PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

MATRIKS PASCAL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika

Oleh:

Erita Marlina Naibaho NIM : 073114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ii

THE PASCAL MATRIX

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree (S.Si)

in Mathematics

By:

Erita Marlina Naibaho Student Number: 073114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT FAKULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tenanglah kini hatiku, Tuhan memimpin langkahku. Di tiap saat dan kerja, tetap kurasa tanganNya.

Tuhanlah yang membimbingku, tanganku dipegang teguh. Hatiku berserah penuh, tanganku dipegang teguh.

Tak kusesalkan hidupku, betapa juga nasibku.

Sebab Engkau tetap dekat, tanganMu kupegang erat. Tuhanlah yang membimbingku, tanganku dipegang teguh Hatiku berserah penuh, tanganku dipegang teguh.

(Tenanglah Kini Hatiku, Kidung Jemaat No. 410)

Tous les choses arrivent pour une bonne reason

(I believe that everything happens for a reason)

Skripsi dan Gelar Sarjana Sains ini, kupersembahkan dengan penuh kasih kepada Tuhan Yesus Kristus Juru Selamatku yang hidup, Bapak dan Mama tercinta, Abang Saut, Abang Oba, Abang Musa terkasih, dan Kakak Tina tersayang. Kepada teman-teman terbaik, serta Almamater yang kubanggakan.

vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,………. Penulis

vii ABSTRAK

Matriks Pascal P merupakan matriks khusus yang sangat menarik untuk dipelajari lebih detail. Metode yang digunakan untuk mempelajari matriks Pascal adalah dengan mempelajari beberapa sifat pentingnya dan menyelidiki keterkaitannya dengan matriks lain. Terungkap bahwa matriks ini dapat dinyatakan sebagai H

e ,

yaitu H

e

P  dimana H adalah suatu matriks penghasil yang didefinisikan. Matriks Pascal juga memiliki hubungan dengan matriks khusus lain yang terkenal, yaitu matriks Vandermonde. Matriks Pascal dapat dinyatakan dengan menggunakan matriks Vandermonde yaitu PV(t1)V(t)1, di mana



() ( 1) ( 2) ( ( 1))



)

(t  y t y t y t y t n

V  adalah matriks Vandermonde,

dan n T

t t t t

viii ABSTRACT

Pascal matrix P is a special matrix which is very interesting to investigate in more details. The method used to study the Pascal matrix is by learning some important properties and investigating its relation to other matrices. It is revealed that this matrix can be expressed as H

e , i.e. H

e

P  where H is a defined creation matrix. Pascal matrix also has a special relation to another well-known matrix, namely the Vandermonde matrix. Pascal matrix can be expressed using Vandermonde matrix i.e.

1 ) ( ) 1 (   V t V t P , where matrix V(t)



y(t) y(t1) y(t2)  y(t(n1))



is a Vandermonde matrix, and y(t):(1,t,t2,,tn1)T is a defined vector function.

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Erita Marlina Naibaho

Nomor mahasiswa : 073114003

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

MATRIKS PASCAL

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Dengan demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta

Pada Tanggal:……….. Yang menyatakan

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih setia dan karunia-Nya yang melimpah, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “MATRIKS PASCAL”.

Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi di Universitas Sanata Dharma.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan, bimbingan, pengarahan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang teramat dalam kepada :

1. Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan kasih-Nya yang tiada habisnya.

2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J. selaku Dosen Pembimbing yang penuh kasih dan kesabaran dalam memberikan pengarahan, bimbingan, saran dan semagat selama proses penulisan skripsi.

3. M. V. Any Herawati, S.Si, M.Si dan Hartono, S.Si, M.Sc selaku Dosen Penguji Skripsi yang telah banyak memberikan masukan, saran dan ide dalam melengkapi skripsi ini.

4. Ibu Lusia Krismiyati B, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika, yang telah memberikan waktu untuk menerima kedatangan saya di kantor ibu, untuk menanggapi kesulitan ataupun sekedar tempat curhat.

xi

5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dosen Pembimbing Akademik, yang senantiasa memberikan perhatian dan motivasi layaknya seorang bapak kepada anaknya selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini.

6. Seluruh dosen dan karyawan/ti Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak memberikan dukungan baik selama masa perkuliahan maupun dalam masa penyusunan skripsi.

7. Para staff perpustakaan Kampus III Paingan yang telah memberikan pelayanan, kenyamanan tempat dan menyediaan buku-buku pustaka.

