ANALISIS PERCABANGAN RETAK PADA MATERIAL KERAMIK PIEZOELEKTRIK

ANALISIS PERCABANGAN RETAK PADA MATERIAL

KERAMIK PIEZOELEKTRIK

IGN Wiratmaja Puja

(1)

, Muhamad Hidayat

(1)

dan Qing Hua Qin

(2) (1)

_{Departemen Teknik Mesin ITB}

(2)

_{School of Aerospace, Mechanical, and Mechatronics Engineering,}

University of Sydney, Australia

Ringkasan

Percabangan atau belokan retak pada material piezoelektrik dapat terjadi akibat pembebanan mekanik atau elektrik. Dalam makalah ini disajikan analisis percabangan retak untuk material keramik piezoelektrik (PZT). Material canggih jenis ini sangat tepat untuk diaplikasikan pada peralatan sensor, aktuator, dan juga bidang struktur pintar. Dengan mengaplikasikan Stroh formalism yang telah dikembangkan untuk elastoelectric, maka boundary value problem dapat diselesaikan dengan transformasi Hilbert. Solusi elastik, elektrik, stress intesity factor, dan strain energi density didapat secara eksplisit dalam bentuk integral yang dapat dipecahkan dengan metoda Gauss-Chebysev-Quadrature. Hasil numerik untuk jenis keramik piezoelektrik (PZT) diberikan untuk ilustrasi perilaku stress-electric intensity factor baik secara kuantitatif maupun kualitatif.

Abstract

Crack branch or kink in piezoelectric body may occur due to mechanical or electric loading. This paper presents the analysis of crack branch for ceramic piezoelectric materials. This type of advanced materials is very advantageous for application in smart structures, measurements device and actuators. Utilizing the extended Stroh Formalism for elastoelectric, the boundary value problems are solved by way of Hilbert Transforms. The explicit expressions for the elastic, electric, stress and electric intesity factor, and strain energi density are presented in integral forms. These integrals are solved using Gauss-Chebysev-Quadrature. Numerical results for piezoelectric ceramics are presented to illustrate both qualitative and quantitative behaviour of the stress- electric intesity factors.

Keywords: crack, branch, piezoelectric,electroelastic, ceramics, stress-electric intesity factor 1. PENDAHULUAN

Material piezoelektrik keramik (piezoceramic) adalah salah satu material maju yang memiliki prospek aplikasi engineering yang luas di masa depan. Saat ini piezoelektrik secara luas digunakan pada berbagai peralatan seperti sensor, actuator, transducer, dan struktur pintar. Berbeda dengan material piezoelektrik alami, karakteristik elasto-elektrik piezoelektrik keramik dapat direkayasa untuk mendapatkan sifat tertentu yang diinginkan. Mekanika piezoceramic sangat kompleks karena sifat anisotropic serta sifat coupling antara sifat elastic dan sifat elektrik. Aspek mekanika retakan perlu mendapat perhatian khusus berhubung piezoceramic adalah jenis material getas[1]. Retak juga dapat direkayasa pada media piezoceramic untuk meningkatkan sensitivitas pada karakteristik tertentu. Jenis retak dapat bermacam-macam seperti retak berbentuk garis, retak berbentuk silindris dan retak tidak beraturan. Retak berbentuk garis pun dapat bermacam-macam bentuknya, seperti retak cabang tunggal, retak cabang banyak, retak menembus

permukaan, retak antar muka (interface crack), retak terhenti (halted) pada antar muka biomaterial[2]. Beberapa publikasi tentang fenomena retak pada piezoelektrik yang mendahului penelitian ini antara lain dilakukan oleh Qin dan Mai tentang percabangan retak pada bi-material piezoelektrik[3,4], Zhu dan Yang tentang retak yang berbelok pada kristal piezoelektrik [5], Qin dan Mai tentang Fungsi Green[6], serta Hayashi dan Nasser untuk aspek energy release rate[7]. Di dalam makalah ini dibahas retak cabang yang berbentuk suatu retak garis pada material piezokeramik. Retak cabang yang dimaksud adalah retak yang tumbuh dari ujung suatu retak (utama) dan/atau membentuk sudut terhadap sumbu retak (utama) tersebut. Geometri retak cabang ini dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 1.1. Pada material piezoelektrik, beban elektro-mekanik mempunyai peran yang penting pada munculnya retak cabang. yang seterusnya dapat merambat dengan arah yang baru. Persamaan yang mengatur karakteristik material piezoceramic yang mengandung retak cabang adalah persamaan integral

singular. Penyelesaian persamaan integral singular ini akan memberikan informasi tentang karakteristik dari material piezoelektrik tersebut. Penyelesaian persamaan integral singular dapat dilakukan dengan cara analitik atau dengan cara numerik. Penyelesaian analitik seringkali sangat sulit dilakukan, bahkan sering kali tidak dapat dilakukan, untuk berbagai masalah retak. Karena sulitnya penyelesaian analitik, penyelesaian numerik menjadi alternatif penyelesaian.

