PENGANTAR TEORI UKURAN
DAN INTEGRAL LEBESGUE
Disusun oleh :
Kholida Khoirunnisa
12/331359/PA/14622
Program Studi S1 Matematika
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Gadjah Mada
DAFTAR LAMBANG
x ∈ A : x anggota A
A ⊆ X : A himpunan bagian (subset ) atau sama dengan X N : himpunan semua asli
R : himpunan semua bilangan real
R : himpunan semua bilangan real digabung {−∞, ∞} A : koleksi semua himpunan terukur-µ∗ di himpunan X M : koleksi semua himpunan terukur-m∗ di himpunan R inf A : batas bawah terbesar himpunan A
sup A : batas atas terkecil himpunan A : akhir suatu bukti
: akhir suatu contoh → : menuju n X i=1 ai : penjumlahan a1+ a2+ · · · + an n [ i=1 ai : gabungan a1∪ a2∪ · · · ∪ an p ⇒ q : jika p maka q ⇔ : jika dan hanya jika
DAFTAR ISI
I HIMPUNAN TERUKUR 1 1.1. Ukuran Luar . . . 1 1.2. Himpunan terukur . . . 3 II ALJABAR HIMPUNAN 6 2.1. Aljabar Himpunan . . . 6 2.2. Aljabar-σ Himpunan . . . 62.3. Ruang Ukuran Lebesgue . . . 13
III FUNGSI TERUKUR 14 3.1. Fungsi Terukur . . . 14
3.2. Konsep Almost Everywhere dan Nearly Everywhere . . . 18
3.3. Fungsi Sederhana . . . 19
IV INTEGRAL LEBESGUE 24 4.1. Integral Fungsi Sederhana . . . 24
4.2. Integral Fungsi Terukur dan Terbatas . . . 26
4.3. Integral Fungsi Terukur dan Nonnegatif . . . 31
4.4. Integral Fungsi Terukur . . . 32
4.5. Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue . . . 34
BAB I
HIMPUNAN TERUKUR
1.1. Ukuran Luar
Definisi 1.1. Misalkan X 6= ∅. Fungsi µ∗ : 2X → R yang mempunyai sifat-sifat : 1. µ∗(A) ≥ 0 untuk setiap A ∈ 2X
2. µ∗(∅) = 0
3. Jika A, B ∈ 2X dan A ⊆ B, maka µ∗(A) ≤ µ∗(B)
4. Jika {An} ∈ 2X maka µ∗ ∞ [ n=1 An ! ≤ ∞ X n=1 µ∗(An)
disebut ukuran luar (outer measure) pada X. (Catatan : R = R ∪ {−∞, ∞})
Contoh 1.1. Untuk memperjelas pemahaman dari Definisi 1.1, perhatikan contoh berikut. Diambil X = R. 2R merupakan koleksi semua himpunan bagian di dalam R. Fungsi
m∗ : 2R→ R dengan definisi m∗(A) = inf ( ∞ X i=1 l(Ii)|A ⊂ ∞ [ i=1
Ii dan Ii selang terbuka
)
dengan l(Ii) merupakan panjang interval Ii, merupakan ukuran luar pada R.
Bukti. Ambil sebarang A, B ∈ 2R. Cukup dibuktikan bahwa m∗ memenuhi keempat
sifat pada Definisi 1.1.
1. Panjang interval Ii bernilai non negatif, maka jumlahannya juga non negatif. Lebih
lanjut, infimumnya juga bernilai non negatif. Diperoleh bahwa m∗(A) ≥ 0
2. ∅ ⊂ 2R. Menurut sifat pertama, m∗(∅) ≥ 0. Andaikan m∗(∅) > 0, tentu ada selang
terbuka (a, b) sehingga ∅ ⊂ (a, b). Tetapi mengingat ∅ ⊆ A untuk setiap A ⊆ R, maka ∅ ⊂ (−ε, ε) untuk setiap bilangan real ε > 0. Jadi,
m∗(∅) = inf
ε>0{l(−ε, ε)}
= inf
ε>0{2ε}
= 0
(a) Jika m∗(B) = ∞, maka jelas m∗(A) ≤ m∗(B) = ∞. Bukti Selesai. (b) Jika m∗(B) < ∞, mengingat m∗(B) = inf ( ∞ X i=1 l(Ii)|B ⊂ ∞ [ i=1
Ii dan Ii selang terbuka
)
maka untuk sebarang ε > 0, terdapat barisan selang terbuka {Ii} sehingga
B ⊆S∞ i=1Ii dan ∞ X i=1 l(Ii) < m∗(B) + ε (1.1) Karena A ⊆ B, tentu A ⊆S∞
i=1Ii, yang berakibat
m∗(A) ≤
∞
X
i=1
l(Ii) (1.2)
Dari (1.1) dan (1.2), diperoleh
m∗(A) < m∗(B) + ε
Dengan kata lain, m∗(A) ≤ m∗(B)
Jadi, terbukti bahwa jika A, B ∈ 2R dan A ⊆ B, maka µ∗(A) ≤ µ∗(B)
4. Pembuktian ini dibagi menjadi 2 kasus :
(a) Jika terdapat n ∈ N sehingga m∗(Ai) = ∞, maka ∞ X n=1 m∗(An) = ∞. Didapat m∗ ∞ [ n=1 An ! ≤ ∞ X n=1 m∗(An) = ∞. Bukti selesai.
(b) Jika ∀n ∈ N, m∗(An) < ∞, maka ada barisan {Ink} sehingga
An⊆ ∞ [ k=1 Ink dan ∞ X k=1 l(Ink) < m ∗ (An) + ε 2n Diperoleh ∞ [ n=1 An⊆ ∞ [ n=1 ∞ [ k=1 Ink
Oleh karena itu, m ∗ ∞ [ n=1 An ! ≤ ∞ X n=1 ∞ X k=1 l (Ink) < ∞ X n=1 m∗(An) + ε 2n
Dengan kata lain, terbukti bahwa m∗
∞ [ n=1 An ! ≤ ∞ X n=1 m∗(An)
Jadi, m∗ merupakan ukuran luar pada R
1.2. Himpunan terukur
Definisi 1.2. Jika µ∗ merupakan ukuran luar pada X, maka himpunan E ∈ 2X dikatakan terukur-µ∗ (µ∗-measurable) jika untuk setiap A ∈ 2X benar bahwa
µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC)
Teorema 1.1. E ⊆ X terukur µ∗ jika dan hanya jika untuk setiap A ⊆ R benar bahwa µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC)
Bukti. Syarat perlu : Cukup jelas bahwa 1.2 ⇒ 1.1
Syarat cukup : Diketahui bahwa untuk setiap A ⊆ X benar bahwa
µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC) (1.3) Karena A = (A ∩ E) ∪ (A ∩ EC), maka menurut Definisi 1.1 yang ketiga, diperoleh
µ∗(A) = µ∗{(A ∩ E) ∪ (A ∩ EC)} (1.4) µ∗(A) ≤ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC) (1.5) Dari (1.3) dan (1.5) diperoleh
µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC)
Teorema 1.2. Diberikan himpunan X 6= ∅ dan E, F ⊆ X. Misalkan A adalah koleksi semua himpunan terukur-µ∗ di X, maka berlaku :
2. Jika E ∈ A, maka EC ∈ A
3. Jika E, F ∈ A, maka E ∪ F ∈ A 4. Jika µ∗(E) = 0, maka E ∈ A Bukti. Ambil sebarang E, F ∈ X,
1. Ambil sebarang A ∈ X, maka A ∩ ∅ = ∅ dan A ∩ X = A. Diperoleh µ∗(A ∩ ∅) + µ∗(A ∩ ∅C) = µ∗(∅) + µ∗(A) = 0 + µ∗(A) = µ∗(A) µ∗(A ∩ X) + µ∗(A ∩ XC) = µ∗(A) + µ∗(∅) = µ∗(A) + 0 = µ∗(A) Jadi, terbukti bahwa ∅, X ∈ A.
2. Diambil sebarang E ∈ A, artinya E terukur-µ∗. Ambil sebarang A ∈ A, benar bahwa
µ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC) = µ∗(A ∩ (EC)C) + µ∗(A ∩ EC) = µ∗(A ∩ EC) + µ∗(A ∩ (EC)C) Jadi, terbukti bahwa jika E ∈ A, maka EC ∈ A.
