PENDAHULUAN Latar Belakang

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Mutu sekolah merupakan hasil yang dicapai oleh kinerja sekolah. Dalam bidang akademik, mutu sekolah dikaitkan dengan mutu lulusan sekolah. Indikator mutu lulusan sekolah umumnya menggunakan hasil pencapaian prestasi siswa di dalam Ujian Nasional (UN), yaitu Ujian Akhir Nasional (UAN) dan Ujian Akhir Sekolah (UAS). Menurut Slamet (2000b) dan Dinas Pendidikan Nasional (2000) dalam Idris (2005), berkaitan dengan mutu lulusan sekolah (output), dapat dijelaskan bahwa output sekolah dikatakan bermutu tinggi, jika prestasi sekolah khususnya prestasi belajar peserta anak didik, menunjukkan pencapaian yang tinggi dalam hasil kemampuan akademik, yaitu nilai ujian seperti UAN atau UAS. Pada akhir proses pembelajaran di sekolah dilakukan penilaian sebagai rangkaian kegiatan untuk memperoleh dan menganalisis data. Penilaian yang selama ini telah dilakukan pada tingkat akhir SD, SMP, dan SMU mengalami beberapa kali perubahan dari EBTANAS, UAN/UAS, UN, dan Ujian Akhir Sekolah Berstandar Nasional (UASBN) untuk SD/MI/SDLB. Hasil yang diperoleh digunakan sebagai informasi dalam pengambilan keputusan. Pelaksanaan Ujian Nasional setiap tahunnya selalu menimbulkan pro-kontra dari masyarakat, terutama berkaitan dengan hasil ujian yang selama ini hanya digunakan sebagai acuan untuk kelulusan siswa dan tidak adanya tindak lanjut dari hasil tersebut.

Menanggapi permasalahan tersebut, pada Tahun Pelajaran 2007/2008, pemerintah masih melaksanakan Ujian Nasional dengan melakukan beberapa perubahan pada tingkat SD, sedangkan SMP dan SMU masih melaksanakan Ujian Nasional seperti tahun-tahun sebelumnya. Berdasarkan Peraturan Pemerintah No.19 Tahun 2005 dan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional No. 37/2007 pada Tahun Pelajaran 2007/2008 dilaksanakan UASBN bagi siswa SD/MI/SDLB. Terdapat perubahan tujuan dalam UASBN yaitu hasil ujian akhir digunakan sebagai alat untuk memetakan satuan pendidikan. Selain itu untuk keputusan kelulusan siswa, kriteria kelulusan ditetapkan oleh setiap sekolah/madrasah yang

peserta didiknya mengikuti UASBN.

Permasalahan yang muncul, apabila pemetaan mutu sekolah hanya berdasarkan nilai UN tanpa melibatkan peubah-peubah yang mempengaruhinya, akan berakibat pada penyusunan rencana kebijakan pada tahun berikutnya. Pemerintah maupun sekolah tidak mempunyai dasar yang kuat untuk menentukan langkah-langkah yang jelas guna meningkatkan mutu sekolah.

Selain itu, program pemetaan sekolah yang juga dilakukan oleh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional adalah untuk memperoleh informasi secara rinci antara lain mengenai: sarana-prasarana, guru, siswa, dan tenaga administrasi (Tata Usaha, TU). Hal ini umumnya digunakan sebagai pertimbangan pengambilan kebijakan dalam pemenuhan kebutuhan sekolah, termasuk pengangkatan pegawai baru bagi guru dan TU.

Hasil pemetaan mutu sekolah diharapkan dapat digunakan untuk mengevaluasi kinerja sebelumnya, perencanaan dan target peningkatan mutu lulusan sekolah serta membuat peringkat sekolah. Dalam mengevaluasi kinerja sekolah diperlukan informasi tentang keunggulan dan kekurangan terhadap berbagai peubah yang mempengaruhi mutu lulusan, berdasarkan hasil yang dicapai pada tahun sebelumnya dari masing-masing sekolah. Hal ini berkaitan dengan penyusunan rencana dan target peningkatan mutu lulusan pada tahun berikutnya. Peubah-peubah yang mempengaruhi mutu sekolah, antara lain: nilai UN siswa ketika diterima, kepemimpinan kepala sekolah, kemampuan mengajar guru, dan sosial ekonomi orang tua siswa.

