Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi berbentuk persegipanjang yang disusun menurut baris dan kolom. Matriks dinotasikan dengan menggunakan huruf besar. Perhatikan contoh berikut.
Unsur baris dan kolom menentukan letak suatu elemen pada sebuah matriks. Pada matriks A, unsur baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan aij. Sebagai contoh, elemen a23 = f, a = c, dan seterusnya.
Kurikulum 2013 Revisi
1. Memahami tentang definisi matriks, matriks transpos, dan kesamaan dua matriks.
2. Memahami tentang jenis-jenis matriks.
3. Dapat melakukan operasi penjumlahan pada matriks.
4. Dapat melakukan operasi perkalian suatu bilangan real dengan matriks.
5. Dapat melakukan operasi perkalian pada matriks.
6. Dapat menyelesaikan masalah sehari-hari dengan operasi matriks.
Kelas XI
MATEMATIKA WAJIB Definisi dan Operasi Matriks
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
A. Definisi Matriks
Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-3
Kolom ke-3 Kolom ke-2 Kolom ke-1 A
a b c d e f g h i
=
A
a b c d e f g h i
=
B. Ukuran atau Ordo suatu Matriks
C. Transpos Matriks
D. Kesamaan Dua Matriks
Ukuran atau ordo suatu matriks adalah ukuran yang menunjukkan banyak baris dan banyak kolom dari suatu matriks. Ukuran atau ordo suatu matriks dinotasikan dengan Ai×j. Perhatikan contoh berikut:
Transpos suatu matriks adalah operasi mengubah susunan baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Baris ke-i diubah menjadi kolom ke-i atau kolom ke-j diubah menjadi baris ke-j. Notasi dari transpos matriks A dituliskan AT atau terkadang A’.
Perhatikan contoh berikut.
Suatu matriks dikatakan sama bila memiliki ordo yang sama dan setiap elemen seletak pada kedua matriks itu sama. Bila suatu matriks diketahui sama, otomatis setiap eleman seletaknya pasti sama. Sebagai contoh, bila diketahui A 2 3 dan B 2 3
1 4 1 5
a b
c d
−
= = + − . Jika A = B, unsur-unsur seletak pada kedua matriks itu pasti sama. Dengan demikian, kita dapat mencari nilai a, b, c dan d melalui persamaan-persamaan berikut.
Kamu bisa melihat elemen baris ke-1 yaitu 3, 1, 2, 3 dituliskan pada kolom ke-1, elemen baris ke-2 yaitu 4, 1, 2, 3 dituliskan pada kolom ke-2 begitu seterusnya. Transpos suatu matriks bisa mengubah ordo suatu matriks.
memiliki ordo 2 × 3 2 1 2
4 5 1
memiliki ordo 3 × 4 3 1 2 3
4 1 2 3 4 2 5 1
memiliki ordo 4 × 1 4
1 2 3
3 4 4 3 1 2 3
1 1 2 B 4 1 2 3 ; B
2 2 5 4 2 5 1
3 3 1
T
= =
E. Jenis-Jenis Matriks
Diketahui 1 3
A 1 3
a b
c d
+ −
= + − dan 2 3 2 2
B 3 1 2 1
a c
b d
− −
= − + . Jika A = BT, nilai a + b + c + d adalah ....
Jadi, nilai a + b + c + d = 4 – 1 + 3 – 4 = 2.
Pembahasan:
Dengan demikian, diperoleh:
Contoh Soal 1
1 2 3 4 4
3 3 1 2 2 1
1 2 2 3 3
3 2 1 4 4
a a a a
b b b b
c c c c
d d d d
+ = − → − = − → =
− = − → − = → = −
+ = − → − = − → =
− = + → − = → = −
1. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Ordo matriks ini biasa ditulis dengan m × 1, di mana m adalah banyaknya baris pada matriks tersebut.
Perhatikan contoh matriks berikut.
