ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

PROSIDING

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY,9

Nov,2013

ISBN : 978-979-16353-9-4,hal. MT – 93-100.

ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI

DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK

UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

Hanna Arini Parhusip

Program Studi Matematika, FSM-UKSW

hannaariniparhusip@yahoo.co.id Abstrak

Makalah ini menunjukkan algoritma Particle Swarm (APS) yang digunakan optimasi untuk fungsi tujuan 1 variabel dan multivariabel . Domain sebagai dugaan adanya solusi divariasi dari beberapa kurva parametrik. Domain ini sebagai dugaan awal untuk solusi pada algoritma Particle Swarm.

Program dibuat dengan bahasa MATLAB. Hasil optimasi dianalisa dengan mengamati sifat matriks Hessian di titik optimal.

Kata kunci: Particle Swarm, fungsi parametrik, Hessian

A. PENDAHULUAN

Terdapat beberapa algoritma modern yang tidak mendasarkan nilai optimumnya pada gradient fungsi tujuan, diantaranya algoritma koloni semut dan modifikasinya (Dai, dkk, 2009), (Wang,2006). Algoritma Particle Swarm (APS) mendasarkan teorinya pada perilaku suatu koloni atau sekawanan seperti semut, lebah, kumpulan burung atau ikan. Jadi algoritma ini memperhatikan tingkah laku hewan-hewan tersebut. Kata partikel menjelaskan suatu lebah dalam suatu koloni atau seekor burung dalam sekawanannya. Setiap individu berlaku sehingga terdistribusi sedemikian hingga menggunakan intelegensianya untuk menemukan lintasan terbaik dalam menemukan makanan.

Pada konteks optimasi multivariabel, insek diasumsikan berukuran tetap dengan setiap partikel pada awalnya berlokasi secara random pada ruang multidimensi. Setiap partikel diasumsikan mempunyai 2 karakteristik : posisi dan kecepatan. Setiap partikel berjalan tanpa arah berkeliling pada ruang dan mengingat posisi terbaik yang berkaitan dengan sumber makanan (atau nilai fungsi tujuan) telah ditemukan. Setiap partikel mengkomunikasikan posisi terbaiknya.

Sebagai suatu contoh, perbaikan perilaku burung dalam sekawanannya. Sekalipun tiap buruk sangat terbatas secara intelegensia, ada aturan yang berlaku :

1. Setiap burung tidak berusaha mendekati burung yang lain 2. Burung menuju pada arah rata-rata burung lain.

3. Burung akan berusaha mencocokkan dengan posisi rata-rata antara 2 burung berbeda dengan gap antar burung tidak terlalu besar.

Jadi perilaku sekawanan burung, inseks berdasarkan 3 hal utama : 1. Kohesi : berupaya selalu bersama

2. Separasi : tidak mendekat terlalu dekat

3. Alignment : mengikuti aturan pimpinan kawanan burung. APS disusun sebagai berikut :

1. Jika 1 burung berlokasi pada target atau makanan (maksimum/minimum fungsi tujuan), dengan segera burung itu akan menginformasikan pada semua burung-burung yang lain.

Parhusip,H.A ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

3. Ada suatu komponen pada setiap burung yang berpikir secara independent

Jadi model mensimulasikan pencarian random ruang disain untuk nilai maksimum dari -fungsi tujuan sedemikian hingga setelah melalui banyak iterasi, burung-burung akan menuju target (maksimum/minimum fungsi).

Untuk selanjutnya algoritma dan aplikasi dari algoritma ini dinyatakan pada Bab 2-4.

B. PARTICLE SWARM untuk OPTIMASI B. 1 Implementasi Komputasi APS

Perhatikan masalah optimasi tak berkendala

Maksimalkan f(X) dengan

X

(l)



X



X

(n)

dengan

X

(l)dan

X

(n)menyatakan berturut-turut batas bawah dan batas atas X . Prosedur APS dapat diimplementasikan dengan tahapan sebagai berikut (Rao,2009)

1. Asumsikan ukuran inseks (banyaknya partikel) adalah N. Untuk mereduksi total perhitungan fungsi yang dihitung untuk menemukan penyelesaian, kita perlu mengasumsikan ukuran inseks yang lebih kecil. Akan tetapi jika terlalu kecil akan menyebabkan kita mendapatkan solusi lebih lama. Dalam beberapa kasus bahkan dapat menyebabkan kita tidak memperoleh solusi sama sekali. Biasanya kita menggunakan ukuran N = 20 atau N=30 partikel. 2. Bangkitkan populasi awal X dalam

