"8, Iurusan r""#iff;mil1ffi$$;i?m"* pontianak APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM.

APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM

Iurusan

r""#iff;mil1ffi$$;I ?m"* pontianak

Email : uminilam@Yahoo.com

ABSTRAK

pada makalah ini dibahas mengenai semimodul atas semiring yang didefinisikan

seperti modul atas ring. Semiring idempoten adalah semiring dengan operasi penjumlahan

benifat idempoten, yflng disebut dioid. Contohnya adalah semiring maks'plus fr*,.

Subsemimodul

X dari semimodul bebas .S' atas semiring S disebut semimodul rasional

jika .t dibangun oleh subset semilinear dari S', dengan .9" dipandang sebagai monoid

terhadap operasi perkalian per enti. Selanjuhya, ditunjukkan bahwa pada beberapa

subsemiring dari fr,*,

dengan elemen-elemen

merupakan bilangan bulat, kelas dari

semimodul-semimodul rasional tertutup terhadap beberapa operasi aljabar himpunan

sep€rti irisan, jumlaba& proyeksi dan lain sebagainya. Selain itu" diberikan beberapa

ilustrasi penerapan

semimodul rasional pada Sistem Kejadian Diskret (SKD) Linear

Maks-Plus.

Kata kunci : dioi{ subset

semilinear,

formula Presburger.

r. PENDAHT]LUAN

Teori- teori pada struktur aljabar seperti teori ruang vektor dan modul atas ring telalt

banyak digunakan untuk memodelkan dan menganalisis beberapa permasalahan

dalam

kehidupan nyata. Permasalahan

tersebut antara lain sistem produksi sederhana jaringan

transportasi,

jaringan komputer dan sebagainya

seperti dapat dilihat pada [1], [2], [3] dan

t7l. Pada dasarnya sistem-sistem

tersebut merupakan

sistem yang dinamik terhadap

waktu

Aan a*enA dengan nama Sistem Kejadian Disbet (SKD).Dalam kenyataanny4 ada

beberapa sistem tersebut di atas hanya menjalani waktu-waktu atau periode-periode

tertentu saja. Oleh karena itu, t€ori struktur aljabar yang telah dipelajmi sekarang

dianggap

masih terlalu umlrm untuk menjelaskan beberapa fenomena kfiusus pada sistem-sistem

tersebut. Unhrk itu, dalam makalah ini diperkenalkan semimodul atas semiring yang

didefinisikan seperti modul atas ring.

Seperti pada teori sistem linear klasrlq beberapa masalah keterkendalian dapat

diungkapkan dengan semimodul atas semiring. Kesulitan dalam pendekatan ini adalah

semimodul memiliki sifat yang sangat berbeda dengan ruang vektor, contohnya adalah

subsemimodul

dari semimodul bebas belum tentu bebas ataupun dibangun secara hingga.

Untuk rfir, datam makalah ini, gagasan

mengenai semimodul yang dibangun secara

hingga

diperluas menjadi suatu kelas yang didefinisikan sebagai

berikut : Subsemimodul

_{'Y c So}

disebut semimodul rasiorwl jrka X dibangun oleh subset semilinear .9n, dengan 5'

diketahui mertrpakan

monoid terhadap operasi @ per enti. Pengetahuan

secara lengkap

mengenai

subset

semilinear dari monoid 5' dapat dilihat pada [51.

Diasgmsikan pembaca telah mengenal pengertian dan konsep subset semilinear dari

monoid M, konsep maks-plus semiring dan semimodul atas semiring, seperti pengertian

basis, semimodul bebas, homomorfisma semimodul, rclasi kekongruenan, dan kernel.

Untuk definisi lebih lengkap dapat dibaca pada [4], [6], [10], [11]. Selanjutnya, akan di pelajari sifat-sifat yang dimiliki oleh semimodul rasional tersebut dan ketertutupan kelas dari semimodul rasional terhadap operasi-operasi aljabar himpunan seperti jumlahan, irisan, hasil kali, pemetaan dan sebagainya, dengan pembuktiannya mengacu pada [7]. Kendala yang timbul adalah beberapa sifat dari semimodul rasional tidak dapat dibuktikan secara langsung. Oleh karena itu perlu didefinisikan juga suatu himpunan yang definable oleh formula Presburger. Formula Presburger sendiri merupakan kalimat logika tingkat pertama pada monoid terurut

_

, 

_

, dengan relasi urutan tersebut didefinisikan dari operasi maksimum yang bersifat idempoten.