3. Diambil sebarang E, F ∈ A, artinya E, F masing-masing terukur-µ∗. Diambil sebarang A ∈ 2X, maka A ∩ EC ∈ 2X. Karena F terukur-µ∗, maka
µ∗(A ∩ EC) = µ∗((A ∩ EC) ∩ F ) + µ∗((A ∩ EC) ∩ FC) µ∗((A ∩ EC) ∩ F ) = µ∗(A ∩ EC) − µ∗((A ∩ EC) ∩ FC)
Karena
A ∩ (E ∪ F ) = (A ∩ E) ∪ (A ∩ FC) = (A ∩ E) + (A ∩ F ∩ EC)
Jadi, µ∗(A ∩ (E ∪ F )) ≤ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ F ∩ EC) µ∗(A ∩ (E ∪ F )) ≤ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC) − µ∗((A ∩ EC) ∩ FC) µ∗(A ∩ (E ∪ F )) + µ∗((A ∩ EC) ∩ FC) ≤ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC) µ∗(A ∩ (E ∪ F )) + µ∗(A ∩ (E ∪ F )C) ≤ µ∗(A) Jadi, terbukti bahwa jika E, F ∈ A, maka E ∪ F ∈ A.
4. Diketahui µ∗(E) = 0. Ambil sebarang A ⊆ X, diperoleh A∩E ⊆ E dan A∩EC ⊆ A.
Maka diperoleh
µ∗(A ∩ E) ≤ µ∗(E) = 0 µ∗(A ∩ EC) ≤ µ∗(A) Diperhatikan bahwa
µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC) = 0 + µ∗(A ∩ EC) ≤ µ∗(A) Jadi, E terukur-µ∗. Terbukti bahwa jika µ∗(E) = 0, maka E ∈ A.
BAB II
ALJABAR HIMPUNAN
2.1. Aljabar Himpunan
Definisi 2.1. Diberikan himpunan X 6= ∅. A ⊆ 2X disebut Aljabar Himpunan pada X
jika memenuhi 1. ∅, X ∈ A
2. Jika E ∈ A, maka EC ∈ A
3. Jika E, F ∈ A, maka E ∪ F ∈ A
Menurut Teorema 1.2, koleksi semua himpunan terukur-µ∗ di X merupakan Aljabar Himpunan. Selanjutnya akan didefinisikan Aljabar Himpunan yang lebih khusus, yaitu Aljabar-σ Himpunan.
2.2. Aljabar-σ Himpunan
Definisi 2.2. Diberikan himpunan X 6= ∅. A ⊆ 2X disebut Aljabar-σ Himpunan pada X
jika memenuhi 1. ∅, X ∈ A 2. Jika E ∈ A, maka EC ∈ A 3. Jika {En} ∈ A, maka ∞ [ i=1 En ∈ A
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa A koleksi semua himpunan terukur-µ∗ pada X merupakan Aljabar-σ Himpunan. Namun terlebih dahulu akan dipaparkan lemma dan teorema untuk membuktikannya.
Teorema 2.1. Jika {An} ⊆ A, maka terdapat {Bn} ⊆ A yang saling asing dan ∞ [ n=1 Bn = ∞ [ n=1 An Bukti. Dibentuk B1 = A1 B2 = A2− A1 = A2∩ AC1 .. . Bn= An− An−1− An−2− · · · − A1 = An∩ ACn−1∩ A C n−2∩ · · · ∩ A C 1
Jelas bahwa Bn ⊆ An dan Bn∈ A. Didapat, ∞ [ n=1 Bn ⊆ ∞ [ n=1 An (2.1)
Selanjutnya diambil sebarang x ∈ S∞
n=1An, akan ditunjukkan x ∈
S∞
n=1Bn. Tentu
ada Ak sehingga x ∈ Ak. Dipilih k terkecil, yaitu i, sehingga x ∈ Ai,
Bi = Ai− Ai−1− · · · − A1
Jadi, x ∈ Bi. Hal ini berakibat x ∈
S∞ n=1Bn. Jadi ∞ [ n=1 An⊆ ∞ [ n=1 Bn (2.2)
Diambil m 6= n. Tanpa mengurangi keumuman, dianggap m < n Bm∩ Bn ⊆ Am∩ Bn
= Am∩ (An∩ Acn−1∩ · · · ∩ A C 1)
= ∅ Jadi, {Bn} saling asing.
Jadi terbukti bahwa terdapat {Bn} yang saling asing dan ∞ [ n=1 An = ∞ [ n=1 Bn
Teorema 2.2. Jika E1, E2, . . . , En ∈ A yang saling asing, maka untuk setiap A ∈ 2X
benar bahwa µ∗ A ∩ n [ k=1 Ek ! = n X k=1 µ∗(A ∩ Ek)
Bukti. Bukti dengan induksi matematika :
2. Dianggap benar untuk n − 1, akan dibuktikan benar untuk n. Diperhatikan bahwa, A ∩ n−1 [ k=1 Ek ! ∩ En= A ∩ En A ∩ n−1 [ k=1 Ek ! ∩ EC n = A ∩ n−1 [ k=1 Ek Selanjutnya, µ∗ A ∩ n−1 [ k=1 Ek ! ∩ En ! + µ∗ A ∩ n−1 [ k=1 Ek ! ∩ EnC ! = µ∗(A ∩ En) + µ∗(A ∩ n−1 [ k=1 Ek) = µ∗(A ∩ En) + n−1 X k=1 µ∗(A ∩ Ek) = n X k=1 µ∗(A ∩ Ek)
Karena Ek terukur-µ∗, maka
µ∗ A ∩ n−1 [ k=1 Ek ! ∩ En ! + µ∗ A ∩ n−1 [ k=1 Ek ! ∩ EC n ! = µ∗ A ∩ n [ k=1 Ek ! Didapat µ∗ A ∩ n [ k=1 Ek ! = n X k=1 µ∗(A ∩ Ek) Terbukti bahwa µ∗ A\ n [ k=1 Ek ! = n X i=1 µ∗(A ∩ Ek)
Teorema 2.3. Untuk sebarang {Ak} ⊆ A, benar bahwa ∞
[
k=1
Ak ∈ A
Bukti. Telah dibuktikan bahwa jika {Ak} ⊆ A maka ada {Ek} ⊆ A yang saling asing
sehingga ∞ [ k=1 Ak = ∞ [ k=1 Ek
Jadi, untuk membuktikanS∞
k=1Akterukur-µ
∗sama dengan membuktikan bahwaS∞
k=1Ek
terukur-µ∗.
Ditulis Fn = Snk=1Ek, sehingga didapat Fn ⊆ S ∞
k=1Ek = E. Hal ini mengakibatkan
EC ⊆ FC
n, yang berarti µ
∗(EC) ≤ µ∗(FC n).
Diambil sebarang himpunan A ∈ 2X, maka
µ∗(A) = µ∗(A ∩ Fn) + µ∗(A ∩ FnC) µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ Fn) + µ∗(A ∩ EC) µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ n [ k=1 Ek) + µ∗(A ∩ EC) µ∗(A) ≥ n X k=1 µ∗(A ∩ Ek) + µ∗(A ∩ EC)
Persamaan di atas berlaku untuk setiap n ∈ N. Oleh karena itu, berlaku pula untuk n → ∞. Didapat, µ∗(A) ≥ ∞ X k=1 µ∗(A ∩ Ek) + µ∗(A ∩ EC) µ∗(A) ≥ µ∗ A ∩ ∞ [ k=1 Ek ! + µ∗(A ∩ EC) µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A ∩ EC) Jadi, S∞
k=1Ek terukur-µ∗. Dengan kata lain,
S∞
k=1Ak terukur-µ∗. Terbukti.
Dari teorema di atas, terbukti bahwa koleksi semua himpunan terukur-µ∗ pada X merupakan aljabar-σ himpunan.