X

(l)



X



X

(n)secara random sebagai

X

₁

,

X

₂

,...,

X

_N. Setelah ini, partikel posisi ke-j dan kecepatannya pada iterasi ke-i disimbolkan secara berturut-turut sebagai

X

(i_j) dan

V

_j(i). Jadi mula-mula partikel dibangkitkan dalam bentuk

)

0

(

),

0

(

₂ 1

X

X

,...,

X

_N

(

0

)

dikatakan partikel-partikel atau vektor-vektor koordinat dari partikel-partikel (analog dengan kromosom pada algoritma genetika). Hitung nilai –nilai fungsi tujuan yang berkaitan yaitu

f

[

X

₁

(

0

)],

f

[

X

₂

(

0

)]

,...,

f

[

X

_N

(

0

)]

.

3. Tentukan kecepatan partikel. Setiap partikel akan bergerak pada titik optimal dengan suatu kecepatan. Awalnya, kecepatan partikel adalah 0. Kita sebut sebagai iterasi ke-1.

4. Pada iterasi ke-i, tentukan 2 parameter penting berikut ini yang digunakan pada setiap partikel j :

(a) Nilai X_j(i)terbaik (koordinat-koordinat semua partikel hingga pada iterasi tersebut) adalah

) (i

X_j yang membuat fungsi tujuan f[X_j(i)]terbesar pada iterasi tersebut , sebutlah P_terbaik,j

Susun untuk semua partikel , sebutlah sebagai

G

_terbaik.

(b) Tentukan kecepatan partikel j pada iterasi ke-i sebagai berikut :



( 1)





( 1)



) 1 ( ) (i V i c1r1P , X i c2r2G X i Vj j best j j best j ,j=1,...,n (1)

dimana

c

₁dan

c

₂berturut –turut sebagai laju individu dan laju sosial (grup) dimana

r

₁dan

r

₂ sebagai bilangan random berdistribusi uniform pada interval 0 dan 1. Parameter

c

₁dan

c

₂ menyatakan relatif pentingnya memori (posisi) dari partikel itu sendiri ke memori (posisi) sekawanan. Nilai parameter

c

₁dan

c

₂ biasanya diasumsikan 2 sehingga

c

₁

r

₁ dan

c

₂

r

₂ menjamin bahwa partikel-partikel tidak akan terbang melebihi target sekitar setengah waktu.

(c) Tentukan posisi koordinat partikel ke-j pada iterasi ke-i sebagai

) ( ) 1 ( ) (i X i V i Xj  j   j ; j=1,2,...,N. (2)

Parhusip,H.A ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

dimana step waktu (dt) diasumsikan 1 pada persamaan (2). (Ingat formula kecepatan secara diskrit yaitu () ( 1) V (i) dt i X i X j j j   _

). Hitung nilai-nilai fungsi tujuan yang berkaitan dengan partikel yaitu

f

[

X

₁

(

i

)],

f

[

X

₂

(

i

)],...,

f

[

X

_N

(

i

)]

5. Cek konvergensi penyelesaian saat itu. Jika posisi semua partikel konvergen pada nilai-nilai pada himpunan yang sama, metode diasumsikan konvergen. Jika kriteria konvergen tidak dipenuhi, step 4 diulang dengan mengupdate/memperbaharui bilangan iterasi dan menghitung nilai-nilai baru P_terbaik,_j= f[Xj(i)] dan

G

terbaik.

B.2 Perbaikan APS

Seringkali ditemukan bahwa kecepatan partikel meningkat terlalu cepat dan nilai maksimum fungsi tujuan terlampaui. Oleh karena itu perlu diperkenalkan



suku inersia (sebutlah



) yang ditambahkan untuk mengurangi kecepatan. Biasanya nilai



diasumsikan bervariasi secara linear dari 0.9 hingga 0.4 dalam proses perkembangan iterasi. Kecepatan partikel ke-j, dengan suku inersia diasumsikan sebagai



( 1)





( 1)



) 1 ( ) (i  V i c₁r₁ P _, X i c₂r₂ G X i V_j



_{j bestj j best j} ,j=1,...,n (3)

