Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Fasor

(1)

Analisis

Rangkaian

_Rangkaian

Lis

_Lis

trik

_trik

Di

Kawasan

Fasor

Oleh

: Sudaryatno

:

Sudaryatno

Sudirham

Open Course

(2)

Pengantar

Sajian kuliah ini mengenai analisis rangkaian listrik di

kawasan fasor dalam kondisi mantap, yang hanya berlaku

untuk sinyal sinus

Dengan fasor, operasi-operasi diferensial dan integral pada

elemen-elemen dinamis dapat dihindari

(3)

Fasor dan Impedansi

Kaidah Rangkaian dan Diagram Fasor

Teorema Rangkaian dan Metoda Analisis di Kawasan Fasor

Analisis Daya

Penyediaan Daya dan Perbaikan Faktor Daya

Sistem Tiga Fasa Seimbang

(4)

(5)

Tujuan :

Memahami dan mampu menyatakan sinyal sinus

ke dalam bentuk fasor

Mampu melakukan operasi-operasi fasor

Memahami konsep impedansi di kawasan fasor

Mampu melakukan perhitungan rangkaian

(6)

Mengapa Fasor

(7)

Di kawasan waktu, bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagai

)

cos(

ω

−

θ

=

A

t

y

Sudut fasa Frekuensi sudut Amplitudo

Analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral, karena hubungan arus-tegangan

elemen-elemen adalah

dt

di

L

v

_L

=

L

dt

dv

C

i

_C

=

C

=

∫

_i

_dt

C

v

_C

1

_C

Mengapa

(8)

Mengapa

Fasor

?

Sementara itu bentuk gelombang sinus sangat luas di gunakan.

Energi listrik, dengan daya ribuan mega watt, dislurkan menggunakan bentuk gelombang sinus.

Demikian pula radio dan televisi menggunakan bentuk gelombang sinus dalam transmisinya.

Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika

(9)

Dalam matematika ada sebuah fungsi yang turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu sendiri, yaitu

fungsi eksponensial

Mengapa

Fasor

?

Jika sinyal sinusoidal dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial, maka operasi diferensial akan

sangat dipermudah bahkan dihindarkan

x x

e

dx

de =

x x

Ae

dx

dAe =

(10)

Keinginan itu ternyata bisa dipenuhi karena

ada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu identitas Euler

x

j

x

e

jx

=

cos +

sin

Ini adalah fungsi eksponensial kompleks

Berikut ini kita akan melihat ulang bilangan kompleks

Mengapa

Fasor

?

Ini adalah fungsi cosinus yang digunakan untuk menyatakan

(11)

Bilangan

(12)

Pengertian Tentang Bilangan Kompleks

0

1

2

₊

₌

s

Tinjau Persamaan:

j

s

=

−

1 =

Akar persamaan adalah:

Bilangan tidak nyata (imajiner)

Bilangan

Kompleks

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x x

(13)

Bilangan kompleks

s

didefinisikan sebagai:

s

=

a

+

jb

dengan

a ∈ ℜ

dan

b ∈ ℜ

bagian nyata dari s

Re(s) = a

bagian imajiner dari s Im(s) = b

Bilangan

Kompleks

a

Re

Im

s = a + jb

jb

(sumbu nyata) (sumbu imajiner)

(14)

Representasi Grafis Bilangan Kompleks

S = |S|cosθ + j|S|sinθ

|S|cosθ = Re (S)

|S| sinθ = Im (S)

θ = tan

−1

(b/a)

2 2

b

a

S

=

+

Bilangan

Kompleks

bagian nyata dari S bagian imaginer dari S

a

Re

Im

S = a + jb

jb

(sumbu nyata) (sumbu imajiner)

Re

Im

S = a + jb

θ

| S

|

jb

a

Bilangan kompleks dinyatakan dengan menggunakan vektor

(15)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Re Im 4 3 2 1 -1 -2 -3 3 + j4 θ = 5cosθ + j5sinθ 5

Bilangan

Kompleks

Contoh:

(16)

Operasi-Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Penjumlahan dan Pengurangan

jb

a

s

₁

=

+

)

(

)

(

2 1

s

a

p

j

b

q

s

−

=

−

+

−

Perkalian

)

)(

(

)

)(

(

s

₁

s

₂

=

a

+

jb

p

+

jq

Pembagian

jq

p

jb

a

s

+

=

2 1

jq

p

s

₂

=

+

jb

a

s

₁

=

+

jq

p

s

₂

=

+

)

(

)

(

2 1

s

a

p

j

b

q

s

+

=

+

)

(

)

(

ap

−

bq

+

j

aq

+

bp

=

2 2

)

(

)

(

q

p

aq

bp

j

bq

ap

+

−

+

=

jq

p

jq

p

−

×

Bilangan

Kompleks

(17)

--4

3 dan

3

2

₂ 1

j

s

j

s

=

+

=

+

25

1

25

18

4

3 )

9

8 (

)

