DSP Application Research Centre, Electrical Engineering Dept. SOLUSI UAS 5 JUNI 2000 TA 1999 / 2000

SOLUSI UAS 5 JUNI 2000 TA 1999 / 2000

1. Sistem Linier dengan fungsi transfer : ) 1 )( 4 ( ) 2 ( 10 ) ( ₂ + + + = s s s s H

a. Tentukan response impulse sistem. Apakah sistem stabil? Jawab : ) 1 )( 4 ( ) 2 ( 10 ) ( ₂ + + + = s s s s

H , untuk mendapatkan h(t)maka dapat menggunakan

Inverse Laplace Transform (ILT). ) 1 ( ) 4 ( ) ( ₂ + + + + = s c s b as s H (_as+b)(_s+1)_+c(_s2 ₊4) ₌10_s+20 (_a+c)_s2 ₊(_a+b)_s+b+4_c=10_s+20 0 = + c

a , a+ b=10 dan b+ c4 =20, maka diperoleh : 2 − = a , b=12 dan c=2 ) 1 ( ) 4 ( ) ( ₂ + + + + = s c s b as s H ) 1 ( ) 4 ( ) 4 ( 2 ₊ + 2₊ + ₊ = s c s b s as ) 1 ( 2 ) 4 ( 12 ) 4 ( 2 2 2₊ + ₊ + ₊ − = s s s s

Inverse Laplace Transform (ILT), dari H(s) adalah :

[

2cos2 6sin2 2

]

( )

)

(t t t e t

h _{= − + +} −t _γ

Apakah sistem stabil ?

Silakan tentukan sendiri, sebab ini pertanyaan yang dapat dijawab dari soal tanpa menghitungnya.

b. Tentukan response penuh jika sistem diberi input u(t)=8sin2t

Jawab : 4 16 ) ( ₂ + = s s U ) ( ). ( ) (s H s U s Y = ) 1 ( ) 4 ( ) 2 ( 160 2 2 _{+ +} + = s s s ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 2 ₋ + ₊ − + + + + − − + + + = s e j s jd c j s jd c j s jb a j s jb a

Dengan mencari koefisien a,b,c,d, dan e, maka y(t)merupakan ILT dari Y(s) :

1 | ) ( ) 1 ( + ₌₋ = s Y s s e =160/25=6.4 2 2 _{( )|} ) 2 (s j Y s _{s j} jb a+ = + _{=− =}160(_−j2₊2)/[(_−j2_{− j}2)2(_−j2₊1)]₌₋12_{− j}4

2 2 _{( )|} ) 2 (s j Y s _{s j} ds d jd c+ = + ₌₋ 2 2 2 2 2_{( 1) 160( 2)[2( 2)( 1) ( 2) ]}/[ 2) ( 1)] |} ) 2 ( 160 { s− j s+ − s+ s− j s+ + s− j s− j s+ _s=−j = 6 . 4 2 . 2 + j − = sehingga : t t t e t y_{( )=6.4} −t _{−(8 −9.2)sin2 −(24+4.4)cos2}

2. Tentukan response impulse sistem, h(n) dan apakah sistem stabil : a. ) 2 )( 5 . 1 ( 2 ) ( 2 − − = z z z z H untuk ROC : z <1.5 Jawab : ) 2 )( 5 . 1 ( 2 ) ( − − = z z z z z H ) 2 ( ) 5 . 1 ( − + − = z B z A 6 -) 5 . 0 /( 3 2 2 ) ( ) 5 . 1 ( 5 . 1 5 . 0 = − = − = − = = = z z z z z z H z A 8 5 . 0 / 4 5 . 1 2 ) ( ) 2 ( 2 2 . = = − = − = = = z z z z z z H z B sehingga : 2 8 5 . 1 6 ) ( − + − − = z z z z z

H , dengan pole diluar lingkaran ROC, maka IZT merupakan

deretan sisi kiri :

[

6(1.5) 8(2)

]

( 1) )

(_n = − − − _u −_n−

h n n

Apakah sistem stabil?