Suatu analisis diperlukan untuk memperoleh hasil yang lebih terinci dalam pemetaan mutu sekolah sehingga informasi yang diperoleh merupakan gambaran mutu sekolah berdasarkan hasil UN dan peubah-peubah yang mempengaruhinya.

Penelitian di beberapa bidang, misalnya: pendidikan, sosial, ekonomi, dan politik sering diperoleh data yang berukuran besar serta peubah yang banyak. Tentunya sulit untuk diinterpretasikan secara langsung, sehingga perlu dilakukan tahap pereduksian dimensi data dulu. Dalam statistika dikenal suatu analisis data yang menggunakan peubah amatan lebih dari satu dan dianalisis secara serempak, yaitu Analisis Peubah Ganda (APG). Salah satu teknik yang digunakan dalam APG adalah pereduksian dimensi data peubah ganda (Siswadi dan Suharjo, 1999).

APG yang menggunakan teknik ini mencakup antara lain: Analisis Komponen Utama, Analisis Biplot, Analisis Gerombol, Penskalaan Dimensi Ganda, Analisis Korelasi Kanonik, Analisis Diskriminan, dan Analisis Korespondensi. Selain Analisis Faktor, analisis yang lain dapat digunakan tanpa mengaitkan dengan sebaran yang membangkitkannya.

Analisis biplot merupakan salah satu bentuk APG yang dapat memberikan gambaran secara grafik tentang keragaman peubah, kedekatan antar objek serta keterkaitan peubah dengan objek yang dapat digunakan untuk memetakan mutu sekolah. Namun hasil pemetaan yang diperoleh belum menjamin gambaran pemetaan mutu sekolah. Di sisi lain, hasil dari Analisis Komponen Utama, bergantung pada ragam peubah asal. Penggunaan hasil analisis tersebut memungkinkan diperolehnya suatu pemetaan yang akan bergantung pada peubah tertentu.

Dalam penelitian ini, rumusan masalahnya adalah:

1 Bagaimana memperoleh gambaran pemetaan mutu sekolah yang sesuai dengan nilai UN?

2 Bagaimana memperoleh gambaran tentang kekurangan dan keunggulan dari setiap sekolah berdasarkan peubah-peubah yang mempengaruhi nilai UN?

Tujuan dan Manfaat Penelitian

Berdasarkan latar belakang masalah, tujuan dari penelitian ini (dalam studi kasus SMUN di Kabupaten dan Kota Malang Tahun Pelajaran 2001/2002) ialah: 1 Untuk memperoleh pemetaan mutu sekolah yang sesuai dengan nilai UN. 2 Memperoleh gambaran keterkaitan hasil UN dengan peubah-peubah yang

mempengaruhinya.

Penelitian ini diharapkan dapat menjadi masukan dalam analisis mutu sekolah terhadap peubah-peubah yang mempengaruhinya sebagai salah satu tindak lanjut dari pelaksanaan UN.

TINJAUAN PUSTAKA

Pemetaan Mutu Sekolah

Mutu sekolah merupakan hasil yang dicapai oleh kinerja sekolah, dalam hal ini dikaitkan dengan mutu lulusan sekolah. Indikator mutu lulusan sekolah umumnya menggunakan hasil pencapaian prestasi siswa di dalam UN (UAN dan UAS), bahkan nilai-nilai tersebut sampai sekarang masih digunakan sebagai standar untuk menentukan kelulusan siswa.

Pemetaan mutu sekolah merupakan suatu proses untuk memperoleh gambaran perbandingan mutu suatu sekolah dengan sekolah yang lain serta hubungan antara mutu sekolah dengan peubah-peubah yang mempengaruhinya. Peubah-peubah itu antara lain: kemampuan dasar siswa, kemampuan guru, fasilitas belajar dan sosial ekonomi orang tua.

Kebijakan pemerintah saat ini menjadikan hasil UASBN sebagai tolok ukur untuk memetakan mutu pendidikan (sekolah). Sedangkan jika semata-mata dari hasil UASBN untuk memetakan mutu pendidikan tentu saja belum diperoleh kekurangan dan keunggulan sekolah berdasarkan peubah-peubah yang mempengaruhi mutu pendidikan tersebut. Dalam Pakpahan (2001), hasil Ebtanas (UN) akan menggambarkan tingkat pencapaian sekolah-sekolah dari tingkat terendah hingga tertinggi, dan dapat diteliti peubah-peubah penyebab suatu sekolah atau wilayah yang memiliki tingkat pencapaian rendah sehingga dapat dilakukan upaya perbaikan sesuai peubah tersebut.