Di dalam makalah ini penyelesaian persamaan integral singular untuk kasus retak cabang yang terjadi pada material piezoelektrik dilakukan dengan menggunakan solusi numerik. Sebuah program komputer kemudian dibuat untuk menyelesaikan solusi numerik ini. Penyelesaian solusi numerik ini akan memberikan informasi tentang karakteristik dari material piezoelektrik. Persamaan singular untuk retak pada material piezoelektrik yang dikembangkan oleh Qin[3,4] diadopsi sebagai persamaan dasar. Material keramik piezoelektrik adalah tipe transversely isotropic. Ukuran retak diasumsikan relatif kecil sehingga dapat didekati dengan model piezoelektrik solid

2. FORMULASI ELEKTROELASTIK UNTUK PIEZOELEKTRIK

Dalam sistem koordinat Cartesian xi (i = 1,2,3), hukum

constitutive untuk media piezothermoelastik dapat inyatakan dalam notasi tensor sebagai berikut [8] : d

θ

β

−

−

γ

=

σ

_ij

c

_{ijkl kl}

e

_ijs

E

_{s ij}

θ

+

γ

+

ε

=

_{is s irs rs i} i

E

e

k

D

i ij i

,

h

=

−

λ

θ

(1)

)

u

u

(

_{i,j ji,} 2 1 ij

=

+

γ

i i

,

E

=

−

ϕ

dengan persamaan keseimbangan,

0

i, ij

=

σ

;

D

ii,

=

0

;

h

ii,

=

0

(2) di mana sifat simetri pada koefisien material diadopsi

an secara notasi tensor dapat dinyatakan dengan d

klij jikl ijkl

c

c

c

=

=

;

e

_kij

=

e

_kji;

e

ijk

=

e

kji;

ε

_ij

=

ε

_ji;

β

_ij

=

β

_ji (3) Di sini σij, Di, Ei, γij, hi, θ, ϕ, ui, adalah masing-masing stress component, electric displacement, electric field, strain, heat flow, temperatur, electric potential, dan mechanical displacement. Konstanta cijkl, ekij, εij, βij, λi, kij adalah konstanta elastis, konstanta piezoelektrik, permitivitas, modulus thermal, koefisien pyroelectric dan koefisien konduksi panas. Indeks yang diulang menandakan penjumlahan, dan koma menandakan diferensiasi.

3. PERSAMAAN INTEGRAL SINGULAR UNTUK RETAK CABANG

Suatu media piezoelektrik tak berhingga yang dikenai tegangan mekanik dan medan listrik ditunjukkan pada gambar 1. Media ini mengandung sebuah retak utama dengan panjang 2a dan sebuah retak cabang tumbuh pada ujung retak utama dengan panjang l dan membentuk sudut θ0 tehadap sumbu retak utama.

Gambar 1 Geometri Retak Cabang

Permasalahan ini dapat diformulasikan dalam bentuk potensial kompleks yang didasarkan pada Stroh formalism[9]. Solusi umum medan elektro-elastis dapat dituliskan dalam bentuk[6]:

( )

{

}

( )

{

}

1 2 2 1 Re 2 Re 2 , , z f z f φ φ φ = − = = = Π Π B A u (4)

dengan f(z) adalah fungsi kompleks,

( )

{

( ) ( ) ( ) ( )

}

T z f z f z f z f z f = 1 1 2 2 3 3 4 4 (5) dan zi=x1+ pix2; i=1,2,3,4.

{

}

{

{

12 22 32 2

}

T 3 2 1 , , , , u , u , u D σ σ σ D , σ , σ , σ_{11 21 31 1} = = = 2 1 Π Π u ϕ

}

(6)

u adalah Elastic Displacement and Electric Potential

(EDEP) dan Π adalah Stress and Electric Displacement (SED). Sedangkan Nilai A dan B pada persamaan utama dapat ditentukan dengan penjabaran Stroh formalism.

Kondisi batas yang harus dipenuhi baik pada retak utama maupun cabangnya adalah :

• Tidak terdapat traksi–arus pada permukaan retak utama atau Π2 pada permukaan crack = 0

( )

x₁ + '

( )

x₁ =0; x₁ <c

' φ

φ (7)

• Sepanjang permukaan retak cabang tidak terdapat traksi – arus.

( )

r _r

( )

r r l

r , + ' , =0; 0< <

', θ φ, θ

4. SOLUSI SINGULAR

Sebuah retak dapat dilihat sebagai suatu distribusi dislokasi yang kontinyu[10]. Distribusi dislokasi ini akan menghasilkan kondisi singular. Kondisi singular ini membutuhkan solusi singular. Untuk bidang tak berhingga yang mengandung sebuah dislokasi tepi, b, pada z0 (x10,x20). Solusi elektro–elastis dapat dipenuhi oleh fungsi potensial [3],

( )

(

)

BTb i z z ln z f π 2 0 0 − = (9)

Jika terdapat retak pada bidang tersebut, solusi elektro-elastis tidak hanya diberikan oleh persamaan (9) saja, tetapi juga oleh kondisi batas pada permukaan retak di manakondisi batas ini harus dipenuhi. Potensial kompleks yang baru, fI(z) untuk suatu dislokasi tepi

(edge dislocation) untuk bidang dengan sebuah retak di dalamny dapat dituliskan sebagai : a

( )

z f

( )

z f

(

z

fI = 0 + R

)

(10)

di mana fR(z) akan ditentukan dengan kondisi SED pada

permukaan retak sama dengan nol (traction free). Traksi yang bekerja pada permukaan retak, x2 = 0, |x1| < c, dengan unit normal [0, 1, 0]T _adalah

( )

( )

{

( )

}

( )

z f '

( )

z ' f z ' f z x t 0 0 0 2 1 Re 2 Π B B B + = = = (11) Dengan memasukkan persamaan (9) ke persamaan (11) akan dihasilkan :

( )

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − = B B b B B b t T 0 T 0 1 1 2 1 α α πi x z x z x i i (12) di mana

( )

α =diag

[

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4

]