8. Kedua orang tua tercinta, Bapakku P. Naibaho, Spd dan Mamaku D. Nadeak serta saudara-saudara terkasih yaitu ketiga abangku Saut Maruli Naibaho Am.T., Andi Juliver Naibaho S.T., Jantri Musa Marolop Naibaho S.T., and my only one sister Pristina Mayrita S.Si., terima kasih banyak atas pengorbanan, doa, cinta, motivasi dan kepercayaan dalam penyelesaian skripsi.

9. Teman-teman angkatan 2006-2011 yang memberikan warna tersendiri. Kalian menjadikan kebersamaan di matematika ini menjadi sempurna. Spesial kepada Amelia Enrika, yang tak henti menanyakan perkembangan skripsi dan revisi. 10. Teman-teman penghuni Kost Icha untuk kebersamaan, motivasi dan suka duka

yang dilalui bersama, ayo semangat mengejar cita-cita. Spesial untuk Kethrin Jesika dan Rosa Delima Spica, yang setia menemani ke perpustakaan.

11. Teman-teman IFI-LIP dan teman-teman kampus, khususnya rekan seperjuangan Teknik Informatika. Terima kasih untuk inspirasi dan dampak positif yang diberikan.

xii

12. Yang terkasih Henfriyandie atas semangat, cinta dan kasih sayang. Terima kasih untuk terus saling mengingatkan, memberikan semangat dan pengorbanan selama ini.

13. Semua pihak yang secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebut satu persatu yang turut membantu dalam proses penyelesaian skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih sangat jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak akan penulis terima dengan senang hati. Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi para pembaca yang memiliki niat mempelajarinya lebih lanjut, meski skripsi ini masih terdapat kekurangan di sana-sini.

Akhir kata penulis mohon maaf apabila ada perkataan yang kurang berkenan dan penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kemajuan jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Yogyakarta,………... Penulis

xiii DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

HALAMAN ABSTRAK ... vii

HALAMAN ABSTRACT ... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xiii

BAB I. PENDAHULUAN ... 1

A. LATAR BELAKANG MASALAH ... 1

B. RUMUSAN MASALAH ... 4

C. PEMBATASAN MASALAH ... 4

D. TUJUAN PENULISAN ... 5

xiv

F. METODE PENULISAN ... 5

G. SISTEMATIKA PENULISAN ... 5

BAB II. MATRIKS ... 7

A. PENGERTIAN MATRIKS ... 7

B. OPERASI PADA MATRIKS ... 11

C. MATRIKS ELEMENTER ... 30

D. DETERMINAN MATRIKS ... 42

BAB III. POLINOMIAL ... 62

A. PENGERTIAN POLINOMIAL ... 62

B. FUNGSI POLINOMIAL ... 67

BAB IV. MATRIKS PASCAL ... 70

A. PENGERTIAN MATRIKS PASCAL ... 70

B. BEBERAPA SIFAT PENTING MATRIKS PASCAL ... 73

BAB V. PENUTUP ... 97

A. KESIMPULAN ... 97

B. SARAN ... 98

1 BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Matriks Pascal telah dikenal sejak zaman kuno, dan telah dijumpai dalam matematika China sejak tahun 1303. Matriks ini dipakai dalam bidang analisis numerik, kombinatorik, dan sebagainya. Di sini akan diperkenalkan beberapa sifat penting dari matriks Pascal beserta bagaimana relasinya dengan matriks lain yang ternama, yaitu matriks Vandermonde.

Kita mengenal adanya teori polinomial dalam matematika. Sebuah ekspresi

a

_n

r

n



a

_n1

r

n1







a

₁

r

1



a

₀ disebut polinomial dalam r jika dan hanya jika eksponen r adalah bilangan bulat positif dimana

a

0,

a

1



a

n adalah

bilangan real. Di sini akan diulas bagaimana relasi antara matriks Pascal dengan polinomial.

Sebelum mendefinisikan matriks Pascal, akan dibahas mengenai kombinasi dimana elemen-elemen dari matriks Pascal dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi. Kombinasi n elemen yang diambil sebanyak r dalam

setiap pengambilan dilambangkan dengan C atau _rn _

     r n

. Kombinasi ini akan

1

1 1 1 2 1 1 3 3 1

Kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen adalah

)! ( ! ! r n r n r n Crn          dimana n!n



n1



n2



n3



...1. Bilangan _      r n juga disebut

koefisien binomial karena merupakan koefisien dari ekspansi binomial



x y



n. Koefisien-koefisien tersebut dapat disusun dalam suatu segitiga yang disebut segitiga Pascal, yang merupakan suatu pola bilangan yang disusun membentuk segitiga dengan aturan koefisien binomial yang ditemukan oleh Blaisc Pascal (1623-1662).

















