1.1. Latar Belakang Masalah
Analisis fungsional merupakan salah satu cabang matematika analisis yang pembahasannya cukup kompleks karena mencakup banyak konsep, diantaranya ru- ang vektor, ruang bernorma, ruang Banach dan ruang inner product. Banyak hal yang bisa dikaji terkait ruang bernorma antara lain operator linear, kekontinuan, kekonvergenan, dan orthogonalitas yang akan dibahas lebih lanjut. Di ruang in- ner product (X , h., .i), vektor x ∈ X dikatakan orthogonal terhadap y ∈ X jika hx, yi = 0. Inner product dapat membangkitkan suatu norma, tetapi tidak semua ruang bernorma, normanya dibangkitkan oleh inner product. Konsep orthogonali- tas di ruang inner product real dapat diperumum untuk semua ruang bernorma atas lapangan real termasuk ruang bernorma yang normanya tidak dibangkitkan oleh inner product. Konsep orthogonalitas di ruang bernorma tersebut diberikan oleh G.Birkhoff (1935) dan dikenal dengan orthogonalitas-Birkhoff. Diberikan ruang bernorma (X , k.k) atas lapangan R, vektor x ∈ X dikatakan orthogonal-Birkhoff terhadap y jika kx + kyk ≥ kxk untuk setiap k ∈ R.
Di dalam analisis fungsional juga dikenal semi-inner product Lumer-Giles yang ditulis [., .]. Semi-inner product Lumer-Giles lebih lemah daripada inner pro- duct. Sifat inner product yang diperlemah tersebut adalah sifat simetri konjugat ya- itu hx, yi = hy, xi, pada semi-inner product Lumer-Giles kesamaan [x, y] = [y, x]
belum tentu berlaku. Selanjutnya pada ruang bernorma atas real dapat dibentuk su- atu semi-inner product superior-inferior yang dibangun dari norma tersebut. Semi- inner productsuperior-inferior ini memiliki cakupan yang lebih luas dari inner pro- duct sebab dapat dibangun pada semua ruang bernorma. Dari sini dapat dilihat bahwa semi-inner product superior-inferior, semi-inner product Lumer-Giles, dan inner productmemiliki hubungan masing-masing. Dengan menggunakan hubung-
1
an tersebut dan konsep orthogonalitas yang terdapat pada masing-masing ruang dapat dikaji hungangan orthogonalitas di ruang semi-inner product Lumer-Giles, semi-inner product superior-onferior dengan orthogonalitas-Birkhof. Dari sini da- pat dilihat bahwa banyak yang dapat dikaji dari orthogonalitas-Birkhoff, diantara- nya definisi, sifat, dan hubunganya dengan konsep orthogonalitas lainnya, sehingga orthogonalitas-Birkhoff ini menarik untuk dijadikan bahasan pokok dalam skripsi ini.
Fungsional linear terbatas merupakan suatu operator yang khusus dan me- miliki kaitan dengan ruang bernorma. Pada skripsi ini juga akan dibahas hubungan antara fungsional linear dengan orthogonalitas menurut birkhoff.
1.2. Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut, 1. Orthogonalitas di ruang bernorma real menurut Birkhoff, serta sifat-sifat yang
berlaku.
2. Pengertian serta sifat-sifat orthogonalitas pada semi-inner product Lumer- Giles dan semi-inner product superior-inferior.
3. Hubungan dan sifat-sifat orthogonalitas yang berlaku di ruang semi-inner pro- ductLumer-Giles, semi-inner product superior-inferior, dan fungsional linear dengan orthogonalitas-Birkhoff.
1.3. Maksud dan Tujuan
Penulisan skripsi ini mempunyai tujuan umum, yaitu sebagai salah satu sya- rat memperoleh kelulusan pada jenjang Starta-1(S1) Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan ilmu pengetahuan Alam, universitas Gadjah Mada. Selanjutnya, tujuan khusus dari penulisan skripsi ini adalah untuk mempelajari dan menambah wawasan tentang materi-materi dibidang analisis khu- susnya mengenai orthogonalitas-Birkhoff pada ruang bernorma, dan hubungannya
dengan ruang inner product, ruang semi-inner product, semi-inner product superior- inferior, serta sifat-sifat yang berlaku di dalamnya.
1.4. Tinjauan Pustaka
Dalam mempelajari analisis fungsional, pada dasarnya perlu dipahami ter- lebih dahulu konsep ruang vektor. Dengan adanya konsep ruang vektor, dikem- bangkan konsep ruang bernorma, yaitu ruang vektor yang dilengkapi norma. Lebih khusus lagi, terdapat ruang inner product, yaitu ruang vektor yang dilengkapi inner productseperti yang disajikan dalam Berberian (1971) dan Kreyszig (1989). Ruang inner productdiakatakan lebih khusus karena inner product dapat membangkitkan norma. Tetapi tidak semua norma dibangun oleh inner product. Selain itu, pada ru- ang inner product juga terdapat konsep orthogonalitas, yaitu jika x, y elemen ruang inner product, x dikatakan orthogonal terhadap y jika hx, yi = 0 dan ditulis x ⊥ y.
