BAB II
LANDASAN TEORI
A. Sistem Bilangan Kompleks
Sistem bilangan kompleks dapat diperkenalkan secara formal dengan
menggunakan konsep “ pasangan terurut” (ordered pair) bilangan riil (a,b).
Himpunan semua pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai
padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks. (Pallouras,
1975).
Definisi II. A.1
Himpunan bilangan kompleks berbentuk
a + ib atau a + bi
dengan a dan b adalah bilangan riil dan i2 = -1.
Jika z = a + ib merupakan suatu bilangan kompleks, maka a dinamakan
bagian riil (real part) dari z dan b dinamakan bagian imajiner (imaginary part) dari z, kadang-kadang masing-masing diberi simbol R(z) dan I(z).
Lambang z, yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan
kompleks dinamakan peubah kompleks.
Himpunan bilangan riil sebagai bagian dari himpunan bilangan
B. Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks
Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua bilangan
kompleks dapat dikerjakan seperti pada operasi aljabar bilangan riil dengan
menggantikan i2 dengan -1 bila muncul.
Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua bilangan
kompleks adalah sebagai berikut:
(Spiegel, 1994).
Jika z1 = a1 + b1i dan z2 = a2 + b2i adalah bilangan kompleks, maka: i. z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
ii. z1– z2 = (a1 + b1i) – (a2 + b2i) = (a1– a2) + (b1 –b2)i iii. z1z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2– b1b2) + (a1b1 + a2b2)i.
Pada bilangan kompleks juga terdapat suatu operasi yang disebut
kesekawanan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi II. B. 1
Jika z = a + bi, maka bilangan kompleks sekawan dari z yang didefinisikan
𝑧 = a – bi.
Kesekawanan (conjugation) dikenakan pada satu bilangan kompleks dan berakibat menegatifkan bagian imajinernya.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan
Teorema II. B. 2
i. Jika z bilangan kompleks, maka
1) 𝑧 = z
2) z𝑧 = [R(z)]2 + [I(z)]2
ii. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka
1) 𝑧 1 +𝑧2 = 𝑧1+ 𝑧2
2) 𝑧 1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2
3) 𝑧1
𝑧2
=
𝑧 1𝑧2
,
𝑧2
≠
0
Bukti:
i. Misalkan 𝑧= 𝑎+𝑏𝑖 , maka 𝑧 =𝑎 − 𝑏𝑖 , maka
1) 𝑧 =𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎+𝑏𝑖 =𝑧.
2) 𝑧𝑧 = 𝑎+𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖
= a2 – (bi)2 = a2 – b2 . (-1)
=𝑎2+𝑏2 = [𝑅 𝑧 ]2+ [𝐼 𝑧 ]2.
ii. Misalkan 𝑧1= 𝑎1+𝑏1𝑖 dan 𝑧2 =𝑎2 +𝑏2𝑖 , maka
1) 𝑧 1 +𝑧2 = (𝑎1+𝑏1𝑖) + (𝑎2+𝑏2𝑖)
= 𝑎1 +𝑎2 + 𝑏1+𝑏2 𝑖
= 𝑎1+𝑎2 − 𝑏1+𝑏2 𝑖
= 𝑧1+ 𝑧2
2) 𝑧 1𝑧2 = (𝑎1+𝑏1𝑖)(𝑎2+𝑏2𝑖)
= 𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 + 𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1 𝑖
= 𝑎1𝑎2− 𝑏1𝑏2 − 𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1 𝑖
= 𝑎1𝑎2− 𝑏1𝑏2 + −𝑎1𝑏2− 𝑎2𝑏1 𝑖
= (𝑎1− 𝑏1𝑖)(𝑎2− 𝑏2𝑖)
= 𝑧1 𝑧2
3) 𝑧1
𝑧2
= 𝑎1+𝑏1𝑖
𝑎2+𝑏2𝑖
= (𝑎1+𝑏1𝑖)(𝑎2−𝑏2𝑖) (𝑎2+𝑏2𝑖)(𝑎2−𝑏2𝑖)
= 𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2 +(−𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)𝑖
𝑎22+𝑏22
= 𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2 − (−𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)𝑖
𝑎22+𝑏22
= 𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2 +(𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1)𝑖
𝑎22+𝑏22
= (𝑎1−𝑏1𝑖)(𝑎2+𝑏2𝑖) (𝑎2+𝑏2𝑖)(𝑎2−𝑏2𝑖)
= (𝑎1−𝑏1𝑖) (𝑎2−𝑏2𝑖)
= 𝑧 1
𝑧2
C. Geometri Bilangan Kompleks
Arti geometri pada bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami
sebagai vektor di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara
berturut-turut dinamakan sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks a + bi
pada bidang datar xy dapat diidentifikasikan sebagai vektor berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik (a,b). (Pallouras, 1975).
