♦
Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi
§
Sistem Orde-3 :
)
1
0
(
)
p
s
)(
s
2
s
(
P
)
s
(
R
)
s
(
C
2 n n 2 2n
<
<
+
+
+
=
ζ
ω
ζω
ω
Respons unit stepnya:
{
}
(
t
0
)
1
)
2
(
e
t
1
sin
1
]
1
)
2
(
[
t
1
cos
)
2
(
1
)
2
(
e
1
)
t
(
c
2 pt n 2 2 2 n 2 2 2 t n≥
+
−
−
−
−
+
−
+
−
−
+
−
−
=
− −β
βζ
ω
ζ
ζ
β
ζ
βζ
ω
ζ
β
βζ
β
βζ
ζωdengan:
np
ζω
β
=
Mengingat:
0
)
1
(
)
1
(
1
)
2
(
2 2 22
−
+
=
−
+
−
>
ζ
β
ζ
β
βζ
Respons Transient Sistem Orde Tinggi:
Fungsi alih loop tertutup:
)
s
(
H
)
s
(
G
1
)
s
(
G
)
s
(
R
)
s
(
C
+
=
Secara umum:
)
s
(
d
)
s
(
n
)
s
(
H
;
)
s
(
q
)
s
(
p
)
s
(
G
=
=
Diperoleh:
)
n
m
(
a
s
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
b
)
s
(
n
)
s
(
p
)
s
(
d
)
s
(
q
)
s
(
d
)
s
(
p
)
s
(
R
)
s
(
C
n 1 n 1 n 1 n 0 m 1 m 1 m 1 m 0≤
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
− − − −L
L
Dengan menghitung pole-pole dan zero-zero nya, diperoleh:
)
p
s
(
)
p
s
)(
p
s
(
)
z
s
(
)
z
s
)(
z
s
(
K
)
s
(
R
)
s
(
C
n 2 1 m 2 1+
+
+
+
+
+
=
L
L
Untuk pole-pole yang berbeda, diperoleh tanggapan unit stepnya:
∑
=+
+
=
n 1 i i ip
s
a
s
a
)
s
(
C
•
Pole dan zero yang berdekatan akan saling melemahkan
pengaruhnya.
•
Pole yang sangat jauh dikiri bidang s memiliki pengaruh yang
kecil pada tanggapan waktu alih.
∏
∏
∏
= =
=
+
+
+
+
=
q1 j
r
1 k
2 k k k 2 j
m
1 i
i
)
s
2
s
(
)
p
s
(
s
)
z
s
(
K
)
s
(
C
Bila semua pole-polenya berbeda, maka:
∑
∑
= =+
+
−
+
+
+
+
+
=
q 1 j r 1 k 2 k k k 2 2 k k k k k k j js
2
s
1
c
)
s
(
b
p
s
a
s
a
)
s
(
C
ω
ω
ζ
ζ
ω
ω
ζ
Dalam domain waktu :
)
0
t
(
t
1
sin
e
c
t
1
cos
e
b
e
a
a
)
t
(
c
2 k k r 1 k kt k k 2 k k r 1 k kt k k q 1 j pjt j≥
−
+
−
+
+
=
∑
∑
∑
= − = − = −ζ
ω
ζ
ω
ω ζ ω ζKurva tanggapan orde tinggi : gabungan dari sejumlah kurva
eksponensial dan kurva sinusoidal teredam:
•
Pole-pole loop tertutup menentukan tipe tanggapan waktu alih.
♦
Pole-pole Loop Tertutup Dominan:
•
Orde tinggi seringkali didekati dengan orde-2 untuk
memudahkan analisis.
•
Pendekatan ini dapat dilakukan bila ada sepasang pole
dominan terhadap pole-ple lainnya.
•
Suatu pole A disebut dominan terhadap pole B bila
perbandingan bagian real nya minimal 1 : 5 dan tak ada zero
didekatnya.
•
Pole loop tertutup dominan seringkali muncul dalam bentuk
pasangan kompleks sekawan.
Pole P
2dominan terhadap P
2bila :
5
1
♦
Kestabilan Sistem
•
Semua pole loop tertutup harus berada disebelah kiri sumbu
imajiner.
