Suplemen GeoAnalitik PersamaanNormal

(1)

SUPLEMEN KULIAH GEOMETRI ANALITIK

(Dengan Pendekatan Vektor)

Oleh:

Murdanu, M.Pd.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

(2)

Persamaan Normal suatu Garis

x a u

g k

y b w

; k parameter.

f g f g f f

w w

f g v v v v 0 v atau v

u u

f

O f

x w

f p ; p p aram eter

w

v y u

u

R R

x a u

R g k ; k p aram eter...(1)

y b w

f g R ( x , y )

x w

R f p ; p p aram eter...( 2 )

y u

ruas-kiri-(1) = ruas-kiri-(2)

w a u w u a p w k u a

p k p k

u b w u w b p u k w b

pw ku a pw ku a ...(3)

pu kw b pu kw b ...(4)

u (3) + w (4)

2 2

p u w k u u a p u w k w w b k ( u w ) au b w

2 2

au b w k ( u w ) au b w k

( u w )

…..(5)

O

R

g

f

(3)

substitusi (5) ke (1)

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

R

2 2 2 2 2 2

R

2 2 ₂ ₂ ₂ ₂

au b w u a w a au b u w w a b u w

a .u

x a _au _{b w} u ( u w ) ( u w ) ( u w )

y b ( u w ) w _b au b w _.w _{u b} _{w b} _{au w} _{b w} _{u b} _{au w}

( u w ) ( u w ) ( u w )

_R 2 _R 2

2 2 2 2

w a buw u b auw

x dan y

(u w ) (u w )

2 2 2 2

R R R R

Jarak(O ,g) = O R = x 0 y 0 x y

2

2 2 2 2 3 2

2 2

R 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 3 2

2 2

R 2 2 2 2 2 2 2 2

( w a b u w ) ( w a ) 2 ab u w ( b u w ) w a b u w

x

( u w ) ( u w ) ( u w )

( u b au w ) ( u b ) 2 ab u w (au w ) u b au w

y

( u w ) ( u w ) ( u w )

2 2 3 2 2 2 3 2

2 2

R R 2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 2 2 3 2

2 2

R R 2 2 2

2 2 2 2 2 2 3 3

2 2

R R 2 2 2

2 2 2 2

2 2

R R

( w a ) 2 ab u w ( b u w ) ( u b ) 2 ab u w (au w )

x y

( u w ) ( u w )

( w a ) 2 ab u w ( b u w ) ( u b ) 2 ab u w (au w )

x y

( u w )

( w a ) ( u b ) (au w ) ( b u w ) 2 ab u w 2 ab u w

x y

( u w )

( w a ) ( u b )

x y

2 2 2 2

2 2 2

(au w ) ( b u w ) 2 ab u w ( u w )

(4)

Jarak titik

P ( x , y )_P _p

terhadap

g x a k u

y b w

; k parameter.

Analisa I (Secara Scientific):

1)

P g jarak (P, g ) 0

2)

P g jarak (P, g ) d

; d>0

Analisa II (Secara Analitic):

1)

g sb x P Q y_P y_Q

2)

g sb y P Q x_P x_Q

3)

g sb x , g sb y R g sb x

O

P

Q

R

g

Sb-x

P Q g

jarak (P,g) = PQ

O

P

Q

R

S

g

h

f

j

g h

,

f h

f g

j h

,

j g

,

f g

j f

(5)

Untuk kemungkinan ke 3)

x a u

g k

y b w

; k parameter

…..(1)

w x uy (bu aw ) 0

……….(2)

aw bu

R R w

R ( x , y ) R ( , 0)

aw b u

R w R

x dan y 0

g

u v

w

dan

aw bu aw bu

P R P w P w

P R P P

x x x x

R P

y y y 0 y

2

2 2 _aw _bu 2

P R P R P w P

R P x x y y x y

P

2

2 ₂ _{w x} _aw _{b u} ₂

aw b u

P w P w P

2 2 2

P P P

2 2

2 2 2

P P

2

x y y

w x aw b u w x aw b u w y

w w

w x aw b u w y

w

h P h, h g ,

h

c v

d

…… (1)

h g

vg vh vg vh 0

u c

0

w d

u.c + w.d = 0

u.c = -w.d

w

c .d

u

……. (2)

u

d .c

w

……. (3)

substitusi (2) ke (1) diperoleh

w w

u u

h

.d

c w

v d.

d d 1 u

substitusi (3) ke (1) diperoleh

h u u

w w

c 1

c w

v c.