3 3 2 2 3 2 2 2 1 0 3 3 2 1 b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a                                                                           3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 0

Matriks Pascal n xn adalah matriks segitiga bawah yang elemen-elemen segitiga bawahnya adalah n baris pertama dari segitiga Pascal. Secara umum, kita dapat menyatakan matriks PascalP (pij) sebagai berikut :

, untuk 0 untuk 1 1                 j i j i j i pij

Berikut adalah beberapa contoh matriks Pascal,

 

                              1 3 3 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 , 1 2 1 0 1 1 0 0 1 , 1 1 0 1 , 1

Secara umum, matriks Pascal dapat dinyatakan sebagai berikut:

) (p_ij P  dimana , untuk 0 untuk 1 1                 j i j i j i p_ij dan i, j 1,2,n 0 1 0 . . . 0 1 0 1 0 0 1 12 11                         n p p p _n 0 1 1 . . . 1 1 1 1 0 1 2 22 21                         n p p p n 0 1 2 . . . 2 1 2 1 0 2 3 32 31                         n p p p n . . . . . . . . . 0 1 2 . . . 2 1 2 1 0 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 (                             _{ }  n n p n n p n pn n n n 1 1 1 . . . 1 1 1 1 0 1 2 1                             n n p n n p n pn n nn

Jadi matriks Pascal berordo n  dapat dituliskan sebagai berikut: n

 

                            1 1 ! 2 ) 1 )( 2 ( 1 1 0 0 3 3 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 n n n n p P _ij      . B. RUMUSAN MASALAH

Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut:

1. Apa itu matriks Pascal ?

2. Bagaimana sifat-sifat penting dari matriks Pascal ?

3. Bagaimana hubungan matriks Pascal dengan matriks lain yang terkenal, yaitu matriks Vandermonde ?

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan skripsi ini, penulis akan membatasi beberapa hal yaitu : 1. Materi mengenai matriks Pascal hanya akan dibahas dalam bidang teori

polinomial saja.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan ini adalah untuk mengenal salah satu matriks khusus yaitu matriks Pascal. Selain itu juga untuk mempelajari bagaimana hubungan matriks Pascal ini dengan matriks terkenal lainnya.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami dan mengenal salah satu matriks khusus yang ada, yaitu matriks Pascal.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik matriks Pascal.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan

BAB II. MATRIKS

A. Pengertian Matriks B. Operasi pada Matriks C. Matriks Elementer D. Determinan Matriks BAB III. TEORI POLINOMIAL

A. Pengertian Polinomial B. Fungsi Polinomial BAB IV. MATRIKS PASCAL

A. Pengertian Matriks Pascal

B. Beberapa Sifat Penting Matriks Pascal BAB V. PENUTUP

A. Kesimpulan B. Saran

7 BAB II MATRIKS

Dalam bab ini akan diulang kembali beberapa hal mengenai pengertian-pengertian dasar yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Pembahasan ini meliputi definisi, teorema, dan beberapa hal penting dalam matriks.

A. Pengertian Matriks Definisi 2.1

Matriks adalah jajaran bilangan berbentuk empat persegi panjang yang disusun

menurut baris dan kolom.

Bilangan - bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut elemen atau

anggota matriks. Matriks dapat digunakan untuk menjelaskan sistem persamaan

linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks dapat dioperasikan, seperti dikalikan, dijumlahkan, atau dikurangkan. Bentuk umum sebuah matriks dapat ditulis sebagai berikut :

 

                mn m m n n ij a a a a a a a a a a A      2 1 2 22 21 1 12 11

Matriks dilambangkan dengan huruf kapital, seperti A, B, C dan sebagainya, sedangkan elemen dari suatu matriks dilambangkan dengan huruf kecil yang berkaitan dengan matriks tersebut dan diberi 2 indeks, yaitu a yang ij

menyatakan elemen yang terletak di baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A. Baris ke-i dari matriks A adalah



a_i1 a_i2   a_in



dan kolom ke-j dari matriks A

adalah                 mj j j a a a   2 1

. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan bentuk dan

ukuran dari matriks tersebut, yang disebut ukuran matriks atau ordo matriks. Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berordo m n.