Akibat 2.1. 1. Jika {Ak} ⊆ A, maka
µ∗ ∞ [ k=1 Ak ! ≤ ∞ X k=1 µ∗(Ak) 2. Jika {Ek} ⊆ A, maka µ∗ ∞ [ k=1 Ek ! = ∞ X k=1 µ∗(Ek)
Bukti. Karena
(a.b) = (a, ∞) ∩ (−∞, b) (a.b] = (a, ∞) ∩ (−∞, b]
Cukup dibuktikan bahwa (a, ∞) terukur-m∗. Ambil sebarang A ∈ R, akan ditunjukkan
m∗(A) ≥ m∗(A ∩ (a, ∞)) + m∗(A ∩ (−∞, a]) Jika m∗(A) = ∞, maka jelas terpenuhi sehingga tidak perlu dibuktikan.
Jika 0 ≤ m∗(A) < ∞, tulis A1 = A ∩ (a, ∞) dan A2 = A ∩ (−∞, a]. Sehingga
A1∪ A2 = A
A1∩ A2 = ∅
Ambil sebarang ε > 0 maka ada barisan selang terbuka {Ik} sehingga A ⊆ S ∞ k=1Ik dan ∞ X k=1 m∗(Ik) < m∗(A) + ε
Jadi, {Ik} terpecah menjadi dua bagian yaitu {Ik} = {I
0 k} ∪ {I 00 k} dengan A1 ⊆ ∞ [ k=1 Ik0 dan A2 ⊆ ∞ [ k=1 Ik00 Ik = I 0 k∪ I ” k dan ∅ = I 0 k∩ I ” k Jadi, Ik0 dan I”
k saling asing untuk setiap k ∈ N.
Didapat m∗(Ik) = m∗(I 0 k∪ I ” k) = m∗(Ik0) + m∗(Ik”) Karena m∗(A1) ≤ ∞ X k=1 m∗(Ik0) m∗(A2) ≤ ∞ X k=1 m∗(Ik”)
maka didapat m∗(A1) + m∗(A2) ≤ ∞ X k=1 m∗(Ik0) + ∞ X k=1 m∗(Ik”) m∗(A1) + m∗(A2) ≤ ∞ X k=1 m∗(Ik0) + m∗(Ik”) m∗(A1) + m∗(A2) ≤ ∞ X k=1 m∗(Ik) m∗(A1) + m∗(A2) < m∗(A) + ε m∗(A1) + m∗(A2) ≤ m∗(A)
Jadi, terbukti bahwa (a, ∞) terukur-m∗. Lebih lanjut, karena (a, ∞) terukur-m∗, maka (a, ∞)C = (−∞, a] terukur-m∗. Dengan cara yang sama pula, dapat dibuktikan bahwa (−∞, a) dan [a, ∞) terukur-m∗. Hal ini mengakibatkan (a, b), [a, b], (a, b] dan [a, b) juga terukur m∗.
Akibat 2.2. Untuk setiap a, b ∈ R, interval 1. (a, b) terukur-m∗
2. (a, b] terukur-m∗ 3. [a, b) terukur-m∗ 4. [a, b] terukur-m∗
Teorema 2.5. Diberikan E ∈ X. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen. 1. E ∈ A
2. ∀ε > 0 terdapat himpunan terbuka O sehingga E ⊂ O dan µ∗(O − E) < ε
3. ∀ε > 0 terdapat himpunan tertutup F sehingga F ⊂ E dan µ∗(E − F ) < ε
Bukti.
1. Dari 1 ke 2.
Diketahui E terukur-µ∗. Oleh karena itu, diambil sebarang ε > 0, maka terdapat barisan selang terbuka {Ik} sehingga
E ⊆
∞
[
k=1
dan ∞ X k=1 µ∗(Ik) < µ∗(E) + ε ∞ X k=1 µ∗(Ik) − µ∗(E) < ε Diambil O =S∞
k=1Ik. Maka O merupakan himpunan terbuka dan O terukur-µ ∗
Diperhatikan bahwa O = E ∪ (O − E) dan ∅ = E ∩ (O − E). Jadi, E dan O − E saling asing, sehingga
µ∗(E ∪ (O − E)) = µ∗(E) + µ∗(O − E) µ∗(O) = µ∗(E) + µ∗(O − E) µ∗(O − E) = µ∗(O) − µ∗(E)
Berdasarkan Akibat 2.1 yang pertama,
µ∗(O) = µ∗ ∞ [ k=1 Ik ! ≤ ∞ X k=1 µ∗(Ik) Diperoleh µ∗(O − E) ≤ ∞ X k=1 µ∗(Ik) − µ∗(E) µ∗(O − E) ≤ ε Terbukti. 2. Dari 2 ke 3,
Oleh karena E terukur-µ∗, maka EC juga terukur-µ∗. Menurut 2, ∀ε > 0 terdapat
himpunan terbuka O sehingga EC ⊂ O dan µ∗(O − EC) < ε.
Dipilih F = OC, maka F merupakan himpunan tertutup dan E − F = E ∩ FC = E ∩ O = O ∩ E = O − EC Jadi, µ∗(E − F ) = µ∗(O − EC) < ε. Terbukti.
3. Dari 3 ke 1,
Diketahui ∀ε > 0 terdapat himpunan tertutup F sehingga F ⊂ E dan µ∗(E − F ) < ε. Oleh karena F tertutup, maka FC terbuka. Misal O = FC. Didapat O = S∞
k=1Ik
Diperoleh EC ⊂S∞ k=1Ik dan µ∗(O) − µ∗(EC) = µ∗(O − EC) = µ∗(E) − µ∗(OC) = µ∗(E − F ) < ε Sehingga µ∗(O) < µ∗(EC) + ε Di pihak lain, µ∗(O) = µ∗ ∞ [ k=1 Ik ! = ∞ X k=1 µ∗(Ik) Didapat ∞ X k=1 µ∗(Ik) < µ∗(EC) + ε
Dengan kata lain, EC terukur-µ∗. Oleh karena itu, E terukur-µ∗. Terbukti.
2.3. Ruang Ukuran Lebesgue
Definisi 2.3. Misal A merupakan koleksi semua himpunan terukur-µ∗ pada X. Fungsi m : A → R dengan definisi
m(E) = µ∗(E)
untuk setiap E ∈ A, disebut ukuran Lebesgue (Lebesgue Measure)
Lebih lanjut, (X, A) disebut ruang terukur (Measurable Space), serta sistem (X, A, m) disebut ruang ukuran (Measurable Space) Lebesgue.
Definisi 2.4. Diberikan (X, A, m) yang merupakan ruang ukuran dan E ∈ A. Dibentuk AE = {E ∩ D|D ∈ A}
BAB III
FUNGSI TERUKUR
3.1. Fungsi Terukur
Teorema 3.1. E ∈ A dan f : X → R. Empat pernyataan di bawah ini ekuivalen untuk setiap α ∈ R :
1. {x ∈ E|f (x) > α} ∈ A 2. {x ∈ E|f (x) ≤ α} ∈ A 3. {x ∈ E|f (x) < α} ∈ A 4. {x ∈ E|f (x) ≥ α} ∈ A
Bukti. Karena himpunan (i) dan (ii) saling komplemen di E, seperti halnya himpunan (iii) dan (iv), dan komplemen suatu himpunan terukur adalah terukur, maka (i) dan (ii) ekuivalen, seperti halnya (iii) dan (iv). Jadi, cukup ditunjukkan bahwa (ii) ⇔ (iii).
1. Akan dibuktikan (ii) ⇒ (iii). Diperhatikan
{x ∈ E|f (x) < α} = ∞ [ n=1 {x ∈ E|f (x) ≤ α − 1 n}
Karena α − n1 ∈ R, maka {x ∈ E|f(x) ≤ α − n1 terukur-µ∗. Lebih lanjut, gabun-gannya terukur-µ∗. Jadi, {x ∈ E|f (x) < α} terukur-µ∗.
2. Akan dibuktikan (iii) ⇒ (ii). Diperhatikan
{x ∈ E|f (x) ≤ α} = ∞ \ n=1 {x ∈ E|f (x) < α + 1 n}
Karena α + n1 ∈ R, maka {x ∈ E|f(x) < α +n1 terukur-µ∗. Lebih lanjut, irisannya terukur-µ∗. Jadi, {x ∈ E|f (x) ≤ α} terukur-µ∗.
