + 𝐸𝐸)] 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 � × 𝑆𝑆 (21) 𝜎𝜎�2= � 1 ∑ [𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 + 𝐸𝐸]𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 � × 𝑈𝑈 (22) di mana 𝑄𝑄 = ��𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙���𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1� − 𝐶𝐶𝜙𝜙��𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂2− 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1� + 𝐷𝐷�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝜙𝜙�𝜇𝜇̂2�� 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 𝑅𝑅 = ��𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙���𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1� + 𝐷𝐷𝜙𝜙��𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1− 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1� + 𝐶𝐶�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝜙𝜙�𝜇𝜇̂1�� 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 𝑆𝑆 = ��(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1)�𝐵𝐵(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1) + 𝐷𝐷(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂2)� 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 + (𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂2)�𝐶𝐶(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂1) + 𝐸𝐸(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂2)�� 𝑈𝑈 = � �𝐵𝐵�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂1)�2+ 𝐶𝐶�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂2) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂1)�2 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 + 𝐷𝐷�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂2)�2 + 𝐸𝐸�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂2) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂2)�2�.
15 Bukti dapat dilihat pada lampiran 2.
Karena persamaan (19) sampai (22) taklinear, maka untuk mencari penduga kemungkinan maksimum bagi θ digunakan algoritma iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM.
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta input data (𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2, 𝑦𝑦3, … , 𝑦𝑦𝑇𝑇).
2. Untuk 𝑚𝑚 = 0 dan matriks transisi 𝐏𝐏�(𝐦𝐦) = 𝐏𝐏�(𝟎𝟎) = � 𝑝𝑝11∗ 0 𝑝𝑝11∗ 0 𝑝𝑝12∗ 0 𝑝𝑝12∗ 0 0 𝑝𝑝21∗ 0 𝑝𝑝21∗ 0 𝑝𝑝22∗ 0 𝑝𝑝22∗ �,
beri nilai awal bagi 𝜃𝜃� yang dilambangkan dengan 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)= �𝜇𝜇̂1, 𝜇𝜇̂2, 𝜙𝜙�, 𝜎𝜎�2�. 3. Cari fungsi kerapatan bersyarat bagi 𝑦𝑦𝑇𝑇 untuk setiap 𝑡𝑡 = 1,2, … , 𝑇𝑇 dengan cara
𝜂𝜂𝑡𝑡 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)�⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇1− 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇1)�2 2𝜎𝜎2 � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇2− 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇1)�2 2𝜎𝜎2 � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇1− 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇2)�2 2𝜎𝜎2 � 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎exp � −�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇2− 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇2)�2 2𝜎𝜎2 � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .
4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu t pada contoh dapat diperoleh melalui
a. Tentukan nilai awal bagi 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1 yang dilambangkan dengan 𝜉𝜉̂1|0, b. Beri nilai awal i = 1,
c. Untuk t = i, cari nilai dari, 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� = 𝟏𝟏′�𝜉𝜉̂ 𝑡𝑡|𝑡𝑡−1⨂𝜂𝜂𝑡𝑡� = 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎�exp � −�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂1)�2 2𝜎𝜎�2 � +𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎�exp � −�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂2) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂1)�2 2𝜎𝜎�2 �
16 +𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎�exp � −�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂2)�2 2𝜎𝜎�2 � +𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 1 √2𝜋𝜋𝜎𝜎�exp � −�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂2) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂2)�2 2𝜎𝜎�2 � 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)�⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = �𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1⨂𝜂𝜂𝑡𝑡� 𝟏𝟏′�𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡−1⨂𝜂𝜂𝑡𝑡� 𝜉𝜉𝑡𝑡+1|𝑡𝑡 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)�⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = 𝐏𝐏 ⋅ 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1.