Ivy (2001), menggunakan Analisis Korespondensi untuk menggambarkan posisi beberapa perguruan tinggi terhadap kinerja alat promosinya, sehingga diperoleh kekurangan maupun keunggulan dan gambaran yang terbentuk dalam masyarakat dari masing-masing perguruan tinggi. Hasilnya ini dapat digunakan untuk mengkonstruksi ulang program dan pelayanan. Sedangkan Farkas dan Nagy (2008), menggunakan Analisis Korespondensi dan Biplot simetri untuk menganalisis hubungan antara teknik keahlian dasar dan pengetahuan mahasiswa mengenai harapan dari pemberi pekerjaan apabila mereka masuk kerja.

Kepemimpinan Kepala Sekolah

Kepemimpinan kepala sekolah merupakan kemampuan kepala sekolah dalam mempengaruhi perilaku guru dan siswa untuk mencapai tujuan sekolah (Idris, 2005). Kepala sekolah yang berhasil dan efektif dalam kepemimpinannya diindikasikan akan mempengaruhi pencapaian dalam prestasi pembelajaran. Ciri kepala sekolah yang berhasil, antara lain: 1) memiliki visi yang kuat tentang masa depan sekolah dan mendorong siswa, serta stafnya untuk bekerja merealisasikan visi tersebut, 2) memiliki harapan yang tinggi terhadap prestasi siswa dan kinerja stafnya, 3) memonitor guru dalam kelas dan memberikan masukan dalam menyelesaikan masalah peningkatan pengajaran, 4) mampu menciptakan lingkungan belajar yang aman. Sedangkan kategori kepala sekolah yang efektif, antara lain: 1) dapat meningkatkan kesadaran dan berperan aktif tentang perlunya perbaikan sekolah dan prestasi yang tinggi, 2) dapat memonitor perkembangan prestasi siswa, 3) dapat menciptakan sistem penghargaan bagi siswa dan guru yang berprestasi, 4) dapat memperoleh alat dan sumber belajar, 5) bertanggung-jawab menciptakan lingkungan belajar yang tertib dan aman (Idris, 2005).

Kemampuan Mengajar Guru

Dalam proses pembelajaran terjadi interaksi langsung antara guru dan siswa. Saat ini guru umumnya masih merupakan sumber pokok bahan ajar. Pandangan umum menempatkan kualitas/kemampuan guru dalam mengajar dikaitkan dengan mutu lulusan sekolah yang dihasilkan. Guru yang efektif dapat menjalankan tugasnya dengan baik dalam proses pembelajaran, sehingga hasil yang diperoleh sesuai dengan rencana tujuan pembelajaran. Beberapa tugas tersebut, antara lain: merumuskan tujuan pembelajaran, menguasai materi pembelajaran, menggunakan metode pembelajaran yang tepat, mengadakan evaluasi, dan mendorong semangat belajar siswa. Ciri guru yang efektif:

1 memiliki kemampuan yang terkait dengan suasana belajar di kelas, antara lain: - hubungan baik dengan siswa

- menunjukkan minat dan antusias dalam mengajar - memberikan penghargaan

2 memiliki kemampuan yang terkait dengan strategi pembelajaran, antara lain: - kemampuan dalam menghadapi dan menangani siswa yang tidak

memperhatikan

- mampu bertanya dan memberikan tugas sesuai dengan kemampuan siswa 3 memiliki kemampuan yang terkait dengan pemberian umpan balik, antara lain:

- mampu memberikan umpan balik yang positif kepada siswa - mampu membantu siswa yang lamban belajar

- mampu menindaklanjuti jawaban siswa yang kurang memuaskan 4 memiliki kemampuan yang terkait dengan peningkatan diri:

- mampu menerapkan kurikulum dan metode pengajaran

- mampu menambah dan memperluas pengetahuan tentang metode-metode pengajaran

Motivasi Siswa

Motivasi merupakan faktor yang memprakasai, memperkuat, dan mempertahankan perilaku (Houston, 1985 dalam Idris, 2005). Dalam proses pembelajaran motivasi mempengaruhi hasil belajar siswa. Beberapa hal yang terkait dengan motivasi siswa, antara lain: minat dan ketekunan dalam belajar, mempunyai cita-cita, tanggungjawab dalam menyelesaikan tugas-tugas, dan aktivitas belajar di dalam maupun di luar kelas.