12

6 (

4

3

4

3

4

3

2

2 2 2 1

j

s

+

=

+

−

+

=

−

×

+

=

7

5 )

4

3 (

)

3

2 (

2 1

s

j

s

+

=

+

=

+

1

1 )

4

3 (

)

3

2 (

2 1

s

j

s

−

=

+

−

+

=

−

17

6 )

9

8 (

)

12

6 (

)

4

3 )(

3

2 (

)

)(

(

₁ ₂

j

s

+

−

=

+

−

=

+

=

Bilangan

Kompleks

Contoh:

diketahui:

(18)

Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar

)

sin

(cos

) (τ+ θ

₌

τ θ

₌

τ

_θ

₊

_θ

j

e

j j

Fungsi eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagai

dengan eτ adalah fungsi eksponensial riil

jb

a

S

=

+

)

sin

(cos

2 2

₊

_θ

₊

_θ

=

a

b

j

S

θ

+

=

j

e

b

a

S

2 2

Dengan identitas Euler ini bilangan komleks yang dituliskan sebagai:

Bilangan

Kompleks

θ

+

θ

=

θ

sin

cos

j

e

j

dan Ini identitas Euler

Penulisan bilangan kompleks di atas adalah penulisan dalam bentuk sudut siku yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:

(19)

|S| = 10

8 ,

4

8 ,

8 )

48 ,

0

88 ,

0 (

10 )

5 ,

0 sin

5 ,

0 (cos

10 j

j

S

+

=

+

=

+

=

sudut fasa: θ = ∠S = 0,5 rad

S = 10 e

j0,5

Bentuk Polar

Bentuk Sudut Siku

rad 93 , 0 3 4 tan 1 = = θ = ∠S −

S = 3 + j4

S = 5e

j 0,93

5

4

3 |

|

S

=

2

+

2

=

Bentuk Sudut Siku Bentuk Polar

5

4

3 |

|

S

=

2

+

2

=

∠∠∠∠S ==== −−−−θ ==== tan−−−−1 ₃4 ==== 0,93 rad

S = 3 − j4

S = 5e

− j 0,93

Bentuk Sudut Siku Bentuk Polar

Bilangan

Kompleks

Contoh:

(20)

Kompleks Konjugat

S = a + jb

S = a − jb*

Re

Im

S

*

_{= p + jq}

S = p − jq

Re

Im

*

atau

|

*

S

2

|S|

S

=

(

)

( )( )

* * 2 1 2 1

S

×

*

=

_*

*

1 1 2 1

S

=













(

)

* * 2 1 2 1

S

+

*

=

+

Bilangan

Kompleks

Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut:

Bilangan kompleks

S

mempunyai konjugat

S

*

Konjugat dari

S = a + jb

adalah

S

*

_{= a - jb}

(21)

Pernyataan Sinyal Sinus

Dalam Bentuk Fasor

(22)

Fasor

Sinyal Sinus di kawasan waktu :

_v

=

_A

_cos(

ω

_t

+

θ

₎

Mengingat relasi Euler, fungsi ini bisa dipandang sebagai

bagian riil dari suatu bilangan kompleks

A e j(ωt+θ) = A {cos(ωt + θ) + j sin(ωt + θ)} = V

v = Re(V) = Re ( A e

jω t

_e

j θ

₎

sehingga dapat ditulis dalam bentuk;

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

hanya amplitudo

A

dan sudut fasa θ yang diperhatikan karena ω diketahui sama untuk seluruh sistem

Inilah yang disebut

Fasor

Jika seluruh sistem (rangkaian) mempunyai ω

bernilai sama maka

e

jωt _{bernilai tetap}

sehingga tak perlu selalu dituliskan

V = A e

j θ

dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks : dan sinyal sinus

_v

=

_A

_cos(

ω

_t

+

θ

₎

Re dan e

jωωωω

(23)

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Penulisan dan Penggambaran Fasor

θ

∠

=

θ

A

Ae

j

V

dituliskan

sin

cos

θ

+

θ

=

θ

∠

=

A

jA

V













∠

+

=

+

=

−

a

b

a

jb

a

2 2

tan

1

V

V |A| θ Im Re a jb Karena hanya amplitudo dan sudut

(24)

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Contoh: penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor

07 , 7 07 , 7 ) 45 sin( 10 ) 45 cos( 10 atau 45 10 o o 1 o 1 j j − = − + − = − ∠ = V V

)

45

500 cos(

10 )

(

o 1

t

=

t

−

v

)

30

500 cos(

15 )

(

o 2

t

=

t

+

v

5 , 7 99 , 12 ) 30 sin( 15 ) 30 cos( 15 atau 30 15 o o 2 o 2 j j = + + = ∠ = V V menjadi: menjadi: Pada frekuensi ω = 500

1000

cos

4 )

(

1

t

i

=

−

4 ) 0 sin( 4 ) 0 cos( 4 atau 0 4 o o 1 o 1 − = − − = ∠ − = j I I

)