2. HIMPUNAN PRESBURGER PADA DIOID

Sebelum sampai pada pembahasan pokok makalah ini, akan ditinjau beberapa konsep-konsep dasar dalam struktur aljabar. Semigrup (S,  ) adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner  yang bersifat asosiatif. Monoid

_

M ,0,

_

adalah

semigrup dengan elemen identitas 0 . Monoid dikatakan komutatif jika ⊕ bersifat

komutatif. Diberikan sebarang AM, didefinisikan _A* _{yaitu submonoid yang dibangun}

oleh A. * 0 1 2 ... A A A A  dengan A 0 =

 

0 _{dan A }k 1 , k i i i a a A k              

⊕

.

Subset linear dari monoid



M ,0,



adalah subset yang dapat dinyatakan dengan







 

L m B _,

dengan mM dan B submonoid yang dibangun oleh himpunan berhingga B. Subset *

semilinear U dari M adalah gabungan berhingga dari subset-subset linear dari M.

Keluarga subset semilinear R dari monoid



M ,0,



memenuhi

pernyataan-pernyataan berikut :

i. Jika U =  maka U R

ii. Jika U berhingga maka U  R

iii. Jika U, V R maka UV R

iv. Jika M komutatif dan U,V  R maka U  V  R

v. Jika M komutatif dan U  R maka U

 R , Bukti selengkapnya dapat dilihat pada [11].

Semiring adalah himpunan tak kosong  yang dilengkapi dengan dua operasi biner

dan

  yang memenuhi (  ,) merupakan monoid komutatif dengan elemen identitas

0, (  ,  ) merupakan monoid, dengan elemen identitas 1.,  terhadap  bersifat distributif dan elemen 0 merupakan elemen penyerap terhadap operasi  , yaitu



  s



0  s = s  0 = 0. Semiring  tersebut dinotasikan dengan (  ,  ,  ). Semiring (  , ,

) dikatakan idempoten jika operasi  bersifat idempoten, yaitu (  s ) s s = s .

Semiring idempoten disebut juga dioid.

Setiap dioid

_

, , 

_

dilengkapi dengan relasi urutan  yang didefinisikan sebagai berikut :



a,b 



a  b  b = a  b.

Dari relasi urutan tersebut diperoleh a⊕ b merupakan batas atas terkecil dari a dan b, definisi dan bukti selengkapnya dapat dilihat dalam [1].

Selanjutnya, akan dibicarakan mengenai logika Presburger yang pertama kali diperkenalkan oleh M. Presburger (1930). Dalam makalah ini akan diberikan perluasan dari definisi Logika Presburger klasik. Untuk definisi dan pembahasan selengkapnya dapat dilihat pada [9] dan [12].

Diberikan dioid



_, _, ,0_,1



_{dengan relasi urutan  dan pernyataan-pernyataan}

(formula-formula) mengenai elemen-elemen dari  . Himpunan Presburger  dari



,,,1



_{adalah himpunan logika tingkat pertama dari}

_

_,,,1

_

_{yang memenuhi}

kondisi berikut :

i. Untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif ki, li, dengan 1  i  n

1 1 j i n n l k i j i x  j x





(2.1)

merupakan formula di , dengan xi , x = x_iki i xi ...xi sebanyak ki dan dinotasikan x  1_i0 ;

ii. Jika P1, P2  maka P1  P2  ; iii. Jika P1, P2  maka P1  P2  ;

iv. Jika P  maka ~P   , dengan ~P negasi dari P;

v. Jika P(x1, x2, ..., xn)   , formula



  xi



[P(x1, x2, ..., xn)  ]. Elemen-elemen di  disebut formula Presburger dari



,,,1



_.