•
Pole-pole pada sumbu imajiner membuat sistem berosilasi
dengan amplitudo tetap, sehingga harus dihindari.
•
Kestabilan sistem tak dipengaruhi oleh input, tetapi oleh
sifatnya sendiri.
•
Semua pole loop tertutup berada disebelah kiri bidang s belum
menjamin karakteristik transient yang memuaskan.
o
ANALI SI S GALAT KEADAAN TUNAK
§
Setiap sistem kendali memiliki galat keadaan tunak
untuk jenis input tertentu..
§
Suatu sistem yang tak memiliki galat untuk input step,
mungkin memiliki galat untuk input ramp.
§
Galat ini tergantung pada tipe (fungsi alih loop terbuka)
sistem ybs.
♦
Klasifikasi Sistem Kendali
§
Sistem kendali dapat dikelompokkan terhadap
kemampuannya untuk mengikuti input step, ramp, parabola,
dst.
§
Input sebenarnya pada sistem seringkali merupakan
kombinasi input-input tersebut.
§
Besarnya galat terhadap setiap jenis input tersebut
Bentuk umum fungsi alih loop terbuka:
)
1
s
T
(
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
s
)
1
s
T
(
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
K
)
s
(
H
)
s
(
G
p 2
1 N
m b
a
+
+
+
+
+
+
=
L
L
§
Ada N buah pole loop terbuka di titik asal pada bidang s.
§
Sistem diatas disebut bertipe N ( N=0, 1, 2 ).
§
Tipe sistem berbeda dengan orde sistem !
§
Bila tipe sistem bertambah, maka ketelitiannya
meningkat pula.
§
Kenaikan tipe sistem akan menimbulkan masalah
kestabilan sehingga perlu kompromi antara kestabilan
dan ketelitian keadaan tunak.
Galat Keadaan Tunak
Fungsi alih loop tertutup :
)
s
(
H
)
s
(
G
1
)
s
(
G
)
s
(
R
)
s
(
C
+
=
dan :
)
s
(
H
)
s
(
G
1
1
)
s
(
R
)
s
(
H
)
s
(
C
1
)
s
(
R
)
s
(
E
+
=
−
=
Diperoleh :
)
s
(
R
)
s
(
H
)
s
(
G
1
1
)
s
(
E
+
=
Galat keadaan tunak:
)
s
(
H
)
s
(
G
1
)
s
(
sR
lim
)
s
(
sE
lim
)
t
(
e
lim
e
0 s 0
s t
ss
=
→∞=
→=
→+
§
Galat keadaan tunak dapat dinyatakan dengan konstanta galat
statik.
§
Semakin besar konstanta tersebut semakin kecil galatnya.
§
Output sistem dapat dinyatakan sebagai posisi, kecepatan,
percepatan, dst.
§
Misal : sistem kendali suhu: posisi menyatakan output suhu,
dan kecepatan menyatakan laju perubahan suhu terhadap
♦
Konstanta Galat Statik
)
0
(
H
)
0
(
G
1
1
s
1
)
s
(
H
)
s
(
G
1
s
lim
e
0 s ss+
=
+
=
→Konstanta galat posisi statik:
)
0
(
H
)
0
(
G
)
s
(
H
)
s
(
G
lim
K
0 sp
=
→=
Sehingga galat keadaan tunak :
p ss
K
1
1
e
+
=
Untuk sistem tipe 0:
K
)
1
s
T
(
)
1
s
T
(
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
K
lim
K
2 1 b a 0 sp
+
+
=
+
+
=
→
L
L
Untuk sistem tipe 1 atau lebih:
)
1
N
(
)
1
s
T
(
)
1
s
T
(
s
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
K
lim
K
2 1 N b a 0 sp
=
∞
≥
+
+
+
+
=
→L
L
Galat Keadaan Tunak untuk I nput Unit Step:
K
1
1
e
ss+
=
untuk sistem tipe 0
0
Galat Keadaan Tunak untuk I nput Unit Ramp:
)
s
(
H
)
s
(
sG
1
lim
s
1
)
s
(
H
)
s
(
G
1
s
lim
e
0 s 2 0 s ss → →=
+
=
Konstanta galat kecepatan statik :
)
s
(
H
)
s
(
sG
lim
k
0 s→=
υSehingga galat keadaan tunak :
υ
K
1
e
ss=
Untuk sistem tipe 0 :
0
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
1
s
T
)(
1
s
T
(
sK
lim
k
2 1 b a 0 sv
+
+
=
+
+
=
→
L
L
Untuk sistem tipe 1 :
K
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
1
s
T
)(
1
s
T
(
sK
lim
k
2 1 b a 0 sv
+
+
=
+
+
=
→
L
L
Untuk sistem tipe 2 atau lebih :
)
2
N
(
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
s
1
s
T
)(
1
s
T
(
sK
lim
k
2 1 N b a 0 sv
=
∞
≥
+
+
+
+
=
→L
L
∞
=
=
υK
1
e
ssfor type 0 systems
K
1
K
1
e
ss=
=
υ
0
K
1
e
ss=
=
υ
§
Pengertian galat kecepatan pada K
vmenunjukkan
galat
posisi
untuk input ramp, bukan galat dalam kecepatan.