Berdasarkan teorema di atas, didefinisikan fungsi terukur pada himpunan terukur E. Definisi 3.1. Fungsi f : X → R dikatakan terukur pada E ∈ A jika salah satu dari pernyataan di dalam teorema di atas terpenuhi.
Akibat 3.1. Jika ∀x ∈ E ∈ A, f (x) = α untuk suatu α ∈ R, maka f terukur µ∗ pada E.
Bukti. Ambil sebarang λ ∈ R. Diperhatikan {x ∈ E|f (x) > λ} = E , jika λ ≤ α ∅ , jika λ > α
Masing-masing E dan ∅ merupakan himpunan terukur-µ∗. Jadi, f fungsi terukur.
Teorema 3.2. Jika fungsi f, g terukur pada himpunan terukur-µ∗ E, maka 1. Untuk setiap λ ∈ R, λf terukur pada E ∈ A.
2. f + g terukur pada E. 3. f2 terukur pada E.
4. f g terukur pada E. Bukti.
1. Akan dibuktikan λf terukur pada E.
(a) Jika λ = 0, maka (λf )(x) = 0 untuk setiap x ∈ E. Fungsi λf menjadi fungsi konstan. Menurut akibat 3.1 di atas, maka λf terukur pada E.
(b) Jika λ > 0. Ambil sebarang α ∈ R, maka
{x ∈ E|(λf )(x) > α} = {x ∈ E|f (x) > α λ}
Karena αλ ∈ R, maka himpunan {x ∈ E|(λf)(x) > α} terukur. Jadi, λf terukur pada E.
(c) Jika λ < 0. Ambil sebarang α ∈ R, maka
{x ∈ E|(λf )(x) > α} = {x ∈ E|f (x) < α λ}
Karena αλ ∈ R, maka himpunan {x ∈ E|(λf)(x) < α} terukur. Jadi, λf terukur pada E.
Jadi, λf terukur pada E.
2. Akan dibuktikan f + g terukur pada E,
{x ∈ E|(f + g)(x) > α} = {x ∈ E|f (x) > α − g(x)}
Karena x ∈ E ⊂ X dan α ∈ R, maka f (x), α − g(x) ∈ R. Di antara kedua bilangan real tersebut, pasti terdapat bilangan rasional r ∈ Q, yaitu
Didapat
{x ∈ E|(f + g)(x) > α} = {x ∈ E|f (x) > α − g(x)} = {x ∈ E|α − g(x) < r < f (x)} = {x ∈ E|f (x) > r ∧ g(x) > α − r}
= {x ∈ E|f (x) > r} ∩ {x ∈ E|g(x) > α − r}
Masing-masing {x ∈ E|f (x) > r} dan {x ∈ E|g(x) > α − r} terukur-µ∗, maka {x ∈ E|(f + g)(x) > α} terukur-µ∗. Jadi, f + g fungsi terukur.
3. Akan dibuktikan f2 terukur pada E. Diperhatikan
{x ∈ E|f2(x) > α} = {x ∈ E|f (x) >√α ∨ f (x) < −√α}
= {x ∈ E|f (x) > √α} ∪ {x ∈ E|f (x) < −√α}
Karena masing-masing {x ∈ E|f (x) > √α} dan {x ∈ E|f (x) < −√α} terukur, maka {x ∈ E|f2(x) > α} terukur. Jadi, f2 terukur pada E.
4. Akan dibuktikan f g terukur pada E. Diperhatikan
f g = 1
2((f + g)
2− f2− g2)
Oleh karena masing-masing f + g, f2 dan g2 terukur-µ∗, maka f g juga terukur-µ∗.
Jadi, f g terukur pada E.
Teorema 3.3. Diketahui fn fungsi terukur pada himpunan terukur-µ∗ E, ∀n ∈ N. Untuk
setiap x ∈ R, fungsi-fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: 1. maxk≤nfk(x) = max{f1(x), f2(x), · · · , fn(x)}
2. mink≤nfk(x) = min{f1(x), f2(x), · · · , fn(x)}
3. supk≥nfk(x) = sup{fn(x), fn+1(x), · · · }
4. infk≥nfk(x) = inf{fn(x), fn+1(x), · · · }
5. lim fk(x) = infn≥1supk≥nfk(x)
6. lim fk(x) = supn≥1infk≥nfk(x)
Bukti. 1. Untuk maxk≤nfk, {x ∈ E| max k≤n fk(x) > α} = {x ∈ E| max{f1(x), f2(x), · · · , fn(x)} > α} = {x ∈ E|f1(x) > α ∨ f2(x) > α ∨ · · · ∨ fn(x) > α} = n [ k=1 {x ∈ E|fk(x) > α}
Karena masing-masing {x ∈ E|fk(x) > α} terukur-µ∗, maka gabungannya juga
terukur-µ∗. Jadi, maxk≤nfk terukur pada E.
2. Untuk mink≤nfk, {x ∈ E| min k≤nfk(x) > α} = {x ∈ E| min{f1(x), f2(x), · · · , fn(x)} > α} = {x ∈ E|f1(x) > α ∧ f2(x) > α ∧ · · · ∧ fn(x) > α} = n \ k=1 {x ∈ E|fk(x) > α}
Karena masing-masing {x ∈ E|fk(x) > α} terukur-µ∗, maka irisannya juga
terukur-µ∗. Jadi, mink≤nfk terukur pada E.
3. Untuk supk≥nfk(x), {x ∈ E| sup k≥n fk(x) > α} = {x ∈ E| sup{fn(x), fn+1(x), · · · } > α} = {x ∈ E|fn(x) > α ∨ fn+1(x) > α ∨ · · · } = ∞ [ k=n {x ∈ E|fk(x) > α}
Karena masing-masing {x ∈ E|fk(x) > α} terukur-µ∗, maka gabungannya juga
terukur-µ∗. Jadi, supk≤nfk terukur pada E.
4. Untuk infk≥nfk(x), {x ∈ E| inf k≥nfk(x) < α} = {x ∈ E| inf{fn(x), fn+1(x), · · · } < α} = {x ∈ E|fn(x) < α ∨ fn+1(x) < α ∨ · · · } = ∞ [ k=n {x ∈ E|fk(x) < α}
Karena masing-masing {x ∈ E|fk(x) < α} terukur-µ∗, maka gabungannya juga
5. Untuk lim fk(x) = infn≥1supk≥nfk(x), {x ∈ E| lim fk(x) > α} = {x ∈ E| inf n≥1supk≥nfk(x) > α} = ∞ \ n=1 ∞ [ k=1 {x ∈ E|fk(x) > α}
Karena masing-masing {x ∈ E|fk(x) > α} terukur-µ∗, maka gabungan dan
irisan-nya juga terukur-µ∗. Jadi, lim fk terukur pada E.
6. Untuk lim fk(x) = supn≥1infk≥nfk(x),
{x ∈ E| lim fk(x) < α} = {x ∈ E| sup n≥1 inf k≥nfk(x) < α} = ∞ \ n=1 ∞ [ k=1 {x ∈ E|fk(x) < α}
Karena masing-masing {x ∈ E|fk(x) < α} terukur-µ∗, maka gabungan dan
irisan-nya juga terukur-µ∗. Jadi, lim fk terukur pada E.
3.2. Konsep Almost Everywhere dan Nearly Everywhere
Definisi 3.2. Suatu pernyataan P (x) dikatakan berlaku/benar hampir di mana-mana (h.d) atau almost everywhere (a.e) pada himpunan terukur-µ∗ E, jika terdapat A ⊂ E sehingga µ∗(A) = 0 dan P (x) berlaku benar untuk setiap x ∈ E − A.
Contoh 3.1. Diberikan f : [a, b] → R
f (x) = 1 , x ∈ [a, b] irasional 0 , x ∈ [a, b] rasional
Diambil A =koleksi semua bilangan rasional di dalam [a, b], maka m∗(A) = 0. Lebih lanjut, f (x) = 1 untuk setiap x ∈ [a, b] − A. Jadi, pernyataan f (x) = 1 dikatakan hampir di mana-mana pada [a, b].
