5. Fungsi dari Peubah Acak

5. Fungsi dari Peubah Acak

EL2002-Probabilitas dan Statistik

Isi

1. Transformasi Peubah Acak

2. Fungsi Pembangkit Momen

3. Pencuplikan Acak

4. Teori Pencuplikan

5. Pencuplikan Sebaran Mean

6. Pencuplikan Sebaran (n-1)S

2

/σ

2

7. Sebaran t

Pendahuluan

• Seringkali kita perlu menurunkan sebaran peluang

dari fungsi satu peubah atau lebih.

• Misalnya, andaikan X peubah acak diskrit dengan

sebaran f(x) dan andaikan lagi Y=u(X) transformasi

satu-ke-satu dari X ke Y. Kita ingin menentukan

sebaran peluang dari Y.

• Dari pembahasan pada Bab 2, jelas bahwa peubah

acak Y bernilai y saat peubah acak X punya nilai

tertentu, misalnya, w(y). Akibatnya, sebaran Y

akan diberikan oleh

g(y) =P(Y=y) = P(X=w(y)) = f[w(y)]

Transformasi satu peubah acak

• TEOREMA 5.1 Andaikan X peubah acak diskrit dengan

sebaran peluang f(x). Andaikan Y=u(X) adalah transformasi

satu-ke-satu antara nilai-nilai X dng Y sedemikian hingga

persamaan y=u(x) dapat dipecahkan secara unik untuk x

dalam y, misalkan berbentuk x=w(y). Maka, sebaran

peluang dari Y adalah

g(y) = f[w(y)]

• Contoh 5.1: Andaikan X peubah acak geometrik dengan sebaran peluang f(x) = (3/4)(1/4)x-1, x = 1, 2, 3, … Tentukan sebaran

peluang dari peubah acak Y=X2.

• Jawab: karena semua nilai X positif, transformasi ini

menyatakan korespondensi satu-ke-satu antara x dengan y, dimana y = x2 dan x = √y. Dengan demikian

g(y) = f(√y) = (3/4)(1/4)√y – 1 , y=1, 4, 9, … = 0 , lainnya

Transformasi dua peubah acak

• Teorema 5.2 Andaikan X₁ dan X₂ peubah acak diskrit dengan sebaran peluang gabungan f(x₁,x₂). Andaikan Y₁ = u₁(X₁,X₂) dan

Y₂=u₂(X₁,X₂) menyatakan transformasi antara titik (x₁,x₂) dan (y₁,y₂) sedemikian hingga y₁=u₁(x₁,x₂) dan y₂=u₂(x₁,x₂) secara unik dapat dipecahkan untuk x₁ dan x₂ yang dinyatakan dalam y₁ dan y₂, misalnya x₁=w₁(y₁,y₂) dan x₂=w₂(y₁,y₂). Maka sebaran peluang gabungan dari Y₁ dan Y₂ adalah

g(y₁,y₂) = f[w₁(y₁,y₂), w₂(y₁,y₂)]

• Contoh 5.2: Andaikan X₁ dan X₂ dua peubah acak saling bebas yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ₁ dan μ₂. Tentukan sebaran dari peubah acak Y₁ = X₁+ X₂

• Jawab: Karena X₁ dan X₂ saling bebas, maka

dimana x₁= 0, 1, 2, … dan x₂ = 0, 1, 2, ….

(

)

( ) ( )

( ) ! ! ! ! , 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 x x e x e x e x f x f x x f x x x x μ μ μ μ μ μ μ μ − − + − = = =

Lanjutan …

• Sekarang kita definisikan peubah acak kedua, mis. Y₂=X₂. Fungsi inverse diberikan oleh x₁=y₁-y₂ dan x₂ = y₂. Dengan

Teorema 5.2, kita temukan sebaran peluang bersama dari Y₁ dan Y₂, yakni:

(

)

(

₍

)

₎

!

!

,

2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

y

y

y

e

y

y

g

y y y

−

=

− μ +μ

μ

−

μ

dimana y₁ = 0, 1, 2, …, dan y₂ = 0, 1, 2, …Karena x₁>0,

transformasi x₁=y₁-x₂ berimplikasi bahwa x₂ dan y₂ harus selalu kurang dari atau sama dengan y₁. Akibatnya, sebaran marjinal dari Y₁ adalah

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 0 2 1 1 2 1 0 1 2 2 1 1 0 1 2 2 2 1 0 2 1 1 ! ! ! ! ! ! ! , y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y e y y y y y e y y y e y y g y h μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ − = + − − = + − = − + − =

∑

∑

∑

∑

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = − = =

Lanjutan …

• Penjumlahan tsb adalah ekspansi binomial (μ

₁

+μ

₂

)

y1

_.