Contoh matriks :            12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A

Matriks A berordo 3 , karena matriks tersebut mempuyai 3 baris dan 4 4 kolom. Bilangan 7 pada matriks A dapat dinyatakan sebagai a₂₃ 7.

Definisi 2.2

Matriks yang mempunyai jumlah baris yang sama dengan jumlah kolomnya disebut

Contoh matriks bujur sangkar:            9 8 7 6 5 4 3 2 1 A Definisi 2.3

Suatu matriks bujursangkarA 

 

a_ij disebut matriks diagonal bila dan hanya bila 0



ij

a untuk i  j.

Contoh matriks diagonal:

. 3 0 0 0 2 0 0 0 1            A Definisi 2.4

Matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1 disebut matriks identitas, dengan lambang I.

Contoh matriks identitas:

. 1 0 0 0 1 0 0 0 1            I

Definisi 2.5

Matriks yang terdiri dari satu baris saja disebut matriks baris atau disebut juga vektor

baris. Matriks yang terdiri dari satu kolom saja disebut matriks kolom atau disebut

juga vektor kolom. Contoh:



1 2 3 4



 A ,            7 6 5 B

Matriks A adalah matriks baris berordo 1 , dan matriks B adalah 4 matriks kolom berordo 3  . 1

Definisi 2.6

Transpos dari matriks adalah matriks A dimana elemen T a_ijdalam sama dengan elemen a dalam ji

T

A untuk semua i dan j .

Contoh: Jika diketahui            6 3 5 2 4 1 A , maka _       6 5 4 3 2 1 T A

Secara umum, A diperoleh dengan menukar baris dengan kolom yang T

bersesuaian dari matriks . Akibatnya, jika A berordo m n, maka A berordo T m

n  .

A A

Definisi 2.7

Matriks A disebut matriks nol jika setiap elemen dari adalah bilangan nol. Contoh matriks nol:

              0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 B A .

B. Operasi pada Matriks Definisi 2.8

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulisA  Bjika ordo kedua matriks tersebut adalah sama, dan elemen yang seletak juga sama, yaitu a _ij b_ij untuk setiap

i dan j .

Contoh diketahui matriks-matriks:

       4 3 2 1 A _        4 3 2 1 B _       0 4 3 0 2 1 C

Matriks-matriks tersebut merupakan tiga matriks yang berbeda. Matriks

B

A  karena terdapat elemen seletak dari kedua matriks tersebut yang berbeda, yaitu

12 12 b

a  . Sedangkan matriks A C dan B C karena ordo matriks yang berbeda.

1. Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan adalah elemen yang letaknya sama.

Definisi 2.9

Misalkan A 

 

aij dan B 

 

bij adalah dua buah matriks berordo m  n. Jumlah

matriks dan B,ditulis A B, adalah matriks berordo mn dengan elemennya

merupakan jumlah elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut. Dalam hal ini kita tulis AB



a_ij b_ij



.

Contoh penjumlahan dua matriks:

Diketahui _       4 3 2 1 A , _       8 7 6 5 B dan _       6 5 4 3 2 1 C , maka . 12 10 8 6 8 7 6 5 4 3 2 1                       B A

Sedangkan penjumlahan matriks A C atau B C tidak terdefinisi karena kedua matriks tersebut mempunyai ordo yang berbeda.

Teorema 2.1

Jumlahan matriks memenuhi sifat-sifat berikut: 1. AB BA(sifat komutatif) Bukti: Misalkan: ) ( ) ( ij ij b B a A   Maka:                                                                                                              mn m m n n mn m m n n mn mn m m m m n n n n mn mn m m m m n n n n mn m m n n mn m m n n a a a a a a a a a b b b b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b a a a a a a a a a B A                               2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 A B   . ■

2. (AB)C A(BC) (sifat asosiatif) Bukti:

Misalkan: A (a_ij), B (b_ij) dan C (c_ij). Maka:

                                                                                                                                                                                                                                                                        mn m m n n mn m m n n mn m m n n mn mn m m m m n n n n mn m m n n mn mn mn m m m m m m n n n n n n mn mn mn m m m m m m n n n n n n mn m m n n mn mn m m m m n n n n mn m m n n mn m m n n mn m m n n c c c c c c c c c b b b b b b b b b a a a a a a a a a c b c b c b c b c b c b c b c b c b a a a a a a a a a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c c c c c c c c c b a b a b a b a b a b a b a b a b a c c c c c c c c c b b b b b b b b b a a a a a a a a a C B A                                                             2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 2 1 1 1 2 2 2 22 22 22 21 21 21 1 1 1 12 12 12 11 11 11 2 2 2 1 1 1 2 2 2 22 22 22 21 21 21 1 1 1 12 12 12 11 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (B C A   . ■