Jawabnya adalah ya, salah satu syarat stabil adalah

∑

∞

∞

− <∞

= | nh( )|

S , silakan

diperiksa memenuhi persyaratan ini atau tidak. b. ) 2 . 0 )( 5 . 0 ( 2 ) ( 2 − − = z z z z H untuk ROC : 0.2< z <0.5 Jawab :

identik dengan jawaban a. Untuk pole yang didalam lingkaran diluar ROC,

merupakan deretan kanan, dan pole yang diluar lingkaran diluar ROC, merupakan deretan sisi kiri, sehingga IZT :

) 2 . 0 ( 3 / 4 ) 5 . 0 ( 3 / 10 ) ( − − − = z z z z z H ) ( ) 2 . 0 ( 3 4 ) 1 ( ) 5 . 0 ( 3 10 ) (n u n u n h ₌₋ −n _{− − −} n

Jawabnya adalah tidak, dengan syarat yang sama dengan a, silakan diperiksa, S terbatas tidak? Atau saudara bisa melihat dari h(n) apa yang menyebabkan S tidak terbatas? c. ) 3 . 0 )( 5 . 0 ( 2 ) ( 2 − − = z z z z H untuk ROC : z >0.5 Jawab :

Karena pole berada didalam lingkaran diluar ROC, maka IZT merupakan deretan sisi kanan, sehingga :

5 ) 2 . 0 /( 1 3 . 0 2 ) ( ) 5 . 0 ( 5 . 0 5 . 0 = = − = − = = = z z z z z z H z A 3 ) 2 . 0 /( 6 . 0 5 . 0 2 ) ( ) 3 . 0 ( 3 . 0 2 . − = − = − = − = = = z z z z z z H z B ) 3 . 0 ( 3 ) 5 . 0 ( 5 ) ( − − − = z z z z z H

[

5(0.5) 3(0.3)

]

( ) ) (n u n h ₌ n ₋ n Apakah stabil ?

Jawabnya ya. Masih perlu diperiksa ? Tunjukkan bahwa sistem diatas stabil.

d. _      − = z z z H 2 1 2 log ) ( untuk n≥0 Jawab :       − = z z z H 2 1 2 log ) ( /log (10) 2 1 2 log_{n n} z z       − = /ln(10) 2 1 2 ln _      − = z z ) 2 1 2 ln( 0.4343 z z− = ) 2 1 2 ln( dz d 0.4343z ) ( z z z H dz d z =− − − 2 ) 2 ( 2 ). 1 2 ( 2 . 2 . 1 -2z 2z 0.4343z ) ( z z z z H dz d z =− − − − )] 1 2 ( 2 [ 1 -2z 1 0.4343 ) ( =− − − − H z z z dz d z 1 -2z 1 0.4343 ) ( =− − H z dz d z 0.5 -z 0.5 0.4343 ) ( =− − H z dz d

z IZT dari persamaan disamping adalah :

) 1 ( ) 5 . 0 .( 4343 . 0 ) (n =− u n− nh n ) 1 ( ) 5 . 0 ( . 4343 . 0 ) ( =− u n− n n h n Apakah stabil ?

Jawabnya ya. Bisa menunjukkan bahwa sistem diatas stabil ? Bandingkan dengan sistem ini : ( ) 0.4343.(0.5) u(n) n n h n −

= , ini adalah sistem yang tidak stabil, tahu

dimana yang menyebabkan tidak stabil?

3. a. Tentukan transformasi Z dari sinyal y(n)=−nan u(−n−1) Jawab :

Jika )x(n)=−an u(−n−1 _{, maka ZT dari x(n) adalah :}

∑

∞ −∞ = − − − − = n n n_{u n z} a z X( ) ( 1)

∑

− −∞ = − = 1( / ) n n z

a , dengan mengganti n = -m, maka :

∑

∞ = − = 1 ) / ( m m a z

∑

∞ = − = 0 ) / ( 1 m m a z a z / 1 1 1 − − = dengan |z/a|<1 a z z z X − = ) ( dengan ROC : |z|<|a| Sedangkan TZ dari y(n) = nx(n) adalah :

[

( )

]

( ) ) ( X z dz d z n nx Z z Y = =− a z z dz d z − − = ₂ ) (z a z a z z − − − − = ₂ ) (z a az − = b. Hitung y(n) =x₁(n)*x₂(n) dimana :       <       ≥       = ₋ 0 , 2 1 0 , 3 1 ) ( 1 n n n x _n n ) ( 2 1 ) ( 2 n u n x n       =

Identik dengan point a. maka :

     < − − ≥ − = 0 , 2 0 , 3 / 1 1 ) ( 1 n z z n z z X 2 / 1 ) ( 2 − = z z z

X , maka konvolusi y(n)= x₁(n)*x₂(n) adalah : ) ( ). ( ) (z X₁ z X₂ z Y = 2 / 1 . 3 / 1 − − = z z z z