Matriks K memiliki ordo 4 × 1, sehingga dapat dikatakan K adalah matriks kolom.
2
K 0
5 1
=
−
A B
1 3 2 3 2 2
1 3 3 1 2 1
1 3 2 3 3 1
1 3 2 2 2 1
T
a b a c T
c d b d
a b a b
c d c d
=
+ − − −
⇔ + − = − +
+ − − −
⇔ + − = − +
11 11
12 12
21 21
22 22
2 2 1
3 3 6
1 1 0
4 5 9
a b a a
a b b b
a b c c
a b d d
= → = → =
= → = − → =
= → = + → =
= → = − → =
2. Matriks Baris
3. Matriks Persegi
4. Matriks Persegipanjang
5. Matriks Segitiga
Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Ordo matriks ini biasa ditulis dengan 1 × n, di mana n adalah banyaknya kolom pada matriks tersebut.
Perhatikan contoh matriks berikut.
B = (3 1 −2)
Matriks B memiliki ordo 1 × 3, sehingga dapat dikatakan B adalah matriks baris.
Matriks persegi adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya.
Ordo matriks ini biasa ditulis dengan n × n, di mana n adalah banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut. Perhatikan contoh matriks berikut.
Matriks P memiliki ordo 2 × 2, sehingga dapat dikatakan P adalah matriks persegi
Matriks persegipanjang adalah matriks yang jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolomnya. Ordo matriks ini biasa ditulis dengan m × n, di mana m adalah banyaknya baris dan n adalah banyaknya kolom pada matriks tersebut. Perhatikan contoh matriks berikut.
Matriks R memiliki ordo 2 × 4, sehingga dapat dikatakan R adalah matriks persegipanjang. Matriks kolom maupun matriks baris disebut juga sebagai matriks persegipanjang.
a. Matriks segitiga atas
Sebuah matriks persegi dikatakan matriks segitiga atas jika elemen-elemen matriks di bawah diagonal utamanya bernilai 0. Berikut ini adalah contoh matriks segitiga atas.
42 17 P 25 80
=
2 0 1 3
R
5 8 2 10
= −
2 3 9 S
6 12
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 4
=
6. Matriks Diagonal
7. Matriks Identitas
Kombinasi pola dari suatu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah dapat menghasilkan suatu matriks persegi sebagai berikut.
Matriks persegi yang semua elemennya bernilai nol kecuali elemen diagonal utama disebut sebagai matriks diagonal.
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang setiap elemen diagonal utamanya bernilai 1. Biasanya, matriks identitas ditulis dengan I.
b. Matriks segitiga bawah
Sebuah matriks persegi dikatakan matriks segitiga bawah jika elemen-elemen matriks di atas diagonal utamanya bernilai 0. Berikut ini adalah contoh matriks segitiga bawah.
2 3 9 S
6 12
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 4
=
2 0 0
S 9 4 0
7 3 4
= −
0 D
3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 12 0
0 0 4
=
3 3
2 2
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 I 1 0
0 1
×
×
=
=
8. Matriks Nol
9. Matriks Skalar
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai 0. Biasanya, matriks nol ditulis dengan O.
Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai sama, sedangkan elemen-elemen lainnya bernilai nol. Berikut ini adalah contoh matriks skalar berordo 3 × 3.
A =
( )
2 2
1 3
O 0 0
0 0 O 0 0 0
×
×
=
=
4 0 0 0 4 0 0 0 4
Perhatikan matriks-matriks berikut.
Sebutkan ordo matriks-matriks tersebut dan tentukan jenisnya.
Pembahasan:
1. M1 berordo 1 × 2. Matriks ini adalah matriks persegipanjang yang juga termasuk matriks baris.
2. M2 berordo 3 × 1. Matriks ini adalah matriks persegipanjang yang juga termasuk matriks kolom.
3. M3 berordo 2 × 2. Matriks ini adalah matriks persegi yang juga termasuk matriks segitiga atas.
Contoh Soal 2
( )
1
2
3
M 2 1
0
M 3
1 6 1 3
M 0 2
= −
= −
−
=
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.
aij ± bij = cij Perhatikan contoh berikut.