Dari kedua hal tersebut diperluas konsep orthogonalitas di ruang inner product un- tuk sebarang ruang bernorma real, termasuk yang normanya tidak dibangkitkan oleh inner product. G. Birkhoff (1935) mengemukakan konsep orthogonalitas di ruang bernorma real, yaitu x, y elemen ruang bernorma, x dikatakan orthogonal-birkhoff terhadap y jika
kx + kyk ≥ kxk untuk setiap k ∈ R dan ditulis x ⊥ y(B).
Selanjutnya, dari norma dan inner product dapat dipelajari konsep dual. Da- lam konsep dual, dikenal adanya fungsional linear terbatas. Konsep fungsional li- near terbatas ini memunculkan teorema perluasan fungsional yang dikenal dengan Teorama Hahn-Banach. Jika diberikan ruang bernorma X atas R atau C dan f fungsional linear terbatas yang terdefinisi pada subruang Z ⊆ X , maka terdapat fungsional linear terbatas ˆf pada X sehingga k ˆf kX = kf kZ dan ˆf (x) = f (x) untuk setiap x ∈ Z (Kreyszig, 1989). Pada S.S Dragomir(2004) dibahas juga hubungan orthogonalitas-Birkhoff dengan fungsional linear.
Dari konsep inner product, muncul gagasan untuk membangun fungsi yang sifatnya lebih lemah dari inner product. Dari gagasan ini munculah konsep semi-
inner productoleh Lumer-Giles, yaitu inner product yang sifat konjugat simetrinya diperlemah. Pada konsep semi-inner product Lumer-Giles juga terdapat konsep orthogonalitas. Pada S.S Dragomir (2004) dan Gangadharan (2009), x, y elemen ruang bernorma dan [., .] semi-inner product yang membangkitkan norma k.k, di- definisikan x orthogonal-Giles terhadap y jika [y, x] = 0 dan ditulis x ⊥ y(G).
Selanjutnya dibahas hubungan orthogonalitas-Birkhoff dan orthogonalitas-Giles di- ruang bernorma dan [., .] semi inner product yang membangkitkan normanya, yaitu x ⊥ y(G) maka x ⊥ y(B).
Selanjutnya, dari norma muncul konsep semi-inner product superior-inferior dari x, y yang berturut-turut ditulis hx, yis dan hx, yii dan didefinisikan pada S.S Dragomir (2004). Pada konsep semi-inner product superior-inferior ini juga ter- dapat konsep orthogonalitas dari x, y elemen ruang bernorma real, yaitu x dika- takan orthogonal-superior atau orthogonal-inferior terhadap y jika berturut-turut hy, xis = 0 atau hy, xii = 0 dan ditulis x ⊥ y(s) atau x ⊥ y(i). Adapula hubungan orthogonalitas-Birkhoff dengan orthogonalitas-superior atau orthogonalitas-inferior adalah sebagai berikut, x ⊥ y(s) atau x ⊥ y(i) maka x ⊥ y(B) tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.
1.5. Metodologi Penelitian
Metode penelitian skripsi ini yaitu dengan melakukan studi literatur. Litera- tur yang digunakan dalam skripsi ini adalah S.S Dragomir (2004), Gangadharan N.
(2009), G. Birkhoff (1935), dan Robert C. James (1947).
Pada skripsi ini, akan dibahas mengenai Orthogonalitas menurut Birkhoff pada ruang bernorma, ruang inner product. Pembahasan diawali dengan membahas definisi serta sifat-sifat yang berlaku pada Orthogonalitas-Birkhoff. Selanjutnya, dibahas definisi dan sifat orthogonalitas di ruang inner product, semi-inner produ- ct Lumer-Giles, dan semi-inner product duperior-inferior. Kemudian, dilihat hu- bungan orthogonalitas di ruang inner product, semi-inner product, dan semi-inner product duperior-inferior dengan Orthogonalitas-Birkhoff. Selanjutnya, dipelajari hubungan antara fungsional linear dengan Orthogonalitas menurut Birkhoff.
1.6. Sistematika Penulisan
Skripsi ini ditulis dalam lima bab. Bab I, yaitu pendahuluan, memuat latar belakang, perumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. Bab II, yaitu konsep-konsep dasar, memuat pembahasan mengenai ruang vektor, ruang bernorma, ruang inner product, fungsi- onal linear, Teorema Hahn-Banach, dan fungsi konveks. Bab III, yaitu semi-inner product Lumer-Giles dan semi-inner product superior-inferior yang memuat pe- ngertian dan sifat-sifat yang berlaku, serta dibahas juga mengenai fungsi dualitas.
Bab IV, yaitu pembahasan, memuat definisi, sifat dan hubungan orthogonalitas- Birkhoff dengan orthogonalitas di ruang semi-inner product dan semi-inner produ- ctsuperior-inferior, serta dengan fungaional linear. Selanjutnya, pada Bab V berisi kesimpulan.