Dengan demikian, kita peroleh:

( )

( )

(

)

, 0,1,2,... ! 1 1 2 1 1 1 2 1 = + = − + y y e y h y

μ

μ

μ μ

• Kesimpulan: penjumlahan dia peubah acak saling bebas

yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ

₁

dan

μ

₂

adalah suatu sebaran Poisson dengan parameter (μ

₁

+ μ

₂

)

Transformasi satu peubah acak kontinyu

• Teorema 5.3 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran

peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan korespondensi satu-ke-satu antara X dengan Y sedemikian hingga persamaan y=u(x) dapat

dipecahkan secara unik untuk x dalam y, misalnya x=w(y). Maka sebaran peluand dari Y adalah

g(y) = f[w(y)]|J|

dimana J=w’(y) adalah Jacobian dari transformasi. • Bukti: (1) Andaikan y=u(x) fungsi

monoton naik spt pd Gb5.1. Maka

terlihat bahwa jika Y jatuh antara nilai a dan b, maka peubah acak X akan berada antara w(a) dan w(b). Dengan demikian, P(a<Y<b) = P[w(a)<X<w(b)]

= ∫_w(a)w(b) _{f(x) dx}

• Perubahan variabel integrasi dari x ke y dng x=w(y), diperoleh dx=w’(y)dy, maka P(a<Y<b) = ∫_ab _{f[w(y)]w’(y) dy}

a

b

w(a)

w(b)

y = u(x)

y

x

Gambar .5.1

Lanjutan …

• Karena integral tsb memberikan nilai yng diinginkan untuk setiap a<b dalam rentang y yang diijinkan, maka sebaran peluang dari Y adalah

g(y) = f[w(y)]w’(y) = f[w(y)]J

• Jika J=w’(y) adalah kemiringan resiprokal (invers) dari garis tangen (sentuh) ke kurva naik y=u(x), tentulah J=|J|, sehingga

g(y) =f[w(y)]|J|

• (2) Andaikan y=u(x) fungsi monoton turun spt pd Gb5.2. Maka bisa kita tuliskan

P(a<Y<b)= P[w(b)<X<w(a)]= ∫_w(b)w(a) _{f(x) dx} • Sekali lagi, perubahan variabel integrasi dari

x ke y memberikan

P(a<Y<b) = ∫_ba _{f[w(y)]w’(y) dy} = - ∫_ba _{f[w(y)]w’(y) dy} dapat disimpulkan bahwa

g(y) = -f[w(y)]w’(y) = -f[w(y)]J

• Karena slope dari kurva adalah negatif, dan J=-|J|, maka

g(y) = f[w(y)]|J|

seperti sebelumnya. Q.E.D

a

b

w(b)

w(a)

y=u(x)

y

x

Gambar .5.2

Contoh 5.3

• Soal: Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran

peluang

f(x)

= x/12 ; 1<x<5

= 0

; lainnya

Tentukan sebaran peluang dari peubah acak Y=2X-3

• Jawab: inverse dari y=2x-3 adalah x=(y+3)/2, dan kita

peroleh J=dx/dy = ½. Berdasar teorema 5.3, kita temukan

fungsi kerapatan Y

g(y)

= f[(y+3)/2]|J| = {[(y+3)/2]/12}(1/2)

= (y+3)/48

; -1<y<7

Transformasi dua peubah acak kontinyu

• Teorema 5.4. Andaikan X₁ dan X₂ peubah acak kontinyu dengan sebaran peluang f(x₁,x₂). Andaikan Y₁=u₁(X₁,X₂) dan

Y₂=u₂(X₁,X₂) menyatakan transformasi satu-ke-satu antara titik (x₁,x₂) dan (y₁,y₂) sehingga persamaan y₁=u₁(x₁,x₂) dan

y₂=u₂(x₁,x₂) dapat secara unik dipecahkan untuk x₁ dan x₂ dalam y₁ dan y₂, misalnya x₁= w₁(y₁,y₂) dan x₂=w₂(y₁,y₂). Maka

sebaran peluang bersama dari Y₁ dan Y₂ adalah g(y₁,y₂) = f[w₁(y₁,y₂), w₂(y₁,y₂)]|J|

dimana Jacobian merupakan determinan matriks 2 ×2 sbb:

dan ∂x₁/∂y₁ adalah turunan dari x₁ = w₁(y₁,y₂) terhadap y₁

dengan menganggap y₂ konstan, seperti pada proses penurunan x₁ terhadap y₁ pada kalkulus. Turunan parsial lain didefinisikan dengan cara yang sama.