Dapat dilihat dari contoh di atas penjumlahan dan pengurangan matriks tidak mengubah ordo matriks.
Matriks A adalah matriks diagonal berordo 3 × 3. Elemen-elemen matriks A adalah a11 = 3, a22 = −4, dan a33 = 5. Nyatakan matriks AT. Apakah A = AT?
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan dahulu matriks A. Oleh karena A adalah matriks diagonal, maka elemen-elemen matriks tersebut selain elemen diagonal utamanya bernilai 0. Diketahui a11 = 3, a22 = −4, dan a33 = 5. Ini berarti:
Dengan demikian, transpos dari matriks A adalah sebagai berikut.
Berdasarkan hal tersebut, dapat diketahui bahwa A = AT. Contoh Soal 3
3 0 0
A 0 4 0
0 0 5
= −
3 0 0
A 0 4 0
0 0 5
T
= −
F. Operasi Antarmatriks
Operasi antarmatriks meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian angka dengan matriks, dan perkalian matriks dengan matriks.
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 2 2 1 3 ( 2) 3 1
a. 4 1 5 6 4 5 1 6 9 7
b. 2 3 4 2 1 2 3 7 2 1 3 2 4 3 2 7 3 1 1 5
− + + −
+ = =
+ +
− − = − − − − − = − −
Diketahui matriks A 3 5 1
y
= − , B 5 3 6 x
= − , dan C 3 1 9 y
− −
=
. Jika A B C+ − = −8 5x −4x, nilai x + 2xy + y adalah .... (Soal UN SMA IPA)
A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22
Dari baris 1 kolom 1, diperoleh:
x + 6 = 8 → x = 2
Dari baris 1 kolom 2, diperoleh:
y + 6 = 5(2)
⇔ y + 6 = 10
⇔ y = 4
Dengan demikian, diperoleh:
x + 2xy + y = 2 + 2 · (2) · (4) + 4 = 2 + 16 + 4
= 22
Jadi, nilai dari x + 2xy + y = 22.
Jawaban: E Pembahasan:
Contoh Soal 4
A B C 8 5
4
3 5 3 1 8 5
5 1 3 6 9 4
3 ( 3) 5 ( 1) 8 5
5 ( 3) 1 6 9 4
6 6 8 5
2 4 4
x x
y x x
y x
x y x
y x
x y x
y x
+ − = − −
− −
⇔ − + − − = − −
+ − − + − −
⇔ =
+ − − − + − − −
+ +
⇔ − − = − −
Diketahui matriks A 1 ; B 1 0 ; dan C 1 0 . 1 1
a b a
b c c d
+ −
= = − = Jika A + BT = C dengan BT transpos dari B, nilai d = ....
A. –1 B. –2 C. 0 D. 1 E. 2
Dari elemen baris 1 kolom 1, diperoleh:
a = 1
Dari elemen baris 2 kolom 1, diperoleh:
b = 1
Dari elemen baris 1 kolom 2, diperoleh:
a + b − c = 0
⇔ 1 + 1 − c = 0
⇔ 2 − c = 0 ⇔ c = 2
Dari elemen baris 2 kolom 2, diperoleh:
c + d = 1
⇔ 2 + d = 1
⇔ d = −1
Jadi, nilai d adalah −1.
Jawaban: A Pembahasan:
Contoh Soal 5
A B C
1 1 0 1 0
1 1
1 1 1 0
0 1 1
1 0 1 1
T
a b a T
b c c d
a b a c
b c d
a a b c b c d + =
+ −
⇔ + − =
+ − −
⇔ + =
+ −
⇔ + =
10 Definisi dan Operasi Matriks
2. Perkalian suatu Bilangan Real dengan Matriks
Semua jenis matriks bisa dikalikan dengan bilangan berapapun. Suatu matriks yang dikalikan dengan bilangan tertentu berarti semua elemen pada matriks dikalikan dengan bilangan tersebut. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
Perhatikan contoh-contoh berikut
Dari contoh-contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa perkalian matriks dengan suatu angka tidak akan mengubah ordo matriks tersebut.