2 / 1 . 3 / 1 1 ) ( − − = z z z z z Y 2 / 1 3 / 1 + − − = z b z a 1 = + b a dan 0 3 1 2 1 = + b

a , maka dengan a = -2 dan b = 3 :

2 / 1 3 3 / 1 2 ) ( − + − − = z z z z Y sehingga : ) ( 2 1 . 3 3 1 . 2 ) (n u n y n n               +       − =

4. Desain sebuah filter analog dengan spesifikasi sebagai berikut :

• bagian passband redamannya tidak lebih dari 3 dB terletak antara dua frekuensi cut off 100 Hz dan 3.8 KHz

• bagian stopband redaman minimumnya adalah 20 dB yaitu pada frekuensi kurang dari 20 Hz dan lebih besar dari 8 KHz.

• tidak ada ripple baik pada bagian passband maupun stopband Tentukanlah :

a. Gambar respon frekuensi (20 log (|H(jΩ)|) vs Ω dari filter yang diinginkan secara lengkap.

Jawab :

b. Orde filter Jawab :

Prototype response Transformed filter response Design eguation H j( ΩΩΩΩ) H j( ΩΩΩΩ) Ω Ω Ω Ω Ω ΩΩ Ω Low pass G(s) Ω ΩΩ Ω 0 20 logG j( ΩΩΩΩ) K1 K2 1 ΩΩΩΩr 20 log _{Forward :}ΩΩΩΩr'= Ω ΩΩΩΩrΩΩΩu Backward : ΩΩΩΩr=ΩΩΩΩr' _/ΩΩΩΩu → → → → S/ΩΩΩΩu S Low pass H(s) Ω ΩΩ Ω 0 20 logG j( ΩΩΩΩ) K1 K2 1 ΩΩΩΩr K1 K2 Low pass G(s) 20 log 0 K2 K1 0 Ω Ω Ω Ωr' Ω Ω Ω Ωr' Ω Ω Ω Ωu Ω Ω Ω Ωu High-pass H(s) S→→→→ΩΩΩΩ /u S K1 K2 Ω Ω Ω Ω 0 20 logG j( ΩΩΩΩ) K2 1 ΩΩΩΩr Low pass G(s) Forward : ΩΩΩΩ'r====Ω ΩΩΩΩu/ΩΩΩr Backward : ΩΩΩΩr====ΩΩΩΩ Ωu/ΩΩΩr' 20 logH j( ΩΩΩΩ) 0 K1 K2 Ω ΩΩ Ωu Ω Ω Ω Ω1 ΩΩΩΩl ΩΩΩΩ2 ΩΩΩΩ Forward :ΩΩΩΩav====(ΩΩΩΩu−−−−ΩΩΩΩl) /2 Ω ΩΩ Ω1====(ΩΩΩΩ Ωr2ΩΩΩ2av++++Ω ΩΩΩΩlΩΩΩu)1 2/ −−−−Ω ΩΩΩΩavΩΩΩr Ω ΩΩ Ω2====(ΩΩΩΩ Ωr2ΩΩΩ2av++++Ω ΩΩΩΩlΩΩΩu)1 2/ ++++ΩΩΩ ΩΩavΩΩΩr Backward : A==== −−−−( ΩΩΩΩ12++++ΩΩΩ ΩΩlΩΩΩu) /[Ω ΩΩΩΩl(ΩΩΩu−−−−ΩΩΩΩl)] B==== ++++( ΩΩΩΩ22−−−−Ω ΩΩΩΩlΩΩΩu) /[ΩΩΩ ΩΩ2(ΩΩΩu−−−−ΩΩΩΩl)] m in