Status Sosial Ekonomi Orang Tua

Unsur-unsur dari status sosial ekonomi orang tua siswa yang digunakan adalah tingkat pendidikan formal dan tingkat ekonomi orang tua meliputi: pendidikan orang tua, pekerjaan, pendapatan, dan tanggungan keluarga. Orang tua yang mempunyai tingkat pendidikan tinggi dimungkinkan memotivasi dan memberikan perhatian yang lebih baik kepada anaknya dalam belajar. Besarnya pendapatan orang tua erat kaitannya dengan pemenuhan kebutuhan fasilitas belajar siswa. Selain itu, biaya yang dikeluarkan orang tua siswa untuk masing-masing sekolah berbeda-beda. Indikasinya semakin favorit suatu sekolah semakin tinggi biaya sekolah yang harus dikeluarkan.

Fasilitas Belajar

Fasilitas belajar adalah sarana dan prasarana yang digunakan untuk menunjang proses pembelajaran dengan tujuan supaya siswa lebih mudah memahami materi yang dipelajari. Dengan tersedia dan penggunaan yang efektif dari fasilitas belajar diharapkan dapat menunjang pencapaian hasil belajar yang maksimal.

Mutu Masukan

Proses seleksi masuk SMU pada umumnya hanya menggunakan Nilai Ebtanas Murni (NEM) SLTP. Tinggi rendahnya rata-rata NEM siswa yang diterima di setiap sekolah berbeda-beda, hal ini dimungkinkan karena tergantung dari mutu sekolah dan standar nilai yang telah terbentuk pada penerimaan tahun-tahun sebelumnya. Mutu sekolah salah satunya sering dihubungkan dengan rata-rata NEM siswa yang diterima. Mutu lulusan SMU yang dihasilkan umumnya sejalan dengan NEM siswa pada jenjang SLTP.

Diagram Kotak Garis

Diagram kotak garis (boxplot) merupakan salah satu teknik untuk memberikan gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran dan kemiringan pola sebaran. Gambaran tersebut ditampilkan dalam bentuk kotak (persegipanjang) yang pada kedua sisinya membujur garis. Ukuran panjang kotak dan garis berdasarkan ringkasan 5 angka, yaitu: nilai minimum, kuartil pertama, median atau kuartil kedua, kuartil ketiga, dan nilai maksimum dari data yang sudah diurutkan.

Gambar 1 Posisi ringkasan 5 angka dalam diagram kotak garis. Nilai maksimum

Kuartil ketiga (Q3)

Median (Me/Q2)

Kuartil pertama (Q1)

Letak dari Q1 dan Q3 membatasi kotak sedangkan median (Me) di dalam

kotak, hal ini menunjukkan bahwa 50% data menyebar di dalam kotak dan sisanya terbagi sama banyak menyebar disekitar garis atas dan bawah kotak. Data yang terletak di atas Batas Atas (BA) atau di bawah Batas Bawah (BB) dinamakan pencilan (outlier), dengan BB = Q1 - 1.5(Q3 - Q1) dan BA = Q3 + 1.5(Q3 -Q1).

Analisis Komponen Utama

Teknik dalam Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Component Analysis) adalah mereduksi himpunan peubah asal yang saling berkorelasi menjadi himpunan peubah baru (Komponen Utama/KU) yang tidak saling berkorelasi dan dapat menjelaskan sebagian besar keragaman dari peubah asal (Jolliffe, 2002). KU yang diperoleh merupakan fungsi dari peubah asal. Pereduksian ini bertujuan untuk mengurangi dimensi dari himpunan peubah asal sehingga dapat mempermudah dalam memberikan informasi secara visual.

Misalnya X'=

(

X X₁, , ₂ ..., X_p

)

adalah vektor peubah asal dengan matriks koragam Σ = [σij]. Komponen utama pertama dari X adalah:

KU1= a'X1 (1.1)

Vektor a₁ dipilih sehingga ragam KU1 maksimum dengan kendala a 'a_{1 1}=1.