§
Sistem tipe 0 tak mampu mengikuti input ramp pada
keadaan tunak.
§
Sistem tipe 1 mampu mengikuti input ramp, meskipun
memiliki
galat posisi
pada keadaan tunak.
§
Sistem tipe 2 atau lebih mampu mengikuti input ramp
I nput unit parabola/ akselerasi:
2
t
)
t
(
r
2
=
for
t
≥
0
0
=
for
t
<
0
Galat keadaan tunaknya:
)
s
(
H
)
s
(
G
s
lim
1
s
1
)
s
(
H
)
s
(
G
1
s
lim
e
2 0 s
3 0
s ss
→ →
=
+
=
Konstanta galat percepatan statik:
)
s
(
H
)
s
(
G
s
lim
K
20 s a
=
→Sehingga galat keadaan tunak :
a ss
Konstanta Galat Percepatan Statik :
For a type 0 system,
0
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
K
s
lim
K
2 1 b a 2 0 sa
+
+
=
+
+
=
→
L
L
For a type 1 system,
0
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
s
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
K
s
lim
K
2 1 b a 2 0 sa
+
+
=
+
+
=
→
L
L
For a type 2 system,
K
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
s
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
K
s
lim
K
2 1 2 b a 2 0 sa
+
+
=
+
+
=
→
L
L
For a type 3 or higher system,
)
3
N
(
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
s
)
1
s
T
)(
1
s
T
(
K
s
lim
K
2 1 N b a 2 0 sa
+
+
=
∞
≥
+
+
=
→
L
L
Sehingga galat keadaan tunak untuk input unit parabola:
∞
=
sse
for type 0 and type 1 systems
K
1
e
ss=
for type 2 systems
0
§
Pengertian galat percepatan pada K
amenunjukkan
galat
posisi
untuk input parabola, bukan galat dalam percepatan.
§
Sistem tipe 0 dan 1 tak mampu mengikuti input parabola
pada keadaan tunak.
♦
Hubungan antara I ntegral Galat pada I nput Step
dan
Galat Keadaan Tunak pada Tanggapan Ramp.
Definisikan:
)
s
(
E
dt
)
t
(
e
)]
t
(
e
[
L
0 st=
∈
=
∫
∞ −Maka:
)
s
(
E
lim
dt
)
t
(
e
dt
)
t
(
e
lim
0 s 0 0 st 0 s → ∞ ∞ − →∫
∈
=
∫
=
Ingat:
)
s
(
H
)
s
(
G
1
1
)
s
(
R
)
s
(
C
)
s
(
H
1
)
s
(
R
)
s
(
E
+
=
−
=
Sehingga:
+
=
→ ∞∫
1
G
(
s
)
H
(
s
)
)
s
(
R
lim
dt
)
t
(
e
0 s 0Untuk input unit step :
υ
K
1
)
s
(
H
)
s
(
sG
1
lim
s
1
)
s
(
H
)
s
(
G
1
1
lim
dt
)
t
(
e
0 s 0 s 0=
=
+
=
→ → ∞∫
= steady-state actuating error in unit-ramp response
Dengan demikian :
ssr 0
e
(
t
)
dt
=
e
∫
∞dengan : e(t) = galat untuk tanggapan unit step
e
ssr= galat keadaan tunak untuk tanggapan unit
§
Bila e
ssr= 0, maka e(t) harus berubah tandanya minimal sekali.
o
ANALI SI S KEPEKAAN
§
Kepekaan suatu sistem terhadap suatu komponen
penyusunannya merupakan ukuran ketergantungan
karakteristiknya terhadap komponen tersebut.