.c

d u

Karena P h dan

h

w v

u

P P

x

x w

h n

y y u

h g

Q = g h

Q g dan Q h;

Q ( x , y )_Q _Q

Q Q

x a u

Q g k ; k param eter...(4)

y b w

Q P

x x w

Q h n ; n param eter...(5)

(6)

h g

f h

, O f

f h

h g w

f g v v

f h u

O f

f x m w

y u

; m parameter ………… (6)

j g

u

j g v v

w

P j

P

x

x u

j p ; p param eter...(7 )

y

y w

S S S S

S P

x w

S f ; p aram eter ...(8)

y u

S( x , y ) f j

x x u

S j ; p aram eter ...(9 )

y y w

ruas-kiri (8) = ruas-kiri (9)

P P

x

w u

; , param eter

y

u w

P P P

x x x

w u w u w u

y y y

u w u w u w

P P

x

w u w u x ...(11)

y

u w u w y ...(12)

u (11) + w (12)

2 P 2

P

2 2

P P

uw u ux

uw w w y

(u w ) ux w y

2 2 P P

P P 2 2

ux w y

(u w ) ux w y ...(13)

u w

Substitusi (13) ke (9)

P P

P 2 2

S P P P

2 2

S P P P

P 2 2

ux w y

x u.

x x ux w y u u w

y y u w w ux w y

y w .

u w

2 2 2 2

P P P P P P P P

S P 2 2 2 2 2 2

ux w y u x w x u x uw y w x uw y

x x u.

u w u w u w

………(14)

2 2 2 2

P P P P P P P P

S P 2 2 2 2 2 2

ux w y u y w y uw x w y u y uw x

y y w .

(7)

R R

x w

R f ...(1 6 )

y u

R ( x , y ) f g

x a u

R g ...(1 7 )

y b w

w a u w u a w u a

u b w u w b u w b

w u a w u a ...(1 8)

u w b u w b ...(1 9 )

u (18) + w (19)

2 2

u w u au

u w w b w

( u w ) au b w

2 2

au b w

( u w ) au b w ...( 2 0 )

( u w )

Substitusi (20) ke (17)

2 2

R

2 2

R

2 2

au b w

a .u

x a _au _{b w} u ( u w )

y b ( u w ) w _b au b w _.w

( u w )

2 2 2 2

R 2 2 2 2 2 2

au bw au aw au buw aw buw

x a .u

(u w ) u w u w

…….. (21)

2 2 2 2

R 2 2 2 2 2 2

au bw bu bw auw bw bu auw

y b .w

(u w ) (u w ) (u w )

……. (22)

Perhitungan jarak

2 2

R S R S

SR x x y y

…………. (23)

(21)

–

(14)

2 2 2

2

P P P P

R S 2 2 2 2 2 2

w x uw y aw buw w x uw y

aw buw

x x

u w u w u w

2

P P

R S 2 2

(a x ) w (b y )uw

x x

u w

………(24)

(22)

–

(15)

2 2 2

2

P P P P

R S 2 2 2 2 2 2

u y u w x b u au w u y u w x b u au w

y y

( u w ) u w u w

2

P P

R S 2 2

(b y )u (a x )uw

y y

(8)

(24) (24)

2

2 2 4 2 2 2 3

2

P P P P P P

R S 2 2 2

2 2

(a x ) w (b y )uw (a x ) w (b y ) u w 2(a x )(b y )uw

x x

u w _u _w

……….(26)

(25) (25)

2

2 2 4 2 2 3

2

P P P P P P

R S 2 2 2

2 2

(b y )u (a x )uw (b y ) u (a x )u w 2(a x )(b y )u w

y y

u w _u _w

………(27)

(26) + (27)

x_R x_S 2 y_R y_S 2

2 4 2 2 2 3 2 4 2 2 3

P P P P P P P P

2 2

2 2 2 2

2 4 2 2 2 3 2 4 2 2 3

P P P P P P P P

2

2 2

(a x ) w (b y ) u w 2(a x )(b y )uw (b y ) u (a x )u w 2(a x )(b y )u w

u w u w

(a x ) w (b y ) u w 2(a x )(b y )uw (b y ) u (a x )u w 2(a x )(b y )u w

u w

P

x

a u w

k n

y

b w u

P P

x

u w a

k n

y

w u b

P P

x

ku nw a

y

kw nu b

P P x a ku nw y b kw nu P P

ku nw x a ...(6)

kw nu y b ...(7 )