Dengan menggunakan cara pemaksimuman berkendala Lagrange,

L

(

a1,

λ

1

)

=a1'Σa1−

λ

1

(

a a1' 1−1

)

(1.2) diperoleh a1 _{sebagai eigenvektor yang berpadanan dengan} λ1 eigennilai terbesar pertama dari Σ. Untuk KUi dicari dengan langkah yang sama ditambah kendala bahwa KUi dan KUj (j < i; i = 2, 3, …, p; j = 1, 2, …, p-1) tidak saling berkorelasi, akan diperoleh eigenvektor-eigenvektor a a₂, , ₃ ..., a yang berpadanan dengan _p eigennilai λ₂≥λ₃≥ ≥... λ_pdari matriks Σ. Eigennilai ke-i merupakan ragam dari KUi, sehingga total keragamannya adalah:

( )

1 p i i tr λ = =

∑

Σ . (1.3)

Skor KU diperoleh dari perkalian eigenvektor dengan vektor amatannya. Misalnya matriks data _nX di mana _p X'=

[

x x₁, , ₂ ..., xn

]

, skor KU ke-i dari

objek ke-j adalah y_ij = a x dengan _i' _j yj' =

(

y , y , ..., yj₁ j₂ jp

)

merupakan data pengamatan dari p peubah baru pada objek ke-j.

KU1 memberikan keragaman terbesar pertama, KU2 memberikan keragaman

kedua terbesar, dan seterusnya. Jika peubah asal mempunyai ragam berbeda, maka besarnya koefisien peubah ragam yang terbesar mendominasi KU1. Umumnya

matriks koragam yang digunakan adalah matriks korelasi apabila satuan pengukuran peubah-peubahnya tidak sama atau besaran ragam yang cukup jauh berbeda. Dengan demikian terlebih dahulu setiap peubah ditransformasi sehingga masing-masing mempunyai rata-rata 0 dan ragam 1. Jika matriks koragam atau matriks korelasi tidak diketahui, maka matriks tersebut diduga menggunakan data asal.

Salah satu metode yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan banyaknya KU yang dipilih (misalnya: k) adalah proporsi kumulatif keragaman, yaitu: = 1 = 1 x 100% ; 1, 2, ..., k i i p i i k p λ λ =

∑

∑

. (1.4)

Dalam menentukan batas minimum persentase keragaman tidak ada ketentuan yang baku, sebagian peneliti menggunakan batas minimum 80% untuk menentukan banyaknya KU. Jika k ≤ 3, maka konfigurasi objek dapat digambarkan dalam ruang.

Analisis Biplot

Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Analisis ini dikenal sebagai salah satu teknik statistika dengan penyajian melalui grafik yang berasal dari matriks data ke dalam suatu plot dengan menggabungkan atau menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi kecil. Pada umumnya menggunakan dua dimensi untuk mewakili vektor-vektor baris (misalnya sebagai gambaran objek) dan vektor-vektor kolom (gambaran peubah).

Dengan peragaan secara grafik dari analisis biplot ini diharapkan dapat diperoleh informasi tentang:

1 Kedekatan antar objek, yaitu objek mempunyai kemiripan dengan objek lain yang ditunjukkan dengan posisi objek-objek tersebut.

2 Keragaman peubah, yaitu dengan membandingkan panjang vektor peubah. Peubah dengan keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek, sebaliknya jika keragamannya besar digambarkan dengan vektor yang panjang. 3 Korelasi antar peubah, dalam hal ini peubah digambarkan sebagai vektor. Dua

peubah berkorelasi positif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah yang sama atau membentuk sudut lancip. Sedangkan dua peubah berkorelasi negatif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah yang berlawanan atau membentuk sudut tumpul. Apabila sudut yang dibentuk siku-siku, maka dua peubah tersebut tidak saling berkorelasi.

4 Keterkaitan peubah dengan objek. Objek yang letaknya sepihak dengan arah vektor peubah, menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika berlawanan berarti nilainya di bawah rata-rata, dan jika hampir di tengah-tengah berarti nilainya mendekati rata-rata.