90 1000

cos(

3 )

(

o 2

t

=

t

−

i

3 ) 90 sin( 3 ) 90 cos( 3 atau 90 3 o o 2 o 2 j j − = − + − = − ∠ = I I menjadi: menjadi: Pada frekuensi ω = 1000

(25)

Fasor Negatif dan Fasor Konjugat

A

|A|

θ

Im

Re

−−−−A

|A|

A

*

−θ

a jb

−

a

−

jb

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Jika

A

= A

∠

θ

−

∠

= A

*

A

(

)

(

180 )

180

o o

−

θ

∠

=

+

θ

∠

=

−

A

maka negatif dari

A

adalah

dan konjugat dari

A

adalah

jb

a −

−

=

− A

jb

a −

=

*

A

jb

a +

=

A

Jika

(26)

• Perkalian

₍

₎

2 1

+

θ

∠

=

×

B

AB

A

)

(

₁ ₂ 2 1

=

∠

θ

−

θ

∠

θ

∠

=

B

A

B

A

B

A

• Pembagian

Operasi-Operasi Fasor

2

θ

∠

= B

B

1

θ

∠

= A

A

(

) (

)

(

cos

₁1

cos

₂2

) (

sin

₁1

sin

₂2

)

sin

cos

θ

−

θ

+

θ

−

θ

=

−

θ

+

θ

+

θ

+

θ

=

+

B

A

j

B

A

B

A

j

B

A

B

A

B

A

• Penjumlahan dan Pengurangan

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Jika diketahui : maka :

(27)

o 1

=

10 −

∠

45 V

o 2

=

15∠

30 V

o 1

=

−

4∠

0 I

o 2

=

3 −

∠

90 I

((((

4 0

)))) ((((

0 3

))))

4 3 2 1 3 ==== I ++++I ==== −−−− ++++ j ++++ −−−− j ==== −−−− −−−− j I o 1 2 2 3 5 216 ,9 4 3 tan ) 3 ( ) 4 (  ==== ∠∠∠∠      −−−− −−−− ∠ ∠ ∠ ∠ −−−− ++++ −−−− ==== −−−− I o o o * 1 1 1 ==== V I ==== (10∠∠∠∠ −−−− 45 )×××× (−−−−4∠∠∠∠0 ) ==== −−−−40∠∠∠∠ −−−− 45 S o o o * 2 2 2 ==== V I ==== (15∠∠∠∠30 )××××(3∠∠∠∠90 ) ==== 45∠∠∠∠120 S o o o 2 2 2

5

120

90

3

30

15 ∠

=

−

∠

=

I

V

Z

o o o 1 1 1

2 .

5

45

0

4

45

10 −

∠

−

=

∠

−

∠

=

I

V

Z

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Bentuk Fasor

Contoh

Diketahui: maka : Re I₃ -4 -3 Im 216,9o 5

(28)

Impedansi

(29)

Impedansi

Impedansi di kawasan fasor

Impedansi suatu elemen rangkaian di kawasan fasor adalah perbandingan antara

fasor tegangan dan fasor arus elemen tersebut

x

Z

I

V

=

impedansi fasor tegangan fasor arus Catatan:

Ada pengertian impedansi di kawasan s yang belum akan kita pelajari dalam kuliah ini

(30)

• Resistor

θ ω θ + ω

=

θ

+

ω

=

j t j Rm t j Rm Rm R

e

i

e

i

t

i

t

i

)

cos(

)

(

) (

+ v

_R

−

i

_R θ ω

=

j t j Rm R R

e

Ri

t

Ri

t

v

)

(

)

(

θ

∠

=

_R R

I

R R

RI

V =

R R

R

I

V

=

Kawasan fasor

Kawasan waktu

Impedansi

Impedansi

resistansi resistor di kawasan waktu bernilai sama dengan

impedansinya di kawasan fasor

R R

i

v

R =

(31)

• Induktor

Impedansi

i

_L

+

_v

L

−

ω θ θ + ω

=

θ

+

ω

=

j t j Lm t j Lm Lm L

e

i

e

i

t

i

t

i

)

cos(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

θ ω

ω

=

j t j m L L

e

i

L

j

dt

t

di

L

t

v

θ

∠

=

_L L

I

L L

j

L

I

V

=

ω

L

j

Z

L L L

=

ω

I

V

Kawasan fasor

Impedansi

dt

di

L

v

_L

=

L

Kawasan waktu

(32)

• Kapasitor

i

_C

+ v

_C

−

`

)

(

)

(

) (ω +θ

ω

=

t j Cm C C

e

v

C

j

dt

dv

C

t

i

) (

)

cos(

)

(

θ + ω

=

θ

+

ω

=

t j Cm Cm C

e

v

t

v

t

v

Kawasan fasor

Impedansi C C

j

C

V

I

=

ω

θ

∠

=

_C C

V

C

j

C

j

Z

C C C

ω

−

=

ω

=

1

1 I

V

Impedansi

dt

dv

C

i

_C

=

C

Kawasan waktu

(33)

Impedansi

• Impedansi dan Admitansi

R R

R

I

V

=

Z

j

L

L L L

=

ω

I

V

C

j

C

j

Z

C C C

=

_ω

=

−

_ω

1

1 I

V

Impedansi: Z Admitansi: Y = 1 / Z

R

Y

_R

=

1 L

j

L

j

Z

Y

L L

ω

−

=

ω

=

1

1 j

C

Z

Y

C C

=

ω

1 I

V

=

Z

V

I

=

Y

Perhatikan: relasi ini adalah relasi linier.