Traksi–arus, -t(x1), untuk melawan traksi-arus pada persamaan (12), menghasilkan bentuk Hilbert problem[6],

( )

( )

_{( )(}

( )

₎

( )

z z x z x x i z z ' f a a R _{π χ} χ χ t _c B + − − =

∫

− + d 2 (13)

di mana χ

( )

z adalah fungsi Plemelj :

( )

2 2 1 a z z − = χ (14)

Dengan menggunakan contour integral akan didapatkan

( )

BF

(

)

B b B BF

( )

B b B T T R' z _i z,z _i z,z f 2 1 2 1 0 0 -1 π π + = dan

(

)

_{π π} π 2 4 4 2 1 b Lb B B b B B c=+ T = − _i T = i T i BB L=−2

(

)

₍

₎

_{( )}

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = 0 0 0 1 1 2 1 z z z z z , z χ χ F (15)

Bentuk akhir dislokasi retak dapat ditulis menjadi :

( )

z f '

( )

z f '

( )

z ' fI = 0 + R

(

)

( )

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − − = BTb F_z,z BTb B BF_z,z BTb z z 1 i 2 1 0 0 0 -1 α α π (16) Bentuk persamaan integral untuk potensial dislokasi retak cabang dapat diturunkan dengan mendefinisikan sistem koordinat pada saat tumbuhnya retak cabang

eperti ditunjukkan pada gambar 2. s

Gambar 2. Sumbu pada retak cabang

Definisikan z dan z0 dalam bentuk koordinat silinder sebagai berikut : θ cos r a x₁= + ; x₂=rsinθ

(

cosθ psinθ

)

r a z= + + (17) dan dislokasi 0 0 10 a r cosθ x = + ; x20 =r0sinθ0

(

0 0

)

0 0 a r cosθ psinθ z = + + (18)

maka dislokasi tunggal pada (x10,x20) dapat dituliskan dalam bentuk :

z_α =a+r

(

cosθ+p_αsinθ

)

z_α0=a+r₀

(

cosθ₀+p_αsinθ₀

)

; 0≤r₀≤l (19) Dengan mengganti b dengan b(ro)dro dan dengan

mengintegrasikan terhadap ro dari 0 (ujung retak utama) sampai dengan l akan dihasilkan potensial untuk distribusi dislokasi pada retak cabang sebagai berikut:

( )

_∫

(

)

⎩ ⎨ ⎧ − − = l T _{z z} T z z i z f 0 0 0 2 , 1 2 1 ' B F B α α π

( )

z,z0

( )

r0 dr0 T b B F B B ⎭ ⎬ ⎫ + -1

(20)

Perlu dicatat bahwa b(ro)dro adalah kerapatan (density)

dislokasi yang harganya belum diketahui. Untuk itu

b(ro)dro dapat dicari dengan menerapkan kondisi batas

aitu bebas traksi sepanjang permukaan retak cabang y

( )

r |_{= o}=0 tθ θθ

( )

=0 ∂ ∂ = = =o _r | o | r t_{θ θθ} φ _{θ θ} (21)

Kondisi bebas traksi sepanjang permukaan retak harus dipenuhi untuk dapat menurunkan persamaan integral.

Mengingat medan elasto-elektrik yang jaraknya jauh dari dislokasi tidak terpengaruh oleh adanya retak, maka syarat asimtotik kondisi batasnya adalah fz'

( )

z →0 ketika z→∞, dengan syarat yang harus dipenuhi

( )

z →41

'

f ketika z →∞. Untuk memenuhi kondisi asimtotik ini maka dapat ditetapkan fungsi koreksi

( )

z f '

( )

z f '

( )

z '

f = 2 + ∞ (22)

Solusi untuk f∞' dapat diadopsi dari [4] ∞ − ∞ Π ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = 1 ₂ 2 2 2 1 B c z z ' f (23)

Untuk memenuhi kondisi batas pada cabang retak yaitu 0

Πθ =φ,r|θ=θ₀= , maka traksi-arus sepanjang permukaan cabang retak haruslah nol, maka :

0 cos , sin , 0 cos Π sin Π 0 1 0 2 0 2 0 1 = + − = = + − = θ φ θ φ θ θ n t (24) Untuk tujuan penyederhanaan, definisi sistem koordinat dapat dituliskan dalam bentuk

(

_{cos psin}

)

_{a rz}* r a z= + θ+ θ = +

(

_{cos psin}

)

_{a rz}* r a z0= + 0 θ0+ θ0 = + 0 0 (26) dimana θ θ psin cos z*_{= + ;} 0 0 0 cosθ psinθ z*_{= +}

sehingga pada saat θ =θ0,

* * _z z = ; _{0 z a rz}* (27) 0 + = maka

(

_{z z}

)

(

_{z rz}*

) (

_{z rz}*

)

0 0 0 0 = + − + −

(

_{r r}

)

_z* 0 0 − = * * _z rz a r r z _{+ =} ∂ ∂ = ∂ ∂ (28) Dengan menggunakan sistem koordinat yang disederhanakan ini maka turunan parsial fungsi potensial dapat dilakukan sebagai berikut :

( )

( )

( )

( )

*

{

( )

( )

}

* 2 * 2' ' ' , z z f z f z z f z z f z f z f r r r ∞ ∞ + + + = + ∂ ∂ = ∂ Φ ∂ = B B B B B B φ

( )

( )

{

+

}

+ ∞ = 0 * 0 2 2 * 0 f ' z f ' z z

φ

z B B (29) ∞ 0

φ adalah suatu fungsi vektor yang diketahui yang berhubungan dengan medan SED yang diinduksi oleh beban luar.