Definisi 2.1 Dioid

_

_, , ,0_,1

_

_{dikatakan mempunyai properti Presburger jika}

subset-subset dari _{ yang definable merupakan subset semilinear dari} n



n



,

 , dan sebaliknya juga berlaku.

Contoh 2.2 Setiap elemen dari dioid komutatif _maks 



  





,maks,



definable oleh P  , dengan  himpunan Presburger dari



    





, , ,0



.

Bukti :

Diketahui pada _maks, operasi  = maks dan operasi  = +, sehingga pertidaksamaan (2.1) menjadi: untuk setiap bilangan bulat non negatif ki, li, dengan 1 i  n

1 1 n n i i j j i j k x l x   





  (2.2)

Akan ditunjukkan setiap elemen dari   





definable oleh formula Presburger dari







    , , ,0



. i. Diambil x =  .

Karena persamaan x =  ekuivalen dengan



    y 









yx



, dan diketahui







    y 





yx



 maka (x =  ) . Jadi   definable.

ii. Diambil x =  , maka x =    sebab (x = ) ekuivalen dengan







    y 





yx



. Sehingga  definable.

iii. Diambil x = 0. Karena x = 0 ekuivalen dengan



 y   







iv. Diambil x =1. Karena x = 1  ~(x  0) 



 y   









~



y0



x y



, maka (x = 1)  . Jadi 1 definable.

v. Diambil x = r , dengan r sebarang bilangan bulat positif.

Diketahui (z = 1)  dan dengan mengambil ki = n = 1 dan lj = r, maka menurut

(3.3) didapat persamaan (x = rz) . Karena (x = r) ekuivalen dengan







 z   



_



z1

 

 xrz



_, maka (x = r)   . Jadi



  r \

_{ }

0



r definable.

vi. Diambil x = -r, dengan r sebarang bilangan bulat positif.

Dari hasil sebelumnya didapat z = r  dan dengan mengambil n = 2, k1 = k2 = 0, l1 = l2 = 1, maka menurut (2.2) didapat (0 = x + z )  .

Karena (x = -r) ekuivalen dengan



 z   

_

_



_

_

zr

_{ }

 0 x z

_

_, maka (x =

-r)  . Jadi setiap bilangan bulat negatif definable. Terbukti setiap elemen di   





definable.

Akibat 2.3 Setiap elemen dari _maks

 

 

maks max ,  ,     dan

 

min   definable.

Selanjutnya akan diberikan pengembangan dari Teorema Ginzburg-Spanier (lihat [9]) yang menyatakan bahwa keluarga subset-subset semilinear dari

_

_{ }

n



,





 identik dengan

keluarga subset-subset yang definable oleh formula Presburger dari

 

_ n_{. Dari sini akan}

ditunjukkan bahwa beberapa exotic semirings dan tropical semiring memiliki properti Presburger. Kesulitan yang mungkin timbul adalah pada elemen , untuk itu diberikan Lemma Teorema 2.4 berikut.

Teorema 2.4 Dioid-dioid _maks



  

_

_

,maks,



,_maks=



  

_

_

,maks,



,_maks =



 





,maks, +



, _maks =



  





,maks,



dan _min=



 





,min,+



memiliki properti Presburger.

Bukti :

Akan dibuktikan untuk _max, yang lain dibuktikan secara analog.

Diketahui dari Contoh 2.2 setiap elemen dari _max definable oleh formula Presburger dari







    , , ,0



. Dinotasikan Nat(y) = ( y  0)  ~ ( y  ) yaitu formula Presburger yang mendefinisikan y  . 

Akan ditunjukkan _max memiliki properti Presburger, sebagai berikut :

(1). Akan ditunjukkan setiap subset semilinear dari





  







n,



definable oleh formula Presburger dari



    





, , ,0



.

Dari [11] diketahui keluarga himpunan yang definable tertutup terhadap operasi

gabungan. Dengan menggunakan Lemma 2.4, cukup ditunjukkan untuk setiap a 







  



n dan r1,...,r  k n subset linear U =





1





,... , k *

a r r definable oleh

formula Presburger dari



    





, , ,0



.

