4. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

(1)

SMA Negeri 6 Malang

Page 36

4. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 1. Bentuk umum :















2 2 2 1 1 1

c

y

b

x

a

c

y

b

x

a

2. Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan. 3. Metode determinan: D = 2 2 1 1

b

a

b

a

= a1b2 – a2b2; Dx = 2 2 1 1

b

c

b

c

; Dy = 2 2 1 1

c

a

c

a

; x =

D

_x ; y = D D_y

Sistem persamaan linear dengan dua peubah















r

qy

px

c

by

ax

3 kemungkinan dari harga x dan y :

a. Jika

r

c

q

b

p

a



maka harga x dab y tak terhingga banyaknya debab kedua garisnya berimpit. Dua persamaan yang mempunya persamaan semacam itu disebut identik atau saling bergantungan Contoh :















4

2

8

2

4 y

x

y

x

b. Jika

r

c

q

b

p

a

_

_

maka tidak ada harga x dan y yang memenuhi persamaan tersebut sebab kedua

garis saling sejajar , kedua persamaan disebut saling berlawanan Contoh :















18

6

3

8

4

2 y

x

y

x

c. Jika

q

b

p

a



, maka persamaan hanya mempunyai satu harga x dan satu harga y, dimana harga x dan y tersebut merupakan perpotongan dari kedua garis, kedua persamaan tersebut disebut saling bebas tak bergantungan.

Contoh :















6

2

2 y

x

y

x

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1. Bentuk umum :























3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

2. Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan. 3. Metode determinan:

(2)

SMA Negeri 6 Malang

Page 37

D = 3 3 3 2 2 2 1 1 1

c

b

a

c

b

a

c

b

a

=

= (a

1

b

2

c

3

+ b

1

c

2

a

3

+ c

1

a

2

b

3

) –

(a

3

b

2

c

1

+ b

3

c

2

a

1

+ c

3

a

2

b

1

)

Dx = 3 3 3 2 2 2 1 1 1

c

b

d

c

b

d

c

b

d

; Dy = 3 3 3 2 2 2 1 1 1

c

d

a

c

d

a

c

d

a

; Dz = 3 3 3 2 2 2 1 1 1

d

b

a

d

b

a

d

b

a

; x =

D

_x ; y = D D_y ; z =

D

_z Contoh :

Carilah harga x , y dan z dari system persamaan :































4

3

2

1

5

3

2 z

y

x

z

y

x

z

y

x

a. Dengan cara eliminasi































)

3 ...(

4

3

2 )

2 ...(

1

5 )

1 ...(

3

2 z

y

x

z

y

x

z

y

x

Untuk 1 dan 2 mengeliminasi x, sebagai berikut :

) ...(4 1 13 3 2 10 2 2 3 3 2 2 1 1 5 3 2               z y z y x z y x x x z y x z y x

Untuk 1 dan 3 melebur y, sebagai berikut:

(5)

7...

z

2y

4

3

2

3

2 

















z

y

x

z

y

x

Untuk 4 dan 5 melebur x, sebagai berikut :

1 23 23 21 3 6 2 26 6 3 2 7 2 1 13 3                  z z z x z x x x z y z y

Maka nilai x = 2 , y = -4 dan z = -1

b. Cara determinan

Persamaan diubah dahulu menjadi bentuk matriks sbb :











































4

1

3

4

3

2

5

1

3

1

2 z

y

x

; missal matriks

















4

3

2

5

1

3

1

2 A

Untuk mencari determinan digunakan aturan ekspansi determinan sbb :

3

2

1

2

4

3

2

5

1

3

1

2 



Det (A) = (2.-1.4)+(1.5.2)+(-3.1.3)-(2.-1.-3)-(3.5.3)-(-4.1.1)

(3)