Selanjutnya dapat dievaluasi

( )

( )

{

f ' z f ' z

}

... z* _{+ =} 2 2 0 B B yang menghasilkan :

( )

( )

(

)

{

}

( )

(

)

( )

{

}

( )

0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 * 0 d , , 2 d , , 2 d 2 ... r r z z z z i z r r z z z z i z r r z z z z i z l l l b B F B B F B b B F B B F B b B B B B

∫

∫

∫

− + − + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = T T T T T 0 T 0 -1 -1 π π π α α α α (30)

Evaluasi masing-masing suku pada persamaan di atas akan menghasilkan

( )

d ... 2 ₀ 0 0 * 0 ₌ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −

∫

r r z z z z i z l b B B B B T 0 T 0 -1 -1 α α α α π

{

_{L L}

}

b

₍

( )

d

₎

_{; dimana L 2 B B}T 4 1 0 0 0 0 _i r r r r l − = − + =

∫

π

{ } ( )

(

)

∫

₋ = l r r r r 0 0 0 0 d 2 ReL b π (31)

suku ke-2 dan ke-3 digabungkan dan setelah hasil evaluasi disederhanakan akan didapatkan,

( )

{

}

( )

(

)

{

}

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

∫

∫

l l r r z z r r z z i z 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 d , Im d , Im 2 b B F B b B F B T T π (32)

dengan penyederhanaan dan memasukkan ke matriks maka dihasilkan

* 0 z

( )

(

)

{

}

( )

0 0 0 0 * 0 0 * 0 , , d Im 1 r r z z z -z z z l b B F B B F B

∫

= T T α α π

( ) ( )

0 0 0 0 0 , d 1 r r r r l b Y

∫

= π (33) dengan

( )

{

_{B F}

( )

_BT _{B F}

(

)

_BT

}

Y₀ r,r₀ =Im z*_0α z,z0 - z₀*_α z,z₀

Dengan demikian persamaan integral singular untuk retak cabang dapat dituliskan dalam bentuk

{ } ( )

(

d

)

1

( ) ( )

d

( )

0 2 Re 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _{+ Υ +Φ =} −

∫

∞

∫

r,r r r r r r r r l l b b L π π (34) di mana ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = Φ ∞ ∞ ∞ 0 0 Re 0 _{2 2} 1 Π2 1 -B B c z z z z* * α α φ

Untuk memudahkan penyelesaian secara numerik, maka diusulkan normalisasi sistem koordinat dari [0,l] menjadi [-1,+1], yaitu l l r s l l r s= − = 0− 0 2 ; 2 , sehingga dr0= 21lds0, dan

(

r−r0

)

= 21l

(

s−s0

)

.

Akhirnya didapat hubungan 0 0 0 0 s s ds r r dr − = − (35)

Dengan demikian persamaan integral untuk retak cabang akhirnya dapat dituliskan dalam bentuk

{ } ( )

(

d

)

1

( ) ( )

d

( )

0 2 Re 0 0 1 0 0 1 0 0 0 _{+ +Φ =} − ∞ + − + −

∫

∫

s,s s s s s s s s l l b Y b L π π (36) Persamaan ini selanjutnya akan diubah ke dalam bentuk persamaan numerik untuk menentukan karakteristik medan elasto-elektrik dan factor intensitas tegangan disekitar retakan.

5. FORMULASI NUMERIK UNTUK SOLUSI PERSAMAAN INTEGRAL SINGULAR

Persamaan integral singular untuk suatu retak cabang yang telah ditulis dalam koordinat yang telah dinormalisasi selanjutnya akan dipecahkan dengan metoda numerik. Integral ini termasuk integral singular jenis pertama dengan kernel Cauchy (s - s0) dan kernel

Fredholm Y0(s,so). Fungsi yang akan dicari adalah

kerapatan (density) dislokasi, b(s0), pada retak cabang.

Bentuk b(s0) dalam fungsi berat adalah

( )

( )

( )

2 1 0 2 0 0 1 1 s s T ˆ s s ˆ s N j j j − = − =

∑

= b b b (37)

( )

s0

ˆb adalah sebuah fungsi vektor reguler dalam deret polinomial Chebyshev yang terdefinisi pada selang

1 ≤

x dan memenuhi kondisi = 0. adalah vektor dengan konstanta real dan

( )

−1

bˆ ˆb_j

( )

s0

T_j adalah polinomial Chebyshev jenis pertama. Fungsi berat yang dipilih adalah _{1 s−} 2 _{di manakedua ujung retak cabang} adalah singular. Pemilihan fungsi berat ini sangat bergantung dari asumsi bagaimana retak tersebut terbentuk dan kondisi batas yang muncul di sekitar retak. Dengan menggunakan metoda yang dikembang kan oleh Endorgan dan Gupta [11] dapat ditentukan persamaan solusi numerik yang sesuai untuk menyelesaikan kondisi retak cabang ini dalam bentuk

( )

(

) (

) ( )

( )

0 2 Re 1 0 0 0 1 = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ∞ =

∑

r _k o_k r k r N k s s ˆ s , s s s N Y b Φ L (38) dan kondisi batas

( )

_{∑ ∑}

( )

_∑

( )

∑

= = = = − = − = − N k k k N k N j j j N k T ˆ T ˆ N ˆ N _{1 1 1} 1 1 1 1 b b b π π

( )