2 2 1 2 2 1 1 1 y x y x y x y x J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =

Contoh 5.4

• Soal: Andaikan X₁ dan X₂ dua buah peubah acak kontinyu dengan sebaran peluang gabungan

f(x₁,x₂) = 4x₁x₂ ;0<x₁<1, 0<x₂<1

= 0 ; lainnya

Tentukan sebaran peluang gabungan dari Y₁=X₁2 _{dan Y}

2=X1X2. • Jawab: Solusi invers dari y₁=x₁2 _{dan y}

2=x1x2 adalah x1=√y1 dan x₂=y₂/√y₁ , sehingga diperoleh Jacobian berikut:

Transformasi ini bersifat satu-ke-satu, memetakan titik-titik {(x₁,x₂)|0<x₁<1, 0<x₂<1} ke himpunan {(y₁,y₂)| y₂2_<y

1<1, 0<y2<1}. Dari teorema 5.4, maka sebaran peluang dari Y₁ dan Y₂ adalah

g(y₁,y₂) = 4(√y₁) (y₂/√y₁) (1/2y₁) = 2y₂/y₁ ; y₂2_<y 1<1, 0<y2<1 = 0 ; lainnya 1 1 2 / 3 1 2 1 2 1 1 2 / 0 2 1 y y y y y J = − =

Jika pemetaan tidak satu-ke-satu …

• Penerapan prinsip transformasi peubah acak bisa muncul masalah jika kita ingin menentukan sebaran peubah acak

Y=u(X), dimana X kontinyu dan transformasinya tidak satu ke-satu. Yakni, setiap nilai x ada satu nilai y, tapi setiap y

berkorespondensi dengan lebih dari satu nilai x.

• Contoh: andaikan f(x) positif pada interval -1<x<2 dan nol di tempat lain. Tinjau transformasi y=x2. Dalam kasus ini, x=±√y untuk 0<y<1 dan x=√y untuk 1<y<4.

Untuk selang 1<y<4, kita bisa

menentukan sebaran peluang Y dng cara sebelumnya, dng Teorema 5.3, yakni:

g(y) = f[w(y)]|J|

= f(√y)/(2√y) , 1<y<4

Tapi, untuk 0<y<1, interval -1 <x<1 dipartisi sbb x = -√y , -1<x<0 = √y , 0 <x<1 -√a √a -√b √b -1 1 y = x2 y x 2 1 0

Gambar .5.3

Lanjutan …

• Maka, bagi setiap nilai y akan ada nilai x tunggal untuk setiap partisi. Dari Gambar 5.3

P(a<Y<b) = P(-√b<X<-√a) + P(√a<X<√b) = ∫_-√b-√a _{f(x) dx + ∫}

√a√b f(x) dx

Perubahan variabel integrasi dari x ke y memberikan P(a<Y<b) = ∫_ba f(-√y)J

1dy + ∫ab f(√y)J2dy = -∫_ab f(-√y)J

1dy + ∫ab f(√y)J2dy

dimana: J₁ = d(-√y)/dy = -1/(2√y) = -|J₁| dan J₂ = d(√y)/dy = 1/(2√y) = |J₂|

Sehingga bisa dituliskan

P(a<Y<b) = ∫_ab [ f(-√y)|J

1| + f(√y) |J2|] dy Selanjutnya: g(y) = f(-√y) |J₁| + f(√y) |J₂|

= [f(-√y) + f(√y)]/(2√y) , 0<y<1

Dengan demikian, untuk selurh Y pada selang 0<y<4, bisa ditulis g(y) = [f(-√y) + f(√y)]/(2√y) , 0<y<1

= f(√y)/(2√y) , 1<y<4

Transformasi untuk k-buah fungsi invers

• Teorema 5.5 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan transformasi yang tidak satu-ke-satu antara nilai X dengan Y. Jika selang keseluruh X dpt dipartisi menjai k-buah himpunan tak beririsan

sedemikian hingga setiap fungsi inverse x₁=w₁(y), x₂=w₂(y), …, x_k=w_k(y) dari y=u(x) berkorespondensi satu-ke-satu, maka

sebaran peluang dari Y adalah

dimana J_i=w_i’(y), i =1, 2, …, k

( )

k

[

( )

]

_i i i y J w f y g

∑

= = 1

Contoh 5.5

• Soal: Tunjukkan bahwa Y=(X-μ)2/σ2 _{memiliki sebaran}

chi-kuadrat dengan derajat bebas 1, jika X tersebar normal dengan mean μ dan variansi σ2_.

• Jawab: Andaikan Z=(X-μ)/σ, dimana peubah acak Z memiliki sebaran normal baku

f(z) = (1/2π)1/2_exp(-z2_/2) ; -∞<z<∞

Kita sekarang akan mencari sebaran dari peubah acak Y=Z2. Solusi invers dari y=z2 adalah z=±√y. Kita namakan z₁=-√y dan z₂=√y; J₁=-1/(2√y) dan J₂=1/(2√y). Maka berdasarkan Teorema 5.5, akan diperoleh

( )

0 , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 > = + − = − − − − y e y y e y e y g y y y π π π

Lanjutan …

• Karena g(y) fungsi kerapatan peluang, maka

integral ini menyatakan luas daerah dibawah kurva peluang gamma dengan parameter α=1/2 dan β=2. Oleh karena itu, √π= Γ(1/2) dan sebaran peluang Y diberikan oleh

yaitu sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

( )

( )

( )

π π π 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 Γ = Γ Γ = =

∫

∫

∞ − − ∞ − − dy e y dy e y y y

( )

_{( )}

,

0

2

1

2

1

_{1 2 1 2} 2 1

Γ

>

=

− −

y

e

y

y

g

y

Pendahuluan

• Disamping metoda transformasi variabel spt

yang sudah dijelaskan, ada cara lain untuk

menentukan fungsi sebaran peluang dari

banyak peubah acak, terlebih jika fungsi ini

merupakan penjumlahan beberapa peubah

acak yang saling bebas.