(6) u + (7) w

2 P 2 P 2 2 p p

k u n .w .u u ( x a ) k w n .w .u w ( y b )

k u k w u ( x a ) w ( y b ) _...(8)

(8)

2 2 p p

p p ₂ ₂

u ( x a ) w ( y b )

k u w u ( x a ) w ( y b ) k ...(9 )

u w

substitusi (9) ke (4)

Q p p

2 2

Q

u ( x a ) w ( y b )

x _a _u

y b _u _w w

…….. (10)

Baris-I dari (10)

2

p p p p

Q ₂ ₂ ₂ ₂

u ( x a ) w ( y b ) u ( x a ) ( u w )( y b )

x a .u a

u w u w

2 2 2 2 2 2 2

p p p p

Q ₂ ₂ ₂ ₂

a u w u ( x a ) (uw )( y b ) au aw u x au (uw )( y b )

x

u w u w

2 2

p p

Q ₂ ₂

aw u x ( u w )( y b ) x

(9)

Baris-II dari (10)

2

p p p p

Q 2 2 2 2

u ( x a ) w ( y b ) ( u w )( x a ) w ( y b )

y b .w b

u w u w

2 2 2 2 2 2 2

p p p p

Q ₂ ₂ ₂ ₂

b u w (uw )( x a ) w ( y b ) bu bw (uw )( x a ) w y bw

y

u w u w

2 2

p p

Q ₂ ₂

b u w y ( u w )( x a ) y

u w

………(1

2)

Perhitungan jarak(P,g)

2 2

2

P Q P Q

( P Q ) x x y y

atau

2 2 2

Q P Q P

( P Q ) x x y y

2 2 2 2

2 2

P P P

P P

P Q P ₂ ₂ ₂ ₂

x u w aw u x (uw )( y b )

aw u x (uw )( y b )

x x x

u w u w

2 2 2 2 2 2

P P P P P P

P Q 2 2 2 2

x u x w aw u x ( u w )( y b ) x w aw ( u w )( y b )

x x

u w u w

2

P P

P Q 2 2

w ( x a ) ( u w )( y b )

x x

u w

……..(13)

2 2 2 2

2 2

P p p

p p

P Q P ₂ ₂ ₂ ₂

y u w bu w y (uw )( x a )

bu w y (uw )( x a )

y y y

u w u w

2 2 2 2 2 2

P P p p P p

P Q ₂ ₂ ₂ ₂

y u y w b u w y ( u w )( x a ) y u b u ( u w )( x a )

y y

u w u w

2

P p

P Q ₂ ₂

( y b ) u ( u w )( x a )

y y

u w

………(14)

2 2

P P

2 P P

P Q 2 2 ₂ ₂ 2

w ( x a ) (uw )( y b )

( x x )

u w _u _w

4 2 2 2 3

2 P P P P

P Q 2

2 2

w ( x a ) ( u w ) ( y b ) 2 u w ( x a )( y b ) ( x x )

u w

……..(15)

2 2 2 2 P p P p 2

P Q 2 2 ₂ ₂ 2

( y b )u (uw )( x a )

( y y )

u w _u _w

2 4 2 3

P p p P

2

P Q 2

2 2

( y b ) u (uw ) ( x a ) 2 u w ( x a )( y b )

( y y )

u w

(10)

2 2 2

P Q P Q

( P Q ) x x y y (P Q )2 15 16

4 2 2 2 3

P P P P

2

2 2

2 4 2 2 3

P p p P

2

2 2

w ( x a ) ( u w ) ( y b ) 2 u w ( x a )( y b ) (1 5) (1 6 )

u w

( y b ) u ( u w ) ( x a ) 2 u w ( x a )( y b )

u w

4 2 2 4 2 2 2 2 2

P P p P P P

2

2 2

w ( x a ) ( y b ) u ( u w ) ( x a ) ( y b ) 2 u w ( u w )( x a )( y b ) (1 5) (1 6 )