1 0 1 = −

∑

= N k k kT ˆb (39) dimana = _⎢⎣⎡

(

−

)

_⎥⎦⎤ N k cos s_k 2 1 2 0 π

₍

₎

N ,..., , k=12 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = N r cos sr π

₍

₎

1 2 1 − = , ,...,N r

Karena kondisi batas dalam bentuk polinomial Chebyshev, maka persamaan integral singular juga harus diubah dalam bentuk polinomial Chebyshev, menjadi :

( )

(

) (

)

( )

( )

0 2 Re 1 1 0 0 0 1 = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ∞ = =

∑

∑

r N j k o j j k r k r N k s s T ˆ s , s s s N Y b Φ L (40) Dengan menyelesaikan N buah yang tidak diketahui pada persamaan diatas maka akan didapatkan nilai

kj

ˆb

( )

so

ˆb pada seluruh titik yang dianalisis pada retak cabang. Dengan metode interpolasi akan didapatkan besarnya ˆb

( )

so pada ujung retak cabang, bˆ

( )

+1.

Dengan mengetahui besarnya , maka dapat dihitung besarnya faktor intensitas tegangan pada ujung retak cabang tersebut. Persamaan untuk menghitung faktor intensitas tegangan (SIF) adalah :

( )

+1 bˆ

( )

r r lim _n r Π K 2 0 π → = (41) dengan

{

}

T D I III IIK K K K = K untuk material PZT4

{

}

T D III I IIK K K K =

K untuk material PZT5 dan PZT5H

Besarnya nilai Πn(r) adalah

( )

( ) ( ) ( )

₍

₎

( ) ( ) ( )

Re 1 4 1 1 8 1 Re b L b L Π ˆ r l s ˆ r o n θ = Ωθ − Ω ≈ (42) sehingga

( ) ( ) ( )

Re 1 8 Ω L b K≈ lπ θ ˆ (43)

di manaΩ(θ) adalah matriks rotasi dengan sumbu putar x2 (untuk material PZT4) atau sumbu putar x3 (untuk

material PZT5 dan PZT5H), masing-masing adalah

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = Ω 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 θ θ θ θ θ cos sin sin cos untuk PZT4 (44)

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = Ω 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 θ θ θ θ θ sin cos sin cos untuk PZT5/ PZT5H

Matriks rotasi ini digunakan untuk mengubah posisi K pada sumbu global retak utama ke posisi sumbu lokal

etak cabang. r

6. KARAKTERISTIK FAKTOR INTENSITAS TEGANGAN (SIF)

Studi karakteristik faktor intensitas tegangan untuk material keramik piezoelektrik dilakukan untuk tiga jenis material yang banyak digunakan dalam struktur pintar yaitu PZT4, PZT5 dan PZT5H. Konstanta elasto-elektrik untuk ketiga jenis material tersebut adalah :

Material PZT4[12]

Konstanta Elastis dalam N/m2_:

c11 = 139 x109, c 12 = 77.8 x 109 , c 11 = 74.3 x 109, c 33 = 113 x 109, c 44 = c 55 = 25.6 x 109.

Konstanta Piezoelektrik dalam C/m2 e 33 = 13.84, e 31 = -6.98, e 15 = 13.44 , Konstanta Dielektrik dalam F/m : κ11 = 6.00 x 10-9, κ33 = 5.47 x 10-9,

Material PZT5[12]

Konstanta Elastis dalam N/m2_:

c11 = 117 x 109, c 12 = c 13 = 53.0 x 109, c 22 = c 33 = 126 x 109, c 23 = 55.0 x 109, c 44 = 35.5 x 109, c55 = c 66 = 35.3 x 109. Konstanta Piezoelektrik dalam C/m2

e 11 = 23.3, e 12 = e 13 = -6.5, e 35 = e 26 =13.44. Konstanta Dielektrik dalam F/m :

κ11 = 13.0 x 10-9, κ22 = κ33 = 15.1 x 10-9.

Material PZT5H[6]

Konstanta Elastis dalam N/m2_:

c11 = 111 x 109, c 12 = c 13 = 75.2 x 109, c 22 = c 33 = 121 x 109, c 23 = 75.4 x 109, c 44 = 22.8 x 109, c55 = c 66 = 21.1 x 109. Konstanta Piezoelektrik dalam C/m2

e 11 = 15.8 , e 12 = e 13 = -5.4, e 35 = e 26 =15.8, Konstanta Dielektrik dalam F/m :

κ11 = 7.35 x 10-9 , κ22 = κ33 = 8.17 x 10-9 ,

Karakteristik pengaruh penambahan medan listrik positif pada faktor intensitas tegangan modus I ditunjukkan pada gambar 3 (a), (b), (c) untuk material PZT4, PZT5 dan PZT5H. (a) Material PZT4 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1.0 1.2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0 12 0 14 0 16 0 KI / K 0 D = 0 D = 0 .5 e - 8 D = 1 e - 8D /σ 10 C/N N C x108 / 22 2/ . − D∞ σ∞₌05 0 σ22 2∞/ ∞= D 8 − ∞ ∞ 22 2 = a/l = 106 θ0 (b) Material PZT5 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1.0 1.2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0 12 0 14 0 16 0 KI / K 0 D = 0 D = 0 .5 e - 8 D = 1 e - 8D2∞/σ22∞=10−8C/N N C x . / D∞ σ∞₌05₁₀8 _/ 22 2 − 0 σ22 2∞/ ∞= D a/l = 106 θ0 (c) Material PZT5H

