b. Perkalian skalar terhadap matriks - Matriks dan Determinan Matriks

MATRIKS

MatriksAdenganmbaris dannkolom (Am×n).

Notasi Matriks :

A=

 

aij , dimanaaijadalah elemen pada baris keikolom kej

Kesamaan Matriks

MatriksAdan matrikBdikatakan sama (A=B), jika dan hanya jika : a. Ordo kedua matriks sama.

b. Semua elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama.

Operasi Pada Matriks

a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran sama ).

JikaA=

 

aij danB=

 

bij , matriks yang berukuran sama , makaA+Badalah suatu

matriksC=

 

cij , di manacij= aij+bij untuk setiapidanj.

Contoh : A= _

    

3 3

2 1

danB= _

    

4 2

1 2

maka

A+B= _

    

3 3

2 1

+ _

    

4 2

1 2

= _

  

 

 

 

4 3 2 3

1 2 2 1

= _

    

7 5

3 3

b. Perkalian skalar terhadap matriks

Jika_{suatu skalar dan}A=

 

aij maka matriksA= (aij)

Contoh : A= _

    

3 3

2 1

maka 2A= _

  

 

3 . 2 3 . 2

2 . 2 1 . 2

= _

    

6 6

4 2

c. Perkalian Matriks

Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB_BA.

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

... ... ... ... ... ... ... ...

...

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

 

 

 

 



 

 

 

Syarat Perkalian Matriks :

Banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua.

Definisi :

MisalA=

 

aij berukuran (m×n) danB=

 

bij berukuran (n×p) . Maka perkalian

A×Badalah suatu matriksC=

 

cij berukuran (m×p) di mana cij= ai1b1j +ai2b2j

+ ….. + ainbnj untuk setiap i= 1,2,...,mdanj= 1,2,….,p.

Contoh :

1. A=



1 2 3



danB=

  

 

  

 

1 0 2

maka

A×B=1.2 2.0 3.1  = 5

2.

1 0 2 2 2 1 1 3 1

A

 

 

 _{ }

 _ 

 

dan

2 2 1 3 0 1

B

 

 

 _{ }

 

 

maka

























1 2 (0 1) (2 0) 1 2 (0 3) (2 1) 2 4 2 2 (2 1) (1 0) 2 2 (2 3) (1 1) 6 3 1 2 (3 1) ( 1 0) 1 2 (3 3) ( 1 1) 1 10

A B

              

   

        _       _{ }  _

 

 _{            }  _{ }

 

d. Transposedari suatu Matriks

MisalA=

 

aij berukuran (m×n) makatransposedariAadalah matriksATberukuran

(n×m) makaAT₌

 

ji

a .

Beberapa Sifat matriks transpose : (i) (A+B)T_=AT_+BT

(ii) (AT₎T_=A (iii)₍AT_{) = (A)}T (iv) (AB)T_=BT_AT Catatan :

Bila MatriksA=

 

aij adalah suatu matriks kompleks, makaTranspose Hermitian

(Conjugate Transpose) yaituAH₌ T

ij

a 

   

 

= 

   

 _

ji

a , jikaz=x–yimaka z=x+yi Contoh :

A = _

  



  

3 1 3

i

i i

maka AH ₌ 3

1 3

i i

i

 

 

 _ 

Beberapa Jenis Matriks Khusus (1) Matriks Bujur Sangkar

Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh :

A = _

    

4 2

3 1

adalah matriks bujur sangkar ordo 2.

(2) Matriks Nol

Adalah matriks yang semua elemennya nol.

(3) Matriks Diagonal

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol.

Contoh :

  

 

  

 

3 0 0

0 2 0

0 0 1

(4) Matriks Identity ( Satuan )

Adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal utamanya semua sama dengan 1.

Contoh :

  

 

  

 

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(5) Matriks Skalar

Adalah matriks diagonal utamanya sama dengank. Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1

Contoh :

  

 

  

 

2 0 0

0 2 0

0 0 2

(6) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular )

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemendi atasdiagonal utama sama dengan nol.

Contoh :

  

 

  

 

2 0 4

0 3 1

0 0 2

(7) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular )

Contoh :

  

 

  

 

2 0 0

5 3 0

0 1 2

(8) Matriks Simetris

Adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan

lainA = AT_{dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar.}

Contoh :

A =

  

 

  

 

1 1 0

1 3 2

0 2 1

dan AT₌

  

 

  

 

1 1 0

1 3 2

0 2 1

(9) Matriks Antisimetris

Adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya. Dengan perkataan lainAT₌

-A.