SMA Negeri 6 Malang

Page 38

= - 23 Matriks X















4

3

4

5

1

3

1

3

Matriks Y















4

5

1

3

2

Matriks Z















4

3

2

1

3

1

2

Det ( X ) = -46 Det ( Y ) = 92 Det ( Z ) = 23

Harga

2

23

46 )

det(

)

det(







A

X

x

4

23

92 )

det(

)

det(









A

Y

y

1

23

23 )

det(

)

det(







A

Z

z

SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2011 PAKET 12

Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah … a. 90 kg b. 80 kg c. 75 kg d. 70 kg e. 60 kg Jawab : a 2. UN 2011 PAKET 46

Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah …

a. Rp5.000,00 b. Rp7.500,00 c. Rp10.000,00 d. Rp12.000,00 e. Rp15.000,00 Jawab : c 3. UN 2010 PAKET A

Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. sedangkan dua tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah … tahun a. 4 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15

(4)

SMA Negeri 6 Malang

Page 39

Jawab : c

4. UN 2010 PAKET B

Toko A, toko B, dan toko C menjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu berbelanja di sebuah distributor sepeda yang sama. Toko A harus membayar Rp 5.500.000,00 untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar RP 3.000.000,00 untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar … a. RP 3.500.000,00 b. RP 4.000.000,00 c. RP 4.500.000,00 d. RP 5.000.000,00 e. RP 5.500.000,00 Jawab : c 5. UN 2009 PAKET A/B

Irma membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga 57.000,00 sedangkan Ade membeli 3 kg apel dan 5 kg jeruk dengan harga Rp 90.000,00. Jika Surya hanya membeli 1 kg Apel dan 1 kg Jeruk, kemudian ia membayar dengan uang Rp 100.000,00, maka uang kembalian yang diterima Surya adalah …

a. RP 24.000,00 b. RP 42.000,00 c. RP 67.000,00 d. RP 76.000,00 e. RP 80.000,00 Jawab : d 6. UN 2008 PAKET A/B

Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan

4

1 _dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan pertamanya adalah … a. 15 b. 20 c. 30 d. 35 e. 40 Jawab : e 7. UN 2007 PAKET A

Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar?

a. Rp 6.000,00 b. Rp 7.000,00 c. Rp 8.000,00 d. Rp 9.000,00

(5)

SMA Negeri 6 Malang

Page 40

e. Rp 10.000,00

Jawab : c

8. UN 2007 PAKET B

Harga 2 buah pisang, 2 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.400,00. di toko buah yang sama harga sebuah pisang, sebuah apel, dan 2 buah mangga adalah Rp 1.300,00, sedangkan harga sebuah pisang, 3 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.500,00. Harga sebuah pisang, sebuah apel, dan sebuah mangga di toko buah tersebut adalah …

a. Rp 700,00

b.

Rp 800,00 c. Rp 850,00

d.

Rp 900,00 e. Rp 1.200,00 Jawab : d 9. UN 2006

Jika {(xo, yo, zo)}memenuhi sistem persamaan

               4 3 2 5 3 2 3 z y x z y x z y x

, maka nilai zo adalah …

a. –3 b. –2 c. –1 d. 4 e. 5 Jawab : a 10. UN 2005

Diketahui sistem persamaan linear























2

1

3

1

2

1

1 z

x

z

y

x

. Nilai x + y + z = … a. 3 b. 2 c. 1 d. ₂1 e. 3 1 Jawab : e 11. UAN 2004

Penyelesaian dari sistem persamaan

























14

4

6

19

5

2

4

8

2

7

3 z

y

z

y

x

z

y

x

adalah … a. x = 5, y = 3, dan z = 1 b. x = 4, y = –5, dan z = 1 c. x = –3, y = 4, dan z = 1 d. x = –5, y = 3, dan z = 2 e. x = –5, y = 3, dan z = 1 Jawab : e

(6)

SMA Negeri 6 Malang

Page 41

12. EBTANAS 2002

Jika suatu sistem persamaan linear















2

3

2

6 by

ax

by

ax

mempunyai penyelesaian x = 2 dan y = 1, maka a2 + b2 = … a. 2 b. 4 c. 5 d. 8 e. 11 Jawab : d