• Metoda ini disebut teknik fungsi

pembangkit momen.

Fungsi pembangkit momen

• DEF.5.1 Fungsi pembangkit-momen dari peubah acak X

diberikan oleh E(e

tX

) dan dituliskan sebagai M

_X

(t), yakni

( )

( )

( )

( )

x dx untuk X kontinyu f e diskrit X untuk x f e e E t M tx n i i tx tX X i , , 1

∫

∑

∞ ∞ − = = = =

• Fungsi pembangkit momen ini ada jika jumlah atau

integral di ruas kanan pada DEF.5.1 konvergen.

• Jika fungsi ini ada, fungsi ini dapat dipakai untuk

membangkitkan/menentukan semua nilai momen dari

variabel ybs, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.

Perhitungan momen

• TEOREMA 5.6. Andaikan X peubah acak dengan fungsi pembangkit momen M_X(t). Maka

( )

r t r X r dt t M d ' 0

μ

= =

• Bukti: dengan asumsi proses diferensiasi dapat dilakukan, maka

Dng membuat t=0, kedua kasus akan menghasilkan E(Xr) =μ’_r.

( )

_{( )}

( )

x dx X kontinyu f e x diskrit X x f e x dt t M d tx r n i i tx r i r X r i , , 1

∫

∑

∞ ∞ − = = =

Contoh 5.6

• Soal: Tentukan fungsi pembangkit momen utk peubah acak binomial X dan gunakan utk membuktikan μ=np dan σ2=npq. • Jawab: Dari definisi 5.1, kita dapatkan

( )

_∑

_∑

( )

= − = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = n x x n x t n x x n x tx X pe q x n q p x n e t M 0 0

Yang tak lain adalah ekspansi binomial (pet + q)n, sehingga diperoleh: M_X(t) = (pet + q)n

Selanjutnya: dM_X(t)/dt = n (pet + q)n-1 pet dan d2M_X(t)/dt2 = np[et(n-1)(pet + q)n-2 pet + (pet + q)n-1et] Dengan membuat t=0, maka diperoleh

μ₁’ = np dan μ₂’=np [(n-1)p +1] Akibatnya: μ = μ₁’ = np dan

σ2 = μ

Contoh 5.8

• Soal: Tunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari peubah acak X yang tersebar Chi-kuadrat dengan derajat bebas v adalah M_X(t)=(1-2t)exp(-v/2).

• Jawab: Sebaran Chi-kuadrat adalah kasus khusus dari sebaran

gamma dengan membuat α=v/2 dan β=2. Dari DEF 5.1 diperoleh

Dengan menuliskan y=x(1-2t)/2 dan dx=[2/(1-2t)]dy diperoleh

( )

_{( )}

_{( )}

( )

∫

∫

− − ∞ − − − ∞ Γ = Γ = 0 2 2 1 1 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1 2 2 1 dx e x v dx e x v e t M_X tx _v v x _v v x t

( )

_{( )}

( )(

)

(

)

2 0 1 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 v y v v v y v v X t dy e y t v dy t e t y v t M − ∞ − − ∞ − − − = − Γ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Γ =

∫

∫

Komb. linier peubah acak yang saling bebas

• TEOREMA 5.7 (T. KEUNIKAN) Andaikan X dan Y dua

peubah acak yang memiliki fungsi pembangkit momen,

berturut-turut, M

_X

(t) dan M

_Y

(t). Jika M

_X

(t)=M

_Y

(t) untuk

semua nilai t, maka X dan Y akan memiliki sebaran

peluang yang sama.

• TEOREMA 5.8:

M

_X+a

(t) = e

at

M

_X

(t)

• Bukti:

M

_X+a

(t) =

E[e

t(X+a)

] = e

at

E[e

tX

] = e

at

M

_X

(t)

• TEOREMA 5.9: M

_aX

(t) = M

_X

(at)

• Bukti:

Lanjutan …

• TEOREMA 5.10 Jika X

₁

dan X

₂

peubah acak yang saling

bebas dengan fungsi pembangkit momen M

_X1

(t) dan

M

_X2

(t), dan Y=X

₁

+ X

₂

, maka

M

_Y

(t) = M

_X1+X2

(t) = M

_X1

(t)M

_X2

(t)

• BUKTI:

M_Y(t) = E[etY] = E[et(X1+X2)] = ∫_-∞∞ _∫

-∞∞ et(X1+X2) f(x1,x2)dx1dx2

Karena semua peubah saling bebas, maka f(x₁,x₂)=g(x₁)h(x₂) dan M_Y(t) = ∫_-∞∞ etX1 g(x₁) dx₁ ∫_-∞∞ etX2 g(x₂) dx₂

= M_X1(t)M_X2(t)

Bukti untuk kasus diskrit sejalan dengan yang diatas, dimana integral digantikan dengan penjumlahan.