Contoh :

A=

   

 

   

 

 

 

 

0 1 4 2

1 0 3 1

4 3 0 1

2 1 1 0

, AT₌

   

 

   

 

 

 

 

0 1 4 2

1 0 3 1

4 3 0 1

2 1 1 0

(10) Matriks Hermitian

Adalah matriks dengan transpose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain AH_{= - A}

Contoh

A = _

  

 

 

4 2

2 3

i i

dan AH_{= }

  

 

 

4 2

2 3

i i

(11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA + Imaka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 _{sebaliknya A adalah invers dari B}

dan ditulisA = B-1_.

(12) Matriks Komutatif.

Adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlakuAB = BA.

Anti Komutatifjika AB = -BA.

(13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten - Matriks Idempoten

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A2 _{= A.}

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAA…A = Ap_{= A dikatakan periodik}

dengan periode p-1.

- Matriks Nilpoten

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku Ar _{= 0, dikatakan Nilpoten dengan}

indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.

Transformasi Elementer

(1a ) Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j ditulis Hij(A).

Contoh :

A =

(1b ) Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j ditulis Kij(A).

Contoh :

A =

(2a) Memperkalikan baris ke-i dengan skalar _{0, ditulis Hi(}_)(A)

Contoh :

A =

(2b) Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar _{0, ditulis K}j()(A)

Contoh :

A =

(3b) Menambah kolom ke-i dengan skalar _{0 kali kolom ke -j, ditulis K}ij()(A)

A =

  

 

  

 

9 8 7

6 5 4

3 2 1

maka K31(2)(A)=

  

 

  

 

23 8 7

14 7 5

5 2 1

Kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3

Rank Matriks

Rank adalah banyaknya maksimum baris atau kolom yang tidak dapat dinolkan Contoh:

2 4 1 3 0 2 5 4 3

A

 

 

  

 

 

Cara 1

( 1) ( 1)

31 32

2 4 1 2 4 1 2 4 1

3 0 2 3 0 2 3 0 2

5 4 3 3 0 2 0 0 0

H H

     

     

     

     

     

 

Jadi, r(A) = 2.

Cara 2

( 3)

2 ( 1)

21 32

( 5) 2 31

2 4 1 2 4 1 2 4 1

3 0 2 0 12 1 0 12 1

5 4 3 0 12 1 0 0 0

H H

H

 



     

   _   _ 

     

   _   

     





Jadi, r(A) = 2.

Determinan Matriks

- Matriks 2×2

a b A

c d

 

  

  maka det(A) = |A|=ad-bc.

Contoh:

1 2 4 3

A_{ }  _

  maka |A|= (-1)(3) - (4)(-2) = -3 + 8 = 5

- Matriks 3×3 a. Metode Sarrus

a b c

A d e f

g h i

 

 

  

 

a b c a b

A d e f d e

g h i g h

 

 

  

 

 

maka |A|=aei+bfg+cdh - ceg - afh - bdi Contoh:

1 3 1 1 3 1 2 2 1 2 2 4 3 2 4

A



 

 

 _{ }

 

 

maka |A|= (1)(2)(3) + (3)(2)(2) + (-1)(-1)(4) - (-1)(2)(2) - (1)(2)(4) - (3)(-1)(3) = 6 + 12 +4 + 4 - 8 + 9 = 27

b. Ekspansi Baris atau Kolom - Minor

Mij yaitu matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris keidan kolom kej. Contoh:

1 3 1 1 2 2 2 4 3

A



 

 

 _{ }

 

 

1 3 1 1 2 2 2 4 3

A



 

 

 _{ }

 

 

M23(A) = 1 3_{2 4}

 

- Kofaktor Cij= (-1)i+j_|Mij|

C23(A) = (-1)2+3 1 3 ( 1) (1)(4) (3)(2)5





(4 6) 2

2 4       

Mencari determinan dari A dengan ekspansi baris 1

1 3 1 1 2 2 2 4 3

2 2 1 2 1 2

1 3 1

4 3 2 3 2 4

(6 8) 3( 3 4) ( 4 4) 2 21 8 27

A

  

 

  

       

    

+ + +

1 3 1 1 2 2 2 4 3

1 2 1 1 1 1

3 2 4

2 3 2 3 1 2

3( 3 4) 2(3 2) 4(2 1) 21 10 4 27

A

  

  

   



       

   

+