Definisi 3.3. Suatu pernyataan P (x) dikatakan berlaku/benar nyaris di mana-mana (n.d) atau nearly everywhere (a.e) pada himpunan terukur-µ∗ E, jika terdapat A ⊂ E sehingga P (x) berlaku benar untuk setiap x ∈ E − A.
Terlihat bahwa definisi nearly everywhere lebih lemah daripada almost everywhere. Teorema 3.4. Jika pernyataan f (x) = g(x) almost everywhere pada himpunan terukur-µ∗ pada E dan f terukur pada E, maka g terukur pada E.
Bukti. Karena f (x) = g(x) h.d pada E, maka terdapat A ⊂ E sehingga µ∗(A) = 0 dan f (x) = g(x) untuk setiap x ∈ E − A. Diperhatikan
{x ∈ E|g(x) > α} = {x ∈ E − A|g(x) > α} + {x ∈ A|g(x) > α} = {x ∈ E − A|f (x) > α} − {x ∈ E|f (x) 6= g(x)}
Karena µ∗(A) = 0 maka µ∗({x ∈ E|f (x) 6= g(x)}) = 0, maka {x ∈ E|g(x) > α} terukur-µ∗. Jadi, g terukur pada E.
3.3. Fungsi Sederhana
Definisi 3.4. Diberikan E ⊆ X. Fungsi χE : X → R dengan rumus
χE(x) = 1 , x ∈ E 0 , x /∈ E disebut fungsi karakteristik (characteristic function) pada E.
Teorema 3.5. Jika E ⊂ X terukur-µ∗, maka χE merupakan fungsi terukur pada X.
Bukti. Ambil sebarang α ∈ R, 1. Jika α < 1, maka
{x ∈ E|χE(x) < α} = {x ∈ E|χE(x) < 1} = {x ∈ E|χE(x) = 0} = ∅
Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan terukur-µ∗, maka χE fungsi terukur.
2. Jika α ≥ 1, maka
{x ∈ E|χE(x) < α} = {x ∈ E|χE(x) = 1 ∨ χE(x) = 0} = E
Himpunan E merupakan himpunan terukur-µ∗, maka χE fungsi terukur.
Terbukti.
Definisi 3.5. Jika E terukur-µ∗, {cn} ∈ R, {En} ∈ A sehingga E = n [ k=1 Ek, maka fungsi ϕ : R → R ϕ(x) = n X ckχEk(x)
disebut fungsi sederhana (simple function) pada E.
Teorema 3.6. Jika ϕ dan ψ masing-masing fungsi sederhana, maka αϕ, ϕ + ψ dan ϕ · ψ juga fungsi sederhana.
Bukti. Katakan ϕ = Pm k=1ckχEk dan ψ = Pn j=1djχFj dengan E = m [ k=1 Ek= n [ j=1 Fj. Dibentuk Akj = Ek∩ Fj. Diperoleh n [ j=1 Akj = n [ j=1 (Ek∩ Fj) = Ek∩ n [ j=1 Fj = Ek∩ E = Ek m [ k=1 Akj = m [ k=1 (Ek∩ Fj) = Fj ∩ m [ k=1 Fj = Fj∩ E = Fj maka 1. αϕ = α m X k=1 ckχEk = m X k=1 (ckα)χEk
Karena ckα ∈ R, maka αϕ merupakan fungsi sederhana.
2. ϕ + ψ = m X k=1 ckχEk + n X j=1 djχFj = m X k=1 ckχSn j=1Akj + n X j=1 djχSm k=1Akj = m X k=1 n X j=1 (ck+ dj)χSn j=1Akj∩Smk=1Akj
merupakan fungsi sederhana. 3. ϕψ = m X k=1 ckχEk n X j=1 djχFj = m X k=1 ckχSn j=1Akj n X j=1 djχSm k=1Akj = m X k=1 n X j=1 (ck· dj)χSn j=1Akj∩Smk=1Akj
merupakan fungsi sederhana.
Teorema 3.7. E ⊂ X merupakan himpunan terukur-µ∗. Untuk setiap n ∈ N didefin-isikan fungsi terukur pada E , fn : X → R. Jika {fn} almost everywhere konvergen ke
suatu fungsi f , maka f fungsi terukur pada E.
Bukti. Berdasarkan definisi almost everywhere, dapat dianggap bahwa {fn} konvergen
ke f pada E. Dengan kata lain, ∀x ∈ E∀ε > 0 ∃nx ∈ N sehingga ∀k ≥ nx berlaku
|fk(x) − f (x)| < ε
Oleh karena {fk} fungsi terukur-µ∗ maka himpunan {x ∈ E|fk(x) < λ − n1} terukur-µ∗
untuk setiap λ ∈ R. Didapat
{x ∈ E|f (x) < λ} = ∞ [ n=k ∞ \ k=1 {fk(x) < λ − 1 n}
merupakan himpunan terukur-µ∗. Jadi, f fungsi terukur pada E.
Akibat 3.2. Fungsi f : X → R terukur pada himpunan terukur-µ∗ E jika dan hanya jika ada barisan fungsi sederhana {ϕn} pada E yang konvergen ke f almost everywhere
pada E. Bukti.
1. ⇐ Syarat cukup jelas terpenuhi, berdasarkan Teorema 3.7 2. ⇒ Dibentuk komponen-komponen
En= {x ∈ E|f (x)f (x) ≤
1 2n}
f terukur pada E, sehingga En terukur-µ∗.
Dibentuk Ei = {x ∈ E| i − 1 2n ≤ f (x) ≤ 1 2n}
untuk i ≥ 1, maka Ei terukur-µ∗.
Tulis ci = i−12n dan di = 2in, maka di− ci = n1. Dibentuk fungsi-fungsi sederhana
ϕn = 1 2nχEn + 2n X i=1 ciχEi ψn = 1 2nχEn + 2n X diχEi
Terlihat bahwa ϕn(x) ≤ f (x) ≤ psin(x) dan
ϕn(x) ≤ ϕn+1(x) ≤ f (x) ≤ ψn+1(x) ≤ ψn(x) (3.1)
ϕn(x) − ψn(x) =
1
2n (3.2)
Berdasarkan hasil (3.1) dan (3.2) diperoleh bahwa barisan fungsi sederhana naik monoton {ϕn} dan barisan fungsi sederhana turun monoton {ψn} yang konvergen
ke f h.d pada E.
Jadi, barisan fungsi sederhana {Φn} dengan Φn=
ϕn− ψn
2 konvergen ke f pada E.
Akibat 3.3. Jika fungsi f : X → R terukur pada himpunan terukur-µ∗ E maka ∀ε > 0 terdapat fungsi sederhana ϕε sehingga
|f (x) − ϕε(x)| < ε
almost everywhere pada E.
Bukti. Berdasarkan bukti teorema sebelumnya,
ϕn(x) ≤ f (x) ≤ ψn(x) ψn(x) − ϕn(x) = 1 2n Didapat ψn(x) − fn(x) ≤ 1 2n fn(x) − ϕ(x) ≤ 1 2n
Diambil sebarang ε > 0, menurut Archimedean properties, terdapat bilangan asli n0
sehingga
1 2n0 < ε
Diambil φε = ϕn0 atau φε= ψn0, didapat
φε(x) − f (x) = ψn0(x) − f (x) ≤ 1 2n0 < ε f (x) − φε(x) = f (x) − ϕn0(x) ≤ 1 2n0 < ε
Jadi,
|f (x) − φε(x)| < ε
Terbukti.
Teorema 3.8. Jika φ = Pn
k=1αkχEk fungsi sederhana pada E =
Sn
k=1Ek maka ada
fungsi sederhana ψ = Pm
i=1βiχFi pada E =
Sm
i=1Fi sehingga Fi ∩ Fj = ∅ untuk i 6= j,
dan
φ = ψ
Bukti. Diambil {β1, β2, . . . , βm} ⊂ {α1, α2, . . . , αn} dengan βi 6= βj untuk i 6= j dan
Fi = {x ∈ E|ϕ(x) = βi}. Diperoleh ψ =
Pm
i=1βiχFi
Definisi 3.6. Fungsi sederhana ψ = Pm
i=1βiχFi dengan Fi ∩ Fj = ∅ untuk i 6= j disebut
BAB IV
INTEGRAL LEBESGUE
4.1. Integral Fungsi Sederhana Definisi 4.1. Diberikan ϕ =
n
X
i=1
αiχEi fungsi sederhana berbentuk kanonik.