(7)

SMA Negeri 6 Malang

Page 42

KUMPULAN SOAL SKL UN INDIKATOR 10

Menyelesaikan masalah sistem persamaan linear 1. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan

Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah …

a. 90 kg c. 75 kg e. 60 kg b. 80 kg d. 70 kg

2. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah …

a. Rp5.000,00 d. Rp12.000,00 b. Rp7.500,00 e. Rp15.000,00 c. Rp10.000,00

3. Harga 2 buah pisang, 2 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.400,00. di toko buah yang sama harga sebuah pisang, sebuah apel, dan 2 buah mangga adalah Rp 1.300,00, sedangkan harga sebuah pisang, 3 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.500,00. Harga sebuah pisang, sebuah apel, dan sebuah mangga di toko buah tersebut adalah …

a. Rp 700,00 d. Rp 900,00 b. Rp 800,00 e. Rp 1.200,00 c. Rp 850,00

4. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar?

a. Rp 6.000,00 d. Rp 9.000,00 b. Rp 7.000,00 e. Rp 10.000,00 c. Rp 8.000,00

5. Toko A, toko B, dan toko C menjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu berbelanja di sebuah distributor sepeda yang sama. Toko A harus membayar Rp 5.500.000,00 untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar RP 3.000.000,00 untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar … a. RP 3.500.000,00 d. RP 5.000.000,00 b. RP 4.000.000,00 e. RP 5.500.000,00 c. RP 4.500.000,00

6. Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan ₄1 _{dari jumlah} bilangan yang lain. Bilangan pertamanya adalah

a. 15 c. 30 e. 40

b. 20 d. 35

7. Irma membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga 57.000,00 sedangkan Ade membeli 3 kg apel dan 5 kg jeruk dengan harga Rp 90.000,00. Jika Surya hanya membeli 1 kg Apel dan 1 kg Jeruk, kemudian ia membayar dengan uang Rp 100.000,00, maka uang kembalian yang diterima Surya adalah …

a. RP 24.000,00 d. RP 76.000,00 b. RP 42.000,00 e. RP 80.000,00 c. RP 67.000,00

8. Ibu Juju membeli 4 saset shampo Rejoice dan 3 saset shampo Sunsilk, ia harus membayar Rp 4.250,00. dan ibu Atun membeli 2 saset shampo Rejoice dan 2 saset shampo Sunsilk, ia harus membayar Rp 2.400,00. jika Ibu Salmah membeli 4 saset shampo Rejoice dan 1 shampo Sunsilk, maka ia harus membayar ...

a. Rp 3.150,00 d. Rp 3.750,00 b. Rp 3.250,00 e. Rp 4.000,00 c. Rp 3.550,00

9. Empat tahun yang lalu umur Pak Ahmad lima kali umur Budi. Empat belas tahun yang akan datang umur Pak Ahmad akan menjadi dua kali umur Budi. Jumlah umur Pak Ahmad dan umur Budi sekarang adalah… tahun

a. 54 c. 40 e. 34

b. 44 d. 36

10. Usia A sekarang 8 tahun lebih tua dari usia B, sedangkan 4 tahun yang lalu usia B sama dengan dua pertiga dari usia A. Usia B sekarang adalah… tahun

a. 14 c. 20 e. 28

b. 17 d. 25

11. Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. sedangkan dua tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah … tahun

a. 4 c. 9 e. 15

b. 6 d. 12

12. Budiman mengerjakan seluruh soal yang banyaknya 70 soal. Sitem penilaian adalah jawaban yang benar diberi skor 2 dan yang salah diberi skor –1 . Jika skor yang yang diperoleh Anto sama dengan 80, maka banyaknya soal yang Budiman jawab salah sama dengan….

a. 40 c. 30 e. 20