d. Ulangi mulai dari langkah (c) stop jika t = T. Lanjutkan ke 5. 5. Misalkan 𝐵𝐵 = 1 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)�𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚)�𝑓𝑓�𝑦𝑦 𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 1, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝐶𝐶 = 1 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)�𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚)�𝑓𝑓�𝑦𝑦 𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 2, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝐷𝐷 = 1 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)�𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚)�𝑓𝑓�𝑦𝑦 𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 3, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� 𝐸𝐸 = 1 𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)�𝑃𝑃�𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃� (𝑚𝑚)�𝑓𝑓�𝑦𝑦 𝑡𝑡|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 4, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑚𝑚)� cari nilai dari
𝜇𝜇̂1 =∑ �𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙�� − 𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙��𝜙𝜙� + 𝐶𝐶𝜙𝜙�𝑇𝑇 1 2 + 𝐷𝐷� 𝑡𝑡=1 × ��𝐵𝐵�1 − 𝜙𝜙���𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1� − 𝐶𝐶𝜙𝜙��𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂2− 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1� 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 + 𝐷𝐷�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝜙𝜙�𝜇𝜇̂2�� 𝜇𝜇̂2 =∑ �𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝜙𝜙�𝑇𝑇 2+ 𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙�� − 𝐸𝐸�𝜙𝜙� − 𝜙𝜙�1 2�� 𝑡𝑡=1 × ��𝐶𝐶�𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 + 𝜙𝜙�𝜇𝜇̂1� + 𝐸𝐸�1 − 𝜙𝜙���𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1� 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 + 𝐷𝐷𝜙𝜙��𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1− 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1��
17 𝜙𝜙� =∑ [(𝑦𝑦 1 𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂1)2(𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) + (𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂2)2(𝐷𝐷 + 𝐸𝐸)] 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 × ��(𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂1)�𝐵𝐵(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂1) + 𝐷𝐷(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂2)� 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 + (𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂2)�𝐶𝐶(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂1) + 𝐸𝐸(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂2)�� 𝜎𝜎2 = 1 ∑ [𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 + 𝐸𝐸]𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 × � �𝐵𝐵�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂1)�2 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 + 𝐶𝐶�(𝑦𝑦𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂2) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂1)�2 + 𝐷𝐷�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂1) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇̂2)�2 + 𝐸𝐸�(𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝜇𝜇̂2) − 𝜙𝜙(𝑦𝑦𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇̂2)�2�. 6. Cari P yang baru, yaitu
𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑇𝑇(𝑗𝑗)= 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(𝑗𝑗)⨀ �𝐏𝐏′ �𝜉𝜉̂ 𝑡𝑡+1|𝑇𝑇(𝑗𝑗 ) (÷)𝜉𝜉̂𝑡𝑡+1|𝑡𝑡(𝑗𝑗 ) �� 𝑝𝑝̂𝑖𝑖𝑗𝑗 = ∑ 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃) 𝑇𝑇 𝑡𝑡=2 ∑𝑇𝑇𝑡𝑡=2𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡+1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑇𝑇; 𝜃𝜃) = 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑇𝑇; 𝜃𝜃) ≈ 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃) =𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑃𝑃(𝑆𝑆 𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃) 𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃) =𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑇𝑇; 𝜃𝜃)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1𝑃𝑃(𝑆𝑆= 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃)𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖; 𝜃𝜃) 𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡; 𝜃𝜃) =𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑇𝑇 (𝑗𝑗 )× 𝜉𝜉̂ 𝑡𝑡−1|𝑡𝑡−1(𝑖𝑖) × 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 𝜉𝜉̂𝑡𝑡|𝑡𝑡(𝑗𝑗 ) 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖|𝒴𝒴𝑇𝑇; 𝜃𝜃) = � 𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡−1 = 𝑖𝑖, 𝑆𝑆𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑇𝑇; 𝜃𝜃) 𝑁𝑁 𝑗𝑗 =1 (Kim 1994) 𝑝𝑝̂𝑖𝑖𝑗𝑗 = ∑ 𝜉𝜉�𝑡𝑡|𝑇𝑇(𝑗𝑗)×𝜉𝜉�𝑡𝑡−1|𝑡𝑡−1(𝑖𝑖) ×𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 𝜉𝜉�𝑡𝑡|𝑡𝑡(𝑗𝑗) 𝑇𝑇 𝑡𝑡=2 ∑ ∑ 𝜉𝜉�𝑡𝑡|𝑇𝑇(𝑗𝑗)×𝜉𝜉�𝑡𝑡−1|𝑡𝑡−1(𝑖𝑖) ×𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 𝜉𝜉�𝑡𝑡|𝑡𝑡(𝑗𝑗 ) 𝑁𝑁 𝑗𝑗 =1 𝑇𝑇 𝑡𝑡=2 . (Hamilton 1996) 7. Untuk 𝑚𝑚 = 1, ulangi mulai dari langkah 2 stop jika 𝑚𝑚 = 𝑇𝑇. Gunakan
parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar rupiah yang akan datang.