Gambar 3. Karakteristik KI pada material PZT4, PZT5 dan

PZT5H

Dapat diobservasi bahwa faktor intensitas tegangan modus I akan mengalami penurunan dengan bertambahnya medan tegangan listrik positif dan dengan semakin besarnya sudut retak cabang. Di antara ketiga material piezoelektrik, KI material PZT4

memperlihatkan sifat yang paling sensitif terhadap penambahan medan listrik positif, terlihat dari paling besarnya penurunan faktor intensitas tegangan modus I untuk penambahan medan listrik positif yang sama. Material PZT5H adalah yang paling tidak sensitif terhadap penambahan medan listrik positif. Jika sensitifitas material PZT5H dibandingkan dengan sensitifitas material PZT5, maka menunjukkan perbedaan yang kecil. Perbedaan yang kecil ini disebabkan oleh sifat-sifat elektro-mekanik kedua material yang mirip.

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 KI / K 0 D = 0 D = 0.5e-8 D = 1e-8 N C x . / D σ 05108 / 22 2∞ ∞ = − 0 σ22 2∞/ ∞= D N C 10 / D 8 22 2 σ / − ∞ ∞ ₌ a/l = 106 θ0

Untuk modus II, pengaruh penambahan medan listrik positif pada faktor intensitas tegangan modus ditunjukkan pada gambar 4.

(a) Material PZT4

(b) Material PZT5

(c) Material PZT5H

Gambar 4 Karaktristik KII pada material PZT4, PZT5 dan

PZT5H

Dari gambar 4 terlihat bahwa faktor intensitas tegangan modus II akan meningkat dengan semakin besarnya sudut retak cabang. Setelah mencapai puncak pada sudut tertentu, faktor intensitas tegangan ini akan berkurang dengan bertambahnya sudut retak cabang. Perubahan yang juga bisa diamati adalah bahwa faktor intensitas tegangan modus II di bawah sudut tertentu (berbeda untuk setiap material) mempunyai nilai yang paling besar untuk ∞ ∞ dan nilai yang paling

kecil untuk . Setelah melewati

sudut (tertentu tersebut) akan terjadi hal yang sebaliknya yaitu nilai K

0 22 22/σ = D N C / D 10 8 / 22 22∞ σ∞ = − II untuk ∞ σ∞ = −

adalah yang paling besar, sedangkan N C / D 10 8 / 22 22 0 22 22 = ∞ ∞ _/σ D

bernilai paling kecil. Variasi KII untuk material PZT4

adalah yang terbesar dan PZT5H adalah yang terkecil untuk ketiga material. Ini menunjukkan bahwa KII

material PZT4 adalah yang paling sensitif terhadap perubahan medan listrik positif. Sedangkan material PZT5 dan PZT5H mempunyai hasil yang berdekatan, hal ini disebabkan oleh sifat material yang berdekatan pula. -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 KII / K0 D = 0

Pengaruh tegangan mekanik terhadap faktor intensitas electric displacement, KD pada ketiga jenis material

piezoelektrik ditunjukkan pada gambar 5. Grafik ini menunjukkan efek kopel dari material piezoelektrik.

-1.2E-10 -1E-10 -8E-11 -6E-11 -4E-11 -2E-11 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 θο KD / K0 PZT4 PZT5 PZT5H

Gambar 5 Pengaruh tegangan mekanik terhadap electric

displacement, KD pada material PZT4, PZT5 dan PZT5H

Karena adanya sifat “coupling” antara elastic dengan elektrik, terlihat bahwa faktor intensitas electric displacement, KD, akan meningkat (arah medan

listriknya adalah negatif) dengan semakin besarnya sudut retak cabang sampai sudut tertentu. Nilai KD

kemudian akan mengecil setelah mencapai titik tertinggi tersebut. Nilai KD tertinggi dimiliki oleh material PZT5

diikuti oleh material PZT5H dan kemudian PZT4. Tetapi sudut terjadinya KD tertinggi ini, paling besar

pada material PZT4, kemudian diikuti oleh material PZT5H dan PZT5.

Gambar 6 memperlihatkan pengaruh panjang retak cabang pada perubahan faktor intensitas tegangan modus I untuk ketiga material pada berbagai arah percabangan retak. Karakteristik SIF modus I menunjukkan bahwa untuk D /σ 108C/N

22

2∞ ∞ = − , KI akan mengecil dengan semakin kecilnya a/l sampai pada titik tertentu, kemudian akan membesar sampai a/l = 1. Jika dibandingkan dengan gambar 4 untuk a/l = 106 _terlihat bahwa perubahan terbesar faktor intensitas tegangan modus I dialami oleh material PZT4 lalu diikuti oleh material PZT5 dan PZT5H. Hal ini menunjukkan bahwa material PZT4 adalah material yang paling sensitif terhadap perubahan panjang retak cabang dibandingkan material PZT5 dan PZT5H.

Penambahan medan listrik positif akan mempengaruhi faktor intensitas tegangan modus I di manaterdapat tegangan kombinasi antara tarik dan geser ( ∞ ₌ ∞).

