Makalah buku matematika (1)

8.3 KURVA

Sebagai salah satu terapan pentinng kalkulus vector , marilah kita pelajari fakta dasar tentang kurva di dalam ruang . Pembaca akan mengetahui bahwa kurva dijumpai di dalam berbagai masalah , baik di dalam kalkulus maupun fisika , misalnya , sebagai lintasan partikel yang bergrerak . perlu dikemukakan bahwa studi tentang kurva dan permukaan di dalam ruang dengan menggunakan kalkulus merupakan suatu cabang matematika yang penting dinamakan geometri diferensial .

Jika kita menggunakan suatu sistem koordinat Kartesius , kita dapat mempresentasikan sebuah kurva C dengan suatu fungsi vektor ( gambar 182) (1) r(t) = [x(t) , y(t) , z(t)] = x(t)I + y(i)t + z(t)k ;

Untuk setiap nilai t0 dari peubah nyata t kita menghubungkannya dengan sebuah titik pada C yang mempunyai vektor posisi r(t0) , yang berarti berkoordinat x(t0), y(t0) , z(t0) .

Representasi yang berbentuk (1) dinamakan representasi parametric kurva C , dan t dinamakan parameter representasi ini . Representasi semacam ini bermanfaat dalam banyak penerapan , misalnya di dalam mekanika, dengan t menyatakan waktu .

Representasi lain bagi kurva di dalam ruang adalah (2) y = f(x) , z = g(x)

Dan

(3) F(x,y,z) = 0 , G(x,y,z ) = 0

Di dalam (2), fungsi y =f(x) merupakan proyeksi kurva tersebut ke bidang – xy , sedangkan z = g(x) dalah proyeksi kurva itu ke bidang –xz . di dalam (3) , setiap persamaan merepresentasikan suatu permukaan , dan kurva itu adalah perpotongan kedua permukaan tersebut .

Teladan 1. Garis Lurus

Sembarang garis lurus L dapat direpresentasikan dalam bentuk

(4) r(t)= a + tb = (a1 + tb1) I + (a2 + tb2 ) j + ( a3 + tb3 ) k

Atau , dalam notasi yang lain ,

r(t) = [ a1 + tb! , a2 + tb2 , a3 + tb3 ] ,

dengan a dan b adalah vektor konstanta . L melalui titik A dengan posisi r = a dan mempunyai arah (gambar 183 ) . jika b suatu vektor satuan , komponen-komponennya merupakan kosinus arah garis L , dan dalam hal ini , │t │mengukur jarak titik – titik pada L ke A . misalnya , garis lurus pada bidang-xy yang melalui A: (3,2 ) dan berkemiringan 1 adalah

r(t) = [ 3 , 2 , 0 ] + t ( 1 , 1 , 0 ] = [ 3 + t , 2 + t , o ] Teladan 2 . Elips , lingkaran

Fungsi vektor

( 5 ) r(t) = a cos t i = b sin t j

Merepresentasikan suatu elips pada bidang – xy dengan pusat di titik asal dan sumbu – sumbu utama dalam arah sumbu - x dan sumbu – y . Dan memang , karena cos2 _{t + sin}2 _{t = 1 , maka kita memperoleh dari (5)}

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 , z = 0 .

1

16

x

2 +

1

4

y

2

= 1 . dengan setengah sumbu – sumbunya 4 dan 2 .

Teladan 3 . Heliks melingkar

Kurva terpuntir C yang dipresentasikan oleh fungsi vektor (6) r(t) = a cos t i + a sin t j + ct k

Dinamakan heliks melingkar . Kurva ini terletak pada silinder

_x

2 ₊

y

2 =

_a

2 _. Jika c > 0 , heliks itu membentuk sekrup atau uliran tangan-kanan ( gambar 184 ) . Jika c < 0 , heliks itu membentuk uliran tangan kiri ( Gambar 185 ) misalnya , heliks

r(t) = cos t i + sin t j + tk

membentuk uliran tangan – kanan , terletak pada silinder x2 _{+ y}2 _{= 1 dan} mempunyai pitch 2π , artinya koordinat –z titik titik pada heliks yang terletak vertical di atas satu sama lain berselisih kelipatan bulat 2π .