18 E�𝑦𝑦𝑡𝑡|S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑇𝑇)� = E�𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ � + 𝜀𝜀𝑡𝑡 + 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗|S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑇𝑇)� = 𝜙𝜙�𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ � + 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ 𝑋𝑋�𝑡𝑡 = E�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑇𝑇)� = � 𝑦𝑦𝑡𝑡𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑇𝑇)�𝑑𝑑𝑦𝑦𝑡𝑡 = � 𝑦𝑦𝑡𝑡� 𝑃𝑃�S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗|𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑇𝑇)�𝑓𝑓�𝑦𝑦𝑡𝑡|S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑇𝑇)�𝑑𝑑𝑦𝑦𝑡𝑡 𝑁𝑁 𝑗𝑗 =1 = � 𝜉𝜉𝑡𝑡|𝑡𝑡−1(𝑗𝑗 ) ⋅ E�𝑦𝑦𝑡𝑡|S𝑡𝑡 = 𝑗𝑗, 𝒴𝒴𝑡𝑡−1; 𝜃𝜃�(𝑇𝑇)� 𝑁𝑁 𝑗𝑗 =1 .
PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR
AMERIKA DAN KAJIAN NUMERIKNYA
Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika beserta kajian numeriknya. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan nilai tukar rupiah dan yang terakhir kajian numeriknya.
Data Input Nilai Tukar Rupiah
Dalam karya ilmiah ini data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulannya. Data tersebut diambil dari laman www.rba.gov.au. Data diambil dengan selang waktu antara bulan Juni 1997 hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi (𝑦𝑦𝑡𝑡). Data yang diduga sebanyak 192, data dari Juli 1997 hingga Juni 20013. Grafik data disajikan pada Gambar 1.
19
Gambar 1 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan
Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Model yang digunakan adalah model hidden Markov satu waktu sebelumnya seperti pada hal 10 yaitu:
𝑋𝑋𝑡𝑡− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 𝜙𝜙�𝑋𝑋𝑡𝑡−1− 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ � + 𝜀𝜀𝑡𝑡.
Berdasarkan model di atas nilai tukar rupiah saat ini diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar rupiah satu waktu sebelumnya. Pada karya ilmiah Santoso (2008) nilai awal yang digunakan 𝜇𝜇 = �9182.96
9126.66�, 𝜙𝜙 = 0.840756 dan 𝜎𝜎 = 356984. MAPE yang dihasilkan dari nilai awal secara trial and error yang digunakan sebesar 14.58%. Pada tugas akhir ini akan dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan pada model meningkat. Keakuratan dianggap baik bila MAPE < 5%.