Sifat perkalian suatu bilangan real dengan matriks adalah sebagai berikut.
a. kA = Ak b. kAT = (kA)T
Diketahui matriks A 4 2 3
a b c
=
dan matriks B 2 3 2 1 7 c b a
a b
− +
= + . Jika BT menyatakan transpos matriks B, persamaan A = 2BT dipenuhi bila c = ....
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 E. 10
Contoh Soal 6
( ) ( )
4 12
a. 3 1 3
2 1 8 4
b. 4 3 5 12 20
c. 3 6 0 9 2 2 4 0 6
3
− = −
− −
− = − −
− = −
a b ka kb k c d kc kd
=
Pembahasan:
A 2B
4 2 3 2 1
2 3 2 7
4 2 2 3
2 3 2 1 7
4 4 6 2
T
a c b a T
b c a b
a c b a
b c a b
a c b a
=
− +
⇔ = +
−
⇔ = + +
−
Dari elemen baris 1 kolom 2, diperoleh:
4 = 2a → a = 2
Dari elemen baris 2 kolom 1, diperoleh:
2b = 4a + 2
⇔ 2b = 4 · 2 + 2
⇔ b = 5
Dari elemen baris 2 kolom 2, diperoleh:
3c = 2(5) + 14
⇔ 3c = 24
⇔ c = 8
Jadi, nilai c = 8.
Jawaban D
Diketahui A 3 1 , B 0 1
2 4 1 2
= =− , dan X matriks berordo (2 x 2) yang memenuhi persamaan matriks 2A − B + X = 0. Matriks X sama dengan ....
A.
B.
C.
D.
E.
Contoh Soal 7 A 2B
4 2 2 3 2 1
2 3 7
4 2 2 3
2 3 2 1 7
4 4 6 2
2 3 4 2 2 14
T
a c b a T
b c a b
a c b a
b c a b
a c b a
b c a b
=
− +
⇔ = +
−
⇔ = + +
−
⇔ = + +
−
−
6 1
5 6
−
− −
6 1
5 6
− −
− −
6 1
5 6
−
−
6 1
5 6
−
6 1 5 6
Pembahasan:
Jadi, matriks X = − −
− −
6 1
5 6 . Jawaban: D
2A B X 0
3 1 0 1 0 0
2 X
2 4 1 2 0 0
6 2 0 1 0 0
4 8 1 2 X 0 0
6 1 X 0 0
5 6 0 0
0 0 6 1
X 0 0 5 6
6 1
X 5 6
− + =
⇔ − − + =
⇔ − − + =
⇔ + =
⇔ = −
− −
⇔ = − −
3. Perkalian Matriks dengan Matriks
Matriks dapat dikalikan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.
Perhatikan contoh berikut.
Elemen baris 1 kolom 1 adalah hasil perkalian unsur baris 1 pada matriks kiri dengan unsur kolom 1 pada baris kanan.
Kemudian hasilnya ditambahkan, begitu seterusnya. Dua buah matriks bisa dikalikan bila banyak kolom di matriks kiri sama dengan banyak baris di matriks kanan. Dalam bentuk notasi dapat dinyatakan sebagai berikut.
6 1
1 2 3 1 6 2 3 3 0 1 ( 1) 2 2 3 ( 3) 12 6
3 2 4 6 5 3 6 0 4 ( 1) 5 2 6 ( 3) 39 12 4 5 6
0 3
−
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = −
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ − −
−
6 3 0 1
( 2 3 ( 1 x 6 2 x 3
3 x 0
13 Definisi dan Operasi Matriks
Sifat perkalian matriks dengan matriks adalah sebagai berikut.
a. AB ≠ BA, perkalian matriks tidak berlaku bolak-balik b.