Di kawasan fasor kita terhindar dari perhitungan diferensial.

(34)

• Impedansi Secara Umum

)

(

)

(

ω

+

ω

=

R

jX

Z

(

)

(

)



_









+

ω

−

ω

+

ω

=

ω

+

ω

+

ω

=

+

1

1 )

/

1 (

)

/

1 (

2 2 2 //

RC

C

R

L

j

RC

R

C

j

R

C

j

R

L

j

Z

_L _R _C

• Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan

yang berbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlah

fasor. Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari

dua konsep yang berbeda.

– Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus

– Impedansi adalah pernyataan elemen.

Impedansi

(35)

(36)

Memahami kaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasor

Mampu mengaplikasikan kaidah-kaidah rangkaian

Mampu menggambarkan diagram fasor

(37)

Kaidah

-

_-

Kaidah

_Kaidah

Rangkaian

(38)

L

j

R

Z

_RL_seri

=

+

ω

(

)

I

V

_RL_seri

=

R

+

j

ω

L

R

+ V

_R

−

I

+ V

_L

−

jωL

C

j

R

Z

_RC _seri

ω

−

=

I

V

1 _











ω

+

=

C

j

R

seri RC

+ V

_C

−

R

−

j/ωC

+ V

_R

−

I

• Hubungan Seri

Kaidah

(39)

I

V













ω

−

ω

=

C

j

L

j

seri LC













ω

−

ω

=

C

L

j

Z

_LC _seri

1 −

j/ωC

jωL

+ V

_L

−

+ V

_C

−

I

• Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi Tegangan

Kaidah Pembagi Tegangan

n seri total seri total seri total

Z

+

⋅

+

=

2 1

I

V

total seri total k k

Z

V

=

×

Kaidah

(40)

• Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi Arus

V

I

_k k k

Y

Z

=

V

I

_total n k k n k k total

=

∑

=

∑

Y

=

Y

= =1 1 n n k k total

Z

Y

1

2 1 1

+

⋅

+

=

∑

= total total k k k

Y

V

I

=

I

₃

R

I

_total

jωL

−

j/ωC

I

₁

I

2

Kaidah

-

Kaidah

Rangkaian

Impedansi

(41)

Diagram

(42)

• Arus Dan Tegangan Pada Induktor

I

_L

V

_L

Re

Im

_Arus

90

o

_{di belakang}

tegangan

L = 0,5 H , i_L(t) = 0,4cos(1000t) A

Ω

=

×

=

j

1000

0 ,

5 j

500 Z

_L

V

90

200

0

4 ,

0

90

500

0

4 ,

0 )

500 (

o o o o

∠

=

∠

×

∠

=

∠

×

=

Z

_L _L

j

L

I

V

Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

Di kawasan waktu:

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 0,002 0,004 0,006 0,008 100 i_L(t)

v

_L

(t)

V A detik

Diagram

(43)

• Arus Dan Tegangan Pada Kapasitor

C

= 50 pF , i

_C

(t) = 0,5cos(10

6

_t

_{) mA}

V

90

10 )

0

10

5 ,

0 (

)

90

10

20 (

k

20 )

10

50 (

10

1

o o 3 o 3 12 6

−

∠

=

∠

×

−

∠

×

=

Ω

−

=

×

−

=

ω

=

− − C C C C

Z

j

C

j

Z

I

V

I

_C

V

_C

Re

Im

arus

90

o

_mendahului

tegangan

Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0) detik

Di kawasan waktu:

-10 -5 0 5 10 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 10 i_C(t) V mA v_C(t)

Diagram

(44)

• Beban Kapasitif

A

40

5 dan

V

10

120 ∠

o

=

∠

o

=

I

V

Ω

−

=

−

+

−

=

Ω

−

∠

=

∠

=

12

8 ,

20 )

30 sin(

24 )

30 cos(

24

30

24

40

5

10

120

_o o o

j

Z

_B

I

V

Pada sebuah beban :

v

(t) =120cos(314t +10

o

_{) V}

i

(t) = 5cos(314t + 40

o

_{) A}

I

V

Re

Im

arus

mendahului

tegangan

Diagram

(45)

• Beban Induktif

Pada sebuah beban :

v

(t) =120cos(314t + 20

o

_{) V}

i

(t) = 5cos(314t − 40

o

_{) A}

Ω

+

=

+

=

Ω

∠

=

−

∠

=

8 ,

20

12 )