21 22 σ σ D = 0.5e-8 D = 1e-8 a/l = 106 N C / D σ 108 / 22 2∞ ∞= − N C x . / D σ 05108 / 22 2 ∞ − ∞ ₌ 0 σ22 2∞/ ∞= D θ0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 KII / K 0 D = 0 D = 0.5e-8 D = 1e-8 a/l = 106 0 σ22 2∞/ ∞ = D N C x . /σ 05108 / 22 2∞ ∞ = − D N C /σ 108 / 22 2 ∞ − ∞ ₌ D θ0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 KII / K 0 D = 0 D = 0.5e-8 D = 1e-8 a/l = 106 N C /σ 108 / 22 2 ∞ − ∞ ₌ D N C x . /σ 05108 / 22 2∞ ∞= − D 0 σ22 2∞/ ∞= D θ0

(a) Material PZT4

(b) Material PZT5

(c) Material PZT5H

Gambar 6 Pengaruh dimensi dan arah cabang retak terhadap

KI pada material PZT4, PZT5 dan PZT5H

Gambar 7 menunjukkan karakteristik KI yang mendapat beban medan listrik positif untuk material PZT4. Terlihat bahwa dengan adanya tegangan geser yang bekerja pada material (besarnya sama dengan tegangan tarik) maka akan dihasilkan nilai KI yang berbeda untuk sudut

positif dan sudut negatif retak cabang. Hal ini dapat dijelaskan bahwa tegangan geser tidak simetri terhadap sumbu x1, tetapi berlawan arah, sehingga sudut positif dan sudut negatif akan menghasilkan nilai KI yang

berbeda. Pada material PZT4 terlihat bahwa K terbesar

adalah untuk 2 22 =0 ∞ ∞_/σ D , terus C/N 10 5 0 −8 ∞ ∞ _{/ = . x} D σ dan 10−8C/N_{. Ini} ambah sitif akan memperkecil K I ∞ ∞ _{/σ =} D

menunjukkan bahwa pen an medan listrik po

PZT5H

7. KESIMPULAN

olusi lengkap untuk retak cabang pada media keramik

n modus I, KI, akan

dana :

ang didasari artikel ini adalah melalui

8. DAFTAR PUSTAKA

1. Sosa, H., (1981), “On the fracture mechanics of

2. ring

Fracture Mechanics, Martinus Nijhoff Publisher, Dordrecht. 22 2 2 22 I pada kondisi σ22∞ =σ∞21. 0 .4 0 0 .5 0 0 .6 0 0 .7 0 0 .8 0 0 .9 0 1.0 0 1.10

1.E +0 0 1.E +0 1 1.E +0 2

Gambar 7 Perubahan KI, di manaσ22∞ =σ21∞

pada Material PZT4, PZT5 dan

S

piezoelektrik telah dipresentasikan dalam makalah ini. Permasalahan kondisi batas diselesaikan berdasarkan Stroh Formalism yang telah dikembangkan untuk retakan pada piezoelektrik oleh Qin. Karakteristik faktor intensitas tegangan untuk berbagai variabel mekanik-elektrik ditampilkan dalam bentuk grafik-grafik, sehingga memudahkan observasi sensitivitas SIF terhadap arah cabang retakan.

ilai faktor intensitas teganga N

semakin kecil dengan semakin besarnya medan listrik positif dan semakin besarnya sudut retak cabang. Faktor intensitas tegangan modus II, KII, akan semakin besar

dengan semakin besarnya medan listrik positif dan sudut retak cabang, dan setelah mencapai sudut tertentu, KII akan berkurang dengan semakin besarnya medan

listrik positif dan sudut retak cabang. Perubahan KI dan

KII pada material PZT4 adalah yang paling sensitif

terhadap penambahan medan listrik positif dibandingkan dengan perubahan material PZT5 dan PZT5H.

umber S

Dana Penelitian y

dana “Research on Ceramic for Tribological Machine Components”, International Linkage Research Program, Grant No. 002/IRL/ URGE/2000, Directorate General for Higher Education, Indonesia, 2000/2001.

piezoelectric solids”, International Journal of Solids and Structures, Vol. 18, pp. 1502-1511. Broek, D., (1986), Elementary Enginee

1.E +0 3 1.E +0 4 1.E +0 5 1.E +0 6

a/l (log) KI / K0 D = 0 D = 1e- 8_{/ CN} D σ 108 / 22 2∞ ∞ = − θ = 0o θ = 30o θ = 45o 0 σ22 2∞/ ∞= D 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 a/l (log) KI / K 0 D = 0 D = 1e- 8_{D /σ 10}8_C/N 22 2∞ ∞= − θ = 0o θ = 30o θ = 45o 0 σ22 2 = ∞ ∞_/ D 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 a/l (log) KI / K0 D = 0 D = 1e-8D₂∞/σ₂₂∞ =10−8C/N θ = 0o θ = 30o θ = 45o 0 σ22 2∞/ ∞= D -0.3 0.0 0.3 0.5 0.8 1.0 1.3 1.5 1.8 2.0 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 KI / K 0 D = 0 D = 0.5e-8 D = 1e-8 a/l = 106 1 2 N C/ 10 5 0 σ 8 22 2/ .x − D∞ ∞₌ N C / D σ 108 / 22 2∞ ∞= − θ0 0 σ22 2∞/ ∞= D N C x / D σ 0 108 / 22 2∞ ∞= .5 − N C / D σ 108 / 22 2∞ ∞ = −

3. Qing-Hua Qin *, Yiu-Wing Mai, (2000), “Crack branch in piezoelectric bimaterial system”, International Journal of Engineering Science, Vol

4. Branch

l. 38, pp. 673-693.

c mate-rials”, Arch. Appl.

7. nergy-ech. Vol. 48, pp 520±524. of 9. c 10. , 11.

tro untuk Benda Piezoelektrik

sistem koordinat kartesian, solusi persamaan ana uk

2 dapat

z

aj adalah konstanta yang harus ditentukan

harganya. Dalam

ngan displacement yang digeneralisasi.

