ELEKTROMAGNETIK TERAPAN 1. PROPAGASI GELOMBANG ELEKTROMAGNET (GELOMBANG DATAR)

1. PROPAGASI GELOMBANG

ELEKTROMAGNET (GELOMBANG DATAR)

ELEKTROMAGNETIK

TERAPAN

OUTLINE

Propagasi Gelombang

Elektromagnet (Gelombang

Datar)

PENDAHULUAN

Gelombang

Gelombang adalah suatu fenomena alamiah yang terjadi dalam dimensi ruang dan waktu. Gelombang dapat diperhatikan sebagai ‘gangguan’ yang merambat dengan kecepatan tertentu.

Jika gangguan tersebut merambat ke satu arah, maka disebut sebagai gelombang 1-D.

Contohnya adalah gelombang datar ( plane wave ).

PENDAHULUAN

Uniform Plane Wave

Gelombang EM yang dipancarkan suatu sumber , akan merambat ke segala arah.

Jika jarak antara pengirim dan penerima sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang akan berbentuk suatu bidang datar.

Muka gelombang adalah titik-titik yang memiliki fasa yang sama.

Amplitude medan pada bidang muka gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai gelombang uniform / serbasama

Hampir berbentuk bidang datar

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

Persamaan gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan.

Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan

Pada Dielektrik Merugi…

1 1

0 0

r r V

















Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik merugi :

s

s

j H

E  

    

 ^{  H }

_s

^  ^{  j }  ^{E }

_s



0 E

_s





  

0 H

_s





  

Perubahan E dan H sinusoidal , dengan pertimbangan bahwa

perubahan periodik lain spt segitiga, persegi dsb dapat didekati dengan pendekatan Fourier

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

Bentuk waktu (Real Time) dan bentuk fasor

 

   

 

 

 ^{A e}

^{j t}

  ^{t A j e}

^j

^e

^j

^t

^t



A

t A

t A





















0 0

0 0

Re Re

sin cos

Re cos )

(



















 Karena medan E dan medan H diasumsikan sinusoidal maka kita bisa tuliskan medan tersebut dalam fungsi sinusoidal

 Misalkan suatu fungsi sinusoidal :

 j

s

A e

A 

₀

Bentuk waktu (real time)

Bentuk Phasor

Note : untuk sementara Re[….e^jωt] di”hidden” dulu

s

s

j H

E  

    

 ^{   H }

_s

^  ^{  j }  ^{E }

_s

   E 

_s

 0

0 H

_s





  

Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi.

 

s

2 s

s

E E

E      



          



 0



 E_s

Dari identitas vektor

s 2

s

E

E   



      



S

s

j H

E   



        



 

_s

s j E

H 

     



 

_s

s

j j E

E  



         



Dari pers. Maxwell I

Didapatkan Persamaan Diferensial

Vektor Gelombang Helmholtz, sbb :

^{ }

²

^{E }

_s

^{ j }  ^{  j }  ^{E }

_s

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

 

_s

s

2

E  j j E 

     

 

²

E 

_s ²

E 

_s







Dimana , Atau dapat

dituliskan sbb :

² = j ( + j)

 disebut sebagai

Konstanta propagasi Kemudian, dengan uraian bahwa :

2 z zs 2 2

zs 2 2

zs 2 2 y

ys 2 2

ys 2 2

ys 2 2 x

xs 2 2

xs 2 2

xs 2 s

2 aˆ

z E y

E x

aˆ E z

E y

E x

aˆ E z

E y

E x

E E 



 







 



 



 















 



 



 



 







 



 



 



Komponen x Komponen y Komponen z

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :

0

0   



 _{z ys zs}

y E E E

E

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

 

_s

s

2

E  j j E 

     



0

0   



 _{z ys zs}

y E E E

E

 

_s

2 xs 2

2 xs 2

2 xs 2 s

2

j j E

z E y

E x

E  E 

     



 



 



 



Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E tidak

berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :

 

_xs

2 xs 2

E j

z j

E     





xs 2

2 xs 2

z E

E 



 

atau



PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

xs

xs E

z

E ₂

2

2 



Solusi persamaan diferensial dapat dituliskan : 

z 0

x

xs

E e

E 

^{ dimana, 2} = j ( + j)

 =  + j = Konstanta propagasi Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :

 

 

x

t j z j 0

x

e e aˆ

E Re )

t (

E  

^{   }

 

_x

z 0

x

e cos t z aˆ

E )

t (

E  

^

  

Ingat kembali perubahan dari bentuk fasor ke bentuk waktu !!