60 sin(

24 )

60 cos(

24

60

24

40

5

20

120

o o o o o

j

Z

_B

I

V

I

V

Re

Im

arus

tertinggal dari

tegangan

A

40

5 dan

V

20

120 ∠

o

=

∠

−

o

=

I

V

Diagram

(46)

• Beban : RLC seri ,

mencari solusi di kawasan waktu

Ω − ∠ = − ∠ + = Ω − = + − = − 87 , 36 125 100 75 tan ) 75 ( ) 100 ( 75 100 25 100 100 o 1 2 2 j j j Z_tot A 36,87 2 87 , 36 125 0 250 _o o o ∠ = − ∠ ∠ = = tot s Z V I

Diagram

Fasor

i

(t) = 2 cos(500t + 36,87

o

_{) A}

Kembali ke kawasan waktu

25 10 50 500 100 10 20 500 100 V; 0 250 3 6 o Ω = × × = Ω − = × × − = Ω = ∠ = − − j j Z j j Z Z L C R s V

100Ω

−j100Ω

j

25Ω

V

_s

=

250∠0

o

_V

+

−

Transformasi rangkaian ke kawasan fasor

100Ω

+

−

20µF

50mH

v_s(t) = 250 cos500t V

i = ?

(47)

Ω − ∠ = − ∠ + = Ω − = + − = − 87 , 36 125 100 75 tan ) 75 ( ) 100 ( 75 100 25 100 100 o 1 2 2 j j j Z_tot A 36,87 2 87 , 36 125 0 250 _o o o ∠ = − ∠ ∠ = = tot s Z V I

100Ω

−j100Ω

j

25Ω

V

_s

=

250∠0

o

_V

+

−

Diagram

Fasor

I

V

Re

Im

100Ω

+

−

20µF

50mH

v_s(t) = 250 cos500t V Transformasi rangkaian ke kawasan fasor

Beban RLC seri ini bersifat kapasitif

|Z

_C

| > |Z

_L

| arus mendahului tegangan

25 ; 100 100 ; 0 250 o Ω = Ω − = Ω = ∠ = j Z j Z Z L C R s V

(48)

100Ω −j100Ω

j

25Ω

V

_s

=

250∠0

o

_V

+

−

V

_L

= jX

_L

I

V

_R

= RI

V

_s

Re

Im

V

_C

= −jX

_C

I

Diagram

Fasor

V 26,87 1 0 5 0 250 87 , 36 125 90 25 V ,13 3 5 200 0 250 87 , 36 125 90 100 V 36,87 200 0 250 87 , 36 125 100 o o o o o o o o o o o ∠ = ∠ − ∠ ∠ = − ∠ = ∠ − ∠ − ∠ = ∠ = ∠ − ∠ = L C R V V V A 36,87 2 87 , 36 125 0 250 o o o ∠ = − ∠ ∠ = = tot s Z V I 87 , 36 125 75 100− = ∠− o Ω = j Z_tot

Fasor Tegangan Tiap Elemen

Fasor tegangan rangkaian mengikuti hukum Kirchhoff

L C

R

s

V

(49)

• Beban : RLC seri, induktif

V

0

250

100

25

100

o

∠

=

Ω

=

Ω

−

=

Ω

=

s L C R

j

Z

j

Z

V

Ω

∠

=

∠

+

=

Ω

+

=

+

−

=

−

87 ,

36

125

100

75 tan

)

75 (

)

100 (

75

100

25

100

o 1 2 2

j

Z

_tot

A

36,87

2

87 ,

36

125

0

250

_o o o

−

∠

=

∠

=

tot s

Z

V

I

100Ω

−j25Ω

j

100Ω

V

_s

=

250∠0

o

_V

+

−

I

V

Re

Im

Diagram

Fasor

Pada beban kapasitif |Z_L| > |Z_C| arus tertinggal dari tegangan

(50)

• Beban : RLC paralel

Diagram

Fasor

.

0

250

01 .

0

04 .

0

01 .

0

o

∠

=

Ω

−

=

Ω

=

Ω

=

s L C R

j

Y

j

Y

V

03 .

0

01 .

0

01 .

0

04 .

0

01 .

0 j

j

Y

_tot

+

=

Ω

−

+

=

100Ω −j25Ω j100Ω V_s= 250∠0o_V

+

−

I o 1 2 2

6 .

71

9 .

7

5 .

2

5 .

7 tan

5 .

7

2.5

5 .

7

5 .

2 )

03 .

0

01 .