3. AOAuntuk setiap matriks A, di mana O adalah matriks nol. Bukti: Misalkan: ) (aij A  0 ), (   o_ij o_ij

O untuk setiap i dan .j

Maka:                                                                       mn m m n n mn m m n n mn m m n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a O A                     2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A  . ■

4. Untuk setiap matriks A ada matriks B sedemikian sehingga ABO, di mana

O adalah matriks nol. Untuk selanjutnya ditulis BA dan disebut invers dari matriks A terhadap operasi jumlahan.

Bukti: Misal:                 mn m m n n ij a a a a a a a a a a A      2 1 2 22 21 1 12 11 ) ( . Maka:                           mn m m n n a a a a a a a a a A B      2 1 2 22 21 1 12 11 . Dan                                                                                         0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11                     mn mn m m m m n n n n mn m m n n mn m m n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A O  .■

Pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai jumlahan, yaitu ) ( B A B A    .

Contoh pengurangan matriks:

Diketahui matriks-matriks            0 7 9 6 4 5 A dan            2 1 4 5 6 3 B , maka                                           2 6 5 1 2 2 2 1 4 5 6 3 0 7 9 6 4 5 B A . 2. Perkalian Matriks

Ada 2 jenis perkalian pada matriks yaitu, perkalian matriks dengan bilangan real (skalar) dan perkalian matriks dengan matriks.

Definisi 2.10

Matriks A (aij) dikalikan dengan suatu bilangan real k adalah matriks kA yang diperoleh dari hasil kali setiap elemen A dengan k , yaitu kA (kaij).

Contoh: Jika _       1 5 8 3 A , maka _              4 20 32 12 1 5 8 3 4 4 A .

Teorema 2.2

Perkalian matriks dengan bilangan real memenuhi sifat-sifat berikut:

1. c(A )B cAcB Bukti:

Misalkan: A (aij) dan B (bij). Maka:





































                                                                                                                                                   mn m m n n mn m m n n mn mn m m m m n n n n mn mn m m m m n n n n mn mn m m m m n n n n mn m m n n mn m m n n cb cb cb cb cb cb cb cb cb ca ca ca ca ca ca ca ca ca cb ca cb ca cb ca cb ca cb ca cb ca cb ca cb ca cb ca b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a b a b a b a b a b a b a b a c b b b b b b b b b a a a a a a a a a c B A c                                           2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 ) (

                              mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b c a a a a a a a a a c             2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 cB cA   . ■ 2. (c )d AcAdA Bukti: Misalkan: A (a_ij). Maka:                                                                                                mn m m n n mn m m n n mn mn m m m m n n n n mn m m n n mn m m n n da da da da da da da da da ca ca ca ca ca ca ca ca ca da ca da ca da ca da ca da ca da ca da ca da ca da ca a d c a d c a d c a d c a d c a d c a d c a d c a d c a a a a a a a a a d c A d c                          2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

                              mn m m n n mn m m n n a a a a a a a a a d a a a a a a a a a c           2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 dA cA   . ■ 3. (cd)Ac(dA) Bukti: Misalkan: A (aij). Maka:                                                             mn m m n n mn m m n n mn m m n n mn m m n n da da da da da da da da da c da c da c da c da c da c da c da c da c da c a cd a cd a cd a cd a cd a cd a cd a cd a cd a a a a a a a a a cd A cd                     2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

                             mn m m n n a a a a a a a a a d c      2 1 2 22 21 1 12 11 ) (dA c  . ■ 4.  A(1)A Bukti: Misalkan: A (a_ij). Maka:                                                                    mn m m n n mn m m n n mn m m n n ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A                2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( A ) 1 (  . ■

Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B, yaitu AmpBpm. Perkalian matriks

baris A berordo 1n dan matriks kolom B berordo n1, yaitu:



a a a an



A _{1 2 3}  dan                  n b b b b B ₃ 2 1

adalah matriks AB berordo 1 dengan elemennya 1

n nb a b a b a b a_{1 1}  _{2 2} _{3 3} atau dapat ditulis:

n nb a b a b a b a AB _{1 1} _{2 2}  _{3 3}  . Definisi 2.11

Diketahui matriks A berordo m  p dan matriks B berordo p n. Hasil perkalian matriks A dan B, ditulis AB, adalah matriks berordo m  dengan elemen pada n

baris ke-i dan kolom ke- j adalah perkalian matriks baris ke-i dari A dan matriks kolom ke- j dari B .