Analisis biplot didasarkan pada Dekomposisi Nilai Singular (DNS) atau Singular Value Decomposition (SVD) dari matriks data yang sudah terkoreksi terhadap rata-ratanya. Misalnya matriks *

X

_{adalah matriks data peubah ganda}

yang terdiri dari n objek dan p peubah. Selanjutnya matriks *

X

dilakukan transformasi terhadap nilai rata-ratanya diperoleh matriks

X

,

( )

1

n

∗

=

−

*

X

X

1X

(1.5)

di mana 1 adalah matriks yang semua unsurnya bernilai 1. Matriks koragam (S) dari matriks X adalah:

1

'

- 1

n

=

S

X X

(1.6)

Misalnya matriks R= [rij], i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, p adalah matriks korelasi dari matriks X, maka matriks tersebut dapat ditulis:

-1/ 2 −1/ 2

=

di mana -1/2 11 22 1 1 1 diag , , ..., s s s_pp ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

D adalah matriks diagonal dengan

unsur diagonal utama 1/ s ; _ii i=1, 2, ..., p (Johnson dan Wichern, 2002). Unsur rij juga merupakan cosinus sudut θ antara vektor peubah ke-i dan ke-j:

cos(θ) = rij . (1.8) Misalnya matriks X = 1 2 ' ' ' n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ # x x x , maka:

jarak Euclid antara objek ke-i dan ke-j adalah:

d

(

x xi, j

) (

= xi−xj

) (

' xi−xj

)

, (1.9) dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah:

(

) (

) (

)

1

, '

i j i j i j

d x x = x −x S− x −x . (1.10)

Apabila matriks X berpangkat r (r ≤ p ≤ n) dapat dinyatakan sebagai

n

X

p

=

n

U L A

r r p

'

(1.11)

Matriks U dan A merupakan matriks ortonormal kolom, di mana U U' =A A' =Ir

(matriks identitas berdimensi r). Matriks A adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor ai yang berpadanan dengan eigennilai λi dari matriks

'

X X, A = [a1, a2, …, ar]. Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang berpadanan dengan eigennilai-eigennilai dari matriks XX'.

1 2 1 2

,

,...,

r r

λ

λ

λ

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

X

X

X

U =

a

a

a

(1.12)

Sedangkan matriks L adalah matriks diagonal yang unsur-unsur diagonalnya merupakan akar dari eigennilai-eigennilai tak nol matriks 'X X atau matriks XX', yaitu L =diag

(

λ

1,

λ

2,...,

λ

r

)

, di mana nilai-nilai dari

λ

i _{memenuhi sifat}

1 2 ... r

λ ≥ λ ≥ ≥ λ > 0 dan

λ

i disebut nilai singular/singular value (Mardia et

Dalam Jolliffe (2002), definisikan Lα untuk 0 ≤ α ≤ 1, adalah matriks diagonal dengan elemen-elemennya λ₁α, λ₂α,..., λ , definisi yang sama _rα

untuk L1-α dengan elemen-elemennya 1 1 1

1 α, 2 α,..., r α λ − λ − λ − _{dan jika G = UL}α_, 1-' α H = L A' , maka:

'

'

α α

=

=

=

1-X U L A'

U L L A

G H

(1.13)

dan elemen ke-(i, j) dari matriks X dapat ditulis:

x_ij = g h _i' _j (1.14)

' i

g merupakan vektor baris ke-i dari matriks G, i = 1, 2, …, n dan 'h merupakan _j vektor baris ke-j dari matriks H, j = 1, 2, …, p; di mana vektor g dan i h j mempunyai r elemen.

Untuk menggambarkan X pada ruang berdimensi k < r dapat didekati dengan suatu matriks berpangkat k, yaitu:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

1( ) ( )

)

ˆ _' ' k k k k k k k α −α = = X G H U L L A (1.15)

Pada umumnya digunakan k = 2, sehingga koordinat-koordinat G dan H dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua (Lipkovich dan Smith, 2002).

Nilai-nilai α dapat digunakan pada kisaran [0,1], tetapi pengambilan pada nilai-nilai tertentu, yaitu: α = 0 dan α = 1 akan berimplikasi penting dalam interpretasi biplot.

a Jika α = 0, maka G = U dan 'H =LA', akibatnya:

(

) (

)

' ' ' ' ' ' ' ' = ' X X = GH GH = HG GH = HU UH HH (1.16)

sedangkan X X' mempunyai hubungan seperti (1.6), berarti hasil perkalian

(

)

' 1 s

i j = n− ij

h h , dengan demikian penggandaan titik antara vektorh_i dan h _j akan memberikan gambaran koragam antara peubah ke-i dan ke-j. Panjang vektor h_i = n−1 s , s_{i i} = s_{ii menggambarkan keragaman peubah ke-i.}

Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh cosinus sudut antara h_i dan h , yaitu: _j ' cos s s s r i j i j ij ii jj ij θ = = = h h h h (1.17)

di mana

r

_ij adalah korelasi antara peubah ke-i dengan ke-j.