Z E ϕ = n X i=1 αiµ∗(Ei)
disebut integral fungsi sederhana pada E. Lebih lanjut, jika REϕ berhingga, maka ϕ dikatakan terintegral Lebesgue.
Teorema 4.1. Diberikan ϕ =
n
X
i=1
αiχEi fungsi sederhana kanonik pada E. Jika A ⊂ E
terukur-µ∗, maka Z A ϕ = n X i=1 αiµ∗(A ∩ Ei) Bukti. A = A ∩ E A = A ∩ n [ i=1 Ei ! A = n [ i=1 A ∩ Ei Karena ϕ = n X i=1 αiχEi, maka ϕA= n X i=1 αiχEi∩A
merupakan fungsi sederhana pada A. Sehingga Z A ϕ = n X i=1 αiµ∗(A ∩ Ei)
Akibat 4.1. Jika fungsi sederhana kanonik ϕ terintegral pada E, maka ϕ terintegral pada A ⊂ E yang terukur-µ∗
Teorema 4.2. ϕ = n X i=1 αiχEi dan ψ = m X j=1
βjχFj fungsi sederhana kanonik pada E dan
a ∈ R, maka 1. REαϕ = αREϕ 2. RE(ϕ + ψ) = REϕ +REψ 3. Jika ϕ ≥ 0, maka REϕ ≥ 0 4. Jika ϕ ≤ ψ, maka REϕ ≤REψ Bukti. 1. Z E aϕ = n X i=1 aαiµ∗(Ei) = a n X i=1 αiµ∗(Ei) = a Z E ϕ 2. Diperhatikan bahwa ϕ + ψ = n X i=1 αiχEi+ m X j=1 βjχFj. Dibentuk Aij = Ei∩ Fj. Ambil
sebarang i, j, k, l, dengan 1 ≤ 1, k ≤ n dan 1 ≤ j, l ≤ m, maka Aij ∩ Alk =
(Ei∩ Fj) ∩ (Ek∩ Fl) = ∅ ∩ ∅ = ∅. ϕ + ψ = m X j=1 n X i=1 (αi+ βj)χAij = m X j=1 n X i=1 αiχAij + m X j=1 n X i=1 βjχAij Didapat Z E (ϕ + ψ) = m X j=1 n X i=1 αiµ∗(Ei∩ Fj) + m X j=1 n X i=1 βjµ∗(Ei∩ Fj) = n X i=1 αiµ∗(Ei) + m X j=1 βjµ∗(Fj) = Z ϕ + Z ψ
3. Jika ϕ ≥ 0, maka ϕ = n X i=1 αiχEi ≥ 0, didapat Z E ϕ = n X i=1 αiµ∗(Ei) ≥ 0
4. Diketahui ϕ ≤ ψ, artinya ψ −ϕ ≥ 0. Menurut teorema poin 3, didapatREψ −ϕ ≥ 0. Selanjutnya menurut teorema poin 1 dan 2, didapat
0 ≤ Z E ψ − ϕ 0 ≤ Z E ψ − Z E ϕ Z E ϕ ≤ Z E ψ
4.2. Integral Fungsi Terukur dan Terbatas
Teorema 4.3. Diketahui E ⊂ X dengan X himpunan terukur µ∗. Fungsi f : X → R terbatas h.d pada E. Fungsi f terukur pada E jika dan hanya jika
sup ϕ<f Z E ϕ = inf f <ψ Z E ψ Bukti.
⇒ Diketahui f terbatas pada E, maka ∃m, M ∈ R sehingga m = ess infx∈Ef (x) dan
M = ess supx∈Ef (x). Ambil sebarang n ∈ N, dibentuk
Ei = {x ∈ E| i − 1 n (M − m) ≤ f (x) ≤ i n(M − m), 1 ≤ i ≤ n} Untuk i − n En= {x ∈ E| n − 1 n (M − m) ≤ f (x) ≤ (M − m)
Karena f terukur pada E, maka Ei merupakan himpunan terukur-µ∗. Tulis
ci = i − 1 n (M − m) di = i n(M − m) di− ci = 1 n(M − m)
Dibentuk fungsi sederhana ϕn(x) = n X i=1 ciχEi(x) ψn(x) = n X i=1 diχEi(x)
Jadi jelas bahwa
ϕb(x) ≤ f (x) ≤ ψn(x) dan ψn(x) − ϕn(x) ≤ di− ci Diperoleh 0 ≤ Z E ψn− Z E ϕn = n X i=1 (di− ci)µ∗(Ei) = 1 n(M − m) n X i=1 µ∗(Ei) = 1 n(M − m)µ ∗ (E) Untuk n → ∞ diperoleh lim n→∞ 1 n(M − m)µ ∗ (E) = 0 lim n→∞ Z E ψn− Z E ϕn = 0
Dengan kata lain, ∀ > 0∃n0 sehingga untuk setiap n ≥ n0 benar bahwa
Z E ψn− Z E ϕn <
Karena {ϕn} naik monoton dan {ψn} turun monoton, dapat diambil kesimpulan
sup ϕn≤f Z E ϕn = inf f <ψn Z E ψn sup ϕ≤f Z E ϕ = inf f <ψ Z E ψ
⇐ Diketahui f terbatas h.d pada E dan sup ϕ≤f Z E ϕ = inf f <ψ Z E ψ
Berdasarkan yang diketahui, untuk sebarang bilangan asli n, ada fungsi sederhana (lebih lanjut, merupakan fungsi terukur) ϕn dan ψn pada E sehingga
ϕn(x) ≤ f (x) ≤ ψn(x) dan 0 ≤ Z E ψn− Z E ϕn< 1 n 0 ≤ Z E ψn− ϕn < 1 n
Karena {ϕn} naik monoton, {ψn} turun monoton dan masing-masing konvergen ke
f pada E, maka f terukur pada E.
Dari teorema di atas, selanjutnya didefinisikan integral fungsi terbatas dan terukur pada himpunan terukur-µ∗ E.
Definisi 4.2. Jika f : X → R terbatas h.d pada E dan terukur pada E, maka nilai
Z E f = sup ϕ≤f Z E ϕ inf f ≤ψ Z E ψ
disebut integral Lebesgue fungsi f pada E dengan ϕ dan ψ fungsi-fungsi sederhana pada E.
Jika nilai REf bernilai finite, maka f dikatakan terintegral.
Teorema 4.4. Jika f : X → R terbatas h.d pada E dan terukur pada E dengan µ∗(E) < ∞, maka f terintegral pada E.
Akibat 4.2. Jika fungsi f : [a, b] → R terintegral Reimann pada [a, b], maka f terintegral Lebesgue pada [a, b]
Bukti. Domain [a, b] merupakan himpunan terukur dengan m∗([a, b]) = b − a < ∞. Fungsi f terintegral Reimann pada [a, b], maka f terbatas pada [a, b]. Menurut teorema di atas, f terintegral Lebesgue pada [a, b]
Teorema 4.5. Diketahui f dan g masing-masing fungsi terukur dan terbatas h.d pada himpunan terukur-µ∗ E dan α ∈ R, maka
1. R Eαf = α R Ef 2. R E(f + g) = R Ef + R Eg 3. Jika f ≤ 0, maka REf ≥ 0 4. Jika f ≤ g, maka REf ≤REg
5. Jika a ≤ f (x) ≤ b h.d pada E, maka
a · µ∗(E) ≤ Z
E
f ≤ b · µ∗(E)
Bukti.