Jika A = (3 5) dan
=
B 1 4
2 6 , nilai dari 2AB = ....
A. (13 42) B. (26 84) C. (26 42) D. (13 84) E. (30 36)
Jika A 1 1 1 1
= − dan B 1 0 0 1
=
, nilai dari (A + B) (A − B) − (A − B) (A + B) = ....
Jadi, nilai dari 2AB = (26 84).
Jawaban: B
Contoh Soal 8
Contoh Soal 9 Pembahasan:
( )
( )
( )
( )
2AB 2 3 5 1 4 2 6 6 10 1 4
2 6
6 1 10 2 6 4 10 6 26 84
=
=
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
=
A. 0 0 0 0 B. 8 1 0
0 1 C. 1 0
0 1 D. 16 1 0
0 1
−
−
−
A. 0 0 0 0 B. 8 1 0
0 1 C. 1 0
0 1 D. 16 1 0
0 1 E. 4 1 0
0 1
−
−
−
−
Pembahasan:
1 1 1 0 2 1
A B 1 1 0 1 1 2
1 1 1 0 0 1
A B 1 1 0 1 1 0
+ = + =
− −
− =− − = −
(
A B A B)( ) (
A B A B)( )
2 1 0 11 2 1 0 0 1 2 11 0 1 20 1 2 0 0 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 0
1 2 1 2
2 1 2 1
0 0 0 0
+ − − − + =− − − − −
− + − +
= − − + − − + − +
− −
=− − − − −
=
Ini berarti:
Jadi, nilai dari (A + B)(A – B) – (A – B)(A + B) =
(
A B A B)( ) (
A B A B)( )
2 1 0 11 2 1 0 0 1 2 11 0 1 20 1 2 0 0 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 0
1 2 1 2
2 1 2 1
0 0 0 0
+ − − − + =− − − − −
− + − +
= − − + − − + − +
− −
=− − − − −
=
. Jawaban: A
Nilai a yang memenuhi persamaan matriks 4 3 21 2−1 3−5 = 2−2a 3cb + 4b −24c adalah ....
A. –3 B. –2 C. 1 D. 3 E. 6
Contoh Soal 10
15 Definisi dan Operasi Matriks
Pembahasan:
Pembahasan:
Diketahui A 1 2 3 4
=
dan I 1 0 0 1
=
. Jika A2 = pA + ql, nilai p dan q adalah ....
A. p = 5; q = 2 B. p = 5; q = −2 C. p = −5; q = 2 D. p = 2; q = −5 E. p = 2; q = 5
Contoh Soal 11
1 2 1 3 2 3 2
4 3 2 5 2 4 4
1 4 3 10 2 3 2
4 6 12 15 2 4
3 7 2 3 2
2 3 2 4
a b b c
c
a b b c
c
a b b c
c
−
= +
− − −
− + − + +
⇔− + − = −
− + +
⇔ − = −
Dari elemen baris 2 kolom 2, diperoleh:
−3 = c − 4
⇔ c = 1
Dari elemen baris 1 kolom 2, diperoleh:
−7 = 3b + 2c
⇔ −7 = 3b + 2(1)
⇔ −9 = 3b
⇔ b = −3
Dari elemen baris 1 kolom 1, diperoleh:
3 = 2a + b
⇔ 3 = 2a + (−3)
⇔ 6 = 2a
⇔ a = 3
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 3.