Gambar 1.
a. Modulus dari Bilangan Kompleks
Untuk sembarang bilangan kompleks z = a +bi, modulus (nilai
mutlak) dari bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z
didefinisikan sebagai berikut:
Definisi II. C. 1
Jika bilangan kompleks z = a + bi, maka modulus dari z ditulis 𝑧
didefinisikan sebagai 𝑧 = 𝑎+𝑏𝑖 = 𝑎2+𝑏2.
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik
O(0,0) ke z = (a,b). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks
Im(z)/y
Re(z)/x bi
a 0
|z|
z1 =a1+b1i dan z2 = a2+b2i ditulis |z1 – z2| dan didefinisikan
|z1– z2| = (𝑎1− 𝑎2)2+ (𝑏1− 𝑏2)2.
Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari
modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks yaitu:
Teorema II. C. 2
i. Jika z bilangan kompleks, maka
1) 𝑧 2 = (𝑅 𝑧 )2+ (𝐼 𝑧 )2
2) 𝑧 = 𝑧
3) 𝑧 2 =𝑧𝑧
ii. Jika z1,z2 bilangan kompleks, maka
1) 𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2
2) 𝑧1
𝑧2 =
𝑧1
𝑧2 ,𝑧2 ≠0
Bukti:
i. Misalkan z = a + bi , maka
1) 𝑧 2 = 𝑎2+𝑏2 2 =𝑎2+𝑏2 = (𝑅 𝑧 )2+ (𝐼 𝑧 )2.
2) 𝑧 =𝑎 − 𝑏𝑖, sehingga 𝑧 = 𝑎2+ (−𝑏)2 = 𝑎2+𝑏2 = 𝑧 .
3) 𝑧 2 = 𝑎2+𝑏2 2
= 𝑎2+𝑏2
= 𝑎+𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖
= 𝑧𝑧
ii. Misalakan z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i bilangan kompleks, maka
Jadi 𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
b. Bentuk Polar dan Eksponen
Notasi z = a + bi pada bilangan kompleks dapat juga dinyatakan
dengan z = (a,b). Dalam koordinat polar, bilangan kompleks z = (a,b)
dinyatakan dalam r dan yaitu z = (r, ). Pada gambar 2 diperoleh hubungan sebagai berikut:
a = r cos ; b = r sin , dengan:
r = 𝑎2+𝑏2 = 𝑧
: sudut antara sumbu x positif dengan OP.
Gambar 2.
Untuk z ≠ 0, sudut dihitung dari tan = 𝑏
𝑎 dan untuk z = 0 maka
r = 0 dan dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks
z = a + bi dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu:
z = r (cos + sini). Dari rumus Euler
𝑒𝑖𝜃= cos + sin i,
maka bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi y
b
r
P z =(a,b)
z = r(cos + sin i) = 𝑟𝑒𝑖𝜃.
Penulisan z = 𝑟𝑒𝑖𝜃 merupakan bentuk eksponen dari bilangan
kompleks z. Selanjutnya biangan kompleks sekawan dari z adalah: 𝑧 = r(cos sin i)
= r(cos() + sin() i) = 𝑟𝑒−𝑖
D. Limit Fungsi Kompleks
Secara formal definisi limit untuk fungsi kompleks f(z) ditulis sebagai
berikut:
Definisi II. D. 1
Diberikan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di zo (titik zo di
dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika
untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian hingga |f(z) – wo |< , apabila
0 <|z – zo|< ,ditulis:
Contoh:
Buktikan lim𝑧→1+𝑖4𝑧 −5 =−1 + 4𝑖.
Jawab:
f(z) = 4z –5, L = -1 + 4i z0 = 1 + i
|f(z) – L| = |4z– 5 – (-1 + 4i)|
= |4z – 5 + 1 – 4i| = |4z– 4 – 4i|
o z
z o f z w
( )
= |4z– 4(1 + i)|
= 4|z – (1 + i)|
Untuk 0 < |z – (1 + i)| < , maka 4|z – (1 + i)| < 4.
|f(z) – L | = 4|z – (1 + i)| < 4.
Untuk > 0, agar |f(z) – L| < , ambil 4 = = 𝜀 4.