Aplikasi

Contoh:

• Tinjau dua peubah acak Poisson X₁ dan X₂ yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen

M_X1(t) = eμ1(exp(t) – 1) dan M_X2(t) = eμ2(exp(t) – 1)

Maka, menurut Teorema 5.10, fungsi pembangkit momen untuk peubah acak Y₁=X₁+X₂ adalah

M_Y1(t) = M_X1(t) M_X2(t)

= eμ1(exp(t) – 1) eμ2(exp(t) – 1) = e(μ1+ μ2)(exp(t) – 1)

Yang tak lain adalah fungsi pembangkit momen untuk peubah acak Poisson dengan parameter μ₁+ μ₂.

• Berdasarkan contoh ini dan Teorema 5.7, kita simpulkan sekali lagi bahwa jumlah dua peubah acak bebas yang masing-masing tersebar Poisson dengan parameter μ₁dan μ₂, juga akan memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ₁+ μ₂.

Penjumlahan dua peubah acak normal

• Dalam statistik terapan, seringkali kita ingin tahu sebaran peluang dari kombinasi linier sejumlah peubah acak saling bebas yang tersebar

secara normal (Gaussian).

• Tinjau dua peubah acak, X₁ dan X₂ yang tersebar normal yang masing-masing memiliki mean μ₁ dan μ₂ dan variansi σ₁2 dan σ₂2 .

Berdasarkan Teorema 5.10, kita dapatkan fungsi pembangkit momennya

M_Y(t) = M_a1X1(t) M_a2X2(t) dan berdasarkan Teorema 5.9, maka

M_Y(t) = M_X1(a₁t) M_X2(a₂t) Berdasarkan contoh 5.7, maka

M_Y(t) = exp[(a₁μ₁t +a₁2σ₁2 t2)/2]⋅exp[(a₂μ₂t+a₂2σ₂2 t2)/2] = exp[{(a₁μ₁+a₂μ₂)t]+[(a₁2σ₁2+a₂2σ₂2) t2}/2]

Yakni fungsi pembangkit momen dari sebaran normal dengan mean a₁μ₁+a₂μ₂ dan variansi a₁2σ₁2+a₂2σ₂2.

Sifat reproduktif sebaran

• TEOREMA 5.11 Jika X

₁

, X

₂

, …, X

_n

adalah peubah acak

saling bebas yang tersebar normal dengan mean μ

₁

, μ

₂

, …,

μ

_n

dan variansi

σ

₁2

, σ

22

, …, σ

n2

, maka peubah acak

Y = a

₁

X

₁

+ a

₂

X

₂

+ …+ a

_n

X

_n

akan tersebar normal dengan mean

μ

_Y

= a

₁

μ

₁

+ a

₂

μ

₂

+ … +a

_n

μ

_n

dan variansi

σ

_Y2

_{= a}

12

σ

12

+ a

22

σ

22

+ …+ a

n2

σ

n2

terlihat bahwa sebaran Poisson dan sebaran Normal punya

sifat reproduktif, yakni, jumlah peubah acak saling bebas

dengan sebaran Poisson atau normal akan menghasilkan

sebaran yang tipenya sama.

• Sifat reproduktif ini dimiliki juga oleh sebaran

Chi-kuadrat, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.

Reproduksibilitas sebaran Chi-kuadrat

• Bukti: berdasarkan Teorema 5.10

M_Y(t) = M_X1(t)M_X2(t) … M_Xn(t)

dari Contoh 5.8 diperoleh fungsi pembangkit momen

M_X1(t) = (1-2t) -vi/2 oleh karena itu

M_Y(t) = (1-2t) –v1/2(1-2t) –v2/2 … (1-2t) -vn/2 = (1-2t) –(v1+v2+ …+vn)/2

yang tak lain adalah fungsi pembangkit momen sebaran Chi-kuadrat dengan v = v₁+ v₂+ … + v_n derajat bebas.

• TEOREMA 5.12 Jika X

₁

, X

₂

, …, X

_n

adalah peubah acak

yang saling bebas dengan sebaran sebagai Chi-kuadrat

dengan derajat bebas v

₁

, v

₂

, …, v

_n

, maka peubah acak

Y = X

₁

+X

₂

+ …+ X

_n

akan tersebar secara Chi-kuadrat pula dengan derajat bebas

• COROLLARY Jika X

₁

, X

₂

,… , X

_n

adalah peubah acak

yang memiliki sebaran normal dengan mean μ dan variansi

σ

2

_{, maka peubah acak}

akan memiliki sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebas

v=n.

• Corrolary ini adalah konsekuensi langsung dari

contoh 5.5, yang menyatakan bahwa,

masing-masing dari n peubah acak bebas [(X

_i

-μ)/σ]

2

, i=1,

2, …,. n tersebar Chi-kuadrat dengan derajat

bebas 1.