 









 















tan 1

1 j propagasi

konstanta

j j

j j

j j



















Loss Tangent Bentuk waktu (real time)

Bentuk phasor

Alternatif penulisannya : x z

s

E e a

E 

₀ ^

ˆ

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

Loss Tangent

Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent



 



tan

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi terhadap rapat arus pergeseran

Nilai-Nilai Pendekatan

Untuk  0,1





 

 







 



 















 



j

1

2

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

s

s

j H

E  

    



ys 0

y xs

xs

z y

x

H j

z aˆ E 0

0 E

z y

x

aˆ aˆ

aˆ

 



 

 













y xs 0

ys

aˆ

z E j

H 1





 

 

 

_y

0 z

x

e cos t z aˆ

H E   

 

^



 





 













 _

tan 1

1

1 1 intrinsik

impedansi

j j j j H

E

y x

 



 











Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan hubungan :

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

E 

H 

P 

Arah perambatan gelombang

Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah kita dapatkan,

 

_x

z 0

x

e cos t z aˆ

E )

t (

E  

^

  

   

y

0 z

x

e cos t z aˆ

t E

H

^

    

_

 



Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM).

Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidak sefasa

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

  _x

z

xo e cos t z aˆ

E

E   ^{ }   

Persamaan umum gelombang berjalan

Amplituda medan

 = konstanta redaman (neper/meter)

 = konstanta fasa (radian/meter)

Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu z positif.

Tanda ( + ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu z negatif

Gelombang bergetar searah sumbu x

 

 





meter Volt

 =  + j = Konstanta Propagasi

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah sumbu x negatif , dan bergetar searah sumbu z. Diketahui amplitudo gelombang adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz

 ^{ }  _ ^ _ ^



^

m aˆ A

x 5 , 0 t

10 2

cos e

100

H 

^{2x 6} _z

Amplitudo = 100 (A/m)

Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke sumbu x negatif

Konstanta fasa = 2

(radian/m), merambat ke sumbu x negatif

Frekuensi = 1 MHz = 10⁶ Hertz

Bergetar searah sumbu z

Jawab :

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

Persamaan gelombang berjalan merupakan fungsi waktu dan posisi. Hal ini terlihat pada gambar di samping.

Sebab kenapa disebut sebagai gelombang berjalan dapat dilihat pada gambar di bawah. Untuk nilai t yang berubah, maka suatu titik dengan amplitudo tertentu akan berubah posisi

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA

Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

t J D

H 

 







 





Kedua ruas dikalikan dengan E

 

t E D

E J H

E 

 













 











Dengan Identitas vektor

 

t E D

E J E H

H

E 

 























 















Dengan substitusi,

t E B



 







 



H B 



 D E





 

t H H

t E E

E J H

E 

 



 

 

















 

 









 

_



 



  



 











 2

H 2

E E t

J H

E

2

 2









 



 



 



 

 2

E t

t E E

 2





 



 



 





 2

H t

t H H

 2



 

_



 



 

 



 











 2

H 2

E E t

J H

E

2

 2







Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume

 

^dV

2 H 2

E dV t

E J dV

H E

V

2 2

V

V

 



^{    } _^{ }_^{    }_^

    

Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :

 

^dV

2 H 2

E dV t

E J dS

H E

V

2 2

V

S

 



^{    } _^{ }_^{    }_^

    

Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan penyerapan/disipasi daya total pada volume tersebut. Jika ada sumber yang

mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)

Ruas kanan :

Integrasi suku pertama menunjukkan disipasi ohmik

Integrasi suku kedua adalah energi total yang disebabkan/

tersimpan dalam medan listrik dan medan magnetik pada volume tersebut,

kemudian turunan parsial terhadap waktu menyatakan daya

sesaatnya

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA

Didefinisikan

Vektor Poynting =

E 

H 

P 

Arah perambatan gelombang

H E

P   





P 

y y x

x z

z

aˆ E aˆ H aˆ

P  

E 

H 

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA

Peninjauan Daya ...

Misalkan :

 

_x

z 0

x

e cos t z aˆ

E )

t (

E  

^

  

   

y

0 z

x

e cos t z aˆ

t E

H

^

    

_

 



Maka,

   

 

 

z

z 2 2

0 x

z z

2 2

0 x

aˆ z

2 t

2 cos cos

2 e E

aˆ z

t cos z

t cos E e

H E

P



 



 















 

















 





  





 



 m2

Watt



 



 m2

Watt

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA Daya Rata-Rata ...