0 (

250 ∠

=

+

=

+

=

+

×

=

−

j

Y

V

I

V

Re

Im

(51)

(52)

Tujuan:

Memahami teorema-teorema rangkaian di kawasan fasor

Memahami metoda analisis rangkaian di kawasan fasor

Mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan fasor pada

(53)

Teorema Rangkaian

(54)

• Prinsip Proporsionalitas

X

Y

=

K

Y

= fasor keluaran, X = fasor masukan, dan K = konstanta

proporsionalitas yang pada umumnya merupakan bilangan kompleks

• Prinsip Superposisi

*

selalu berlaku di kawasan waktu

*

berlaku di kawasan fasor bila frekuensi sama

Teorema Rangkaian

(55)

• Teorema Thévenin dan Norton

T ( T ( ( ( T T

Z

Y

Z

;

=

;

=

1 =

I

V

R

_T

A

B

v

_T

+

−

V

T

Z

_T

A

B

+

−

Kawasan waktu Kawasan fasor

Teorema Rangkaian

(56)

• Contoh Prinsip Superposisi

20cos4t V +_ 8Ω _i _3cos4_{t A} o 3H 20∠0o +_{_} 8Ω − j6Ω I_o1 j12Ω _8Ω 3∠0o − j6Ω I_o2 j12Ω A 9 , 36 2 9 , 36 10 0 20 6 8 0 20 6 12 8 0 20 o o o o o o1 − ∠ = ∠ ∠ = + ∠ = − + ∠ = j j j I A 4 , 19 32 , 4 0 3 9 , 36 10 3 , 56 4 , 14 0 3 6 8 12 8 0 3 ) 12 8 /( 1 ) 6 /( 1 ) 6 /( 1 o o o o o o o2 ∠ = ∠ × ∠ ∠ = ∠ × + + = ∠ × + + − − = j j j j j I

24 ,

0

7 ,

5

44 ,

1

1 ,

4

2 ,

1

6 ,

1

o2 1 o o

=

I

+

I

=

−

j

+

j

=

+

j

I

o o

=

5 ∠

,

7

2 ,

4 I

i

_o

(

t

)

=

5 ,

7 cos(

4 t

+

2 ,

4

o

)

Teorema Rangkaian

(57)

V

3 ,

39

9 ,

19

45

20

7 ,

5

995 ,

0

45

20

100

10

100 V

90

10

90

1 ,

0

100

o o o o o

∠

=

∠

×

−

∠

=

∠

×

−

=

−

∠

=

−

∠

×

=

j

B A

V

(

15 ,

4

12 ,

6 )

15 ,

6

22 ,

6 V

10

3 .

39

9 ,

19

90

10

o o

j

B A T

−

=

+

−

=

∠

−

∠

=

−

=

V

Ω

−

=

−

×

+

=

109 ,

9

0 ,

99

100

10 )

100 (

10

100 j

j

Z

_T

+

−

−j100Ω

10Ω

100Ω

0,1∠−90

o

_A

20∠45

o

_V

`

A

B

Contoh Rangkaian Ekivalen Thévenin

+

−

V

_T

Z

T

A

_B

Teorema Rangkaian

(58)

(59)

• Metoda Keluaran Satu Satuan

−j9Ω −j3Ω + − −− − 14∠0 V 12Ω A B C D 9Ω 3Ω I_x j3Ω I₁ I₂ I₃ I₄ + v_x− + − −− − 14cos2t V 12Ω A B C D 9Ω 3Ω i_x 3/2 H 1/6 F 1/18 F

t

i

K

x x x

2 cos

5 ,

0

5 ,

0

28

0

14

28

1

28

1

o _o A A

=

→

∠

=

∠

=

→

=

I

V

I

A ) 0 1 ( Misalkan I_x = + j

(

12 9

)

28 V 1 3 4 = −       ₊ + = _B j j A V V V 3 j C = V V 1 3 I₄ = VC = j

(

1 j1

)

A x + = + = ₄ 3 I I I

(

− 3

)

= 3− 3

(

1+ 1

)

= 3 V + = _C j j j j B V I3 V A 3 1 9 2 = = B V I 1 A 3 4 ₁ ₂ ₃       ₊ = + =I I j I

Metoda Analisis Dasar

(60)

• Metoda Superposisi

A

)

8 ,

73

2 cos(

3 )

9 ,

36

4 cos(

2 sehingga

A

)

8 ,

73

2 cos(

3 dan

A

)

9 ,

36

4 cos(

2

o o o2 o1 o o 2 o o 1 o

+

−

=

+

=

+

=

−

=

t

i

t

i

t

i

Fasor I

_o1

dan I

_o2

tidak dapat langsung dijumlahkan karena sumber berbeda

frekuensi. Kembali ke kawasan waktu, baru kemudian dijumlahkan

20cos4t V +_ 9Ω _i _3cos2_{t A} o 3H 20∠0o + _ 9Ω − j6Ω I_o1 j12Ω _9Ω 3∠0o − j12Ω I_o2 j6Ω A 9 , 36 2 9 , 36 10 0 20 6 8 0 20 6 12 8 0 20 o o o o o o1 − ∠ = ∠ ∠ = + ∠ = − + ∠ = j j j I A 8 , 73 3 0 3 9 , 36 10 9 , 36 10 0 3 6 8 6 8 0 3 ) 6 8 /( 1 ) 12 /( 1 ) 12 /( 1 o o o o o o o2 ∠ = ∠ × − ∠ ∠ = ∠ × − + = ∠ × + + − − = j j j j j I