Penentuan Nilai Awal untuk Penduga Parameter Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya
Penentuan Nilai Awal 𝝁𝝁𝟏𝟏, 𝝁𝝁𝟐𝟐 dan 𝝓𝝓
Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga Mei 2013(𝑦𝑦𝑡𝑡−1) dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013(𝑦𝑦𝑡𝑡). Kedua bagian data tersebut dicari nilai rataannya. Data pertama didapatkan nilai rataannya sebesar 9070.89 (rat1) dan data kedua didapatkan nilai rataannya sebesar 9109.94 (rat2). Nilai awal untuk parameter 𝜇𝜇1 dan 𝜇𝜇2 yang digunakan dibangkitkan menggunakan sebaran di sekitar rataan nilai datanya yaitu [9000,9200]. Nilai rataan kedua data yang didapatkan kemudian menjadi selang nilai acuan untuk membangkitkan parameter 𝜇𝜇1 dan 𝜇𝜇2. Pembangkitan nilai awal dengan satu kali iterasi untuk 𝜇𝜇1 dan 𝜇𝜇2 nilai yang digunakan adalah 9124.89 dan 9198.76. 50 100 150 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
20
Setelah didapatkan nilai rataannya, diplot nilai dari data yang ada dikurangi dengan nilai rataannya. Nilai yang akan diplot adalah 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡2 terhadap 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑡𝑡−1 − 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡1. Persamaan baru yang didapatkan yaitu
𝑋𝑋 = −1.31274 × 10−13 + 0.792906𝑥𝑥. (23)
Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang ada dikurangi rataannya. Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model yang digunakan sehingga dapat digunakan untuk acuan pembangkitan nilai awal 𝜙𝜙. Nilai awal 𝜙𝜙 yang digunakan adalah 0.792906, didapatkan dari persamaan (23).
Penentuan Nilai Awal P
Sedangkan untuk nilai awal P, dibangkitkan secara acak dari interval peluangnya [0,1] karena 0 ≤ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗 ≤ 1. Hasil dari satu kali iterasi nilai awal yang digunakan untuk P adalah �
0.87 0 0.87 0 0.13 0 0.13 0 0 0.74 0 0.74 0 0.26 0 0.26
�.
Penentuan Nilai Awal 𝛔𝛔
Nilai awal untuk 𝛔𝛔 yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai [100,2000] yang merupakan selang nilai dari standar deviasinya. Standar deviasi dari data yang digunakan sebesar 1440.26. Hasil dari satu kali iterasi nilai awal untuk 𝛔𝛔 yang dibangkitkan dan digunakan adalah 1454.
Hasil Progam
Dari bagian sebelumnya nilai awal yang digunakan untuk membangkitkan dugaan nilai tukar rupiah adalah 𝜇𝜇1 = 9124.89 , 𝜇𝜇2 = 9198.76 , ∅ = 0.79 ,
21 𝑃𝑃 = � 0.87 0 0.87 0 0.13 0 0.13 0 0 0.74 0 0.74 0 0.26 0 0.26
� dan 𝜎𝜎 = 1454. Galat nilai dugaan yang ditunjukan oleh MAPE adalah 4.14%, diperoleh hanya melalui satu kali proses iterasi seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini model dianggap baik apabila MAPE < 5%. Hasil dari nilai dugaan yang didapatkan mendekati nilai tukar rupiahnya, menandakan bahwa hasil yang didapatkan cukup baik dan lebih akurat dibandingkan dengan hasil akhir dari Santoso (2008) dengan MAPE sebesar 14.58%. Nilai tukar rupiah dan nilai dugaannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 3.
Nilai Sebenarnya Nilai Dugaan
Gambar 3 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan
SIMPULAN
Penentuan nilai awal yang tepat bagi parameter yang digunakan pada model akan mempengaruhi keakuratan nilai akhir yang didapatkan. Nilai awal yang digunakan dibangkitkan menggunakan software Mathematica 9.0. Nilai awal yang didapatkan pada karya ilmiah ini menghasilkan nilai akhir yang baik. Parameter dan nilai awal yang digunakan adalah 𝜇𝜇1 = 9124.89, 𝜇𝜇2 = 9198.76,∅ = 3.94, 𝑃𝑃 = �0.870.75� dan 𝜎𝜎 = 1454. Hasil akhir dianggap baik jika MAPE < 5%. MAPE yang didapatkan sebesar 4.14% lebih baik dibandingkan hasil akhir Santoso (2008) dengan MAPE sebesar 14.58%.