c

A ,B

h

S S S l u u l → → → → ++++ −−−− 2 _Ω Ω Ω Ω ΩΩΩΩ Ω Ω Ω Ω ΩΩΩΩ ( ) Bandpass H(s) Ω Ω Ω Ω 0 20 logG j( ΩΩΩΩ) K2 1 ΩΩΩΩr K1 Low pass G(s) 20 logH j( ΩΩΩΩ) 0 K1 K2 Ω Ω Ω Ω1 Ω Ω Ω Ωl ΩΩΩΩ2 ΩΩΩΩu ΩΩΩΩ S S S u l l u → →→ → −−−− ++++ (ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ) Ω ΩΩ Ω ΩΩΩΩ 2 _{Bandstop H(s)} Forward :ΩΩΩΩav====(ΩΩΩΩu−−−−ΩΩΩΩl) /2 Ω ΩΩ Ω1====[ΩΩΩΩav/ΩΩΩΩr)2++++ΩΩ ΩΩΩlΩΩΩu]1 2/ −−−−ΩΩΩΩav/ΩΩΩΩr Ω ΩΩ Ω2====[(ΩΩΩΩav/ΩΩΩΩr)2++++ΩΩ ΩΩΩlΩΩΩu]1 2/ ++++ΩΩΩΩav/ΩΩΩΩr Ω Ω Ω Ωr==== Backward : ΩΩΩΩr==== m in

c

A ,B

h

A====ΩΩ ΩΩΩl(ΩΩΩu−−−−ΩΩΩΩl) /[−−−−ΩΩΩΩ12++++ΩΩ ΩΩΩlΩΩΩu] B====ΩΩΩΩ2(ΩΩΩΩu−−−−ΩΩΩΩl) /[−−−−ΩΩΩΩ22++++ΩΩ ΩΩΩlΩΩΩu] π π.20 40 2 1 = = Ω rad/s π π.8000 16000 2 2 = = Ω rad/s π π.100 200 2 = = Ωl rad/s π π.3800 7400 2 = = Ωu rad/s

Untuk mendesain BPF, maka perlu mendesain dari filter prototipe LPF, sehingga parameter yang ada dalam BPF, di-backward ke prototipe LPF, dengan cara :

) , min(A B

r =

Ω diambil nilai minimum antara harga mutlak A dan B ) ( / ] . [ 2 ₁ 1 l u u l A= −Ω +Ω Ω Ω Ω −Ω =5.1297 ) ( / ] . [ 2 ₂ 2 l u u l B= Ω −Ω Ω Ω Ω −Ω =2.1493

sehingga dipilih Ω_r =2.1493, Orde filter butterworth yang digunakan (karena tidak ada ripple passband dan stopband), dirumuskan :

[

]

) / 1 ( log 2 ) 1 10 /( ) 1 10 ( log 10 10 / 10 / 10 1 2 r K K n Ω − −

= − − dalam hal ini : K₁ =−3 dB dan K₁ = −20 dB. 3.0059

=

c. Cari pole-pole LPF ternormalisasinya dengan perhitungan (tanpa tabel) & plot pada bidang s

Jawab :

Pole-pole LPF :

untuk n ganjil :s_k =1∠kπ/n, dimana : k = 0,1,2,..2n-1

untuk n genap :s_k =1∠π/2n+kπ/n, dimana : k = 0,1,2,..2n-1 s2 = -0.3827 + j0.9239 s3 = -0.9239 + j0.3827 s4 = -0.9239 - j0.3827 s5 = -0.3827 - j0.9239 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 sumbu Real su mb u Im aji ne

Plot Pole pada bidang S

d. Fungsi transfer LPF ternormalisasi Jawab : ) ( 1 ) ( k LHP n s _{s s} H − Π = 1 2.6133s 3.4144s 2.6132s s 1 2 3 4 _{+ + + +} =

e. Fungsi transfer filter yang diinginkan. Jawab : ) ( 2 | ) ( ) ( l u u l s s s n BPF s H s H Ω − Ω Ω Ω + → = ) ( 2 3 4 | 2 1 2.6133s 3.4144s 2.6132s s 1 l u u l s s s Ω − Ω Ω Ω + → + + + + = s s s BPF s H 004 2.2619e 007 1.4607e 2 3 4 | 2 1 2.6133s 3.4144s 2.6132s s 1 ) ( + + + → + + + + =

Catatan :

Solusi ini sifatnya tidak mutlak benar, nah disini diperlukan diuji ulang, disarankan belajarnya untuk menguji kebenaran solusi tersebut.

1. Hakekat ilmu adalah dengan belajar dan memahaminya.

2. Hakekat amal adalah dengan Ilmu, berilmu ? maka beramallah, tanpa ilmu ? maka belajarlah

3. Dan penyakitnya orang berilmu adalah lupa, maka belajar harus diulang.

4. Barangsiapa dikehendaki oleh Allah padanya kebaikan, maka akan ia dipahamkan tentang ilmu agama.