Ambil sebarang subset linear U =



a



r1,... ,rk



*







  







n, maka x U jika

dan hanya jika terdapat n1, n2 , ... , n k  sedemikian sehingga 

x = 1 1 2 2 k k

an r n r ... n r (2.9) Pernyataan (2.9) ekuivalen dengan



1







 

1

 



1



1 Nat Nat k k k i i i n n  ,..., n  n ... n P x ,n ,...,n         _    _    

_Λ

(2.10) dengan



1















1 = k k j j i i i i i i i i j P x ,n ,...,n z z a x z n r          _    _ 



  .

Dari sini didapat,

1 1 i i k k j j j j j j j j i i i i i i i i j j j J j J x z n r z r n z r n r n      

_

 

_

 

_



_

. Menurut (2.2)





i i j j j j i i i i j J j J x r n z r n  



_

  

_

merupakan formula Presburger dari



    

_

_

, , ,0



.

Didapat



1

















₌







i i k j j j j i i i i i i i i i j J j J P x ,n ,...,n z z a x r n z r n                       





  juga

merupakan formula Presburger dari



    





, , ,0



.

Akibatnya pernyataan (2.10) merupakan formula Presburger. Dengan kata lain setiap subset semilinear dari





  







n,



definable oleh formula Presburger dari







    , , ,0



.

(2). Akan ditunjukkan setiap subset dari



  







n yang definable merupakan subset semilinear dari





  

_

_



n,



Dari [5] diketahui keluarga himpunan subset semilinear dari





  







n,



tertutup terhadap operasi gabungan dan homomorfisma dari subset semilinear juga semilinear. Dari [8] didapat subset-subset semilinear dari





  







n,



tertutup terhadap operasi

irisan dan komplemen dari subset semilinear dari





  

_

_



n,



juga merupakan subset semilinear.

Jadi untuk menunjukkan setiap subset dari



  

_

_



n yang definable merupakan subset semilinear dari





  







n,



, cukup ditunjukkan:

Untuk setiap bilangan bulat non negatif ki, li, dengan 1  i  n, himpunan S yaitu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

1 1 n n i i j j i j k x l x   





(2.11)

Dibentuk pemetaan  :



  







n 



0,



n yang didefinisikan sebagai berikut :

untuk setiap x 



  







n,



 



 

_i

i

x x

  , dengan    





dan



 r 

  

 r 0. Mudah ditunjukkan  merupakan homomorfisma. Dinotasikan ( x ) pola dari x 



  

_

_



n.

Untuk menunjukkan S subset semilinear





  







n,



, cukup ditunjukkan

untuk setiap p 



0,



n, himpunan solusi dengan pola p , yaitu Sp S  1

_{ }

p



 

semilinear.

Dibentuk himpunan I p

 

={1  i  n | pi = } dan J p

 

={1 i n | pi  }. Dimisalkan x mempunyai pola p , maka x dapat dinyatakan dengan

    i i j j i J p j J p a k x b l x   

_

 

_

(2.12) dengan     dan i i j j i I p j I p a k p b l p  



_



_

. Didapat nilai – nilai yang mungkin dari a dan b

adalah



0,



. Penyelesaian dari (2.12) dibagi menjadi beberapa kasus :

Kasus 1. Jika a =  maka (2.12) terpenuhi untuk setiap x 









n

  

 , sehingga

 











 

 



1

untuk dan untuk

n

p i i i

S _ p _ x_{   } x _ p i_I p x _ i_J p

Jika dinotasikan k = |I p

 

| dan m = J p

 

maka



0



k m

p

S  ,   , dimana



0,



k merupakan subset semilinear dan  subset m

semilinear. Karena himpunan pergandaan kartesius dari subset-subset semilinear juga

semilinear, maka S_p merupakan subset semilinear. Dengan kata lain, himpunan

penyelesaian 0 n p p , S S  





dari pertidaksamaan (2.11) merupakan subset semilinear dari











n



,      . ■

3. SIFAT KERTERTUTUPAN DARI KELAS SEMIMODUL RASIONAL

Semimodul kiri atas semiring



,  0, , _S,1



_{adalah himpunan monoid komutatif}



  0, _X



yang dilengkapi dengan pemetaan (aksi kiri)    , (



,x) 



x, dan

memenuhi aksioma-aksioma



x, y



dan



 , 



i.







x

 

x

ii. 



xy



xy

iii.