∑

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n i i X Y 1 2 σ μ

Populasi

• DEF 5.2 Suatu populasi terdiri dari keseluruhan

pengamatan yang menjadi perhatian kita.

• Jumlah pengamatan disebut besar (size) dari populasi. Mis.

600 orang mahasiswa, sejumlah tak-hingga lantunan dadu,

jumlah kartu, tinggi badan penduduk kota tertentu, dst.

• Setiap pengamatan dari populasi merupakan peubah acak X

dng sebaran f(x).

• Populasi binomial, populasi normal, dst akan mengacu

pada nilai peubah acak yang tersebar secarac binomial,

normal, … dst.

Cuplikan acak

• DEF. 5.3 Andaikan X

₁

, X

₂

, …, X

_n

adalah peubah acak

saling-bebas yang masing-masing memiliki sebaran

peluang f(x). Kita akan mendefinisikan X

₁

, X

₂

, …, X

_n

sebagai cuplikan acak berukuran n dari populasi f(x) dan

menuliskan sebaran peluang gabungannya sebagai

Statistik

• Tujuan pemilihan cuplikan acak adalah untuk mengetahui

lebih jelas perihal parameter dari suatu populasi.

• Andaikan kita ingin tahu pendapat masyarakat suatu

negara mengenai merk kopi-kopi tertentu, tidak mungkin

kita bertanya ke semua penduduk satu per satu. Yang bisa

dilakukan, ambil sejumlah besar cuplikan acak dan analisa

pendapatnya.

• Nilai yang dihitung dari suatu cuplikan disebut sebagai

statistik. Karena dari suatu populasi kita bisa mengambil

berbagai sampel, maka nilai statistik dapat bervariasi.

Dengan demikian, statistik adalah suatu peubah acak.

• DEFINISI 5.4 Suatu statistik adalah peubah acak yang

nilai-nya hanya bergantung pada cuplikan acak yang

sedang diamati.

Mean cuplikan (sample mean)

• Statistik akan kita tuliskan sebagai P^_{, sedangkan nilainya adalah p}^_. Tingkat ketelitian p^ _{dalam menggambarkan populasi sesungguhnya,} yaitu p, terlebih dahulu kita lihat sebaran dari statistik P^_.

• Salah satu statistik yang paling populer adalah ukuran pusat data, yaitu

mean, median, dan mode.

• DEFINISI 5.5 Jika X

₁

, X

₂

, …, X

_n

menyatakan cuplikan

acak berdimensi n, maka mean dari cuplikan (sample

mean) didefinisikan dengan statistik berikut:

• Catat bahwa statistik X mengasumsikan bahna nilai x = Σ_i=1N_(x

i/n) saat X1 bernilai x1, X2 bernilai x2, … dst.

n

X

X

n i i

∑

=

=

1

Contoh 5.9

• Soal: Tentukan mean dari cuplikan acak yang nilai

pengamatannya adalah 20, 27, dan 25.

• Jawab: Nilai x teramati dari statistik X adalah

x = (20 + 27 +25)/3 = 24

MEDIAN

• DEFINISI 5.6 Jika X

₁

, X

₂

, …, X

_n

menyatakan cuplikan

acak berukuran n yang diurutkan secara meningkat, maka

median X

~

dari cuplikan dinyatakan oleh statistik

X

~

_{= X}

(n+1)/2

jika n ganjil

= (X

_n/2

+ X

_(n/2)+1

)/2

jika n genap

• Contoh 5.10: Tentukan median dari cuplikan acak yang nilai pengamatannya adalah 8, 3, 9, 5, 6, 8, dan 5.

• Jawab: Pengurutan yang meningkat 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, memberikan nilai median x~ = 6.

• Contoh 5.11 Tentukan median dari cuplikan acak yang nilai pengamatannya adlah 10, 8, 4, dan 7.

• Jawab: Pengurutan dari hasil pengamatan secara meningkat 4, 7, 8, 10 dan DEF 5.6, maka median adalah mean aritmetik dari

MODE

• DEFINISI 5.7 Jika X

₁

, X

₂

, …, X

_n

menyatakan cuplikan

acak berukuran n yang tidak perlu berlainan nilainya, maka

mode M dari cuplikan adalah nilai yang paling sering

muncul atau yang frekuensi nya paling besar. Mode bisa

jadi tidak ada, dan jika adapun belum tentu unik.

• Contoh 5.12: Tentukan mode dari cuplikan acak yang nilai pengamatannya adalah 2, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, dan 8.

• Jawab: mode m = 6.

• Contoh 5.13: Hasil pengamatan 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, dan 9 memiliki dua mode, yaitu 4 dan 8. Sebaran yang demikian

disebut bimodal.

• Jika deretan cuplikan punya dua mode berurutan, kita ambil

rata-rata aritmetikanya. Dengan demikian 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 adalah (5+6)/2 = 5.5 dan 9.

Kelebihan dan kekurangan mean

• Keuntungan mean:

– paling umum dipakai dalam menggambarkan pusat

kecenderungan data.