Bobot inersia



menyebabkan mengeksplorasi area baru untuk optimum lokal tetapi nilai yang besar untuk



menyebabkan optimal yang benar tidak diperoleh. Untuk mencapai keseimbangan pencarian optimum lokal dan global dan mempercepat konvergensi pada optimum yang benar, bobot inersia yang nilainya menurun secara linear dengan banyaknya iterasi yang telah digunakan : i i i _         max min max max ) (     (4)

dimana



_maxdan



_minberturut-turut merupakan nilai awal dan nilai akhir dari bobot inersia dan

max

i

adalah banyaknya iterasi maksimum yang digunakan dalam APS. Nilai



_maxdan



_minyang umumnya digunakan adalah



_max=0.9 dan



_min= 0.4.

Ada pula perbaikan APS yang lain dengan cara membuang partikel yang tidak bermakna dalam mendapatkan posisi optimal (Benmessahel ,dan Touahria,M, 2011) akan tetapi hal ini tidak dibahas disini.

2.3 Masalah Optimasi yang diselesaikan oleh APS dan program APS Bentuk umum masalah optimasi yang diselesaikan oleh APS adalah

Maksimalkan f(X) (5a) dengan kendala ; 0 ) (X  gj j=1,2,...,m (5b)

Fungsi tak berkendala F(X) dikonstruksi oleh fungsi finalti yang memuat kendala. Ada 2 tipe fungsi finalti. Pada APS kita menggunakan fungsi finalti F(X) yang didefinisikan sebagai

) ( ) ( ) ( ) (X f X C i H X F   (6)

dimana C(i)menyatakan parameter finalti dinamik yang termodifikasi yang bervariasi sesuai dengan bilangan i dan H(X) menyatakan faktor finalti yang berkaitan dengan kendala

 

 i

c

i

C

(

)



;

_





_{ }





_{ }



  



  m j X q j j i X q X g X H 1 ) (  

Parhusip,H.A ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

 





  b e a X qj _{qj X}         1 1 

 

X max



0,g (X)



; q_j  _j j=1,2,...,m (7)

dengan c,



,a,b konstan. Perhatikan bahwa qj( X) menyatakan besarnya kendala ke-j

dilanggar,



[qj(X)]menyatakan fungsi penugasan yang kontinu, yang diasumsikan dalam

bentuk eksponensial sebagaimana ditunjukkan pada pers (7)(ketiga) dan



[

q

_i

(

X

)]

menyatakan pangkat fungsi yang terlanggar. Nilai c= 0.5,



2,a150,b10 dengan

      1 ) ( jika 2 1 ) ( jika 1 )] ( [ X q X q X q j j j  .

Contoh 1. Tentukan nilai maksimum fungsi

11

2

)

(

x





x

2



x



f

pada interval [-2, 2] dengan metode APS. Gunakan 4 partikel (N= 4) dengan posisi awal

x

₁





1

.

5

,

x

₂



0

,

x

₃



0

.

5

,

x

₄



1

.

25

. Susunlah komputasi secara detail untuk iterasi ke-1 dan ke-2.

Jawab :

Tahap 1. Susun fungsinya dalam nama fungsi fku1.m

function f=fku1(x)

%Contoh 13.4 hal 712

f=-x^2+2*x+11;

Tahap 2. Buat APS dalam nama file dan hal ini ditunjukkan pada Tabel 1.

Tabel 1. Program APS untuk 1 dimensi

N=4;

x=[-1.5 0.0 0.5 1.25];

%hitung fungsi tujuan pada x awal

for i=1:N

f(i)=fku1(x(i)); end

%kecepatan awal

vlama=zeros(N,1);

%cari Pbest dan Gbest

Pbest=x;

indeks=find(Pbest==max(Pbest)); Gbest=x(indeks);

%Susun ke(cepatan partikel %asumsikan c1=c2=1

c1=1;c2=c1; r=rand(2,1);

%lakukan setiap iterasi

i=1; for j=1:N v(j)=vlama(j) + r(1)*i(Pbest(j)-x(j)) + ... r(2)*(Gbest-x(j)); %x baru Gambar 1.

y





x

2



2

x



11

Tabel 2. Hasil keluaran APS untuk pemaksimum

dan nilai maksimum

y





x

2



2

x



11

x* 1.2170 1.2350 1.2410 1.2500

y* 11.9529 11.9448 11.9419 11.9375

Hasil keluaran APS ditunjukkan dengan daftar nilai

x* dan y* pada Tabel 3.