_



_

xxx

iv. 1xx, 0_Sx0_x, 0_x 0_x

Untuk menyingkat penulisan, selanjutnya semimodul kiri  atas semiring  ditulis dengan semimodul  atas  . Jika semiring



,  0, , _S,1



_{merupakan dioid maka}



  0, _X



idempoten. Himpunan X   disebut subsemimodul dari  jika dan hanya

jika



x, y 



dan



,





x



yX .

Semimodul  atas  disebut semimodul bebas jika  mempunyai basis. Dimisalkan basis dari semimodul bebas  atas  adalah ˆx =

 

x_{i i I} , maka untuk setiap x

  dapat dinyatakan secara tunggal sebagai x = _{i i}

i I

x 



⊕

untuk suatu _i  dan  _i 0

sebanyak berhingga. Himpunan

 

_{i i I} disebut koordinat x relatif terhadap basis ˆx =

 

x_{i i I} , dinotasikan dengan

 

x _ˆx. Khususnya, untuk semimodul bebas  yang

mempunyai basis berhingga

 

x_{i i I} ,  dinyatakan dengan  , yaitu himpunan vektor-n vektor baris berukuran n dari koordinat x. Operasi internal  pada _{ didefinisikan} n

dengan

_

_

_{ }

_{ }

i i i

xy  x  y dan Operasi pergandaan skalar (



• x )i =



 ( x )i.

Diberikan himpunan G   . Subsemimodul dari n  yang dibangun oleh G didefinisikan n

dengan :

Span(G) =



n _i i, _i , _i sebanyak berhingga dan i



i I

x x g   g G



 

⊕

 0  _.

Definisi 3.1 (Semimodul rasional) Subsemimodul   disebut rasional jika  n

dibangun oleh subset semilinear dari monoid



n,



.

Teorema 3.2. Diberikan  semiring komutatif. Jika  , n dan _{  merupakan} p

semimodul rasional, maka

i. ⊕ =



x⊕y x dan y



merupakan semimodul rasional _ n

ii. x x dan z z _{ }     _{ }   _      

    merupakan semimodul rasional_n p

.

Bukti :

Diketahui  ,   dan n   semimodul rasional, maka  = Span(A),  = p Span(B), dengan A, B subset semilinear



n,



, dan  = Span(C), dengan C subset semilinear



_p,_



_.

i. Karena⊕ = Span(A B) dan diketahui AB merupakan subset semilinear dari



_n,_



_{, didapat  }

⊕ merupakan semimodul rasional _{ .} n

ii. Akan ditunjukkan   semimodul rasional  _n p _.

Akan ditunjukkan   = Span(D), dengan D subset semilinear dari 



n p ,





 .

Diketahui A subset semilinear dari



n,



, dibentuk A subset semilinear dari



n p ,



.

Selain itu, diketahui C subset semilinear dari



_p,_



_{, dibentuk C subset semilinear} dari



_n p ,_



_{sehingga A  C subset semilinear dari}



_n p ,_



_{. Selanjutnya, akan}

Diambil sebarang p = x z

     

  dengan  x dan z , maka

1 1 1 1 =  _ _  _ _                k n n l l p p k a a p c c 0 0 0 0

Selanjutnya untuk n = 1, ..., k dinotasikan

_{   }

_i  _i dan

i i p a d _{ }_ _    0 , dan

untuk n = k +1, ..., k + l dinotasikan

   

_i  _i dan i n i d b         0 _{didapat :} 1 n i i i p

⊕

_d , dengan   _i dan _{d }i A  C

Jadi, p  Span( A  C ) atau   dibangun oleh A  C , sehingga     semimodul rasional dari



n p ,



. ■

Lemma 3.3 Diberikan  dioid dengan relasi urutan total. Jika G   dan xn 

Span(G), maka terdapat himpunan berhingga B  G dengan kardinalitas  n sedemikian

sehingga x  Span(B). ■

Lemma 3.3 menyatakan bahwa jika  dioid dengan relasi urutan total, maka untuk

sebarang G  , himpunan Span(G) dibangun secara hingga. n

Teorema 3.4 Diberikan  dioid komutatif dengan relasi urutan total dan memiliki

properti Presburger. Untuk sebarang himpunan   , pernyataan-pernyataan berikut n

ekuivalen:

i.  merupakan semimodul rasional.

ii.  merupakan semimodul dan subset semilinear dari monoid



n,



.