1. Untuk α ≥ 0 maka ϕ ≤ ψ ⇔ αϕ ≤ αψ, didapat Z E αf = sup αϕ≤αf Z E αϕ = α sup ϕ≤f Z E ϕ = α Z E f
Untuk α < 0 maka ϕ ≤ ψ ⇔ αψ ≤ αϕ, didapat Z E αf = inf αf ≤αψ Z E αψ = α sup f ≤ψ Z E ψ = α Z E f
2. Ambil sebarang fungsi sederhana ϕ1, ϕ2, ψ1 dan ψ2 dengan ϕ1 ≤ f ≤ ψ1 dan ϕ2 ≤
f ≤ ψ2, jadi ϕ = ϕ1+ ϕ2 ≤ f + g ≤ ψ1+ ψ2 = ψ Didapat Z E (f + g) = sup ϕ≤f +g Z E ϕ = sup ϕ1+ϕ2≤f +g Z E ϕ1+ ϕ2 = sup ϕ1+ϕ2≤f +g Z E ϕ1+ Z E ϕ2 ≤ sup ϕ1≤f Z E ϕ1 + sup ϕ2≤g Z E ϕ2 = Z E f + Z E g
Sedangkan Z E (f + g) = inf f +g≤ψ Z E ψ = inf f +g≤ψ1+ψ2 Z E ψ1+ ψ2 = inf f +g≤ψ1+ψ2 Z E ψ1+ Z E ψ2 ≥ inf f ≤ψ1 Z E ψ1 + inf g≤ψ2 Z E ψ2 = Z E f + Z E g
Jadi terbukti bahwa RE(f + g) =REf +REg
3. Karena f (x) ≥ 0 h.d pada E, maka terdapat fungsi sederhana ψ sedemikian hingga 0 ≤ f ≤ ψ h.d pada E. Jadi Z E f = inf f ≤ψ Z ψ ≥ 0
4. Karena f ≤ g h.d pada E, maka g(x) − f (x) ≥ 0 h.d pada E. Didapat R Eg − f ≥ 0 dan R Eg − f = R Eg + (−f ) = R Eg + R E(−f ) = R Eg − R Ef Diperoleh Z E g − Z E f ≥ 0 sehingga Z E g ≥ Z E f
5. Dibentuk fungsi sederhana aϕE dan bψE serta ϕ = aϕE dan ψ = bψE. Karena
a ≤ f (x) ≤ b maka Z E ϕ ≤ Z E f Z E ψ Z E aϕE ≤ Z E f Z E bψE a Z E ϕE ≤ b Z E f Z E ψE aµ∗(E) ≤ Z E f ≤ bµ∗(E)
Teorema 4.6. Jika f fungsi terukur dan terbatas h.d pada E dan ada himpunan terukur-µ∗D ⊂ E sehingga µ∗(D) < ∞ dan f (x) = 0 h.d pada E−D, maka f terintegral Lebesgue
pada E.
Bukti. Karena E = D ∪ (E − D) dan D ∩ (E − D) = ∅ serta µ∗(D) < ∞ makaRDf < ∞. Didapat Z E f = Z D∪(E−D) f = Z D f + Z E−D f = Z D f + sup ϕ≤f Z E−D ϕ = Z D f + 0 = Z D f
KarenaRD < ∞ maka RE < ∞. f terintegral Lebesgue.
Contoh 4.1. Jika E = [0, ∞) dan D = [0, 5] maka E − D = [5, ∞). DIberikan fungsi
f (x) = 1 , 0 ≤ x ≤ 3 2 , 3 < x < 5 0 , h.d pada [5, ∞) Maka f terintegral Lebesgue.
4.3. Integral Fungsi Terukur dan Nonnegatif
Definisi 4.3. Jika f terukur dan nonnegatif h.d pada E, maka REf = supn∈NREfn =
supfn≤fR Efn dengan fn(x) = f (x) , f (x) ≤ n 0 , x yang lain
disebut integral Lebesgue fungsi f pada E.
Jika REf < ∞, maka f dikatakan terintegral pada E.
Teorema 4.7. Jika f fungsi terukur dan nonnegatif h.d pada E serta ada n0 ∈ N sehingga
R
Ef =
R
Efn0 dengan µ
∗(E) < ∞ maka f terintegral Lebesgue pada E
Teorema 4.8. Jika f fungsi terukur dan nonnegatif h.d pada E dan ada n0 ∈ N, D ⊂ E
sehingga µ∗(D) < ∞, fn0(x) = 0 h.d pada E − D, maka f terintegral Lebesgue.
Bukti. Karena E = D ∪ (E − D) dan D ∩ (E − D) = ∅ serta µ∗(D) < ∞ maka Z f = Z fn0 = Z fn0 + Z fn0 = Z fn0
Jadi, f terintegral Lebesgue.
4.4. Integral Fungsi Terukur
Diketahui f fungsi kontinu pada himpunan terukur-µ∗E. Didefinisikan fungsi f+ dan
f− sebagai berikut f+(x) = f (x) , f (x) ≥ 0 0 , f (x) < 0 f−(x) = −f (x) , f (x) ≤ 0 0 , f (x) > 0
Jadi diperoleh f+ dan f− fungsi terukur dan nonnegatif pada E dan f = f+− f− serta
|f | = f++ f−.
Definisi 4.4. Jika f fungsi terukur pada himpunan terukur-µ∗ E maka nilai Z E f = Z E f++ Z E f−
disebut integral Lebesgue fungsi f pada E. Jika R
Ef < ∞
maka f dikatakan terintegral Lebesgue pada E.
Teorema 4.9. Diketahui f terukur pada himpunan terukur-µ∗ E. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen.
1. f = f+− f− terintegral pada E.
2. f+, f− terintegral pada E.
3. |f |f++ f− terintegral pada E.
Teorema 4.10. f dan g fungsi terukur pada himpunan terukur-µ∗ E dan α ∈ R, maka 1. REαf = αREf 2. R Ef + g = R Ef + R Eg 3. f ≤ g ⇒R Ef ≤ R Eg
4. A, B ⊂ E dan A ∩ B 6= ∅, A ∩ B = E dengan A, B terukur-µ∗, maka Z A∪B f = Z A f + Z B f Bukti.
1. Untuk α ≥ 0 maka αf = (αf )+− (αf )−, diperoleh Z E αf = Z E (αf )+− (αf )− = α Z E (f )+− α Z E (f )− = α( Z E (f )+− Z E (f )−) = α Z E f
Untuk α < 0 maka αf = (αf )+− (αf )− = (−αf )−− (−αf )+, diperoleh
Z E αf = Z E (−αf )−− (−αf )+ = Z E −α(f )−− Z E −α(f )+ = α( Z E (f )+− Z E (f )−) = α Z E f 2. (f + g) = (f + g)+− (f + g)− = f++ g+− (f−+ g−) = (f+− f−) + (g+− g−) Didapat (f + g) + f−+ g− = f++ g+ Sehingga Z E (f + g) + f−+ g−= Z E f++ g+ Z E (f + g) + Z E f−+ Z E g−= Z E f++ Z E g+ Z E (f + g) = Z E f+− Z E f−+ Z E g+− Z E g− Z E (f + g) = Z E f + Z E g
3. Diketahui f ≤ g maka f+− f−≤ g+− g− f++ g−≤ f−+ g+ Z E f++ g−≤ Z E f−+ g+ Z E f++ Z E g−≤ Z E f−+ Z E g+ Z E f+− Z E f−≤ Z E g+− Z E g− Z E f ≤ Z E g 4. Diperhatikan f = f+− f−, maka Z A∪B f = Z A∪B f+− Z E f− = Z A f++ Z B f+− ( Z A f−+ Z B f−) = ( Z A f+− Z A f−) + ( Z B f+− Z B f−) = Z A f + Z B f
4.5. Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue
1. Teorema Kekonvergenan Integral Fungsi Terukur dan Terbatas
Teorema 4.11. Diketahui µ∗(E) < ∞. Jika barisan fungsi terukur {fn} pada E
konvergen ke suatu fungsi f h.d pada E dan |fn(x) < M ∀x ∈ E, untuk suatu M ≥ 0
maka f terintegral pada E dan Z E f = lim n→∞ Z E fn
Bukti.Berdasarkan yang diketahui,
• {fn} terukur dan terbatas pada E dengan µ∗(E) < ∞, maka fn terintegral
Lebesgue pada E untuk setiap n ∈ N.