Contoh:

Diketahui tiga matriks:

                                 2 1 3 , 0 1 2 3 5 0 2 1 , 0 1 1 3 2 4 C B A . 5 0 2 1 14 1 8 0 20 2 12 2 ) 0 )( 0 ( ) 5 )( 1 ( ) 1 )( 0 ( ) 0 )( 1 ( ) 2 )( 0 ( ) 2 )( 1 ( ) 3 )( 0 ( ) 1 )( 1 ( ) 0 )( 1 ( ) 5 )( 3 ( ) 1 )( 1 ( ) 0 )( 3 ( ) 2 )( 1 ( ) 2 )( 3 ( ) 3 )( 1 ( ) 1 )( 3 ( ) 0 )( 2 ( ) 5 )( 4 ( ) 1 )( 2 ( ) 0 )( 4 ( ) 2 )( 2 ( ) 2 )( 4 ( ) 3 )( 2 ( ) 1 )( 4 ( 0 1 2 3 5 0 2 1 0 1 1 3 2 4                                                                        AB

Perkalian ini menghasilkan matriks AB berordo 3 . Perkalian matriks 4

A dan C dan B dan C tidak dapat dilakukan karena jumlah kolom matriks A maupun B tidak sama dengan jumlah baris matriks C .

Teorema 2.3

Perkalian matriks memenuhi sifat-sifat berikut:

1.(AB)C A(BC) (sifat asosiatif)

Bukti:

Misalkan: Matriks A berordo m k. Matriks B berordo k s. Matriks C berordo s n. Maka: n m n s s m n s s k k m C AB C AB C B A C AB           ) ) (( ) ( ) ( ) ( n m n k k m n s s k k m BC A BC A C B A BC A           )) ( ( ) ( ) ( ) (

Dengan demikian (AB)C dan A(BC)memiliki ordo yang sama.

Misalkan: A (a_ij), B (b_ij) dan C (c_ij).

Akan ditunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari (AB)Cdan A(BC)

adalah sama, yaitu:

ij

ij a bc

c

ab) ) ( ( ))

((  untuk semua i dan j .

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) (( 2 2 1 1 2 2 2 22 2 1 21 2 1 1 2 12 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2 2 22 2 2 12 1 1 1 1 21 2 1 11 1 2 2 1 1 2 2 22 2 12 1 1 1 21 2 11 1 kj mk im j m im j m im kj k i j i j i kj k i j i j i kj mk im kj k i kj k i j m im j i j i j m im j i j i kj mk im k i k i j m im i i j m im i i ij c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a b a c b a b a b a c b a b a b a c ab                                                   









                      k p pj mp im k p pj mp im k p pj p i k p pj p i kj mk j m j m im kj k j j i kj k j j i c b a c b a c b a c b a c b c b c b a c b c b c b a c b c b c b a 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 ) ( ) ( ) (      . )) ( (abc _ij  ■ 2.A(BC) AB AC (sifat distributif) Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa A(BC) dan AB AC memiliki ordo yang sama. Misalkan: Matriks A berordo r m. Matriks B berordo m n. Matriks C berordo m n. Maka: n r n m m r n m n m m r C B A C B A C B A C B A              )) ( ( ) ( ) ( ) ( n r m r n r n m m r n m m r AC AB AC AB C A B A AC AB               ) ( ) ( ) (

Misalkan: A (aij), B (bij) dan C (cij).

Akan ditunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari A(BC) dan

AC

AB  adalah sama, yaitu:

ij

ij ab ac

c b

a( )) ( )

(    untuk semua i dan j .

Berdasarkan definisi penjumlahan dan perkalian matriks, diperoleh:

ij ij mj im j i j i mj im j i j i mj im mj im j i j i j i j i mj mj im j j i j j i ij ac ab c a c a c a b a b a b a c a b a c a b a c a b a c b a c b a c b a c b a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1                              . ) (ab ac ij  ■

3. Jika A matriks berordo m n, maka AIn  A dan ImA A, dimana

n

I adalah matriks identitas berordo n ndan

m

I adalah matriks identitas berordo m m.