Jadi, > 0, = 𝜀
4 < 0 0 < |z – (1 + i)| < , |f(z) – (-1 +4i)| < .
Teorema II. D. 1
Jika suatu fungsi mempunyai limit pada titik zo yang diberikan, maka
limitnya mempunyai nilai tunggal.
Bukti:
Misal
lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 =𝑤1, > 0, 𝛿1 > 0 0 < |z–z0| < |f(z) –w1| < 𝜀
2
lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 =𝑤2, > 0, 𝛿2 > 0 0 < |z – z0| < |f(z) – w2| < 𝜀
2
Pilih = min {1, 2}; yaitu pilih sebagai yang terkecil diantara 1 dan
2, maka untuk 0 < |z – z1| < berakibat
|w1–w2| = |w1–f(z) + f(z) –w2|
< 𝜀 2 +
𝜀
2
= .
|w1 – w2| < , 0 |w1 – w2| maka |w1 – w2| = 0
w1 = w2.
Jadi, terbuktilah teorema di atas.
Teorema berikut menyatakan jika dua fungsi kompleks yang
diberikan masing-masing mempunyai limit, maka jumlah, selisih, perkalian
dan pembagian fungsi-fungsi itu mempunyai limit berturut-turut sama
dengan jumlah, selisih, perkalian dan pembagian masing-masing limit
diberikan.
Teorema II. D. 2
Jika lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 =𝐴 dan lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 =𝐵, maka
1) lim𝑧→𝑧0 𝑓 𝑧 +𝑔 𝑧 = lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 + lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 =𝐴+𝐵
2) lim𝑧→𝑧0 𝑓 𝑧 .𝑔 𝑧 = (lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 ) . (lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 ) =𝐴.𝐵
3) lim𝑧→𝑧0𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)=
lim𝑧→𝑧0𝑓(𝑧) lim𝑧→𝑧0𝑔(𝑧)=
𝐴
𝐵 jika B ≠ 0
Bukti:
1) Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 𝜀
2 adalah positif.
Karena lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 =𝐴, maka terdapat suatu bilangan positif 1 sedemikian sehingga
Karena lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 = 𝐵, maka terdapat suatu bilangan positif 2 sedemikian sehingga
0 < 𝑧 − 𝑧0 <𝛿2⇒ 𝑔 𝑧 − 𝐵 < 𝜀 2.
Pilih = min{1, 2}; yaitu pilih sebagai yang terkecil di antara 1
dan 2, maka 0 < 𝑧 − 𝑧0 < menunjukkan
|f (z) + g(z) – (A + B)| = |(𝑓 𝑧 − 𝐴) + (g (z) –B)|
|f (z) –A)| + |g (z) –B)| <
2
+
2
Jadi, lim𝑧→𝑧0 𝑓 𝑧 +𝑔 𝑧 = lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 + lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 =𝐴+𝐵
2) Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 1 2
𝜀
𝑔(𝑧)+1 adalah
positif. Karena lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 = 𝐴, maka terdapat suatu bilangan
positif 1 sedemikian sehingga
0 < 𝑧 − 𝑧0 <𝛿1⇒ 𝑓 𝑧 − 𝐴 <1 2
𝜀 𝑔(𝑧) + 1
Karena lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 =𝐵, maka terdapat suatu bilangan positif 2 sedemikian sehingga
0 < 𝑧 − 𝑧0 <𝛿2 ⇒ 𝑔 𝑧 − 𝐵 <1 2
𝜀 𝐴 + 1.
Pilih = min{1, 2}, yaitu pilih sebagai yang terkecil di antara 1
dan 2, maka 0 <|z–z0|< menunjukkan
|f(z)g(z) – AB| = |f(z)g(z) – Ag(z) + Ag(z) – AB| = |g(z)(f(z) –A) + A(g(z) –B)|
= |g(z)||f(z) –A| + |A||g(z) –B|
3) Berdasarkan bukti 2), maka dapat ditunjukkan
= 𝜀 2
<
Jadi, lim𝑧→𝑧0 1 𝑔(𝑧)=
1
𝐵 =
1 lim𝑧→𝑧0𝑔(𝑧).
Oleh karena itu,
lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧
𝑔 𝑧 = lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧
1 lim
𝑧→𝑧0𝑔 𝑧
=𝐴 𝐵.
E. Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks
Fungsi pangkat didefinisikan sebagai berikut:
𝑤 =𝑒𝑧 =𝑒𝑎+𝑏𝑖 =𝑒𝑎 cos𝑏+𝑖 sin𝑏 ,
di mana e = 2,71828... adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a
bilangan riil positif, maka didefinisikan 𝑎𝑧 = 𝑒𝑧ln𝑎, dengan ln a adalah
logaritma natural (asli) dari a. Jika a = e maka 𝑎𝑧 = 𝑒𝑧ln𝑎 direduksikan
menjadi w. (Spiegel, 1994).
Berikut ini adalah sifat-sifat aljabar yang paling pokok untuk fungsi
pangkat dengan bilangan dasar logaritma natural, yaitu:
Theorema II. E. 1
i. Untuk setiap peubah kompleks z1 dan z2 berlaku sifat-sifat berikut:
1) 𝑒𝑧1+𝑧2 = 𝑒𝑧1𝑒𝑧2
2) 𝑒𝑧1−𝑧2 = 𝑒𝑧1
𝑒𝑧2. ii. Jika 𝑧 =𝑎+𝑏𝑖, maka
2) 𝑒𝑧 =𝑒𝑎 𝑑𝑎𝑛arg(ez) = b.
Bukti:
i. Misalkan z1 = a1 + ib1 dan z2 = a2 + ib2, maka
𝑒𝑧1 =𝑒𝑎1 𝑐𝑜𝑠𝑏1+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑏1 dan 𝑒𝑧2 = 𝑒𝑎2 𝑐𝑜𝑠𝑏2+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑏2 .
1) 𝑒𝑧1𝑒𝑧2 = 𝑒𝑎1𝑒𝑎2 (cos b1 + i sin b1)(cos b2 + i sin b2)
= 𝑒𝑎1+𝑎2((cosb1 cosb2 – sinb1 sinb2) + i(cosb1 sinb2
+ cosb2 sinb1))
= 𝑒𝑎1+𝑎2(cos(b1 + b2) + i sin(b1 + b2))
= 𝑒𝑧1+𝑧2.
2) z1 – z2 = (a1 – a2) + i(b1 – b2), maka
𝑒𝑧1−𝑧2 = 𝑒𝑎1−𝑎2 (cos(b1 – b2) + i sin(b1 – b2))
= 𝑒𝑎1
𝑒𝑎2((cosb1 cosb2 + sinb1 sinb2) + i(sinb1 cosb2 –
cosb1 sinb2))
= 𝑒𝑎1
𝑒𝑎2 ((cosb1 + i sinb1)cosb2 – (cosb1 + i sinb1)i
sinb2)
= 𝑒𝑎1
𝑒𝑎2 (cosb1 + i sinb1)(cosb2 – i sinb2)
=𝑒𝑎1
𝑒𝑎2 .𝑒
𝑏1𝑖 𝑒𝑏2𝑖
= 𝑒𝑎1
𝑒𝑎2 .
𝑒𝑏1𝑖
= 𝑒𝑎1+𝑏1𝑖
𝑒𝑎2+𝑏2𝑖
= 𝑒𝑧1
𝑒𝑧2
ii. Misalkan z = a + ib, maka ez = ea(cosb + isinb) = eacosb + i easinb,
sehingga:
1) Karena z = a + ib maka 𝑧 = a – ib, sehingga: 𝑒𝑧 = ea–ib
= eae–ib
= ea (cosb–i sinb)
= ea cosb – iea sinb
= 𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏+𝑖𝑒𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏
= 𝑒 𝑎(𝑐𝑜𝑠𝑏+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑏)
=𝑒 𝑧.
2) 𝑒𝑧 = 𝑒𝑎(cos𝑏+𝑖sin𝑏) = 𝑒𝑎 cos𝑏+ sin𝑏
= ea . 1 = ea,
Dan arg(ez) = arc tan ( 𝑒𝑒𝑎𝑎sin𝑏
cos𝑏 ) = arc tan(tanb) = b.
F. Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks
Definisi yang diberikan cukup konsisten dengan menggunakan Rumus
Euler, yaitu untuk setiap b bilangan riil,
Dengan menjumlahkan dan mengurangkan kedua rumus tersebut
maka akan diperoleh
cosb = 𝑒𝑖𝑏+𝑒−𝑖𝑏
2 ; sinb =
𝑒𝑖𝑏−𝑒−𝑖𝑏
2𝑖 ,
sehingga dapat didefinisikan fungsi trigonometri dengan peubah kompleks z, sebagai berikut:
cos z = 𝑒𝑖𝑧+𝑒−𝑖𝑧
2 (1.1)
dan
sin z = 𝑒𝑖𝑧−𝑒−𝑖𝑧
2 (1.2)
(Spiegel, 1994).
G. Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks
Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi pangkat
(eksponen), sebagai berikut:
Sinus hiperbolik didefinisikan dengan
sinh z = 𝑒𝑧−𝑒−𝑧
2 (1.3)
dan cosinus hiperbolik dengan
cosh z = 𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧
2 (1.4)
(Spiegel, 1994).
H. Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks
Jika z = ew , maka dapat dituliskan w = ln z , yang dinamakan logaritma
Jika bilangan kompleks z= a + bi, yang dalam bentuk eksponen ditulis z =
rei , maka
w = ln z = ln(rei) = ln r + ln ei = ln r + i
dengan ln r adalah logaritma bilangan riil biasa dengan bilangan pokok e, dan r adalah suatu bilangan riil positif.
I. Notasi Faktorial
Notasi faktorial dinyatakan sebagai berikut:
Definisi II. I. 1
Diberikan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat dari 1 hingga n.
n! = 1.2.3 ... (n – 1).n.
J. Fungsi Gamma
Definisi dari fungsi gamma adalah:
Definisi II. J. 1
Fungsi gamma pada bilangan riil dinyatakan oleh (n) didefinisikan sebagai berikut:
(n) = 𝑒∞ −𝑡𝑡𝑛−1
0 𝑑𝑡; n > 0 (1.5)
dengan n dan t adalah sebarang bilangan riil.
Dari persamaan (1.5) diperoleh:
Misal n = 1, maka
(1) = 𝑒0∞ −𝑡𝑑𝑡 = −𝑒−𝑡|0∞ = - (0 – 1) = 1, sehingga,
(2) = 1.(1) = 1
Sifat dasar fungsi gamma pada bilangan riil adalah:
= lim𝑀→∞ 𝑥𝑀 𝑛𝑒−𝑥 𝑑𝑥
0
= lim𝑀→∞ 𝑥𝑛 −𝑒−𝑥 |0𝑀− −𝑒𝑀 −𝑥 𝑛𝑥𝑛−1 𝑑𝑥
0
= lim𝑀→∞ −𝑀𝑛𝑒−𝑀+𝑛 𝑥0𝑀 𝑛−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
= lim𝑀→∞𝑛 𝑥0𝑀 𝑛−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
= n(n)
ii. (n + 1) = n! , n = 1, 2, 3, ...
(1) = 𝑒0𝑀 −𝑥𝑑𝑥 = lim𝑀→∞ 𝑒𝑀 −𝑥
0 𝑑𝑥
= lim𝑀→∞(1− 𝑒−𝑀) = 1
Dari (i) diperoleh n = 1, 2, 3, ..., (n + 1) = n(n) Sehingga untuk
(2) = 1 (1) = 1
(3) = 2 (2) = 2.1 = 2!
(4) = 3 (3) = 3.2! = 3! ...
(n + 1) = n (n) = n!
iii. Dari (ii) diperoleh (n + 1) = n (n) Maka
iv. (1
2) = 𝜋
(1
2) = 𝑡 1 2−1𝑒−𝑡
∞
0 𝑑𝑡
n n n) ( 1)
(
Nilai (n) untuk 1 n 2 dapat dibaca dari tabel. Tabel berikut ini adalah tabel beberapa nilai (n) untuk 1 n 2.
Tabel 1. Tabel Fungsi Gamma
N (n) 1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
1
0,9513507699
0,9181687424
0,8974706963
0,8872638175
0,8862269255
0,8935153493
0,9086387329
0,9313837710
0,9617658319
1
Nilai (n) dapat ditentukan untuk semua n > 1, dengan n sebarang bilangan riil dengan rumus rekursif (n + 1) = n(n).
Contoh 3: Hitunglah nilai (2,4).
Jawab:
Catatan: Untuk n < 1, nilai (n) dapat dihitung dengan rumus
(n) = (n+1) 𝑛 .
Contoh 4: Hitunglah nilai (0,5).
Jawab:
(0,5) = (1,5) 0,5 =
0,8862269255
0,5 = 1,7724539.
Namun (n) tidak terdefinisi untuk n sama dengan nol atau bilangan bulat negatif, sebab (0) = (1)
0 = 1
0 (tidak terdefinisi). Demikian pula (-1) =
(0)
−1,
(-2) = (−−1)
2 , dan seterusnya, dan ini dinamakan sebagai sifat dasar dari
fungsi gamma pada bilangan riil (Spiegel, 1994).