Bagian kurva diantara dua titik pada kurva sering dinamakan busur suatu kurva . untuk kemudian kita akan menggunakan istilah yang sama “kurva” untuk menyatakan seluruh kurva maupun suatu busur kurva .

Teladan 4 . Kurva sederhana dan kurva bukan sederhana

Elips dan heliks merupakan kurva sederhana . kurva yang direpresentasikan oleh

r(t) =

r

2

¿

– 1 ) i + r 3

−1 ) j

bukanlah kurva sederhana , sebab kurva ini memiliki titik ganda dua titik asal ; titik ini padanan dua nilai t = - 1 . dapatkah anda membuat sketsanya ?

Terakhir perlu dikemukakan bahwa suatu kurva C yang sama dapat direpresentasikan oleh berbagai fungsi vektor . misalnya , jika C dinyatakan oleh (1) dan kemudian kita ambil t = h (t*) , maka kita memperoleh sebuah fungsi vektor baru ř(t*) yang juga

Merepresentasikan C , asalkan h(t*) mecakup semua nilai t yang muncul di dalam (1) . misalnya , jikaC adalah lintasan sebuah benda B yang bergerak dan t adalah waktu , penukaran parameter t = h(t*) berimplikasi bahwa gerak B berubah waktunya , namun lintasannya tetap sama .

Teladan 5 . Penukaran Parameter

Parabola y =

x

2 _{pada bidang –xy dapat dipresentasikan oleh fungsi vektor}

r(t) = ti + t2 _{j (}

₋

_∞

_<

_t

_<

_∞

_¿

jika kita ambil t = -2t* , kita memperoleh representasi lain bagi parabola yang sama :

ř(t*) = r(-2t*) = -2t* + 4t* 2 _j jika kita ambil t = t* 2 _{, kita peroleh}

namun fungsi ini merepresentasikan hanya bagian parabola yang terletak didalam kuadran pertama , sebab t* 2

≥

0

untuk semua t* .

di dalam pasal berikut , kita akan melanjutkan pembahasan kita tentang kurva dengan menguak makna gemoetrik turunan suatu fungsi vektor dalam kaitan dengan tangen suatu kurva , dan dengan membahas panjang suatu kurva . ini akan mencakup pengenalan fungsi panjang busur s suatu kurva , yang ternyata merupakan suatu parameter yang sangat berguna di dalam representasi geometric .

8.4 Garis Tangen , Panjang Busur Suatu Kurva

Garis tangen sebuah kurva C dititik P dan C didefinisikan sebagai posisi limit garis lurus L yang melalui titik P dan titik lain Q pada C jika Q semakin mendekati P sepanjang kurva itu ( Gambar 187 )

Misalkan bahwa C direpresentasikan oleh sebuah fungsi vektor r(t) yang terdiferensialkan secara kontinu dengan t sembarang parameter . Jika P dan Q masing-masing adalah padanan t dan t +

∆ t

, arah L mengikuti vektor

1

Δt

+ [r(t +

Δt

) – r(t) ] .

Oleh karena itu , jika turunan vektor r yakni vektor

(1) _r1 _{(t) =}

lim

Δ→0

1

Bukan vektor nol ,ia mempunyai arah yang sama dengan garis tangen terhadap C di P . Vektor ini menunjuk kea rah naiknya nilai-nilai t , dan oleh karena itu arahnya tergantung pada orientasi kurva tersebut . vektor

r

1 _{dinamakan vektor tangen} kurva C di P . vektor satuannya

(2) u=

1

│ r

1│

r

1

Dinamakan vektor tangen satuan kurva C di P . kedua vektor _r1 _{dan u} menunjuk ke arah naiknya nilai-nilai t .

Sekarang vektor posisi sebuah titik T pada garis tangen ini merupakan jumlah vektor posisi r titik P dan sebuah vektor salam arah garis tangen itu . jadi , suatu representasi parametric bagi garis tangen itu adalah ( Gambar 188 )

(3) q(w) = r +

w r

1 _,

Dalam hal ini r dan _r1 _{keduanya tergantung pada P dan parameter w} merupakan suatu perubah nyata .