Berdasarkan sudut yang dibentuk antara vektor h_i dan h , korelasi antara _j peubah ke-i dan ke-j dapat dijelaskan sebagai berikut:

1 semakin besar korelasi positifnya jika θ mendekati 0, dan korelasi sama dengan 1 jika θ = 0,

2 semakin besar korelasi negatifnya, jika θ mendekati π, dan korelasi sama dengan -1 jika θ = π, dan

3 semakin kecil korelasi positif dan negatifnya, jika θ mendekati π/2, dan tidak berkorelasi apabila θ = π/2.

Selain itu, jika X berpangkat p maka,

(

) (

'

)

(

₁

)

(

) (

'

)

i− j i− j = n− i− j i− j

-1

S

x x x x g g g g , berarti kuadrat jarak Euclid

antara vektor g_i dan g pada biplot sebanding dengan kuadrat jarak _j Mahalanobis antara vektor xi dan x (Siswadi dan Suharjo, 1999). j

b Jika α = 1, maka G = UL dan 'H =A , atau' H=A H H A A; ' = ' =I akibatnya:

(

)(

)

' = ' ' ' = ' ' = ' ' = ' . XX GH GH GH HG GA AG GG (1.18)

Berarti

(

x x_i− _j

) (

' x x_i− _j

) (

= g g_i− _j

) (

' g g_i− _j

)

, atau kuadrat jarak Euclid antara i

x dan x_j akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara g_i dan g . Selain itu, _j koordinat-koordinat g dan i h masing-masing merupakan skor dan koefisien j komponen utama pada analisis komponen utama.

Untuk α ∈ (0,1), maka interpretasi pada korelasi serta jarak Euclid dan Mahalanobis tidak berlaku, sedangkan posisi relatif g dan _i h masih _j mencerminkan mengenai besaran objek ke-i pada peubah ke-j

(

x_ij = g h . _i' _j

)

Ukuran Kesuaian Biplot

Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekataan matriks data X dengan menggunakan matriks GH', tetapi juga koragam dan korelasi

antar peubah, serta kemiripan antar objek. Hasil perkalian HH' sebagai pendekatan dari matriks X X' diperoleh ragam-koragam dan korelasi antar peubah, sedangkan matriks GG'pendekatan bagi XX' _{diperoleh ukuran} kemiripan antar objek. Selanjutnya Gabriel mengemukakan ukuran kesuaian biplot (Goodness of Fit of Biplot) sebagai ukuran pendekatan, dalam bentuk sebagai berikut: 1 Kesuaian data:

(

)

(

)

(

) (

)

2 GF , ' ' ' ' ' ' tr tr tr = X GH X GH X X HG GH (1.19) 2 Kesuaian peubah:

(

)

(

)

(

) (

)

2 GF ' , ' ' ' ' ' ' ' tr tr tr = X XHH X X HH X X X X HH HH (1.20) 3 Kesuaian objek:

(

)

(

)

(

) (

)

2 GF ', ' ' ' ' ' ' tr tr tr = XX GG XX GG XX XX GG GG ' (1.21) Untuk menelusuri kesuaian konfigurasi data asal peubah tertentu dengan proyeksinya pada vektor peubah tersebut dalam biplot digunakan koefisien korelasi Pearson (r).

(

)(

)

(

)

(

)

1 2 2 1 1 x - x y - y x - x y - y n i i i n n i i i i r = = = =

∑

∑

∑

(1.22) di mana,

xi: data asal peubah tertentu objek ke-i,

yi: proyeksi objek ke-i pada vektor peubah tersebut dalam biplot,

=1 1 x n xi i n =

∑

, dan =1 1 y n y_i i n =

∑

Untuk kesuaian peringkat objek digunakan proporsi dari objek yang peringkatnya sesuai dengan peringkat pada data asal peubah tertentu. Sedangkan kesuaian peringkat koefisien korelasi peubah terhadap peubah tertentu, digunakan proporsi dari peubah pada biplot yang peringkat korelasinya terhadap peubah tertentu sesuai dengan peringkat korelasi peubah terhadap peubah tertentu tersebut pada data asal.