Dari kalkulus kita dapat memperoleh bahwa nilai maksimum secara eksak adalah (1,12). Jadi keempat koordinat telah menunjukkan hasil yang cukup baik.

Parhusip,H.A ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

xb=x + v

%hitung f pada x yang baru

for i=1:N f(i)=fku1(xb(i)); end i=i+1; Pbest=vb End C. METODE PENELITIAN

Penelitian dilakukan dengan menyusun algoritma Particle Swarm untuk fungsi tujuan 1 variabel dimana nilai optimal secara analitik diketahui. Selanjutnya program dikembangkan untuk fungsi tujuan 2 variabel bebas. Oleh karena itu posisi dugaan pada domain tidak lagi dapat didaftar secara manual. Untuk itu perlu dibentuk formulasi domain yang dimungkinkan memuat titik-titik pengoptimal. Beberapa domain dibentuk dari fungsi parametrik yang dapat juga digunakan transformasi sebagai domain baru. Beberapa domain ini diujicobakan untuk suatu fungsi tujuan. Matriks Hessian f dianalisa untuk tiap titik pengoptimal.

D. ANALISA DAN PEMBAHASAN D.1 Kasus 2 dimensi

Pada bagian ini akan dibahas penggunaan APS untuk fungsi tujuan 2 variabel yaitu Fungsi yang akan dicari maksimumnya adalah









exp



10



2

2

2





exp

5

.

0

1

)

,

(

x

₁

x

₂







x

₁2



x

₂2





x

₁2



x

₂2



x

₁



x

₂



f

(8.0)

Tahap 1. Menuliskan fungsi 2 variabel yang akan dicari maksimumnya

function f=Kasus2(x)

bantu1=x(1)^2 +x(2)^2;

f=1-0.5*exp(-bantu1)-exp(-10*(bantu1-2*x(1)-2*x(2)+2)); Tahap 2. Menuliskan algoritma APS untuk fungsi 2 variabel (Lampiran 1) Tahap 3. Keluaran program

Untuk menganalisa program, kita dapat menerapkan kondisi optimum dari kalkulus yaitu Hessian matriks f haruslah negative semidefinite pada titik optimum. Untuk itu kita perlu menyusun Hessian f yaitu

                     2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 x f x x f x x f x f H_f

dimana setiap komponen matriks Hessian f adalah













 















10 2 2 2





20 20





exp



10



2 2 2







exp 20 exp 4 5 . 0 exp 2 5 . 0 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1                         x x x x x x x x x x x x x x x f

(8.1)











20 20



20 20



exp



10



2 2 2





exp 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2                 x x x x x x x x x x x x f

_(8.2)

Parhusip,H.A ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3



























20 20



exp



10



2 2 2





2 2 2 10 exp 20 exp 2 exp 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2                       x x x x x x x x x x x x x x x f

(8.3)

Dengan mensubstitusikan nilai optimum ini pada Hessian matriks kita dapat menyimpulkan bahwa hasil telah optimal. Syarat bahwa pengoptimal benar memaksimalkan f adalah haruslah negative (semi)definite, yaitu :

0 2 1 2    x f

_{dan det}

_0 f H

yaitu

₀ 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2               x x f x f x f

_.

_(8.4)

Hasil observasi untuk persamaan (8.4) diperoleh titik optimal adalah (x*,y*)=(-1.5,-1.5) dan

                            0.0389 0.05 -0.05 0.0611 -2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 x f x x f x x f x f Hf sehingga _   2 1 2 x f _{-0.0611 dan det} ₀ f H . Jadi negative

semi definite dipenuhi oleh karena itu (x*,y*)=(-1.5,-1.5) pemaksimum (lokal) dan nilai f maksimum adalah 0.9944.

D.2 Berbagai hasil optimasi untuk domain yang berbeda

Kasus 1. Domain dugaan merupakan fungsi parametrik yang berbentuk



  

          t b b a b t b a x cos cos ( ) ;



  

          t b b a b t b a y sin sin ( ) (9)

Domain dari persamaan (9) digunakan sebagai titik-titik dugaan posisi optimal. Dengan menggunakan

0



t



20



,a



,b 2maka diperoleh kurva menurut Gambar 2. Dari kurva ini kita tidak perlu mendaftar titik dugaan sebagaimana pada Contoh 1, tetapi program akan dapat menyusun 500 titik secara mudah dan disubstitusikan pada program untuk Kasus 2 dimensi (fungsi tujuan persamaan 8.0).