22
DAFTAR PUSTAKA
Elliot RJ, Aggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models Estimation and Control. New York (US): Springer-Verlag.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford (GB): Oxford Univ Pr.
Hamilton J D. 1996. Time Series Analysis. New Jersey (US): Princenton Univ Pr. Hogg RV, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. New
Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs.
Krantz SG. 1999. Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhäuser. Kim CJ. 1994. Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of
Econometrics 60:1-22.
Mynsbrugge JV. 2010. Bidding strategies using price based unit commitment in a deregulated power market [tesis]. Belgium (BE): K.U.Leuven.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons. Royden HL. 1963. Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company. Santoso DH. 2008. Pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika
menggunakan deret waktu hidden markov satu waktu sebelumnya [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid I. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.
Osborne MJ. 1997. Concave and Convex Function of Many Variables. Canada (CA): University of Toronto.
Wong E, Hajek B. 1985. Stochastic Processes in Engineering System. New York (US): Springer-Verlag.
37 Lampiran 3 Progam untuk mencari nilai dugaan dan MAPE minimum
38
𝑋𝑋𝑡𝑡 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡∗ = 𝜙𝜙�𝑋𝑋𝑡𝑡−1 − 𝜇𝜇𝑆𝑆𝑡𝑡−1∗ � + 𝜀𝜀𝑡𝑡 𝑋𝑋 = −1.31274 × 10−13 + 0.792906 x
40
k 1
41
43 Lampiran 4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dan nilai dugaannya
t Nilai Rupiah Nilai Dugaan t Nilai Rupiah Nilai Dugaan
1 2604.67 2427.10 42 9615.52 9513.60 2 2990.20 2600.94 43 9445.66 9601.54 3 3278.69 2985.90 44 9838.10 9431.92 4 3665.43 3273.97 45 10415.10 9823.79 5 3649.86 3660.15 46 11820.00 10400.00 6 5350.08 3644.60 47 11154.90 11802.80 7 12499.60 5342.33 48 11410.80 11138.70 8 8800.59 12481.40 49 9365.21 11394.20 9 8549.89 8787.80 50 8921.75 9351.59 10 8050.47 8537.46 51 9685.15 8908.78 11 11175.40 8038.77 52 10455.20 9671.06 12 14875.30 11159.20 53 10459.60 10440.00 13 13199.70 14853.60 54 10399.50 10444.40 14 10999.80 13180.50 55 10328.90 10384.40 15 10788.90 10983.80 56 10189.80 10313.80 16 7625.74 10773.20 57 9655.76 10175.00 17 7474.30 7614.67 58 9319.99 9641.72 18 7929.63 7463.45 59 8789.21 9306.44 19 8900.73 7918.11 60 8730.52 8776.43 20 8763.05 8887.79 61 9079.96 8717.83 21 8725.57 8750.31 62 8866.59 9066.76 22 8275.23 8712.89 63 9011.96 8853.70 23 8129.72 8263.21 64 9237.44 8998.86 24 6729.84 8117.91 65 8976.46 9224.01 25 6875.77 6720.08 66 8949.13 8963.41 26 7609.34 6865.79 67 8874.92 8936.12 27 8324.66 7598.29 68 8901.55 8862.02 28 6875.58 8312.56 69 8903.25 8888.61 29 7500.00 6865.60 70 8675.76 8890.31 30 7012.85 7489.11 71 8319.53 8663.15 31 7433.41 7002.67 72 8279.89 8307.44 32 7483.31 7422.62 73 8505.13 8267.86 33 7615.19 7472.44 74 8559.38 8492.77 34 7950.58 7604.13 75 8400.24 8546.94 35 8620.75 7939.03 76 8495.60 8388.03 36 8735.38 8608.22 77 8505.41 8483.25 37 8979.73 8722.68 78 8470.67 8493.05 38 8364.65 8966.68 79 8452.38 8458.36 39 8790.72 8352.50 80 8462.64 8440.10 40 9415.31 8777.94 81 8583.48 8450.34 41 9527.45 9401.62 82 8689.75 8571.01