– Mudah dihitung dan menggunakan semua informasi

yang ada.

– Sifat sebaran mean cuplikan sudah banyak dipelajari,

shg inferensi statistik didasarkan pada sample mean.

• Kerugian:

– mudah terpengaruh nilai ekstrim. Jika dalam

pengumpulan dana sebagian besar orang menyumbang

$5, maka sumbangan seseorang sebesar $10,000

menghasilkan rata-rata sumbangan yang jauh lebih

besar dari seharusnya.

Kelebihan dan kekurangan median

• Keuntungan median:

– Mudah dihitung

– Tak terpengaruh nilai ekstrim, akan

memberikan nilai tengah yang sebenarnya

dalam contoh donasi.

• Kerugian median

– Dalam penanganan cuplikan populasi, mean

tidak akan se-variatif median sehingga mean

lebih stabil. Dengan demikian, mean cuplikan

lebih mewakili mean populasi dibandingkan

median cuplikan menyatakan median pupulasi.

Kelebihan dan kekurangan mode

• Mode lebih jarang dipakai dibandingkan dengan

dua ukuran pusat yang lain, yaitu mean dan

median.

• Jika cuplikannya sedikit, nilai mode hampir

samasekali tidak ada gunanya. Jika ukuran data

besar, manfaatnya baru kelihatan.

• Keuntungan satu-satunya dari mode adalah: tidak

perlu melakukan kalkulasi apapun untuk

Ukuran penyebaran data

• Ketiga statistik yang telah disebut (mean, median, mode)

tidak menggambarkan apapun mengenai penyebaran data.

• Tinjau kasus berikut berkaitan dengan isi jus buah didalam

botol dari dua merek A dan B.

Cuplikan A

75

80

74

83

86

Cuplikan B

86

80

69

71

94

• Kedua cuplikan punya nilai mean cuplikan yang sama

sebesar 80, tapi terlihat jelas bahwa jus merek A lebih

seragam dibandingkan dengan merek B.

• Statistik paling penting dalam menyatakan variabilitas

cuplikan acak adalah jangkauan (range) dan variansi.

• Dari kedua macam statistik ini, yang paling mudah

Jangkauan (range)

• DEFINISI 5.8 Jangkauan dari cuplikan acak X

₁

,

X

₂

, …, X

_n

yang diurutkan meningkat, didefinisikan

sebagai statistik X

_n

-X

₁

.

• Contoh 5.14. Nilai jangkauan dari kumpulan

pengamatan 10, 12, 12, 18, 19, 22, dan 24 adalah

24-10=14.

• Untuk kasus jus buah pada contoh sebelumnya,

jangkauan dari merek A adalah 12, sedangkan

untuk merek B adalah 25.

Kelemahan jangkauan

• Jangkauan bukanlah ukuran variabilitas data yang baik

karena hanya mempertimbangkan dua nilai ekstrim tanpa

mengatakan apapun mengenai nilai diantara dua ekstrim tsb.

• Tinjau dua kumpulan data berikut

3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15

3, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 15

kedua data ini memiliki jangkauan 12.

• Data pertama memiliki mean dan median sebesar 8, tetapi

nilai-nilai diantaranya sangat bervariasi.

• Data kedua memiliki mean dan median sebesar 9, tetapi nilai

diantaranya dekat ke mean maupun median.

• Untuk mengatasi kelemahan jangkauan, diperkenalkanlah

variansi cuplikan yang menyatakan variabilitas data dengan

mempertimbangkan posisi setiap data pengamatan terhadap

Variansi cuplikan

• DEFINISI 5.9 Jika X

₁

, X

₂

, …, X

_n

menyatakan peubah acak

berukuran n, maka variansi cuplikan didefinisikan sebagai

statistik

(

)

1 1 2 2 − − =

∑

= n X X S n i i

• Nilai hasil hitungan S

2

dinyatakan sebagai s

2

.

• Perhatikan bahwa S

2

_{pada dasarnya adalah rata-rata dari}

simpangan kuadrat data pengamatan terhadap mean.

Penggunan n-1 sebagai pembagi dan bukannya n,

sebenarnya jelas dengan sendirinya. Penjelasan lebih lanjut

akan dibahas pada Bab VI.

Variansi cuplikan

• TEOREMA 5.13 Jika S

2

_{adalah variansi dari}

cuplikan acak berukuran n, kita bisa menuliskan

(

1

)

2 1 1 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

=

∑

= n n X X n S n i i n i i

• Bukti: --lakukan sendiri

• Simpangan baku cuplikan S didefinisikan sebagai akar

kuadrat positif dari variansi cuplikan.

Contoh 5.15

• Soal: Tentukan variansi dari cuplikan

pengamatan berikut: 3, 4, 5, 6, 6, dan 7

• Jawab: Kita mendapatkan

Σ

_i=16

(x

_i

)

2

= 171,

Σ

_i=16

_(x

i

) = 31, dan n = 6. Dengan demikian

s

2

= [(6)⋅(171) - 31

2

]/[(6)⋅(5)]

= 13/6.