Bukti: Misalkan:                 mn m m n n ij a a a a a a a a a a A      2 1 2 22 21 1 12 11 ) (                               1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 22 21 1 12 11           nn n n n n n i i i i i i i i i I

. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 22 21 1 12 11                                         mm m m m m m i i i i i i i i i I Maka:                                                                          mn m m n n mn m m n n nn n n n n mn m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a i i i i i i i i i a a a a a a a a a AI                           2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A  dan                                                           1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11                     mn m m n n mm m m m m mn m m n n m a a a a a a a a a i i i i i i i i i a a a a a a a a a AI

               mn m m n n a a a a a a a a a      2 1 2 22 21 1 12 11 A  . ■ Definisi 2.12

Suatu matriks bujursangkar A disebut taksingular (mempunyai invers) jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB BAI . Matriks disebut invers dari matriks A terhadap perkalian. Suatu matriks bujursangkar disebut singular jika tidak memiliki invers terhadap perkalian.

Teorema 2.4 Matriks _       d c b a

A mempunyai invers yaitu _           a c b d bc ad A 1 1 jika dan hanya jika ad bc 0. Bukti: Jika ad bc0, maka                           bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d d c b a AA1 B A

I bc ad ad bc ad bc bc ad cd bc ad cd bc ad ab bc ad ab bc ad bc bc ad ad                                    1 0 0 1 dan . 1 0 0 1 1 I bc ad ad bc ad bc bc ad ac bc ad ac ad bc bd bc ad bd bc ad bc bc ad ad d c b a bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d A A                                                             

Jadi terbukti bahwa matriks A mempunyai invers, yaitu _           a c b d bc ad A 1 1 . Jika _       d c b a

A mempunyai invers, yaitu _           a c b d bc ad A 1 1 , maka 0   bc ad . ■

C. Matriks Elementer

Subbab ini akan membahas sistem persamaan linear, operasi baris elementer dan matriks elementer.

Definisi 2.13

Suatu persamaan linear dalam n variabel adalah persamaan dengan bentuk b x a x a x a_{1 1} _{2 2}  _{n n} 

dimana a1,a2,,an dan b adalah bilangan-bilangan real dan x1,x2,,xn adalah

variabel.

Dengan demikian maka suatu sistem persamaan linear dari m persamaan dalam n variabel adalah satu sistem berbentuk:

m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a                 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1)

dimana a_ij dan b semuanya adalah bilangan-bilangan real.Bilangan _i aij pada sistem

persamaan linear diatas adalah koefisien variabel ke-j dalam persamaan ke-i dan bilangan b adalah konstanta di ruas kanan dalampersamaan ke-i. Koefisien-koefisien _i

               mn m m m n n a a a a a a a a a a a a A      3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 .

Sedangkan konstanta-konstanta pada ruas kanan dapat ditulis sebagai matriks kolom, yaitu:                i b b b b  2 1 .

Jika matriks kolom ini dituliskan bersama-sama dengan matriks koefisien sebagai kolom terakhirnya, maka diperoleh matriks:

              i mn m m m n n b a a a a b a a a a b a a a a      3 2 1 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11 .

Matriks ini disebut matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear.

Sistem persamaan linear pada persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks A x b, yaitu:

                                           m n mn m m m n n b b b x x x a a a a a a a a a a a a        2 1 2 1 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11

dengan                mn m m m n n a a a a a a a a a a a a A      3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 ,                n x x x x  2 1 dan                m b b b b  2 1 .

Ada tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu sistem persamaan linear tanpa mempengaruhi penyelesaiannya. Operasi itu disebut operasi baris elementer dan akan dijelaskan dalam definisi berikut ini.

Definisi 2.14

Operasi baris elementer pada suatu sistem persamaan linear adalah salah satu operasi

berikut:

1. Menukar letak dari dua baris sistem persamaan linear tersebut.

2. Mengalikan suatu baris sistem persamaan linear tersebut dengan konstanta taknol. 3. Mengganti suatu baris sistem persamaan linear tersebut dengan hasil penjumlahan

baris tersebut dan kelipatan baris lain.

Ketiga operasi baris elementer pada suatu sistem persamaan linear bersesuaian dengan ketiga operasi baris elementer pada baris-baris matriks yang didefinisikan berikut ini.

Definisi 2.15

Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi berikut:

1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut.

2. Mengalikan suatu baris matriks tersebut dengan konstanta taknol.

3. Mengganti suatu baris matriks tersebut dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain.

Definisi 2.16

Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika setiap konstanta di ruas kanannya sama dengan nol.