Hasil titik optimal adalah (x*,y*) =(3.1461,.0) dimana titik ini dapat diduga merupakan bentuk

) 0 ,

(



dan nilai maksimal fungsi adalah f*=1 dimana matriks Hessian dan determinannya

berturut-turut adalah

_













0.0001

0.0000

0.0000

0.0011

-f

H

, det Hf= 0

Yang menunjukkan matriks H_fnegative semidefinite.

Kasus 2. Domain diperoleh dari kompleks dari kurva parametrik yang dipetakkan oleh f(z)=cos(z) dan f(z)=1/z. Domain yang berikutnya adalah hasil transformasi f(z)=cos(z) untuk z adalah bilangan kompleks yang dinyatakan oleh titik-titik dari kurva parametrik. Jadi pasangan titik dari persamaan (9) dipetakkan oleh fungsi kompleks dengan cara menyusun bagian real (u(x,y) dan bagian imajinair v(x,y)) dari f(z) berturut-turut berbentuk





cos(

)

5

.

0

)

,

(

x

y

e

e

x

u



y



y dan

v

(

x

,

y

)



0

.

5



e

y



e

y



sin(

x

)

. Pada program ditulis :

u=0.5*(exp(yh)+exp(-yh)).*cos(xh); v=0.5*(exp(-yh)-exp(yh)).*sin(xh);

Parhusip,H.A ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Gambar 2. Grafik persamaan (9)



20

0



t



,a



,b 2

Gambar 3. Grafik persamaan (9)



20

0t ,a,b 2 yang ditransformasikan dalam f(z)=cos(z) dimana titik-titik z adalah titik –titik dari

kurva parametrik

Gambar 4. Grafik persamaan (9) 

20

0t ,a,b 2 yang ditransformasikan dalam f(z)=1/z dimana titik-titik z adalah titik –titik

dari kurva parametrik

Dengan domain pada Gambar 3, ternyata matriks Hessian f mendekati matriks 0 sehingga hasil optimasi yang diperoleh disimpulkan tidak valid untuk f pada persamaan (8.0). Dapat dikatakan pula bahwa domain bukan domain feasible karena tidak memuat solusi yang menyebabkan f optimal.

Demikian pula domain pada Gambar 4 yang diperoleh dari pemetaan f(z)=1/z. Domain ini digunakan sebagai dugaan untuk fungsi tujuan pada persamaan (8.0). Sekalipun Hessian matriks hampir berbentuk matriks 0, fungsi tujuan masih dapat mencapai 1 dimana pengoptimalnya adalah (-1.0872,3.0015) . Perlu diketahui bahwa matriks Hessian yang semi definite positive menunjukkan titik optimal meminimumkan fungsi tujuan (Peressini,1988).

Jelas bahwa untuk domain yang berbeda maka nilai optimal juga berbeda tergantung dimanakah fungsi tujuan didefinisikan. Pemilihan berbagai domain ini bermanfaat untuk menyusun dugaan solusi dengan banyak titik tanpa mendaftar satu persatu.

Kasus 3. Fungsi tujuan berbentuk (Parhusip dan Hartini,2013)

)

sin(

)

(

)

cos(

)

(

)

,

(

K

M

X

K

nM

X

K

nM

P





(10a) dimana n bilangan bulat X(K) dan

nK nK nK nK

Ke

c

e

c

Ke

c

e

c

K

X

(

)



₁



₂



₃ 



₄  . (10b) dimana nilai-nilai parameter

c

₁

,

c

₂

,

c

₃

,

c

₄ dan n diketahui dan ditunjukkan pada Tabel 3.

Tabel 3.Daftar parameter untuk fungsi tujuan persamaan (10a)-(10b)

Nilai Parameter fungsi biharmonik





T n c c c c c 1 2 3 4  -0.2724 0.4762 0.3118 1.7113 2 -0.7571 0.8962 0.0454 6.4448 2 -0.7528 0.8845 0.0575 6.4954 2 -0.5355 0.7127 0.2671 4.0530 2 -0.4049 0.5908 0.2061 3.1654 2