Bukti :

ii  i

Diketahui  merupakan semimodul dan subset semilinear dari monoid



n,



. Karena  dibangun oleh  sendiri, maka  semimodul rasional.

i  ii

Diketahui  semimodul rasional maka terdapat subset semilinear G _{ sedemikian} n

sehingga  = Span(G). Karena  memiliki properti Presburger maka G definable. Dimisalkan P formula Presburger dari



,,,1



_{yang mendefinisikan G. Dari Lemma}

3.3 diketahui  dibangun secara hingga, didapat

x  



1







_

_

_

_

1 , , n , , , _n g G g G             1 1 ( ) ( n) n i i i P g P g x g        

⊕

.

Karena formula tersebut merupakan formula Presburger dari

_

,,,1

_

_{dan karena }

memiliki properti Presburger akibatnya  merupakan subset semilinear dari monoid

Diberikan semimodul ,  atas  . Himpunan semua homomorfisma semimodul dari semimodul  ke  atas semiring  dinotasikan dengan Hom



 ,



. Khususnya,

diberikan _{ dan} n _{ semimodul bebas atas  dengan basis} m

 

i in₁ ˆx x   dan

_{ }

1 m i i ˆy y   .

Homomorfisma semimodul A : _{ } n _{ dapat direpresentasikan secara tunggal sebagai} m

matriks

 

A ˆy_ˆx berukuran m  n.

Teorema 3.5 Diberikan  dioid komutatif dengan relasi urutan total dan memiliki

properti Presburger. Jika  ,   _{ ,  }n _{ ,} p n p



  dan _{ }

 

_n 2 _merupakan

semimodul rasional dan A  Hom



 n, p



, maka himpunan-himpunan :

i.   ; ii. v p

_

x

_

x v     _    _{ } _         dan n

_

_

u u z z     _    _{ } _         ; iii. A 



Axp x ;



iv. 1





n A  u Au ;

merupakan semimodul rasional .

Bukti :

i. Diketahui  dan  semimodul rasional, maka  dan  merupakan subset

semilinear dari monoid



n,



. Dari [8] didapat  merupakan subset semilinear dari



_n,_



_{, dan jelas}



  subsemimodul _{ . Jadi} n



  merupakan semimodul

rasional.

ii. Akan ditinjau pada himpunan  , untuk kasus  dibuktikan secara analog.

Diketahui _v p

_

_x

_

x v     _    _{ } _    

    , akan ditunjukkan  merupakan

semimodul rasional dari



p,



.

Mudah ditunjukkan  subsemimodul dari  . Selanjutnya, akan ditunjukkan  p subset semilinear dari



_p,_



_.

Diketahui n p



  semimodul rasional, maka  merupakan subset semilinear dari



n p ,



, dan karena  memiliki properti Presburger maka  definable. Dimisalkan

P formula Presburger yang mendefinisikan  .

Dilain pihak,    semimodul rasional, maka  subset semilinear dari n



n,



dan dimisalkan Q formula Presburger yang mendefinisikan  .

Didapat,

v   jika dan hanya jika



x n



Q x

 

P x v      _  _{ }      .