Bentuk umum sistem persamaan linear homogen yang terdiri dari m persamaan linear dengan n variabel x1,x2,,xn adalah

0 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11             n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a     (2)

dimana a_ij dan b_i merupakan konstanta-konstanta real untuk i1,2,,m dan

n

j1,2,, . Dengan notasi matriks, persamaan (2) dapat ditulis sebagai Ax 0, dengan

               mn m m m n n a a a a a a a a a a a a A      3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 ,                n x x x x  2 1 , dan                0 0 0 0  .

Setiap sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, yaitu penyelesaian x1 0,, x2 0,, xn 0.

Definisi 2.17

Suatu matriks bujursangkar E berordo n n dinamakan matriks elementer, jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks Identitas I dengan melakukan sekali n

operasi baris elementer.

Ada tiga jenis matriks-matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer, yaitu

1. Matriks elementer jenis I adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada matriks I dan dilambangkan dengan E . 1

2. Matriks elementer jenis II adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks I dan dilambangkan dengan E . 2

3. Matriks elementer jenis III adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i pada matriks I dan dilambangkan dengan E . ₃

Terdapat hubungan antara matriks elementer dan operasi baris elementer. Misalnya dilakukan operasi baris elementer pada suatu matriks A, dan hasilnya misalkan matriks A . Matriks 1 A ini dapat juga dinyatakan sebagai perkalian suatu 1

matriks elementer E dengan matriks A, seperti yang dibuktikan dalam teorema berikut ini.

Teorema 2.5

Jika matriks elementer E diperoleh dengan cara melakukan operasi baris elementer tertentu terhadap I dan jika A adalah matriks berordo m n, maka hasilkali EA adalah matriks yang dihasilkan jika operasi baris elementer yang sama dilakukan terhadap A.

Bukti: Misalkan                  mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a A      3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 dan

1. Misalkan                  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1     

E adalah matriks yang diperoleh dengan

menukar baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks I. Maka

. 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 3 2 1 3 33 32 31 1 13 12 11 2 23 22 21 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 1                                                   mn m m m n n n mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A E               

Matriks E₁A adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris pertama dengan baris kedua pada matriks A.

2. Misalkan                  1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2      c

E adalah matriks yang diperoleh dengan

. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 2                                                   mn m m m n n n mn m m m n n n a a a a ca ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a c A E               

Matriks E2A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan baris ketiga

dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks A.

3. Misalkan                  1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3      k

E adalah matriks yang diperoleh dengan

mengganti baris ke-3 dengan penjumlahan k kali dari baris ke-1 dan baris ke-3 pada matriks I. Maka

                                 mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a k A E           3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

. 3 2 1 3 1 33 13 32 12 31 11 2 23 22 21 1 13 12 11                      mn m m m n n n n a a a a a ka a ka a ka a ka a a a a a a a a     

Matriks E3A adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti baris ketiga

dengan penjumlahan k kali dari baris pertama dan baris ketiga pada matriks A. ■

Teorema 2.6

Jika E adalah matriks elementer, maka E taksingular dan E adalah matriks 1

elementer dengan jenis yang sama.

Bukti:

1. Misalkan E adalah matriks elementer jenis I yang diperoleh dengan menukar 1

dua baris. Matriks E dapat ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan 1

mempertukarkan lagi baris-baris yang sama. Ini berarti bahwa 1 1



E adalah matriks

elementer jenis I.

2. Misalkan E adalah matriks elementer jenis II yang diperoleh dengan melakukan 2

perkalian baris ke-i dengan suatu konstanta c dengan c0. Matriks E ini dapat ₂

ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan mengalikan baris ke-i dengan

c

/

1 . Hal ini menunjukkan bahwa 21 

3. Misalkan E adalah matriks elementer jenis III yang diperoleh dengan mengganti 3

baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i. Matriks E₃ini dapat ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan -k kali dari baris ke-j dan baris ke-i. Hal ini menunjukkan bahwa 1

3 

E adalah matriks elementer jenis III. ■

Definisi 2.18

Dua matriks disebut ekivalen baris jika salah satu matriks dapat diperoleh dengan melakukan operasi baris elementer sebanyak berhingga kali pada matriks yang lain.

Jadi jika matriks A ekivalen baris dengan matriks B, maka A dapat direduksi menjadi B dengan melakukan sejumlah berhingga operasi baris elementer pada A. Hal ini dapat dilakukan dengan mengalikan matriks A dengan matriks-matriks elementer yang sesuai dari sebelah kiri. Dengan demikian, jika A ekivalen baris dengan B, maka terdapat matriks-matriks elementer E1,E2,,E_k sedemikian

sehingga EkE2E1AB.

Definisi 2.19