Persam dan (L ) diko

Matriks 4

positif dan nonsingular. Penentuan elemen matriks Q, R dan T mengikuti aturan sebagai berikut :

38, pp. 673±693.

Qin, Q.-H. and Mai, Y. W. (1999), “Crack in Piezoelectric Bimaterial System”, Int. J. Solids and Structures, Vo

5. Zhu, T. and Yang. Wei. (1998), “Crack Kinking in Piezoelectric Solid”, Int. J. Solids and Structures Vol. 36, pp. 5013-5027.

6. Q.H. Qin, Y.W. Mai, (2005), “Thermo-electro-elastic Green's function and application for bimaterial of piezoelectri

Mech., to appear.

K. Hayashi, S. Nemat-Nasser, (1981), “E release rate and crack kinking under combined loading”, J. Appl. M

8. Shen, S., Kuang, Z.B., (1998), “Interface Crack in Bi-Piezothermoelastic Media and the Interaction with a point heat source”, International Journal Solid and Structures, V.45, No. 30, pp.3899-3915. A.N. Stroh, Dislocations and cracks in anisotropi elasticity, Phil. Mag. 7 (1958) 625±646.

Hills, D. A., Kelly, P. A., Dai, D. N. and Korsunsky, A. M., (1996), Solution of Crack Problems: The Distributed Dislocation Technique Kluwer Academic Publisher, Dordrecht.

F. Erdogan, G.D. Gupta, (1972), On the numerical solution of singular integral equations, Q. Appl. Math. Vol. 32, pp. 525± 534.

12. Ting, T.C.T., (1992), “Image singularities of Green's functions for anisotropic elastic half-space and bimaterials”, Q. J. Mech. Appl.Math, Vol 45, pp. 119±139.

9. LAMPIRAN

h Formalism S

Dalam

keseimbangan untuk deformasi dua dimensi di m dan ϕ hanya tergantung pada x1 dan x dinyatakan dengan uJ = aJ f(z) (J = 1,2,3,4) (L.1) dimana = x1 + px2, u4 = ϕ (L.2) Dan p, notasi matriks u = af(z) (L.3)

Sehingga u, a adalah empat vektor dan u disebut de

aan (1), (2), (L.3) .4 mbinasikan menjadi satu persamaan

[ Q + p(R+RT_{) + p}2_{T ] a = 0 (L.5)}

x 4 Q dan T adalah simetri tetapi tidak definit

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = , , mij ijkm e C E 4 4 : 3 , 2 , 1 4 : 3 , 2 , 1 3 , 2 , 1 , = = = K J K J − , , im ikm iJKm k e = = = = K J J K (L.6) ij or kl 11 22 33 23 or 32 13 or 31 12 or 21 P 1 2 3 4 5 6 or q cpq = Cijkl ; eip = eikl Untuk bidang x1 – x2 1 1IK IK E Q = ; RIK =E1IK2 ; QIK =E2IK2 (L.7) Untuk bidang x1 – x3 1 1IK IK E Q = ; RIK =E1IK3 ; QIK =E3IK3 (L.8) Vektor fungsi tegangan yang digeneralisasi, φ didefinisikan sebagai φ = bf(z), b = (RT _{+ pR)a =} p dengan 1_{(Q + pR)a (L.9)} σi 4,2 ,

um yang didapatkan dengan superposisi

el i ih − 1 = -φi,2 , σi2 = -φi,1 , D1 = -φ D2 = φ4,1 (L.10) olusi um S

d apan solusi dar persamaan (L.3) dan (L.9), ubungkan dengan delapan nilai eigen p, adalah d u = 2 Re

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

∑

= 4 1 α aαfα zα , φ = 2 Re

( )

⎬⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭

∑

(L.11) den

Pad n besar aplika an

k d umlah) dalam notasi atriks, = 4 1 α bαfα zα gan Re berarti bagian real.

a sebagia si, diasumsik

ij (L.12)

fα(zα) = qαfα(zα) (α tida

aka persamaan (L.11) direduksi menjadi, M

m

u = 2 Re

{

A f

( )

z* q

}

, φ = 2 Re

{

B f

( )

z* q

}

(L.13)

di manaA dan B adalah matriks 4 x 4 yaitu

A = [a1, a2, a3, a4], B = [b1,b2,b3,b4] (L.14) an

d f

( )

z_* adalah matrik diagonal 4 x 4

( )

z*

Matrik Kekakuan Material Keramik Piezoel

onstanta material piezoelektrik PZT4 direferensikan ada bidang x1–x3 . Matriks Q, R dan T pada

enjabaran Stroh formalism menjadi

⎦ ⎢⎣0 0 e₁₅ −k_{11 ⎢⎣} 0 0 0_⎦ 0 15 e (L.16)

edangkan konstanta material piezoelektrik PZT5 dan ZT5H direferensikan pada bidang x1–x2 , sehingga

atriks Q, R dan T menjadi

⎡c 0 0 e ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 0 0 12 e c ektrik K p p ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ = 15 55 66 11 0 0 0 0 0 0 0 0 e c c c Q ; ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ = 0 0 0 0 0 0 0 0 55 31 13 c e c R ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 33 33 33 33 44 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k e e c c c T S P m ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = 11 11 55 66 11 11 0 0 0 0 0 0 0 0 k e c c Q ; _⎥⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ = 0 0 0 0 0 0 ₂₆ 66 12 e c R _; ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 22 26 44 22 26 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k e c c e c T (L.17)