Akibatnya,  definable oleh formula Presburger dari



,,,1



_{maka }

merupakan subset semilinear



p,



. Dengan kata lain  merupakan semimodul rasional.

iii. Diketahui  subset semilinear dari



n,



dan A  Hom



 n, p



. Akan ditunjukkan A  semimodul rasional. Dari struktur aljabar diketahui jika A

homomorfisma dari _{ ke} n _{ maka Im(A) merupakan subsemimodul dari} p _{ . Dan} p

jika A dibatasi pada  dengan  subsemimodul maka Im

 

A

|

= A  juga

merupakan subsemimodul  . Dari [5] diketahui jika  subset semilinear dari p



n,



dan A homomorfisma, maka A  merupakan subset semilinear. Jadi, A  semimodul rasional.

iv. Diketahui  subset semilinear dari



p,



dan A  Hom



 n, p



.

Akan ditunjukkan 1





n A  u Au semimodul rasional. Bentuk n Im

_{ }

A = u u n Au        _{ }  _          .

Karena  semimodul bebas yang dibangun secara hingga maka n  merupakan n

semimodul rasional atas dirinya sendiri. Dari [5] Im(A) semimodul rasional, dan dari Teorema 3.2  merupakan semimodul rasional.

Dari ii. didapat u n



z Au



u

z     _     _{ } _         = _A1_{ merupakan} semimodul rasional.

4. APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL PADA TEORI SISTEM

Diberikan persamaan SKD Linear Maks-Plus atas semiring _maks sebagai berikut:

x(k) = A  x(k-1)  B  u(k) y(k) = C x(k) (4.1) x(0) = x₀ dengan A 



maks



n n  , B 



maks



n p

 , C 



_maks



q n , x x k ₀,

 



_maks



n, u(k) 



_maks



p , y(k) 

_

_maks

_

q k = 1, 2, … .

Vektor x(k) menyatakan keadaan(state), u(k) disebut vektor input, y(k) disebut vektor

output dan x(0) disebut vektor keadaan awal dari Sistem (4.1).

Vektor x(k) dikatakan tercapai pada saat k dari kondisi awal x(0) =



jika terdapat input u(k) sedemikian sehingga x(k) memenuhi (3.1). Ruang ketercapaian pada saat k,



A B,





 , adalah himpunan semua vektor-vektor yang tercapai pada saat k, dan ruang

ketercapaian pada sebarang waktu , _

_

A B,

_

, adalah gabungan dari 



A B,



. Selain

itu, diperkenalkan matriks ketercapaian pada saat k dan pada sebarang waktu

2 1 2

R _B AB A B| | ||AkB_, R_ _B AB A B| | |_.

Dari [2] dan [10], dikarakterisasikan bahwa _



A B,



(resp. 



A B,



) merupakan

semimodul yang dibangun oleh R (resp.R )  .

Teorema 4.1 Diberikan SKD Linear atas semiring _maks (4.1) dengan A 

_

_maks

_

n n dan B 



_maks



n p maka _



A B,



merupakan semimodul rasional dari



_maks



n.

Akan ditunjukkan 



A B,



merupakan semimodul rasional dari



maks



n

 .

Diberikan singleton {A} subset semilinear dari





  

_

_



n n ,



, maka

 

A 0

 

A0

dengan  maks 0 n n A    ,

 

 

1

A  A ,

_{ }

_A 2_

 

_A2 _{, dan seterusnya. Jadi,}



0 1 2



, , ,

A A A  =

 

0

   

2

A  A  A  =

 

A . Dari [5], *

 

A merupakan subset semilinear dari *











   n n ,



, sehingga jika dibentuk  = Span





0 1 2





, , ,

A A A  maka  merupakan semimodul rasional dari



_maks



n n .

Diketahui 



A B,



subsemimodul yang dibangun oleh kolom-kolom dari matriks R.

Didapat :



A B,



  = Span





_{ }

_{  }

_

_

_



2





2







1, , p, 1, , p, 1, , p, B B AB AB A B A B           = Span





_{  }

_





1, 1, B AB     Span





  

B2, AB



2,  Span









  

Bp, AB



p,





= 

_

A B, ₁

_



_

A B, ₂

_





A B, p



.