Sebaran cuplikan

• Statistika induktif berkaitan dng generalisasi dan prediksi.

Generalisasi dari parameter statistik dapat dilakukan jika

perilakuk fluktuatif dari statistik diketahui.

• DEFINISI 5.10 Sebaran peluang dari suatu statistik disebut

sebaran cuplikan (sampling distribution).

• DEFINISI 5.11Simpangan baku dari sebaran cuplikan dari

suatu statistik disebut sebagai kesalahan baku dari statistik

(standard error of statistic).

• Sebaran peluang dari X disebut sebagai sebaran cuplikan

dari mean, sedangkan kesalahan baku dari mean adalah

simpangan baku dari sebaran cuplikan dari X.

Pendahuluan

• Pokok bahasan pertama ttg sebaran cuplikan penting ( important

sampling distribution ) adalah mean X.

• Andaikan cuplikan acak dari n buah pengamatan diambil dari populasi

normal dengan mean μ dan sebaran σ 2_{. Setiap pengamatan X}

i, i=1,2, …,n dari cuplikan acak akan punya sebaran normal yang sama dengan populasi yang dicuplik.

• Berdasarkan sifat reproduktif dari sebaran normal pada Teoriema 5.11, maka

X = (X₁ + X₂ + … + X_n)/n

akan tersebar normal dengan mean μ_X = (μ + μ + … + μ)/n = μ dan variansinya

σ_X2 = (σ2 + σ2 + … + σ2_)/n2 = σ2_/n2

• Jika pencuplikan dilakukan pada popolasi yang sebarannya tak

diketahui, berhingga maupun takhingga, sebaran cuplikan X akan tetap mendekatai normal dengan mean μ dan variansi σ2_{/n jika jumlah}

cuplikan cukup banyak. Hasil yang menakjubkan ini adalah konsekuansi langsung dari Central Limit Theorem.

Central Limit Theorem

• THEOREM 5.14 Jika X adalah mean dari cuplikan

acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi

dengan mean

μ

dan variansi berhingga

σ

2

, maka

limit dari bentuk sebaran

ketika n →∞, adalah sebaran normal baku n(z;0,1)

n

X

Z

σ

μ

−

=

• Pada umumnya, hampiran normal dari X akan baik jika n ≥30, apapun bentuk populasinya. Jika n<30, hampiran akan baik hanya jika populasi tidak terlalu menyimpang dari bentuk normal.

• Jika populasinya normal, sebaran cuplikan X akan mengikuti sebaran normal secara tepat, seberapapun ukuran cuplikan.

Contoh 5.16

• Soal: sebuah pabrik memproduksi lampu listrik yang memiliki waktu-hidup hampir tersebar normal, dengan mean 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Tentukan peluang bahwa suatu

cuplikan acak 6 buah lampu akan memiliki waktu hidup kurang dari 775 jam.

• Jawab: Sebaran cuplikan dari X akan mendekati normal dengan μ_X =800 dan σ_X=40/√(16) =10. Peluang yang diinginkan akan diberikan oleh daerah diarsir pada Gb 5.4.

• Untuk x=775, maka kita akan mendapatkan

z = (775-800)/10 = -2.5 Oleh karena itu

P(X<775) = P(Z<-2.5)

= 0.006 775

x

800

Contoh 5.17

• Soal: Suatu populasi memiliki sebaran seragam f(x) = ¼ ; x=0, 1, 2, 3

= 0 ; lainnya

tentukan peluang bahwa suatu cuplikan acak berukuran 36, yang diambil dengan penggantian, akan menghasilkan mean cuplikan lebih dari 1.4, tetapi kurang dari 1.8, jika mean diukur ke

persepuluhan terdekat.

• Jawab: Perhitungan mean dan variansi dari sebaran seragam dari rumus pada Teorema 3.1 menghasilkan

μ = (0+1+2+3)/4 = 3/2

σ2 _{= {(0-3/2})2 _{+ (1-3/2})2 _{+ (2-3/2})2 _{+ (2-3/2})2 _{}/4 = 5/4}

Sebaran cuplikan X dapat didekati dengan sebaran normal dengan mean μ_X=3/2 dan variansi σ_X2 = σ2/n = 5/144. Dengan demikian, simpangan bakunya adalah σ_X=0.186.

Peluang bahwa X akan lebih dari 1.4 tetapi kurang dari 1.8 diberikan oleh daerah diarsir pada Gb.5.5

Lanjutan …

• Nilai z yang untuk x₁=1.45 dan x₂=1.75 adalah

z₁= (1.45-1.5)/0.186 = -0.269

z₂= (1.75-1.5)/0.186 = 1.344 Oleh karena itu

P(1.4<X<1.8) ~ P(-0.269<Z<1.344) = P(Z<1.344) – P(Z<-0.269) = 0.9105 – 0.3932 = 0.5173 1.5 1.45 1.75 x σ_X= 0.186