 





 

 _T ¹  ^{P dt E} ₂ ^{e cos}

P

^{2 z}

2 0 x T

0

z av

, z

• Terjadi redaman kerapatan daya seharga

• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos _ yang juga menentukan kerapatan daya

z

e

^2^

GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA

Untuk ruang hampa :

 

) m / F ( 10 . 854 , 8

m / H 10

. 4

12 0

7 0























0 0









• Bentuk umum pada dielektrik

merugi, Pada ruang hampa,

s

s

j H

E  

    

 ^{  H }

_s

^  ^{  j }  ^{E }

_s



0 E

_s





  

0 H

_s





  

s 0

s

j H

E  

    



s 0

s

j E

H  

   



0 E

_s





  

0 H

_s





  

• Persamaan gelombang Helmholtz

 

_s

s

2

E  j j E 

     

 

²

E 

_s ² _{0 0}

E 

_s













GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA

• Persamaan medan listrik

Pada ruang hampa,

 

_x

z 0

x e cos t z aˆ

E )

t (

E  ^  

 

^x0

^cos  ^{t z}  ^aˆ

_y

377 t E

H     

 

_x

0

x

cos t z aˆ

E )

t (

E     

 

^{t Ex0 e z cos}



^{t z}



^aˆ_y

H ^    _

 



• Persamaan medan magnet

• Konstanta propagasi

 



 



















j 1 j

j j

0

j

0

0    





• Impedansi intrinsik



 



 







 









 _

j 1

1 j

j o

0

0

 377 0



 



GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA

• Bentuk Gelombang Pada ruang hampa,

• Kecepatan gelombang

 

^m_dt

10 . 3

v  ⁸

• Vektor Poynting

 

 

z

z 2 2 0

x e cos cos 2 t 2 z aˆ

2

P E ^{ } _     _

 

 ^x02 cos²



t z



aˆ_z

377

P  E  

• Daya rata-rata





 

 

 _T¹



^{P dt E}₂ ^{e cos}

P ^{2 z}

2 0 x T

0 z av

,

z 377

E 2 P 1

2 0 x av

,

z 

r r

108

. 3 v 1



 

 

E

H

P

GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA

Untuk dielektrik sempurna :

0 0







 Dielektrik sempurnan memiliki sifat

dan karakteristik yang hampir sama dengan udara vakum

1 1

r r









• Bentuk umum pada dielektrik

merugi, Pada dielektrik sempurna

s

s

j H

E  

    

 ^{  H }

_s

^  ^{  j }  ^{E }

_s



0 E

_s





  

0 H

_s





  

s

s

j H

E  

    



s

s

j E

H  

   



0 E

_s





  

0 H

_s





  

• Persamaan gelombang Helmholtz

 

_s

s

2

E  j j E 

     



s

2 s

2

E  E 

     



GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA

• Persamaan medan listrik

Pada dielektrik sempurna

 

_x

z 0

x e cos t z aˆ

E )

t (

E  ^  

   

_y

r r 0

x cos t z aˆ

377 t E

H  



 



 

_x

0

x

cos t z aˆ

E )

t (

E     

 

^{t Ex0 e z cos}



^{t z}



^aˆ_y

H ^   _

 



• Persamaan medan magnet

• Konstanta propagasi

 



 



















j 1 j

j

j

  0  j  

• Impedansi intrinsik



 



 







 









 _

j 1

1 j

j

r

377

r



 



 



GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA

• Bentuk Gelombang Pada dielektrik sempurna

E

H

P

• Kecepatan gelombang

r r

108

. 3 v 1



 

 

• Vektor Poynting

 

 

_z

z 2 2 0

x e cos cos 2 t 2 z aˆ

2

P E ^{ } _     _

 

 ²

 

_z

r r 2

0

x cos t z aˆ

377

P E  



 



• Daya rata-rata

 

 

 

 _T¹



^{P dt E}₂ ^{e cos}

P ^{2 z}

2 0 x T

0 z av

, z

r r 2

0 x av

,

z

377

E 2 P 1



 

r r

108

. v 3



 

GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA

30

Pada konduktor yang baik :

1 1

r r









 0







 1





Pada konduktor yang baik

• Konstanta propagasi

 



 



















j 1 j

j

j

   f   j  f 

• Impedansi intrinsik



 



 







 









 _

j 1

1 j

j

1 2 45

^o

1 j

 

 

 





Cobalah menurunkan sendiri !

Didefinisikan “Skin

Depth”

 

 



 

 1 1

f

1

GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA

• Persamaan medan listrik

 

_x

z 0

x e cos t z aˆ

E )

t (

E  ^  

 

^{t Ex0 e z cos}



^{t z}



^aˆ_y

H ^   _

 



• Persamaan medan magnet

Pada konduktor yang baik

 

x

z 0

x

e cos t z aˆ

E )

t (

E  

^{ }

  

   

y

z 0

x aˆ

z 4 t cos e

. 2 E

t

H     

 ^{ }



Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45^o (1/8 siklus) terhadap intensitas medan listrik

 ^{ } _ 







 E ( t ) E e

^{ }

cos t z )

t (

J

_{x x x0} ^z

Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :

GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA

• Vektor Poynting

 

 

_z

z 2 2

0

x e cos cos 2 t 2 z aˆ

2

P E ^{ } _     _

 



• Daya rata-rata





 

 

 _T¹



^{P dt E}₂ ^{e cos}

P ^{2 z}

2 0 x T

0 z av

, z

Pada konduktor yang baik

z z

2 2 0

x aˆ

4 z

t 2 2 4 cos

cos e

2 E

P 



 



 



 



 

 





 

  ^{ }



 





z 2 2

0 x av

,

z

E e

4 P 1

2 0

Ex

Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat daya pada bidang z =  adalah sebesar e^-2 , atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada permukaan konduktor ( z = 0 ).

GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA

z x

y

L 

b

Jika misalkan ditanyakan daya yang menembus permukaan z = 0 , yang memiliki lebar 0 < y < b , dan panjang 0 < x < L ( kearah arus ), maka dapat dihitung :

0 z b

0 L

0

2z 2 0 x s

av ,

bL E e .dx.dy

4 S 1

d P P



 





^{  }

  

2 0 x av

,

bL

b L E

4

P  1  

Rapat arus pada permukaan konduktor akan menurun dengan cepat dengan faktor e^-z/ jika masuk kedalam konduktor. Energi elektromagnet tidak diteruskan ke dalam konduktor, akan tetapi

merambat di sekeliling konduktor, sehingga konduktor hanya membimbing gelombang. Arus yang mengalir dalam konduktor akan mengalami redaman tahanan konduktor dan merupakan kerugian bagi konduktor sebagai pembimbing gelombang.

Adanya efek kulit (skin depth) menyebabkan konduktor sangat buruk dipakai sebagai medium penjalaran daya. Konduktor cukup baik untuk pembimbing / penghantar arus dan cukup dalam bentuk pipa berhubung adanya efek kulit tadi.

POLARISASI GELOMBANG

Polarisasi adalah sifat GEM yang menjelaskan arah dan amplitudo vektor intensitas medan listrik (E) sebagai

fungsi waktu pada bidang yang tegak lurus terhadap arah perambatannya.

Macam-macam polarisasi : Linear, Sirkular (lingkaran), dan Ellips

POLARISASI GELOMBANG

Polarisasi Vertical

Polarisasi Horizontal

Polarisasi Slant

POLARISASI GELOMBANG

RHCP

LHCP

Elips

POLARISASI GELOMBANG

Polarisasi eliptik dapat dipandang sebagai bentuk polarisasi yang paling umum :

• Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi linear yang saling tegak lurus (orthogonal)

• Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi sirkular dengan arah berlawanan dan magnitudo berbeda

Jika polarisasi eliptik dipandang sebagai penjumlahan polarisasi linear yang saling tegak lurus, maka :



_x



_x

xo

x E t z a

E

  sin      ˆ



_y



_y

yo

y E t z a

E

  sin      ˆ

E



_t E



_x E



_y







_x



_{x yo}



_y



_y

xo

t E t z a E t z a

E

  sin      ˆ  sin      ˆ



_x



_{x yo}



_y



_y

xo

t E t a E t a

E

  sin    ˆ  sin    ˆ

Polarisasi selalu ditinjau untuk jarak tertentu.

Misal pada z = 0, akan didapatkan

POLARISASI GELOMBANG Polarisasi Linear

....

3 , 2 , 1 , 0 ,

0

;

0

; : ) (

0 0

0 0





















n n

E nilainya ada

E

E nilainya ada

E

satu salah

Syarat

x y

x y

y x









Polarisasi Sirkular

 

 

















 













...

3 , 2 , 1 , 0 ,

2 2 1

...

3 , 2 , 1 , 0 ,

2 2 1 :

0 0

n n

n n

E E

Syarat

x y

y x



 





RHCP/CW LHCP/CCW

 

 

















 













...

3 , 2 , 1 , 0 ,

2 2 1

...

3 , 2 , 1 , 0 ,

2 2 1 :

0 0

n n

n n

E E

Syarat

x y

y x



 





RHCP/CW

LHCP/CCW

Polarisasi Eliptik

POLARISASI GELOMBANG

Kasus paling umum :

Polarisasi Eliptik

Parameter-parameter pada polarisasi eliptik adalah : a. Major Axis ( 2 x OA )

 _^

     

 E E E E 2E E cos 2

2

OA 1 _x² _y² _x⁴ _y⁴ _x² _y²

b. Minor Axis ( 2 x OB )

 _^

     

 E E E E 2E E cos 2

2

OB 1 _x² _y² _x⁴ _y⁴ _x² _y²

c. Tilt angle ( )











 

 

 cos

E E

E E arctan 2

2 1

2 y 2

x

y x

d. Axial Ratio (AR )

OB OA axis

Minor

axis Major 

AR  AR = 1 Polarisasi Circular

AR =∞  polarisasi linear 1<AR< ∞  Polarisasi Elips

ANY QUESTION???