Metoda Analisis Dasar

(61)

• Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin

+ − −− − 18cos2t V i 6Ω 2Ω 2Ω 1H A B 2H 1/8 F V 1 2 9 0 18 4 6 2 2 _o j j ht T = V = ₊ ₊ × ∠ = ₊ V

A

2 cos

1 A

0

1 )

1

2 (

2 )

4

7 (

)

1

2 (

)

1

2 (

9

4

2

o

t

i

j

Z

_T T

=

⇒

∠

=

+

−

+

×

+

=

−

+

=

V

I

+ − 18∠0o_V 6Ω 2Ω A B −j4Ω j2Ω j4Ω I 2Ω + − 18∠0o_V 6Ω 2Ω A B j4Ω 2Ω

((((

))))

_Ω 1 2 4 7 4 8 8 12 8 16 4 6 2 4 6 2 2 j j j j j j j Z_T ++++ ++++ ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ==== + − _V T I A B −j4Ω Z_T _j2Ω

Metoda Analisis Dasar

(62)

• Metoda Reduksi Rangkaian

− + i₁= 0.1cos100t A v = 10sin100t V 200µF _1H 50Ω i_x? A B A B − + I₁= 0.1∠0o_A V= 10∠−90o_V −j50Ω _j100Ω 50Ω I_x

Sumber tegangan dan sumber arus berfrekuensi sama, ω = 100. Tetapi sumber tegangan dinyatakan dalam sinus, sumber arus dalam cosinus. Ubah kedalam bentuk standar, yaitu

bentuk cosinus melalui kesamaan sinx = cos(x−90)

sumber tegangan tersambung seri dengan resistor 50 Ω paralel

dengan induktor j100 Ω Simpul B hilang. Arus Iy yang sekarang mengalir melalui resistor 50Ω, bukanlah arus Ix yang dicari; Iy

kali 50Ω adalah tegangan simpul A, bukan tegangan simpul B tempat Ix

keluar I_y A I₂ −j50Ω j100Ω 50Ω I₁= 0.1∠0o_A I_y −j50Ω _j100Ω 50Ω I₁− I₂

Metoda Analisis Dasar

(63)

• Metoda Tegangan Simpul

      − =             − − − →       =             − − 30 10 1 2 0 1 2 2 : Gauss eliminasi 10 10 1 1 1 2 2 B A B A V V V V j j j j j j − + I₁= 0,1∠0o_A V= 10∠−90o_V −j50Ω _j100Ω 50Ω I_x=? A B V V V V V V I − = − = + + − + − B A B B A 1 : B 0 50 100 50 : A j j













∠

=

























−

+

−

_o o B A

90

10

0

1 ,

0

1

50

1

100

1

50

1 V

V

j

      ∠ = + − − = + − + = + = − ∠ = − ∠ = − = + − − = − − − = V 4 , 18 6 , 12 1 5 , 0 10 10 1 5 , 0 15 10 10 6 , 26 0,268 V; 6 , 26 4 , 13 6 12 5 ) 1 2 ( 30 1 2 30 o B A o o B j j j j j j j j j x V V I V

Metoda Analisis

(64)

• Metoda Arus Mesh

− + I = 0,1∠0o_A V=10∠−90o_V −j50Ω 50Ω A B I₁ I₂ I3

( ) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

          − =                     + − − + − 0 10 1 . 0 100 50 100 0 100 100 50 50 0 0 1 3 2 1 j j j j j j j I I I

( ) ( ) (

)

(

) (

)

(

)

          − =                     + − − 0 1 1 . 0 2 1 2 0 10 5 5 0 0 1 3 2 1 j j j j j j I I I

( ) (

)

(

)

(

)

         − − =                     − − 3 5 . 1 1 . 0 10 5 0 0 10 5 0 0 0 1 3 2 1 j j j j j I I I A 2 , 53 3 , 0 5 10 5 , 1 A 6 , 26 27 , 0 10 5 3 A 0 1 , 0 o 3 2 o 3 0 1 − ∠ = + − = − ∠ = − − = ∠ = j j j j j I I I I

Metoda Analisis

(65)

(66)

Tujuan:

Memahami daya nyata dan daya reaktif

Memahami gejala alih daya

(67)

Tinjauan Daya di

Kawasan Waktu

(68)

t

I

i

t

V

v

_b

=

_m

cos(

ω

+

θ

)

;

_b

=

_m

cos

ω

(

)

(

t

)