Selain definisi dari fungsi gamma di atas, fungsi gamma dapat juga
didefinisikan dalam bentuk yang dikenal sebagai rumus Euler sebagai
berikut:
Definisi II. J. 2
(z) = lim𝑛→∞𝑧 𝑧 1.2.3 …𝑛
+1 𝑧+2 …(𝑧+𝑛)𝑛
𝑧
K. Fungsi Beta Definisi II. K. 1 Fungsi beta adalah
𝐵 𝑚,𝑛 = 𝑡𝑚−1(1− 𝑡)𝑛−1
1
0
𝑑𝑡,
untuk m > 0 dan n > 0.
Hubungan fungsi beta dan fungsi gamma adalah:
𝐵 𝑚,𝑛 = 𝑚 (𝑛) (𝑚+𝑛)
(Remmert, 1996)
Bukti:
Misalkan t = x2 dapat ditulis:
(m) = 𝑡∞ 𝑚−1𝑒−𝑡𝑑𝑡
0 = 2 𝑥
2𝑚−1𝑒−𝑥2
∞
0 𝑑𝑥
Misalkan t = y2 dapat ditulis:
(n) = 𝑡∞ 𝑛−1𝑒−𝑡
0 𝑑𝑡= 2 𝑦
2𝑛−1𝑒−𝑦2𝑑𝑦
∞
0
Maka (m).(n) = 4 𝑥0∞ 2𝑚−1𝑒−𝑥2𝑑𝑥 𝑦0∞ 2𝑛−1𝑒−𝑦2𝑑𝑦
= 4 𝑥∞ 2𝑚−1𝑦2𝑛−1𝑒− 𝑥2+𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
0
∞
0
Mentransformasikan ke koordinat polar
x = r cos , y = r sin diperoleh:
(m).(n) = 4 0𝜋/2 𝑟𝑟∞=0 2 𝑚+𝑛 −1𝑒−𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝑚−1𝜃𝑠𝑖𝑛2𝑛−1𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃
= 2(m + n) 𝜋/2𝑐𝑜𝑠2𝑚−1𝜃𝑠𝑖𝑛2𝑛−1𝜃𝑑𝜃 0
(m).(n) = (m + n) . B(m,n)
B(m,n) = 𝑚 (𝑛) (𝑚+𝑛)
Contoh 5: Hitunglah nilai B(3,5).
Jawab: B(m,n) = 𝑚 (𝑛) (𝑚+𝑛)
B(3,5) = 3(5) (3+5)
= 2!4! 7!
= 2 .4! 7.6.5.4!
= 1 105
Contoh 6: hitunglah 𝑥1 2 1− 𝑥 8𝑑𝑥 0
Jawab: 𝐵 𝑚,𝑛 = 𝑡01 𝑚−1(1− 𝑡)𝑛−1𝑑𝑡
𝐵 𝑚,𝑛 = 𝑥01 2(1− 𝑥)8𝑑𝑥
𝐵 𝑚,𝑛 = 𝑥01 3−1(1− 𝑥)9−1𝑑𝑥
B(3,9) = 3 (9) (3+9)
= 2!8! 11!
= 2 11.10.9 =
Sifat-sifat dari fungsi beta pada bilangan real adalah:
i. B(m,n) = B(n,m)
ii. B(m,n) = 2 𝜋/2𝑠𝑖𝑛2𝑚−1𝜃
0 𝑐𝑜𝑠
2𝑛−1𝜃𝑑𝜃
(Arfken,1985)
Bukti:
i. B(m,n) = B(n,m)
B(m,n) = 𝑥1 𝑚−1 1− 𝑥 𝑛−1𝑑𝑥
0 , substitusikan x = 1 – y.
= 01 1− 𝑦 𝑚−1𝑦𝑛−1𝑑𝑥
= 𝑦1 𝑛−1 1− 𝑦 𝑚−1𝑑𝑦
0 = B(n,m)
ii. B(m,n) = 2 0𝜋/2𝑠𝑖𝑛2𝑚−1𝜃𝑐𝑜𝑠2𝑛−1𝜃𝑑𝜃
B(m,n) = 𝑥1 𝑚−1 1− 𝑥 𝑛−1𝑑𝑥
0 , substitusikan x = sin
2
= 𝑠𝑖𝑛/2 2𝜃 𝑚−1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑛−12 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 0
= 2 𝑠𝑖𝑛/2 2𝑚−1𝑐𝑜𝑠2𝑛−1𝑑