Kita akan memaksimalkan fungsi tujuan tersebut dengan APS. Karena merupakan fungsi 2 variabel bebas maka program pada Kasus 2 dapat digunakan. Akan tetapi domain dapat dipilih dengan bilangan random karena data telah disusun pada interval (0,1]. Jadi kita dapat menggunakan fungsi rand(N) dimana N menyatakan matriks NxN dan fungsi rand akan membentuk pasangan titik dimana setiap titik bernilai yang memenuhi (0,1]. Hasil optimasi dengan APS ditunjukkan pada Tabel 4. Perlu diketahui bahwa APS bekerja dengan bilangan random. Oleh karena itu hasil yang diperoleh selalu tidak sama setiap dilakukan menjalankan program. Selain itu semua variabel dalam interval (0,1]. Jadi jika hasil optimal lebih dari batas maksimum data maka hasil tidak layak. Dari Tabel 4, semua titik optimal berada pada daerah definisi fungsi sehingga optimal P dapat diterima. Dari kolom ke-3, maka nilai maksimal P* adalah baris ke-3. Informasi ini berkaitan dengan material/data yang menghasilkan fungsi tujuan.

Parhusip,H.A ALGORITMA PARTICLE SWARM (APS) UNTUK OPTIMASI DENGAN DOMAIN FUNGSI PARAMETRIK UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

UNTUK BEBERAPA FUNGSI TUJUAN

ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Table 4. Pasangan titik optimal untuk untuk persamaan (10a)-(10b)

Nilai Parameter fungsi biharmonik





T n c c c c c 1 2 3 4

 (K*,M*) Maksimal (P*) Minimal K _(data) Minimal M _(data)

-0.2724 0.4762 0.3118 1.7113 2 (0.7609 ,0.9794) 0.4184 0.1855 0.6882

-0.7571 0.8962 0.0454 6.4448 2 (0.8735, 0.9801) 0.6202 0.610 0.6822

-0.7528 0.8845 0.0575 6.4954 2 (0.9898 ,0.8400) 0.7702 0.5454 0.6742

-0.5355 0.7127 0.2671 4.0530 2 (0.6089, 0.9776) 0.2573 0.5066 0.6636

-0.4049 0.5908 0.2061 3.1654 2 (0.7880, 0.9909) 0.4407 0.4663 0.6755

E. SIMPULAN DAN SARAN

Pada makalah ini telah ditunjukkan algoritma PS untuk fungsi tujuan 1 variabel dan beberapa fungsi tujuan yang bertipe sama yaitu fungsi harmonik dengan nilai parameter yang berbeda tiap fungsi tujuan.

Domain yang diuji untuk fungsi tujuan 1 variabel sebagai domain fungsi merupakan hasil pemetaan fungsi parametrik. Akan tetapi hasil optimasi justru membuat matriks Hessian fungsi tujuan tidak terdefinisi dengan baik.

Demikian pula untuk fungsi tujuan 2 variabel dipelajari dengan domain sebagai dugaan memuat titik pengoptimal berupa pasangan bilangan random 2 dimensi. Hasil optimal fungsi tujuan dapat diperoleh tetapi belum diselidiki apakah nilai optimal fungsi tujuan terbaik secara analisis.

Perbaikan APS pada Bab B.2 belum diimplementasikan secara detail . Demikian pula hasil optimal maksimum P belum dianalisa lebih lanjut. Hal ini dapat dilakukan dalam penelitian selanjutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Dai,W., Liu, S, and Liang, S, 2009. An Improved Ant Colony Optimization Cluster Algorithm Based on Swarm Intelligence., Journal of Software, Vol.4, No.4, Academic Publisher.

Parhusip, H.A dan Hartini, 2013. Biharmonic Protein Function In MOCORIN and Its Optimization, accepted paper, akan dipresentasikan pada International Seminar on Applied Technology, Science, and Art (4th APTECS 2013), ITS, Surabaya, 10 Desember 2013.

Rao, S.S, 2009. Engineering Optimization, Theory and Practice, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.

Wang, H, Shi,Z., Ma, J.,A, 2006. Modified Ant Colony Algorithm for Multi-constraint Multicast Routing, IEEE,Vol.1,4244-0463.

Peressini, A.L, Sullivan, F.E., Uhl,J. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer Verlag, New York, Inc.

Benmessahel ,B, Touahria,M, 2011. An improved Combinatorial Particle Swarm Optimization Algorithm to Data base Vertical Partition, Journal of Emerging Trends in Computing and Information Sciences , Volume 2 No. 3, ISSN 2079-8407 .