Dari Teorema 3.2 didapat bahwa jumlahan dari semimodul rasional juga merupakan semimodul rasional, sehingga cukup ditunjukkan untuk kasus B yang hanya memiliki satu kolom, atau p = 1. Didapat



A B,





 = Span





B AB A B , , 2





= ₁B₂AB₃A B2  , dengan  i 0 sebanyak berhingga

=



0 2



1A 2A 3A B     Jadi 



A B,



=





0 2 1A 2A 3A B     (4.2)

Selanjutnya didefinisikan pemetaan f dari



_maks



n n 



_maks



n1 sebagai berikut :







maks



 

n n

X  f X XB

   

Jelas f merupakan homomorfisma semimodul.

Diketahui  = Span





_{A A A }0_, 1_, 2_,





_{semimodul rasional dari}



maks



n n

 , didapat



0 2



1A 2A 3A

     , sehingga dari (3.2) didapat 



A B,



= Im f







, yaitu

image dari f yang dibatasi pada  . Karena  semimodul rasional dari



_maks



n n , maka menurut Teorema 3.5.iii 



A B,



semimodul rasional dari



maks



n

 . ■

5. UCAPAN TERIMAKASIH

Penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada panitia Semirata BKS-PTN Barat ke-21 Universitas Riau yang telah menerima makalah penelitian ini. Selain itu, penulis juga berterima kasih kepada Ketua Jurusan Matematika dan Dekan FMIPA Untan yang telah mengijinkan penulis mengikuti kegiatan ini.

' :",'3

DAFTAR PUSTAKA

tU

Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J., Quadrat, J.P., 1992, Synchrbnization and

Linemity, Wiley, New York

l2l Brewer, J.W., Bunce, J.W., Van-Vleck, F.S., 1986, Linear Systems Over

Commutative

Rings,

Marcel Dekker,Inc.o

New York.

t3l Cohen, G., Gaubert,

S., Quadrat,

J.P.,1999, Malr-Plus

Algebra and Systems

Theory:

Where We Are and Where to Go Now, Annual Review in Control, 23,207-219,

http ://www.IFAC-Nantes.tex.

t4l Devliru K.,1992, Sets,

Function and Logic, edisi 2, Chapman

and Hall, New York.

t5] Eilenberg, S. and Schtitzenberger,

M.P., 1969, Rational Sets in Commutative

Monoids.

J. Algebra, 2, 13, 173-191.

t6l GauberL S. 1998, Exotic Semirings : Examples and General Result, http://www.

amadeus.inria.fr,

Maret 1998, dialses 5 Desember

2008.

t7l Gaubert, S. and Katz,R., 2002, Rational Semimodules

Over The Max-Plus Semirings

and Geometic Approach of Discrete Event Systems, http://www.arXiv.

mathC,U0208014v2,13

November

2002, diakses

25 Oktober 2008.

t8l Ginsburg, S. and Spanier, E.H., 1964, Bounded ALGOL-Like Languages, Trcns.

Amer. Math.,Soc.,

1 13, 333-368.

t9l Ginsburg, S. and Spanier, 8.H., 1966, Semigroups, Presburger Formulas, and

Languages

. P acific Journal of Mathematics,

2, 16.

[0] Kusumastuti,

N.,2009, Semimo&i Rasianal

atas Semiring

ldernpoten,

Tesis : Program Pascasarjana

Universitas Gadjah Mada.

Il]

Lallement, G.,1979, Semigroups

and Combinatorial

Applications,

John Wiley and

Sons, [nc., New York.

ot 6

s

[t

$ $

= S . s E

€ F E $ $ E

g E€ =g$Es=

_{g , =,}

€ g E I * d $ E s :

t E s = E $ $ * E E

# s E € =$R€EE

€ E ' n

_{3 $ S E p .}

E E

#R

NE

n N

{El (:

L-ct

m

r -

_ct

5

(?

a -

r\-5 <

'E

c|-L - t ' =

l - o ) E

' / q J

{ = E

-.)

Y o f c n

o; :

n F tF -

-: - i =

o

lJ-'-

:t]'

F E c t t

l E = . a

:-- h cEr

t E s +

H'T

t/

F

\..t e .'*

E c n

g

\'r'l

cl

.F

(l,

\1 -

_g

c'

""ltt

ct

m

{

a

5 b0 d

0

t l

o

(s