• {fn} barisan fungsi terukur dan konvergen h.d ke f pada E. Maka f terukur
• {fn} terukur dan terbatas pada E serta konvergen ke f h.d pada E, maka
∀ > 0∃δ =
4M dan ∃n0 ∈ N sehingga ∀n ≥ n0 berlaku
|f (x) − fn(x)| < 2µ∗(E) ∀x ∈ E − A. Dan | Z E f − Z E fn| = | Z E f − fn| ≤ Z E |f − fn| = Z E−A |f − fn| + Z A |f − fn| ≤ Z E−A 2µ∗(E) + Z A |f | + Z A |fn| < 2µ∗(E)µ ∗ (E − A) + M · µ∗(A) + M · µ∗(A) < 2µ∗(E)µ ∗
(E) + M · µ∗(A) + M · µ∗(A) 2+ M · 4M + M · 4M =
2. Teorema Kekonvergenan Fungsi Terukur dan Nonnegatif (Lemma Fatom)
Teorema 4.12. Jika ,{fn} barisan fungsi terukur dan nonnegatif pada E himpunan
terukur µ∗ dan {fn} konvergen ke f pada E, maka f terintegral Lebesgue dan
Z E f ≤ lim Z E fn = sup inf Z E fn
Bukti. Berdasarkan yang diketahui, ada fungsi terukur dan terbatas h pada E sehingga h(x) ≤ f (x) h.d pada E. Dibentuk hn(x) = min{h(x), fn(x)} ∀x ∈ E,
maka hn(x) ≤ h(x) fn(x) sehingga Z E h = lim n→∞ Z E hn ≤ lim n→∞ Z E fn Selanjutnya Z E f = sup h≤f Z E h ≤ lim n → ∞ Z E fn
3. Teorema Kekonvergenan Monoton
Teorema 4.13. Jika {fn} barisan fungsi terukur dan nonnegatif serta naik
mono-ton pada himpunan terukur-µ∗ E dan konvergen ke f h.d pada E maka Z E f = lim Z E fn
Bukti. Berdasarkan Lemma Fatom 4.12, diperoleh REf ≤ limREfn. Selanjutnya
karena {fn} naik monoton dan konvergen ke f maka fn(x) ≤ fn+1(x) ≤ f (x) h.d
pada E. Sehingga didapat
lim Z E fn≤ Z E f . Diperoleh lim Z E fn≤ Z E f ≤ lim Z E fn
Akan tetapi mengingat limR
Efn≤ lim R Efn, maka lim Z E fn =≤ lim Z E fn= Z E f
4. Teorema Kekonvergenan Lebesgue
Teorema 4.14. Diketahui barisan fungsi terukur {fn} pada himpunan terukur-µ∗
E dan fungsi terintegral Lebesgue g pada E. Jika {fn} konvergen ke suatu fungsi f
pada E dan |fn(x)| ≤ g(x) h.d pada E maka f terintegral Lebesgue pada E dan
Z E f = lim n→∞ Z E fn
Bukti. Diperhatikan bahwa
(a) Karena {fn} barisan fungsi terukur pada E dan konvergen h.d ke f pada E,
maka f terukur pada E dan |f (x)| ≤ g(x)
(b) Karena |f (x)| ≤ g(x) h.d pada E dan g terintegral Lebesgue maka fn
terinte-gral Lebesgue
(c) Karena fn terintegral Lebesgue maka f terintegral Lebesgue.
Selanjutnya diperhatikan bahwa
−g(x) ≤ fn(x) ≤ g(x)
diperoleh g(x) − fn(x) ≥ 0 dan fn(x) + g(x) ≥ 0.
(a) Diketahui g(x) − fn(x) ≥ 0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema
Kekonver-genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh Z E g − f ≤ lim Z E g − fn Z E g − Z E f ≤ Z E g + lim Z E −fn Z E g − Z E f ≤ Z E g − lim Z E fn − Z E f ≤ − lim Z E fn Z E f ≥ lim Z E fn
(b) Diketahui g(x) + fn(x) ≥ 0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema
Kekonver-genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh Z E g + f ≤ lim Z E g + fn Z E g + Z E f ≤ Z E g + lim Z E fn Z E f ≤ lim Z E fn
Dari hasil kesimpulan di atas, didapat
lim Z E fn≤ Z E f ≤ lim Z E fn
Selanjutnya karena selalu berlaku
lim Z E fn≤ lim Z E fn
maka limREfn = lim
R Efn= R Ef . Jadi, Z E f = lim n→∞ Z E fn
5. Generalisasi Teorema kekonvergenan Lebesgue
Teorema 4.15. Diketahui barisan fungsi terukur {fn} pada himpunan
terukur-µ∗ E dan barisan fungsi terintegral Lebesgue {gn} yang konvergen ke suatu fungsi
terintegral Lebesgue pada E. Jika {fn} konvergen ke suatu fungsi f pada E dan
|fn(x)| ≤ gn(x) h.d pada E maka f terintegral Lebesgue pada E dan
Z E f = lim n→∞ Z E fn
Bukti. Diperhatikan bahwa
(a) Karena {fn} barisan fungsi terukur pada E dan konvergen h.d ke f pada E,
maka f terukur pada E dan |f (x)| ≤ gn(x)
(b) Karena |f (x)| ≤ gn(x) h.d pada E dan {gn} konvergen ke suatu fungsi
terin-tegral Lebesgue sebut g pada E maka fn terintegral Lebesgue.
(c) Karena fn terintegral Lebesgue maka f terintegral Lebesgue.
Selanjutnya diperhatikan bahwa
|fn(x) ≤ gn(x)
−gn(x) ≤ fn(x) ≤ gn(x)
diperoleh gn(x) − fn(x) ≥ 0 dan fn(x) + gn(x) ≥ 0.
(a) Diketahui gn(x) − fn(x) ≥ 0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema
Kekonver-genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh Z E g − f ≤ lim Z E gn− fn Z E g − Z E f ≤ lim Z E gn+ lim Z E −fn Z E g − Z E f ≤ lim Z E gn− lim Z E fn Z E g − Z E f Z E g ≤ − lim Z E fn Z E f ≥ lim Z E fn
Kekonver-genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh Z E g + f ≤ lim Z E gn+ fn Z E g + Z E f ≤ lim Z E gn+ lim Z E fn Z E g + Z E f ≤ Z E g + lim Z E fn Z E f ≤ lim Z E fn
Dari hasil kesimpulan di atas, didapat
lim Z E fn≤ Z E f ≤ lim Z E fn
Selanjutnya karena selalu berlaku
lim Z E fn≤ lim Z E fn maka limR Efn = lim R Efn= R Ef . Jadi, Z E f = lim n→∞ Z E fn 4.6. Convergence in Measure
Definisi 4.5. Diberikan E himpunan terukur-µ∗. Barisan fungsi terukur {fn} pada E
dikatakan konvergen in measure ke fungsi f pada E jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat n0 ∈ N sehingga ∀n ≥ n0 berlaku
µ∗{x ∈ E| |fn(x) − f (x)| ≥ } <
Teorema 4.16. Diberikan E himpunan terukur-µ∗. Jika barisan fungsi terukur {fn}
konvergen in measure ke f h.d pada E, maka ada barisan bagian {fnk} yang konvergen
ke f h.d pada E.
Bukti. Ambil sebarang bilangan asli n, karena {fn} konvergen in measure pada E, maka
µ∗{x ∈ E| |fn(x) − f (x)| ≥
1 2n} <
1 2n
Selanjutnya dibentuk
En = {x ∈ E| |fn(x) − f (x)| ≥
1 2n}
maka µ∗(En) < 21n.
Jika x /∈ En maka |fn(x) − f (x)| < 21n yang berarti lim
n→∞fn(x) = f (x) ∀x /∈ E.
Jika x /∈ A =T∞
n=1
S∞
k=nEk diperoleh limn→∞fn(x) = f (x) pada E − A, dengan
µ∗(A) = µ∗ ∞ \ n=1 ∞ [ k=n Ek ! ≤ µ∗ ∞ [ k=n Ek ! ≤ ∞ X k=n µ∗(Ek) < ∞ X k=n 1 2k = 1 2n 1 1 − 21n = 1 2n− 1
Didapat µ∗(A) < 2n1−1 ∀n ∈ N. Artinya µ
∗(A) = 0. Dengan kata lain, terdapat barisan
DAFTAR PUSTAKA
Royden, H. L., 1997, Real Analysis. Fourth Edition, Pearson Education Asia Limited and China Machine Press, China.