,
)
s
(
K
in
change
0
0
)
s
(
T
in
change
0
0
)
s
(
K
In
d
)
s
(
T
In
d
)
s
(
S
TK=
=
dengan:
)
s
(
R
/
)
s
(
C
)
s
(
T
=
Definisi kepekaan lain:
)
s
(
K
/
)
s
(
dK
)
s
(
T
/
)
s
(
dT
)
s
(
S
TK=
§
Kepekaan T(s) terhadap K(s) adalah persentase perubahan
dalam T(s) dibagi dengan persentase perubahan pada K(s)
yang menyebabkan terjadinya perubahan pada T(s).
§
Definisi diatas hanya berlaku untuk perubahan yang kecil.
§
Kepekaan merupakan fungsi dari frekuensi.
Pandang sistem kendali sbb:
Fungsi alih loop tertutup:
)
s
(
G
K
1
)
s
(
G
K
)
s
(
R
)
s
(
C
)
s
(
T
2 1
+
=
=
dengan: K
1: fungsi alih transducer input
K
2: fungsi alih tranducer balikan
G(s): gabungan fungsi alih amplifier, rangkaian
♦
Kepekaan Sistem terhadap K
1
:
1 1 1 1 T 1 KdK
)
s
(
dT
)
s
(
T
K
K
/
dK
)
s
(
T
/
)
s
(
dT
S
=
=
dengan:
1 1 1K
)
s
(
T
)
s
(
G
K
1
)
s
(
G
dK
)
s
(
dT
=
+
=
Sehingga:
1
K
)
s
(
T
)
s
(
T
K
)
s
(
S
1 1 T 1K
=
=
§
Setiap perubahan karakteristik pada K
1langsung berpengaruh
pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan.
§
Elemen yang digunakan untuk K
1harus memiliki karakteristik
presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.
♦
Kepekaan Sistem terhadap K
2
:
2 2 2 2 T 2 K
dK
)
s
(
dT
)
s
(
T
K
K
/
dK
)
s
(
T
/
)
s
(
dT
)
s
(
S
=
=
dengan:
2 2 1 2 2 1 2 2 2 12
K
[
1
K
G
(
s
)]
)
s
(
G
K
1
)
s
(
G
K
)]
s
(
G
K
1
[
K
)
s
(
G
K
)
s
(
T
K
)
s
(
S
2 2 2
2 1
2 2 1 2
T 2 K
+
−
=
+
Untuk nilai frekuensi dengan K
2G(s)>>1, maka:
1
)
s
(
S
T 2K
=
−
§
Setiap perubahan karaktersitik pada K
2langsung berpengaruh
pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan.
§
Elemen yang digunakan untuk K
2harus memiliki karakteristik
presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.
§
Tanda minus menunjukkan arah perubahan karakteristik
komponen dan sistem berlawanan.
♦
Kepekaan Sistem terhadap G(s):
)
s
(
dG
)
s
(
dT
)
s
(
T
)
s
(
G
)
s
(
G
/
)
s
(
dG
)
s
(
T
/
)
s
(
dT
)
s
(
S
T ) s (G
=
=
dengan:
2 2 1 2 2 2 1 1 2)]
s
(
G
K
1
[
K
)]
s
(
G
K
1
[
K
)
s
(
G
K
K
))
s
(
G
K
1
(
)
s
(
dG
)
s
(
dT
+
=
+
−
+
=
Sehingga:
)
s
(
G
K
1
1
)]
s
(
G
K
1
[
K
)
s
(
T
)
s
(
G
)
s
(
S
2 2 2 1 T ) s ( G+
=
+
−
=
§
Agar kepekaan sistem terhadap komponen G(s) kecil, perlu
dirancang agar K
2G(s) sebesar-besarnya, tetapi tak perlu
§
Kepekaan sistem tergantung pada frekuensi, sehingga sistem
peka atau tidak terhadap G(s) hanya pada cakupan frekuensi