V

I

t

I

V

t

I

V

t

I

V

I

V

t

I

V

t

I

V

vi

p

m m m m m m m m m m m m m m b

ω









_θ

−

ω

+









_θ

=

ω

θ

−

ω

θ

+

θ

=

ω

θ

ω

−

θ

ω

=

ω

θ

+

ω

=

2 sin

sin

2

2 cos

1 cos

2

2 sin

sin

2

2 cos

cos

2 cos

sin

cos

)

cos(

Tegangan dan arus beban merupakan fungsi waktu

Tinjauan Daya di Kawasan Waktu

Nilai rata-rata

= V

_rms

I

_rms

cos

θ

Nilai rata-rata

= 0

-1 1 0 15

t

p

_b Komponen ini memberikan alih energi netto; disebut

daya nyata: P

Komponen ini tidak

memberikan alih energi

netto; disebut daya

reaktif: Q

(69)

*

VI

=

S

rms rms

I

V

S =

θ

=

θ

=

θ

=

θ

=

+

=

sin

cos

rms rms rms rms

I

V

S

Q

I

V

S

P

jQ

P

S

θ

−

∠

=

∠

=

V

_rms

I

_rms

V

0

o

dan

Tegangan dan Arus dalam Fasor

• Daya Kompleks :

Re

Im

V

I

I*

S = VI

*

ϕ

P jQ

Segitiga daya

Faktor Daya

S

P

=

ϕ

cos

(70)

S

P

=

θ

= cos

f.d.

S =VI* jQ P Re Im θ V I (lagging) I* Re Im θ

−

jQ P Re Im θ S =VI* V I (leading) I* Re Im θ

Faktor daya lagging

Faktor daya leading

• Faktor Daya dan segitiga daya:

(71)

Daya Kompleks dan Impedansi Beban

I V I V B B Z Z = atau =

(

)

2 2 2 2 * *

rms B rms B rms B B B B

I

jX

I

R

I

jX

R

Z

S

+

=

+

=

I

VI

2 2

R

_B

I

_rms

jX

_B

I

_rms

jQ

P

S

+

=

+

=

2 2

dan

rms B rms B

I

X

Q

I

R

P

=

(72)

• COTOH

seksi sumber seksi beban A B I

A(rms)

105

75 ,

8 dan

V(rms)

75

480

o o AB

=

∠

+

I

=

∠

+

V

VAR 2100 dan W 3640 = = Q P 866 , 0 ) 30 cos( daya faktor = − = VA 2100 3640 30 sin 4200 30 cos 4200 30 4200 105 75 , 8 75 480 o o o o o * j j S − = − = − ∠ = − ∠ × + ∠ = = VI Ω = = = 47 ,5 ) 75 , 8 ( 3640 2 2 rms B I P R Ω − = − = = 27,4 ) 75 , 8 ( 2100 2 2 rms B I Q X

(73)

(74)

Alih Daya

• Alih Daya

Dalam rangkaian linier arus bolak-balik

keadaan mantap, jumlah daya

kompleks yang diberikan oleh sumber

bebas, sama dengan jumlah daya

kompleks yang diserap oleh

(75)

CONTOH

50Ω − + I₁= 0,1∠0o_A V=10∠−90o_V −j50Ω I3 _j_100Ω B A C I₂ I₄ I₅

[

]

[ ]

o A C o A C 0 10 2 1 2 atau 0 0 1 , 0 50 1 50 1 100 1 50 1 ∠ − = − + = ∠ +       − −       − + + j j j j j V V V V

[

]

V 6 12 1 2 30 0 10 ) 90 90 ( 10 2 1 2 C o o o C j j j + − = + − = ⇒ ∠ − = + ∠ × − + V V

[

]

VA 4 , 0 2 , 1 0 1 , 0 10 6 12 ) ( ₁* o j j j S_i _C _A − − = ∠ × − + − = − = V V I A 24 , 0 18 , 0 0 1 . 0 24 , 0 08 , 0 A 24 , 0 08 , 0 50 ) 6 12 ( 90 10 50 o 1 2 3 o 2 1 2 3 j j j j j j C A + − = ∠ − + − = − = ⇒ + − = − + − − ∠ = − − = − = I I I V V I I I I VA 8 , 1 4 , 2 ) 24 , 0 18 , 0 ( 90 10 o * 3 j j S_v + − = − − × − ∠ = = VI VA 4 , 1 6 , 3 8 , 1 4 , 2 4 , 0 2 , 1 j j j S S S_tot _i _v + − = + − − − = + = V 90 10 90 10 o o A = V− = − ∠− = ∠ V

Berapa daya yang diberikan oleh masing-masing sumber dan berapa

diserap R = 50 ΩΩ ?ΩΩ

(76)

• Alih Daya Maksimum

Dengan Cara Penyesuaian Impedansi

+ − VT Z_T= R_T + jX_T Z_B= R_B + jX_B A B 2 2 2 2 ) ( ) ( _T _B _T _B B T B B X X R R R R P + + + = = I V (maksimum) 4 Jika 2 B T B B T R P R R = ⇒ = V

dan

:

adalah

maksimum

daya

alih

adinya

untuk terj

syarat

Jadi

T B B T

R

X

R

=

−

2 2 ) ( ) ( _T _B _T _B T X X R R + + + = V I 2 2 ) ( _T _B B T B R R R P + = V B T -X X = Jika

Alih Daya