Teladan 1 . Garis tangen suatu elips

Tentukan garis tangen suatu elips

1

Jawab . r(t) = 2 cos t i + sin t j , sehingga

r

1 (t) =

−

¿

sin t i + cos t j , dan P merupakan padanan t =

π

/

4

, sebab 2 cos (

π

/

4

) =

_√

2

. jadi , _r1 ₍

_π

_/

₄

₎ = [

−

√

2

,

1/

_√

2

] , sehingga garis tangen yang dinyatakan adalah

q(w) = [

_√

2

,

1/

_√2

] + w[

−

√2

,

1/

_√

2

] =

_√2

(1- w ) i + (1/

_√

2

) ( 1 + w ) j .

untuk mengecek hasilnya , buatlah sebuah sketsa elips dan garis tangen itu .

vektor tangen berguna bagi langkah kita selanjutnya , yaitu memperkenalkan dua konsep yang berkaitan , panjang I suatu kurva dan panjang busur s suatu kurva .

Panjang suatu kurva

Untuk mendefinisikan panjang sebuah kurva C , kita dapat menempuh jalan berikut. Kita siapkan ke dalam C suatu garis pattah – patah , yang terdiri atas n ruas garis , yang menghubungkan kedua titik ujung kurva C seperti ditunjukkab di dalam Gambar 189 . ini kita lakukan untuk setiap bilangan bulat positif n sedemikian rupa sehingga panjang ruas garis maksimum mendekati nol untuk n mendekati tak hingga . panjanggaris patah – patah itu dapat diperoleh berdasarkan teorema pitagoras . jika barisan panjang-panjang I₁ , I₂ , . . . itu konvergen , dengan limit I , maka C dikatakan terektifikasi atau mempunyai panjang (rectifiable ) , dan I adalah panjang kurva C

Jika c dapat direpresentasikan oleh sebuah fungsi vektor

r = r(t) (a

≤

t

≤

b ) ,

(4) I =

∫

ditemukan dalam Acuan [B6] di dalam Apendiks 1 . secara umum , perhitungan dengan menggunakan (4) biasanya sulit .

Fungsi s(t) ini dinamakan fungsi panjang busur atau , singkatnya , panjang busur kurva C .

Dari pembahasan kita , secara geometris bahwa , untuk suatu nilai tertentu t = t₀ ≥ a , panjang busur s( t₀¿ adalah panjang bagian kurva C antara titik padanan t = a dengan titik padanan t= t₀ . untuk t= t₀ < a , kita memperoleh s( t₀¿ < 0 , sehingga panjangnya adalah - s( t₀¿ .

Kosnstanta a di dalam (5) dapat diganti dengan kosntanta lain ; artinya titik pada kurva padanan yang membuat s = 0 dapat dipilih sekehendak kita . arah naiknya nilai – nilai s dinamakan arah positif pada C ; dengan cara ini setiap representasi r(s) atau r(t) bagi C mendefinisakan orientasi tertentu bagi C jelaslah , ada dua cara untuk mengorientasikan C ; dan kiranya tidak sukar untuk melihat bahwa pengubahan dari orientasi yang satu ke orientasi lawannya dapat diperoleh melalui suatu transformasi , yang turunnya sangat negative , terhadap parameternya . Dari (5) kita memperoleh melalui pendiferensialan dan pengkuadratan

Dan parametric suatu kurva. Sebagai akan kita lihat , ini akan menyederhanakan berbagai rumus .

Sebagai kasus pertama yang penting , akan kita perlihatkan bahwa penggunaan s menyederhanakan rumus (2) bagi vektor tangen satuan :

(9) u(s) =

r

1

(

s

)

Dengan mudah ini dapat diperoleh dari (8) dengan t = s karena ds/ds = 1 .

r*(s) = r (

s

√

a

2

+

c

2 ) = a cos

s

√

a

2

+

c

2 i + a sin

s

√

a

2

+

c

2 j +

c s

√

a

2

+

c

2 k .

dengan mengambil c = 0 , kita memperoleh t = s/a dan representasi

r (

s

a

) = a cos

s

a

i + a sin

s

a

j .

bagi lingkaran berjari-jari a . orientasi lingkaran ini berlawanan arah dengan gerak jarum jam , yang sejalan dengan naiknya nilai-nilai s . dengan mengambil s = -s* dan dengan menggunakan rumus- rumus cos

(-

α

)

cos

α

dan sin

(-α

¿

= sin

α

, kita memperoleh

r (

s

∗

_a

¿

−

¿

) = a cos

s

∗

_a

¿

¿

i – a sin

s

∗

_a

¿

¿

j;