Jawaban: D
A2 A I
A A A I
1 2 1 2 1 2 1 0
3 4 3 4 3 4 0 1
1 6 2 8 2 0
3 12 6 16 3 4 0
p q
p q
p q
p p q
p p q
= +
⇔ ⋅ = ⋅ + ⋅
⇔ = +
+ +
⇔ + + = +
A2 A I
A A A I
1 2 1 2 1 2 1 0
3 4 3 4 3 4 0 1
1 6 2 8 2 0
3 12 6 16 3 4 0
7 10 2
15 22 3 4
p q
p q
p q
p p q
p p q
p q p
p p q
= +
⇔ ⋅ = ⋅ + ⋅
⇔ = +
+ +
⇔ + + = +
+
⇔ = +
Dari elemen baris 1 kolom 2, diperoleh:
10 = 2p
⇔ 2p = 10
⇔ p = 5
Dari elemen baris 1 kolom 1, diperoleh:
7 = p + q
⇔ p + q = 7
⇔ 5 + q = 7
⇔ q = 2
Jadi, nilai p = 5 dan q = 2.
Jawaban: A
G. Menyelesaikan Masalah Sehari-hari dengan Operasi Matriks
Banyak masalah sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan operasi matriks. Perhatikan beberapa contoh soal berikut.
Kakak beradik, Koko dan Kiki mencatat lama waktu yang mereka gunakan untuk menonton TV dan Youtube. Pada minggu pertama, informasi tersebut dituliskan dalam matriks berikut.
Pada minggu kedua, Koko dan Kiki menonton TV dan Youtube dua kali lebih lama daripada minggu pertama. Namun, pada minggu ketiga, mereka dinasehati oleh ayah dan ibunya agar tidak menonton terlalu lama. Akhirnya, pada minggu ketiga mereka hanya menonton setengah kali dari waktu menonton pada minggu pertama. Total waktu yang digunakan Koko dan Kiki menonton TV dan Youtube pada tiga minggu tersebut adalah ....
Contoh Soal 12
Pada suatu hari, Ana dan Ani ingin memilih supermarket yang ingin mereka kunjungi.
Mereka dapat memilih satu di antara supermarket X atau supermarket Y. Matriks pertama berikut ini menunjukkan jumlah barang yang ingin mereka beli. Sementara matriks kedua menunjukkan harga dari masing-masing barang pada setiap supermarket dalam ribuan rupiah.
Lama waktu yang digunakan Koko dan Kiki untuk menonton TV dan Youtube pada minggu pertama adalah sebagai berikut.
Oleh karena pada minggu kedua mereka menonton dua kali lebih lama daripada minggu pertama, maka lama waktu yang digunakan Koko dan Kiki untuk menonton TV dan Youtube pada minggu kedua adalah sebagai berikut.
Oleh karena pada minggu ketiga mereka menonton setengah kali dari waktu menonton pada minggu pertama, maka lama waktu yang digunakan Koko dan Kiki untuk menonton TV dan Youtube pada minggu ketiga adalah sebagai berikut.
Dengan demikian, total waktu yang digunakan Koko dan Kiki menonton TV dan Youtube pada tiga minggu tersebut adalah sebagai berikut.
Jadi, total waktu yang digunakan Koko dan Kiki menonton TV dan Youtube pada tiga minggu tersebut adalah sebagai berikut.
Contoh Soal 13 Pembahasan:
Berapa total harga belanjaan Ana dan Ani di masing-masing supermarket? Tentukan di supermarket mana mereka harus belanja agar harga yang dibayarkan paling sedikit.
Untuk menentukan total harga belanjaan Ana dan Ani di masing-masing supermarket, kita dapat mengalikan matriks pertama dan matriks kedua.
Ini berarti, total harga belanjaan Ana dan Ani di masing-masing supermarket adalah sebagai berikut.
Jika Ana berbelanja di supermarket X, dia harus membayar Rp117.000,00. Sementara jika ia berbelanja di supermarket Y, dia harus membayar Rp116.000,00. Ani harus membayar Rp105.500,00 jika berbelanja di supermarket X dan Rp100.500,00 jika berbelanja di supermarket Y.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa mereka harus berbelanja di supermarket Y agar harga yang dibayarkan paling sedikit.
Pembahasan:
