GENERALISASI RANTAI KOMPLEKS DAN RANTAI HOMOTOPI
HARIS RABBANI
109094000028
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARI HIDAYATULLAH
JAKARTA
GENERALISASI RANTAI KOMPLEKS DAN RANTAI HOMOTOPI
Oleh :
Haris Rabbani
109094000028
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Strata I
Program Studi Matematika
Fakultas Sains Dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah
Jakarta
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR
HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI
SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, Januari 2015
Haris Rabbani NIM. 109094000028
ABSTRACT
Let R a ring, a chain complex of modules and homomorphism over R is Cp+1
@i+1
! Cp @i
! Cp 1 ! with @n@n+1 = 0: In this paper will discuss the
chain U -complex, U -homology, Chain (U; U0)-map, and chain (U; U0)-homotopy,
which are the generalization of chain complex, homology, chain complex map, and chain homotopy respectively, introduced by Davvaz and Shabani in [2].
A chain complexes (Cp; @p)is sequence ! C3 @3 ! C2 @2 ! C1 @1 ! C0 for
all 0 p n 1; where Cp is a module and @p is module homomorphism that
meet @p@p+1 = 0; the generalization of a chain complex called chain U -complex,
where @p@p+1(Cp+1) Up 1and Im @p Up 1. Chain map is a sequence f = ffng
are linking between chain complexes, while the chain (U; U0)-map is a sequence
f = ffng are linking between chain (U; U0)-complex. chain (U; U0)-homotopy is
generalization of the chain homotopi where @p+10 Dp + Dp 1@p = Fp Gp with
fDpg chain homotopy, is null homotopic. While @p+10 Dp+ Dp 1@p = Fp Gp with
fDpg is chain (U; U0)-homotopy with Dp(Up) Up+10 :
Key words: module, module homomorphism, chain map, chain complex, Chain (U ; U0)-map, chain U -complex, chain (U ; U0)-homotopy, and chain (U ; U0 )-equivalence.
ABSTRAK
Misalkan R gelanggang, suatu rantai kompleks dari modul dan homomor-…sma atas R adalah Cp+1
@i+1
! Cp @i
! Cp 1 ! dengan @n@n+1 = 0: Dalam
skripsi ini akan dibahas mengenai rantai U -kompleks, rantai (U; U0)-pemetaan,
dan rantai (U; U0)-homotopi. Dengan suatu penggeneralisasian dari rantai kom-pleks, rantai homologi, rantai pemetaan, dan rantai homotopi, berdasarkan hasil yang diperkenalkan oleh Davvaz dan Shabani di [2].
Sebuah rantai kompleks (Cp; @p) adalah barisan ! C3 @3 ! C2 @2 ! C1 @1
! C0 untuk semua 0 p n 1; dimana Cp adalah modul dan @p adalah
homomor…sma modul yang memenuhi @p@p+1 = 0;generalisasi dari rantai
kom-pleks disebut rantai U -komkom-pleks, dimana @p@p+1(Cp+1) Up 1 dan Im @p Up 1.
Rantai pemetaan adalah suatu barisan f = ffng yang mengaitkan antara rantai
kompleks, sedangkan rantai (U; U0)-pemetaan suatu barisan f = ff
ng yang
men-gaitkan antara rantai (U; U0)-kompleks. Rantai (U; U0)-homotopi adalah
gener-alisasi dari rantai homotopi dimana @0
p+1Dp+ Dp 1@p = Fp Gp dengan fDpg
rantai homotopi, adalah homotopik nol. Sedangkan @0
p+1Dp+ Dp 1@p = Fp Gp
dengan fDpg rantai (U; U0)-homotopi dengan Dp(Up) Up+10 :
Kata kunci: modul, homomor…sma modul, rantai pemetaan, rantai kompleks, rantai homotopi, rantai (U ; U0)-pemetaan, rantai U -kompleks, rantai (U; U0
PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan untuk : Orang tua saya yang selalu memberikan motivasi
Teman-teman saya yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini Bapak dan Ibu dosen matematika yang dengan sabar mengajar saya "Semoga Semua Kebaikan Mereka Dibalas dengan Surga Dari ALLAH SWT"
M OT T O
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya, yang telah memberikan kemudahan kepada penulis dalam menjalani perku-liahan dan penulisan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW, teladan dan rahmat bagi seluruh alam.
Skripsi dengan judul Genralisasi Rantai Kompleks dan Rantai homotopi ini disusun untuk memenuhi salah satu kewajiban akhir mahasiswa untuk memper-oleh gelar sarjana strata satu. Penulis mendapat banyak pelajaran, pengala-man dan pengetahuan baru selama mengkaji bahan-bahan penelitian yang tidak didapatkan dalam bangku perkuliahan. Pelajaran yang paling penting adalah kesabaran dan semangat pantang menyerah sampai tujuan tercapai.
Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do’a dari berba-gai pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Dr. Agus Salim sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Yanne Irene M.Si. sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Suma’inna M.Si. sebagai Sekretaris Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
4. Gustina El…yanti M.Si. sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimb-ing I.
5. Yudi Mahatma M.Si. sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimb-ing II.
6. Para dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapi tidak mengurang rasa hormat penulis kepada mereka.
7. Orang tua yang selalu memberikan dorongan dan semangat bagi penulis. 8. Dinda dan Tyas yang banyak membantu penulis dalam memahami materi
9. Seluruh anggota keluarga Mathousine yang senantiasa menyemangati. 10. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah
memberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini selesai disusun. Akhir kata, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan mereka dan semoga skripsi ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya.
Jakarta, Januari 2015
DAFTAR ISI
ABSTRACT i ABSTRAK ii PERSEMBAHAN iii KATA PENGANTAR iv DAFTAR ISI vi 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang . . . 1 1.2 Perumusan Masalah . . . 4 1.3 Tujuan Penelitian . . . 4 1.4 Manfaat Penelitian . . . 5 2 LANDASAN TEORI 6 2.1 Gelanggang . . . 6 2.2 Modul . . . 7 2.2.1 Submodul . . . 10 2.2.2 Homomor…sma Modul . . . 10 2.2.3 Modul Kuosien . . . 15 2.3 Rantai Kompleks . . . 15 2.4 Relasi Ekivalen . . . 18 3 METODOLOGI 20 3.1 Mempelajari Teori Dasar . . . 203.2 Mempelajari Artikel Terkait . . . 20
3.3 Membuktikan Proposisi . . . 21
4 PEMBAHASAN 22 5 KESIMPULAN 36 5.1 Kesimpulan . . . 36
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika, meskipun alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isinya diciptakan Allah swt dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi [1].
Semua yang ada di alam ini ada ukurannya, ada hitung-hitungannya, ada ru-musnya, atau ada persamaannya. Rumus-rumus yang ada sekarang bukan dicip-takaan manusia sendiri, tetapi sudah disediakan. Manusia hanya menemukan dan menyimbolkan dalam bahasa matematika [1].
Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika. Sedangkan cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar linier dan aljabar ab-strak. Aljabar abstrak memiliki banyak materi yang dibahas dan dikembangkan. Struktur aljabar merupakan salah satu materi dalam aljabar abstrak. Selain pemetaan, materi yang dibahas pada struktur aljabar pada dasarnya tentang himpunan dan operasinya. Sehingga dalam mempelajari materi ini selalu iden-tik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen-elemen yang dapat dikombinasikan dengan penjumlahan, perkalian, ataupun keduanya, dan juga oleh operasi biner yang lainnya. Hal tersebut berarti pembahasan-pembahasannya melibatkan objek-objek abstrak yang dinyatakan dalam simbol - simbol.
Dalam al-qur’an surat al-fatihah ayat 7 disebutkan:
bukan (jalan) mereka yang dimurkai dan bukan (pula jalan) mereka yang sesat." dari ayat diatas dapat disimpulkan bahwa kehidupan manusia terdiri dari berba-gai macam himpunan, yaitu (1) himpunan yang mendapatkan nikmat dari Allah SWT, (2) himpunan yang dimurkai, dan (3) himpunan yang sesat. Dimana him-punan tersebut merupakan bagian dari himhim-punan manusia, karena himhim-punan sendiri merupakan kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan jelas.
Al-qur’an surat al-faathir ayat 11:
Artinya: "Dan Allah menciptakan kamu dari tanah kemudian dari air mani, ke-mudian Dia menjadikan kamu berpasangan (laki-laki dan perempuan). Dan tidak ada seorang perempuanpun mengandung dan tidak (pula) melahirkan melainkan dengan sepengetahuan-Nya. Dan sekali-kali tidak dipanjangkan umur seorang yang berumur panjang dan tidak pula dikurangi umurnya, melainkan (sudah dite-tapkan) dalam Kitab (Lohmahfuz). Sesungguhnya yang demikian itu bagi Allah adalah mudah".
ayat tersebut menjelaskan tentang struktur aljabar dengan satu operasi biner, bahwa manusia adalah berpasang-pasangan yaitu laki-laki dengan perempuan dengan cara menikah. Biasanya dalam matematika disimbolkan (G; ), dengan G adalah himpunan tak kosongnya yaitu himpunan manusia flaki-laki, perempuang dan adalah operasi binernya yaitu pernikahan. Struktur aljabar dengan satu operasi biner yang memenuhi sifat-sifat tertentu disebut dengan grup.
Sedangkan struktur aljabar dengan dua operasi biner yang memenuhi sifat tertentu disebut gelanggang. Telah dijelaskan dalam Al-qur’an surat an-nissa’ ayat 23:
Artinya: "Diharamkan kepada kamu berkahwin dengan (perempuan-perempuan yang berikut): ibu-ibu kamu, dan anak-anak kamu, dan saudara-saudara kamu, dan saudara-saudara bapa kamu, dan saudara-saudara ibu kamu, dan anak-anak saudara kamu yang lelaki, dan anak-anak saudara kamu yang perempuan, dan ibu-ibu kamu yang telah menyusukan kamu, dan saudara-saudara susuan kamu, dan ibu-ibu isteri kamu, dan anak-anak tiri yang dalam pemeliharaan kamu dari isteri-isteri yang kamu telah campuri tetapi kalau kamu belum campuri mereka (isteri kamu) itu (dan kamu telahpun menceraikan mereka), maka tiadalah salah kamu (berkahwin dengannya). Dan (haram juga kamu berkahwin dengan) bekas isteri anak-anak kamu sendiri yang berasal dari benih kamu. Dan diharamkan kamu menghimpunkan dua beradik sekali (untuk menjadi isteri-isteri kamu), ke-cuali yang telah berlaku pada masa yang lalu. Sesungguhnya Allah adalah Maha Pengampun, lagi Maha Mengasihani ".
bahwa manusia adalah berpasang-pasangan antara laki-laki dan perempuan den-gan menikah. Akan tetapi cara menikah denden-gan pasanden-gannya harus secara hukum agama. Dalam matematika biasanya disimbolkan (R; ; ) dengan R adalah him-punan tak kosongnya yaitu himhim-punan manusia flaki - laki , perempuang, adalah operasi pertamanya yaitu pernikahan, dan adalah operasi keduanya yaitu hukum agamanya.
him-punan yang tidak kosong dengan dua operasi biner dan memenuhi syarat-syarat tertentu disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri dapat di kem-bangkan menjadi beberapa sub pembahasan diantaranya submodul, homomor-…sma modul , isomor…sme modul, dan lain-lain. Bahasan lebih lanjut dari modul diantaranya yaitu rantai kompleks dan rantai homotopi.
Misalkan R gelanggang, suatu rantai kompleks dari modul dan homomor-…sma atas R adalah
:::Cp+1 @i+1
! Cp @i
! Cp 1! :::
dengan @n@n+1 = 0: Hal ini menimbulkan pertanyaan apa yang terjadi bila
kita subtitusikan submodul Up 1 dari Cp 1 dari pada submodul trivial f0g
pada de…nisi di atas? Menurut [3], Davvaz dan Parnian mengenalkan konsep rantai U -kompleks dan jawaban dari pertanyaan di atas. Menurut [2] Davvaz dan Shobani-Solt mengenalkan generalisasi beberapa gagasan dari aljabar ho-mologi. Mereka mende…nisikan konsep dari rantai U -kompleks, U -homologi, rantai (U; U0)-pemetaan, rantai (U; U0)-homotopi, dan U -fungtor. Mereka
mem-berikan generalisasi dari lema lambek, lema ular, hubungan homomor…sma, tri-angle eksak, dan menetapkan dasar baru dari U -homologi aljabar. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai rantai U -kompleks dan rantai (U; U0)-homotopi berdasarkan
hasil yang didapat pada [2] dengan bahasan dan pembuktian yang lebi rinci.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah
1. Bagaimanakah stuktur Rantai U -kompleks ?
2. Bagaimanakah struktur Rantai (U; U0)-homotopi ? 1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji bukti proposisi dan kondisi mende-tail mengenai Rantai U -kompleks dan Rantai (U; U0)-homotopi.
1.4 Manfaat Penelitian
Dari penulisan skripsi ini, penulis berharap pembahasan skripsi ini bisa berman-faat bagi berbagai kalangan, diantaranaya:
1. Bagi Penulis
Untuk mempelajari dan lebih memperdalam pemahaman serta mengem-bangkan wawasan disiplin ilmu khususnya mengenai Generalisasi Rantai Kompleks dan Rantai Homotopi.
2. Bagi Pembaca
Sebagai tambahan wawasan dan informasi tentang Generalisasi Rantai Kompleks dan Rantai Homotopi.
3. Bagi Instansi
(a) Sebagai bahan informasi tentang pembelajaran mata kuliah Aljabar Ab-strak.
BAB 2
LANDASAN TEORI
Bab ini berisi teori-teori pendukung yang digunakan sebagai penunjang dalam pembahasan bab berikutnya. Pada bab ini akan dijelaskan tentang gelang-gang, modul, submodul, hommomor…sma modul, modul kuosien, rantai kom-pleks, rantai pemetaan, rantai homotopi, dan relasi ekivalen.
2.1 Gelanggang
Suatu himpunan tak kosong R dikatakan gelanggang jika pada R dide…n-isikan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan perkalian ( ) ditulis (R; +; ) ; dan memenuhi kondisi berikut:
1. (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a; b; c 2 R.
2. Terdapat 0 2 R sedemikian sehingga a + 0 = 0 + a = a untuk semua a 2 R. 3. Untuk suatu a 2 R terdapat b 2 R sedemikian sehingga a + b = b + a = 0. 4. a + b = b + a untuk semua a; b 2 R.
5. (ab)c = a(bc) untuk semua a; b; c 2 R.
6. a(b + c) = ab + ac dan (a + b)c = ac + bc untuk semua a; b; c 2 R.[6] Contoh 2.1 Himpunan bilangan bulat Z merupakan gelanggang, pehatikan : karena sifat tertutup pada operasi penjumlahan dan perkalian maka berlaku
1. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (a + b) + c = d + c = m = a + n = a + (b + c) 2. 9 0 2 Z sehingga 0 + a = a + 0 = a
3. 8 a 2 Z; 9 a 1 dimana a 1 = a sehingga a + a 1 = a 1+ a = 0 4. 8 a; b 2 Z maka berlaku a + b = b + a
5. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (ab)c = dc = m = an = a(bc) 6. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku a(b + c) = ab + ac
7. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (a + b)c = ac + bc
2.2 Modul
Suatu himpunan tak kosong M dikatakan modul kiri atas gelanggang R , ditulis RM, jika pada M dide…nisikan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan
perkalian dengan skalar, sehingga memenuhi kondisi berikut: 1. (M; +) suatu grup komutatif.
2. Untuk setiap r; s 2 R dan v; w 2 M berlaku: (a) r (v + w) = rv + rw
(b) (r + s) v = rv + sv: (c) (rs) v = r (sv) : (d) 1v = v:
Untuk modul kanan yang berbeda hanya perkalian dengan skalar dilakukan dari kanan dan ditulis MR. Modul yang merupakan modul kiri dan modul kanan
cukup disebut dengan modul [8].
Contoh 2.2 Misalkan Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g adalah grup komutatif terhadap
op-erasi +. Maka Z6 adalah suatu modul atas himpunan semua bilangan Z:
Bukti.
1. Jelas (Z6; +) suatu grup komutatif.
2. Diberikan pemetaan R Z6 ! Z6 yang dide…nisikan oleh
(n; m)7 ! nm = nm mod 6
(a) Akan dibuktikan rv 2 Z6; Perhatikan rv = a + 6b = a; untuk suatu a 2 Z6, b 2 Z maka terbukti rv 2 Z6: (b) Akan dibuktikan r (v + w) = rv + rw Perhatikan r (v + w) = r(v + w) mod 6 = (rv + rw) mod 6 = rv + rw Terbukti, r (v + w) = rv + rw (c) (r + s) v = rv + sv: Perhatikan (r + s) v = ((r + s)v) mod 6 = (rv + sv) mod 6 = rv + sv Terbukti, (r + s) v = rv + sv (d) (rs) v = r (sv) : Perhatikan (rs)v = ((rs)v) mod 6 = (r(sv)) mod 6 = r(sv) Terbukti, (rs) v = r (sv) (e) 1v = v:
Jelas, 1v = v berdasarkan sifat identitas perkalian di Z6:
Berdasarkan 1 dan 2, maka terbukti himpunan Z6 membentuk modul atas
bilan-gan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
Bukti. Misalkan M modul atas R. Diketahui M + a = fm + a : m 2 Mg dan M + b =fm + b : m 2 Mg.
1. ) Misalkan M +a = M +b yaitu untuk sebarang x 2 M +a maka x 2 M +b; akan dibuktikan a b2 M
Perhatikan
Karena (M; +) grup maka terdapat 0 2 M sehingga a = 0 + a 2 M + a = M + b.
Sehingga a 2 M + b; maka a = b + m untuk suatu m 2 M. Akibatnya a b = m2 M:
Jadi a b 2 M:
2. ( Misalkan a b2 M akan dibuktikan M + a = M + b
a b2 M maka a b = m sehingga a = m + b dan b = a m untuk suatu m2 M:
Perhatikan
(a) Akan dibuktikan M + a M + b; yaitu untuk sebarang x 2 M + a maka x 2 M + b:
a b 2 M maka terdapat m 2 M sedemikian sehingga m = a b, maka a = m + b sehingga a 2 M + b: Ambil sebarang x 2 M + a maka x = m1+ a untuk suatu m1 2 M
Perhatikan
x = m1+a = m1+(m+b) = (m1+m)+b = m2+b untuk suatu m2 2 M:
Jadi x 2 M + b; terbukti, M + a M + b:
(b) Akan dibuktikan M + b M + a; yaitu untuk sebarang x 2 M + b maka x 2 M + a:
a b 2 M maka terdapat m 2 M sedemikian sehingga m = a b, maka b = a m: Ambil sebarang x 2 M + b maka x = m3+ b untuk
suatu m3 2 M
Perhatikan
x = m3+b = m3+(a m) = (m3 m)+a = m4+a untuk suatu m4 2 M:
Jadi x 2 M + a; terbukti M + b M + a:
Jadi berdasarkan 2a dan 2b, M + a = M + b: Maka terbukti Jika M modul atas R, maka M + a = M + b , a b2 M.
2.2.1 Submodul
De…nisi 2.4 (Submodul) Misalkan M adalah R-modul, maka submodul N dari M, dinotasikan dengan N M, adalah subgrup N dari M yang tertutup terhadap perkalian skalar : rn 2 N dimana n 2 N dan r 2 R [7].
Contoh 2.5 (Submodul) Misal M adalah modul dan r 2 R, dimana R adalah gelanggang komutatif, maka
rM =frm : m 2 Mg
adalah submodul dari M .
2.2.2 Homomor…sma Modul
De…nisi 2.6 (Homomor…sma Modul) Misalkan M dan N merupakan R-modul. Suatu pemetaan f : M ! N dikatakan homomor…sma R-modul kanan jika
f (xr + ys) = f (x) r + f (y) s untuk setiap x; y 2 M dan r; s 2 R
Dan f dikatakan homomor…sma R-modul kiri jika perkalian skalar dilakukan di sebelah kiri. Jika f merupakan homomor…sma modul kanan sekaligus
homomor-…sma modul kiri maka f disebut homomorhomomor-…sma R-modul: Pernyataan ini juga berlaku :
1. Endomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul dari M ke M:
2. Monomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul yang injektif.
3. Epimor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul yang surjektif.
4. Isomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul yang bijektif [8].
Teorema 2.7 Jika pemetaan f : M ! N adalah homomor…sma modul atas R, maka
1. f (0M) = 0N:
2. f ( x) = [f (x)] 8 x 2 M:
3. ker(f ) = fx 2 M : f(x) = 0Ng merupakan submodul dari M:
4. Im(f ) = ff(x) : x 2 Mg merupakan submodul dari N:
5. f injektif jika dan hanya jika ker(f ) = f0Mg.
Bukti. Misalkan M dan N adalah modul atas R dan pemetaan f : M ! N adalah homomor…sma modul atas R:
1. Akan dibuktikan f (0M) = 0N:
Perhatikan
f (0M) = f (0M + 0M)
= f (0M) + f (0M)2 N
Jadi f (0M) 2 N . Karena N modul, maka terdapat [f (0M)] 2 N
sedemikian sehingga 0N = f (0M) + ( [f (0M)]) = [f (0M)] + f (0M)
f (0M) = f (0M) + f (0M) [f (0M)] + f (0M) = [f (0M)] + f (0M) + f (0M)) 0N = ( [f (0M)] + f (0M)) + f (0M) 0N = 0N + f (0M) 0N = f (0M) Jadi f (0M) = 0N:
2. Ambil sebarang x 2 M, akan dibuktikan f( x) = [f(x)]. Karena M modul maka x2 M
Perhatikan 0N = f (0M) = f (x x) = f (x) f (x) [f (x)] + 0N = [f (x)] + (f (x) f (x)) [f (x)] = ( [f (x)] + f (x)) f (x) [f (x)] = 0N f (x) [f (x)] = f (x) Jadi f ( x) = [f (x)]8 x 2 M:
3. Akan dibuktikan ker(f ) = fx 2 M : f(x) = 0Ng merupakan submodul dari
M:
(a) Berdasarkan 1 jelas ker(f ) 6= ; (b) Jelas ker(f ) M
(c) Ambil sebarang x; y 2 ker(f) dan r 2 R
x 2 ker(f) maka x 2 M dan f(x) = 0N; y 2 ker(f) maka y 2 M dan
f (y) = 0N
i. Akan dibuktikan x+y 2 ker(f); yaitu x+y 2 M dan f(x+y) = 0N
Karena x; y 2 M dan M modul maka x + y 2 M, dan
Maka x + y 2 M dan f(x + y) = 0N; maka x + y 2 ker(f):
ii. Akan dibuktikan xr 2 ker(f) Perhatikan
f (rx) = rf (x) = r0N = 0N
Karena xr 2 M, dan f(rx) = 0N maka xr 2 ker(f):
Jadi ker(f ) = fx 2 M : f(x) = 0Ng merupakan submodul dari M:
4. Akan dibuktikan Im(f ) = ff(x) : x 2 Mg merupakan submodul dari N:
(a) Berdasarkan 1 jelas Im(f ) 6= ;: (b) Jelas Im(f ) N
(c) Ambil sebarang r 2 R; dan x; y 2 Im(f); x 2 Im(f) maka x = f(a) untuk suatu a 2 M dan y 2 Im(f) maka y = f(b) untuk suatu b 2 M: i. Akan dibuktikan x + y 2 Im(f), yaitu x + y = f(c) untuk suatu
c2 M Perhatikan
x + y = f (a) + f (b) = f (a + b) = f (c) untuk suatu c 2 M
) x + y = f(c) untuk suatu c 2 M Jadi x + y 2 Im(f)
ii. Akan dibuktikan rx 2 Im(f) Perhatikan
xr = rf (a) = f (ra) = f (b) untuk suatu b 2 M
) xr = f(b) untuk suatu b 2 M Jadi xr 2 Im(f)
5. Akan dibuktikan f injektif jika dan hanya jika ker(f ) = f0Mg.
(=))Misalkan f injektif, akan dibuktikan ker(f) = f0Mg, yaitu ker(f)
f0Mg dan f0Mg ker(f )
(a) i. Akan dibuktikan ker(f ) f0Mg
Ambil sebarang x 2 ker(f) akan dibuktikan x 2 f0Mg, yaitu
x = 0M
x2 ker(f) maka x 2 M dan f(x) = 0N
Karena f (x) = 0N dan f injektif, maka x = 0M.
Jadi terbukti ker(f ) f0Mg
ii. Akan dibuktikan f0Mg ker(f ), yaitu 0M 2 ker(f)
Berdasarkan (1); f (0M) = 0N, maka 0M 2 ker(f)
Jadi f0Mg ker(f )
Maka terbukti ker(f ) = f0Mg
((=)Misalkan ker(f) = f0Mg, akan dibuktikan f injektif
(a) Ambil sebarang x; y 2 M dengan f(x) = f(y) akan dibuktikan x = y Perhatikan f (x) = f (y) f (x) [f (x)] = f (y) [f (x)] f (x) + f ( x) = f (y) + f ( x) f (x x) = f (y x) f (0M) = f (y x) 0N = f (y x)
Jadi y x2 ker(f). Karena ker(f) = f0Mg, maka
y x = 0M (y x) + x = 0M + x y + (x 1+ x) = x y + eM = x y = x ) x = y
Maka terbukti f injektif
Jadi, terbukti f injektif jika dan hanya jika ker(f ) = f0Mg.
2.2.3 Modul Kuosien
De…nisi 2.8 Misalkan S adalah submodul dari R-modul M . Modul kosien dari M oleh S adalah M=S dimana
M=S = v + S =fv + s : s 2 Sg
yang memenuhi operasi
(u + S) + (v + S) = (u + v) + S dan r(u + S) = ru + S
untuk setiap u; v 2 M dan r 2 R [8].
2.3 Rantai Kompleks
Rantai kompleks merupakan rangkaian modul dan homomor…sma modul, dimana komposisi homomor…sma yang berdekatan adalah nol. Berikut adalah de…nisi formalnya berdasarkan [4].
De…nisi 2.9 (Rantai Kompleks) Rantai kompleks (C; @) dari modul atas R adalah barisanfCngn2Z dari modul atas R, dilengkapi dengan homomor…sma modul
atas R; @ = @n: Cn! Cn 1 ! Cn+1 ! @n+1 Cn ! @n Cn 1 ! @n 1 Cn 2 !
sehingga setiap komposisi @n@n+1 : Cn+1 ! Cn 1adalah nol. Pemetaan @ndisebut
di¤erensial dari (C; @). ker(@n) adalah submodul dari n cycles dari (C; @),
submodul dari n boundaries dari (C; @); dinotasikan dengan Bn = Bn(C ) :
Karena @n@n+1 = 0; maka
0 Bn Zn Cn untuk semua n:
Homologi modul ke n dari C adalah subkosien dari Cn; yaitu Hn(C) = Zn=Bn
[4].
Contoh 2.10 Himpunan Cn = Z8 untuk n 0 dan Cn = 0 untuk n < 0; untuk
n > 0 misalkan @n memetakan x(mod8) ke 4x(mod8). C adalah rantai kompleks
dari Z8-modul [4]. Bukti. ! Z8 ! @n+1 Z 8 ! @n Z 8 ! @n 1 Z 8 ! @p : Z8 ! Z8 x 7 ! 4x.
Akan dibuktikan @n: x(mod 8) ! 4x(mod 8) adalah homomor…sma modul.
1. Akan dibuktikan @n(a + b) = @n(a) + @n(b)
Ambil sebarang a; b 2 x(mod 8); perhatikan
@n(a + b) = 4(a + b) = 4a + 4b = @n(a) + @n(b)
Terbukti @n(a + b) = @n(a) + @n(b):
2. Akan dibuktikan @n(ka) = k@n(a);untuk setiap k 2 Z
Ambil sebarang k 2 Z; perhatikan
@n(ka) = 4ka = k4a = k@n(a)
Maka terbukti @n homomor…sma modul.
Akan dibuktikan (Cn; Z8) adalah rantai kompleks yaitu @n@n+1(x) = 0, untuk
setiap x 2 Z8:
Ambil sebarang x 2 Z8, perhatikan
@n@n+1(x) = @n(4x) = 16x = 02 Z8
Jadi C merupakan rantai kompleks atas Z8-modul.
Suatu barisan fungsi yang mengaitkan antara rantai kompleks disebut rantai pemetaan, de…nisi lengkapnya sebagai berikut.
De…nisi 2.11 (Rantai Pemetaan) Misalkan C = (Cp; @p) dan C0 = (Cp0; @p0)
adalah rantai kompleks. Sebuah rantai pemetaan
f : C ! C0
adalah barisan f = (fp :C ! C0) dengan homomor…sma @0f = f @0[10].
Terdapat barisan D = fDpg dimana Dp : Cp ! Cp0 adalah homomor…sma
modul atas R merupakan rantai homotopi, sebagaimana dijelaskan dalam de…nisi berikut.
De…nisi 2.12 (Rantai Homotopi) Misalkan C = (Cp; @p) dan C0 = (Cp0; @p0)
adalah rantai kompleks. Dua rantai pemetaan F; G : C ! C0 adalah rantai
homotopik jika F G adalah homotopic nol, yaitu,
@p+10 Dp+ Dp 1@p = Fp Gp
Pemetaan fDpg disebut rantai homotopi dari F ke G. Selanjutnya, dikatakan
bahwa F : C ! C0 adalah rantai homotopi ekivalensi jika terdapat pemetaan G :
C0 ! C sehingga GF dan F G adalah rantai homotopic ke pemetaan identitas masing-masing C dan C0 [4].
2.4 Relasi Ekivalen
Teorema 2.13 (Relasi Ekivalen) Misalkan S himpunan tak kosong. Relasi # pada S dikatakan bersifat:
1. Re‡eksif, apabila a#a untuk setiap a 2 S.
2. Simetris, apabila a#b mengakibatkan b#a untuk setiap a; b 2 S.
3. Transitif, apabila a#b dan b#c mengakibatkan a#c untuk setiap a; b; c 2 S.
Suatu relasi # pada S dikatakan relasi ekivalen apabila memenuhi sifat re‡eksif, simetris, dan transitif [5].
Contoh 2.14 Misalkan Q = fpq : p; q 2 Z; q 6= 0g. Dide…nisikan relasi # pada Q dengan aturan mn#rs jika dan hanya jika ms = nr. Relasi # pada Q merupakan relasi ekivalen.
Bukti.
1. Akan dibuktikan "#" re‡ektif yaitu ambil sebarang mn 2 Q akan dibuktikan
m n# m n Jelas bahwa mn = nm. ) m n# m
n , sehingga terbukti "#" bersifat re‡eksif.
2. Akan dibuktikan "#" simetris yaitu ambil sebarang mn;rs 2 Q dengan mn#rs; akan dibuktikan rs#mn Karena mn#rs maka ms = nr. Jelas bahwa ms = nr , rn = sm. ) r s# m
n sehingga terbukti "#" bersifat simetris.
3. Akan dibuktikan "#" transitif yaitu ambil sebarang mn;rs;ut 2 Q dengan
m n# r s dan r s# t u; akan dibuktikan m n# t u
Karena mn#rs dan rs#ut maka ms = nr dan ru = st sehingga, ms = nr (ms)(ru) = (nr)(st) (mu)(sr) = (nt)(sr) mu = nt ) m n# t
u sehingga terbukti "#" bersifat transitif.
BAB 3
METODOLOGI
Secara umum metodologi penelitian yang akan digunakan adalah studi liter-atur dengan membaca buku dan paper kemudian melakukan ekplorasi dan adap-tasi dari hasil-hasil yang sudah. Dalam penelitian ini, hasil-hasil dan langkah-langkah yang telah dilakukan untuk memperoleh hasil di [2] akan diteliti. Secara detail berikut adalah metodologi yang dilakukan:
3.1 Mempelajari Teori Dasar
Beberapa materi dasar yang diharus dikuasai untuk skripsi ini adalah: modul atas gelanggang, homomor…sma modul, rantai kompleks, rantai pemetaan rantai homotopi, dan relasi ekivalen. Materi hingga gelanggang sudah dipelajari pada kelas aljabar abstrak, untuk materi selanjutnya dipelajari mandiri dan diskusi dengan dosen pembimbing.
Penulis mempelajari teori-teori tersebut dengan cara membaca, membuk-tikan teorema, proposisi dan lemma serta mencari contoh yang sesuai dengan de…nisi. Setelah memahami teori dasar, penulis akan mengkaji mengenai de…nisi rantai U -kompleks dan rantai (U; U0)-homotopi beserta membuktikan proposisi
yang terkait berdasarkan [2].
3.2 Mempelajari Artikel Terkait
Tahapan berikutnya adalah mencari dan mempelajari buku dan jurnal terkait. Jurnal utama yang akan dikaji adalah jurnal Davvaz dan Shabani-Solt [2] kemu-dian mempelajari jurnal lain yang terkait dengan hasil penelitian mereka un-tuk meningkatkan pemahaman tentang rantai U -kompleks dan rantai (U; U0
3.3 Membuktikan Proposisi
Setelah mempelajari teori dasar, artikel terkait, dan memahami bukti lemma pada paper utama, penulis menganalisa bukti dengan lebih spesi…k.
BAB 4
PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai generalisasi rantai kompleks dan rantai homotopi berdasarkan hasil di [2]. Menjelaskan setiap pernyataan dan memper-inci pembuktian-pembuktiannya.
De…nisi 4.1 (Rantai U -kompleks, [2 De…nisi 2.1)]Diberikan dua barisanfCpg,
fUpg, dengan p 2 Z, modul atas R, dimana setiap Cp memuat Up, dan sebuah
koleksi modul homomor…sma R f@p : Cp ! Cp 1g. Rantai fCp; Up; @pg disebut
rantai U -kompleks jika memenuhi kondisi berikut:
1. @p@p+1(Cp+1) Up 1,
2. Im @p Up 1.
Misalkan C = fCpg, @ = f@pg, berikut adalah rantai U-kompleks :
(C; U; @) : ! Cp+1 @p+1
! Cp @p
! Cp 1 ! :
Akibat 4.2 Setiap rantai kompleks adalah rantai 0-kompleks. Dimana 0 adalah barisan nol submodul.
Bukti. Misalkan (C; @) : ! Cp+1 @p+1 ! Cp @p ! Cp 1 ! :
rantai kompleks, maka @p@p+1= 0
Akan dibuktikan (C; @) adalah 0-kompleks yaitu : @p@p+1(Cp+1) 0p 1, dan
Im @p 0p 1.
Ambil sebarang x 2 Cp+1, karena (C; @) rantai kompleks maka
@p@p+1(x) = 0Cp 1 2 0Cp 1
terbukti, @p@p+1(Cp+1) 0p 1:
2. Akan dibuktikan Im @p Up 1 yaitu 0Cp 1 2 Im @p:
Karena @p adalah homomor…sma modul maka berdasarkan Teorema 2.7
Im @p submodul dari Cp 1; maka 0Cp 1 2 Im @p: Terbukti 0Cp 1 2 Im @p:
Jadi terbukti setiap rantai kompleks adalah rantai 0-kompleks.
Akibat 4.3 Setiap rantai fCp; Up; @pg dengan @p@p+1(Cp+1) = Up 1adalah rantai
U-kompleks, yaitu @p@p+1(Cp+1) Up 1, dan Im @p Up 1
Bukti.
1. Akan dibuktikan @p@p+1(Cp+1) Up 1
Karena @p@p+1(Cp+1) = Up 1, maka jelas @p@p+1(Cp+1) Up 1
2. Akan dibuktikan Im @p Up 1
Ambil sebarang x 2 Up 1akan dibuktikan x 2 Im @p:Karena @p@p+1(Cp+1) =
Up 1 maka terdapat a 2 Cp+1 sehingga
@p@p+1(a) = x
@p(b) = x; untuk suatu b 2 Im @p+1 Cp
maka x 2 Im @p; terbukti Im @p Up 1:
Jadi terbukti setiap rantai fCp; Up; @pg dengan @p@p+1(Cp+1) = Up 1adalah rantai
U-kompleks.
Akibat 4.4 Jika (C; U; @) adalah rantai U -kompleks, maka Im @p+1 @p1(Up 1).
Bukti. Misalkan (C; U; @) rantai U -kompleks, yaitu @p@p+1(Cp+1) Up 1, dan
@p+1(Cp+1) yaitu x = @p+1(ap+1) untuk suatu ap+1 2 Cp+1: Akan dibuktikan x2 @ 1 p (Up 1): Karena @p@p+1(Cp+1) Up 1 maka @p@p+1(ap+1) 2 Up 1 @p(x) 2 Up 1 x 2 @p1(Up 1) Jadi terbukti Im @p+1 @ 1(Up 1):
De…nisi 4.5 Misalkan Zp(C; U; @) = @p1(Up 1) dan Bp(C; U; @) = Im @p+1, modul
U-homologi ke-p dari C adalah Hp(C; U; @), dimana :
Hp(C; U; @) =
Zp(C; U; @)
Bp(C; U; @), p 2 Z
De…nisi 4.6 (Rantai (U; U0)-pemetaan, [2 De…nisi 2.2)]Misalkan (C; U; @) rantai
U-kompleks dan (C0; U0; @0) rantai U0-kompleks. Barisan F = fF
p : Cp !
C0
pg disebut rantai (U; U0)-pemetaan jika diagram berikut komutatif. Dengan
perkataan lain, Fp(Up) Up0 dan Fp 1@p = @p0Fp:
(C; U; @) Cp+1 @p+1 ! Cp @p ! Cp 1 ! #Fp+1 #Fp #Fp 1 (C0; U0; @0) Cp+10 @ 0 p+1 ! Cp0 @p0 ! Cp 10 !
Proposisi 4.7 ([2 , Proposisi 2.3)]Misalkan (C; U; @) rantai U -kompleks sedemikian sehingga @p@p+1(Cp+1) = Up 1dan (C0; U0; @0) rantai U0-kompleks. Jika F = fFpg
adalah rantai pemetaan, maka F juga merupakan rantai (U; U0)-pemetaan.
Bukti. Misalkan (C; U; @) dan (C0; U0; @0)rantai U -kompleks rantai U0-kompleks,
misalkan pula @p@p+1(Cp+1) = Up 1, dan F = fFpg adalah rantai pemetaan.
Akan dibuktikan F juga merupakan rantai (U; U0)-pemetaan yaitu F
p(Up) Up0
dan Fp 1@p = @p0Fp:
Ambil sebarang u 2 Up, maka x = Fp(u) 2 Fp(Up). Karena u 2 Up dan
@p+1@p+2(Cp+2) Up maka terdapat c 2 Cp+2 sehingga u = @p+1@p+2(c).
Akan dibuktikan bahwa x 2 Up0, yaitu x = @p+10 @p+20 (Fp+2(c)); perhatikan
x = Fp(u) = Fp(@p+1@p+2(c)) = (Fp@p+1)(@p+2(c)) = (@p+10 Fp+1)(@p+2(c))
= @p+10 (Fp+1@p+2(c)) = @p+10 (@p+20 Fp+2(c)) = @p+10 @p+20 (Fp+2(c)):
Karena Fp+2(c) 2 Cp+20 dan (C0; U0; @0) adalah rantai U0-kompleks maka
x2 U0
p:Jadi terbukti Fp(Up) Up0:
2. Akan dibuktikan Fp 1@p = @p0Fp:
Jelas Fp 1@p = @p0Fp karena F = fFpg adalah rantai pemetaan.
Maka terbukti F merupakan rantai (U; U0)-pemetaan.
Lema 4.8 ([2 , Lemma 2.4)]Misalkan fFpg rantai (U; U0)-pemetaan, Zp dan Bp
invarian, yaitu:
1. Fp(Zp(C; U; @)) Zp(C0; U0; @0),
2. Fp(Bp(C; U; @)) Bp(C0; U0; @0).
Bukti. Misalkan fFpg rantai (U; U0)-pemetaan yaitu Fp(Up) Up0 dan Fp 1@p =
@0 pFp:
1. Akan dibuktikan Fp(Zp(C; U; @)) Zp(C0; U0; @0):
Ambil sebarang x 2 Zp(C; U; @) akan dibuktikan Fp(x) 2 Zp(C0; U0; @0).
Perhatikan x 2 Zp(C; U; @) = @p1(Up 1) @p(x) 2 Up 1 Fp 1(@p(x)) 2 Up 10 @p0Fp(x) 2 Up 10 Fp(x) 2 @p0(Up 10 1) = Zp(C0; U0; @0)
) Fp(x)2 Zp(C0; U0; @0):
Maka terbukti Fp(Zp(C; U; @)) Zp(C0; U0; @0):
2. Akan dibuktikan Fp(Bp(C; U; @)) Bp(C0; U0; @0).
Ambil sebarang x 2 Bp(C; U; @) akan dibuktikan Fp(x) 2 Bp(C0; U0; @0):
Karena x 2 Bp(C; U; @) = Im @p+1 maka terdapat y 2 Cp+1 sedemikian
sehingga x = @p+1(y). Perhatikan
Fp(x) = Fp(@p+1(y)) = (Fp@p+1)(y) = (@p+10 Fp+1)(y)
= @p+10 (Fp+1(y))2 Im @p+10
) Fp(x)2 Bp(C0; U0; @0):
Maka terbukti Fp(Bp(C; U; @)) Bp(C0; U0; @0):
Teorema 4.9 ([2 , Teorema 2.5)]Misalkan (C; U; @) rantai U -kompleks dan (C0; U0; @0) adalah rantai U0-kompleks. Jika F = fF
pg adalah rantai (U; U0)-pemetaan maka
F menginduksi homomor…sma modul H(F ) = fHp(F )g = fFpg sebagai berikut :
Fp : Hp(C; U; @) ! Hp(C0; U0; @0)
x + Bp(C; U; @) ! Fp(x) + Bp(C0; U0; @0).
Bukti. Misalkan (C; U; @) rantai U -kompleks yaitu, @p@p+1(Cp+1) Up 1,dan
Im @p Up 1. Dan (C0; U0; @0) adalah rantai U0-kompleks yaitu, @p0@p+10 (Cp+10 )
U0
p 1,dan Im @p0 Up 10 . Misalkan pula F = fFpg adalah rantai (U; U0)-pemetaan
yaitu, Fp(Up) Up0 dan Fp 1@p = @p0Fp. Untuk membuktikan Teorema diatas
akan terlebih dahulu diperiksa apakan Fp merupakan suatu pemetaan, setelah itu akan dibuktikan apakah Fp menginduksi homomor…sma modul.
1. Akan dibuktikan Fp pemetaan
Ambil sebarang a 2 Hp(C; U; @) yaitu a = x + Bp(C; U; @) untuk
suatu x 2 Zp(C; U; @); maka untuk membuktikan Fp(a) = Fp(x) +
Bp(C0; U0; @0)2 Hp(C0; U0; @0)cukup dibuktikan bahwa Fp(x)2 Zp(C0; U0; @0).
Karena x 2 Zp(C; U; @)dan Fp(Up) Up0 maka jelas Fp(x)2 Zp(C0; U0; @0)
sehingga terbukti Fp(a) = Fp(x) + Bp(C0; U0; @0)2 Hp(C0; U0; @0):
(b) Akan dibuktikan untuk setiap a; b 2 Hp(C; U; @)dengan a = b, Fp(a) =
Fp(b):
Ambil sebarang a; b 2 Hp(C; U; @) yaitu a = x + Bp(C; U; @) dan b =
y + Bp(C; U; @) untuk suatu x; y 2 Zp(C; U; @). Perhatikan
a = b
x + Bp(C; U; @) = y + Bp(C; U; @)
maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat x y2 Bp(C; U; @) = Im @p+1
maka x y = @p+1(c) untuk suatu c 2 Cp+1 sehingga
Fp(x y) = Fp@p+1(c) = @p+10 Fp+1(c)2 Bp(C0; U0; @0)
maka
Fp(x y) = Fp(x) Fp(y)2 Bp(C0; U0; @0)
maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat Fp(x)+Bp(C0; U0; @0) = Fp(y)+
Bp(C0; U0; @0)sehingga Fp(b) = Fp(b):
Berdasarkan 1a dan 1b maka terbukti Fp adalah pemetaan.
2. Akan dibuktikan Fp homomor…sma modul.
Ambil sebarang a; b 2 Hp(C; U; @), yaitu a = x + Bp(C; U; @) dan b =
(a) Akan dibuktikan Fp(a + b) = Fp(a) + Fp(b). Perhatikan Fp(a + b) = Fp((x + Bp(C; U; @)) + (y + Bp(C; U; @))) = Fp((x + y) + Bp(C; U; @)) = Fp(x + y) + Bp(C0; U0; @0) = (Fp(x) + Fp(y)) + Bp(C0; U0; @0) = (Fp(x) + Bp(C0; U0; @0)) + (Fp(y) + Bp(C0; U0; @0)) = Fp(x + Bp(C; U; @)) + Fp(y + Bp(C; U; @)) = Fp(a) + Fp(b)
(b) Ambil sebarang k 2 R akan dibuktikan Fp(ka) = kFp(a). Perhatikan
Fp(ka) = Fp(k(x + Bp(C; U; @))) = Fp((kx + Bp(C; U; @)) = Fp(kx) + Bp(C0; U0; @0) = kFp(x) + Bp(C0; U0; @0) = k(Fp(x) + Bp(C0; U0; @0)) = kFp(x + Bp(C; U; @)) = kFp(a)
Maka berdasarkan 1a dan 1b, Fp adalah homomor…sma modul.
Jadi terbukti F menginduksi homomor…sma R-modul H(F ) = fHp(F )g = fFpg
Fp : Hp(C; U; @) ! Hp(C0; U0; @0)
x + Bp(C; U; @) 7 ! Fp(x) + Bp(C0; U0; @0):
Lema 4.10 Misal G : (C0; U0; @0) ! (C00; U00; @00) sebuah rantai (U0; U00)-pemetaan,
iden-titas. Cp+1 @p+1 ! Cp @p ! Cp 1 Fp+1 # Fp # Fp 1 # C0 p+1 @0 p+1 ! C0 p @0 p ! C0 p 1 Gp+1 # Gp # Gp 1 # Cp+100 @ 00 p+1 ! Cp00 @00 p ! Cp 100 Bukti. Misalkan Fp : Hp(C; U; @) ! Hp(C0; U0; @0) x + Bp(C; U; @) 7 ! Fp(x) + Bp(C0; U0; @0) dan Gp : Hp(C0; U0; @0) ! Hp(C00; U00; @00) y + Bp(C0; U0; @0) 7 ! Gp(y) + Bp(C00; U00; @00)
Akan dibuktikan (GF )p = GpFp. Ambil sebarang x + Bp(C; U; @) 2 Hp(C; U; @)
akan dibuktikan (GF )p(x + Bp(C; U; @)) = GpFp(x + Bp(C; U; @)), perhatikan
GpFp(x + Bp(C; U; @)) = Gp(Fp(x) + Bp(C0; U0; @0))
= GpFp(x) + Bp(C00; U00; @00))
= (GF )p(x + Bp(C; U; @))
Jadi terbukti (GF )p = GpFp:
De…nisi 4.11 Misal (C; U; @) rantai U -kompleks dan (C0; U0; @0) rantai U0-kompleks.
Sebuah rantai (U; U0)-pemetaan F = fFpg disebut isomor…sma jika Fp adalah
isomor…sma modul atas R dan F 1 =
fF 1
p g adalah rantai (U; U0)-pemetaan.
Jika terdapat sebuah isomor…sma dari (C; U; @) atas (C0; U0; @0), maka (C; U; @) dikatakan isomor…k ke (C0; U0; @0).
Proposisi 4.12 ([2 , Proposisi 2.6)]Jika dua rantai U -kompleks dan rantai U0
Bukti. Akan dibuktikan Up ' Up0 untuk semua p, untuk membuktikannya
akan dibuktikan bahwa terdapat pemetaan satu-satu dan pada, dari Up ke Up0.
Karena rantai U -kompleks dan rantai U0-kompleks adalah isomor…k yaitu ter-dapat F = fFpg sehingga Fp : Cp ! Cp0 merupakan isomor…sma, sehingga
diketahui Fp monomor…sma, F 1 =fFp 1g adalah rantai (U0; U )-pemetaan maka
cukup dibuktikan Fp(Up) = Up0: Karena F = fFpg rantai (U; U0)-pemetaan maka
jelas Fp(Up) Up0 dan karena F 1 = fFp 1g juga merupakan rantai (U; U0
)-pemetaan maka F 1
p (Up0) Up sehingga Fp(Up) Up0; maka Fp(Up) = Up0: Jadi
terbukti jika dua rantai U -kompleks dan rantai U0-kompleks adalah isomor…k maka Up ' Up0 untuk semua p.
De…nisi 4.13 (Rantai (U; U0)-homotopi, [2 De…nisi 2.7)]Misalkan (C; U; @) rantai
U-kompleks dan (C0; U0; @0) rantai U0-kompleks F; G : C ! C0 dua rantai
(U; U0)-pemetaan. Maka F dan G adalah rantai (U; U0)-homotopik, dinotasikan
dengan F ' G, jika terdapat barisan D = fDpg, dimana Dp : Cp ! Cp+10 adalah
sebuah homomor…sma modul atas R, sedemikian sehingga untuk semua p 2 Z, berlaku :
1. @p+10 Dp+ Dp 1@p = Fp Gp,
2. Dp(Up) Up+10 .
Barisan D = fDpg disebut rantai (U; U0)-homotopi.
Cp+1 @p+1 ! Cp @p ! Cp 1 Fp+1 ##Gp+1 Dp . Fp ##Gp Dp . Fp 1 ##Gp 1 Cp+10 @ 0 p+1 ! Cp0 @ 0 p ! Cp 10
Lema 4.14 ([2 , Lemma 2.8)]Relasi (U; U0)-homotopi "' " adalah relasi ekuiv-alen.
Bukti. Akan dibuktikan " ' " merupakan relasi ekuivalen, yaitu bersifat re‡ek-tif, simetris, dan transitif.
1. Akan dibuktikan " ' " bersifat re‡ektif, yaitu akan dibuktikan F ' F , yaitu @0
p+1Dp+ Dp 1@p = Fp Fp dan Dp(Up) Up+10 . Misalkan Dp = 0
untuk setiap p maka @p+10 Dp+ Dp 1@p = Fp Fp = 0 dan jelas Dp(Up) =
0Cp 1 Up+10 maka F ' F: Terbukti bahwa " ' " bersifat re‡ektif.
2. Akan dibuktikan " ' " bersifat simetris, yaitu jika F ' G, maka G ' F: Misalkan F ' G maka terdapat barisan D = fDp : Cp ! Cp+10 g sehingga
@p+10 Dp+Dp 1@p = Fp Gpdan Dp(Up) Up+10 :Misalkan D0 =fD
0
pg rantai
(U; U0)-homotopi dengan D0
p = Dp, sehingga
@p+10 Dp+ Dp 1@p = Fp Gp
(@p+10 Dp+ Dp 1@p) = (Fp Gp)
@p+10 ( Dp) + ( Dp 1)@p = Gp Fp
@p+10 Dp0 + D0p 1@p = Gp Fp
Karena Dp(Up) Up+10 dan Up+10 tertutup pada operasi penjumlahan maka
Dp(Up) = D0p(Up) Up+10 : Jadi G ' F; maka terbukti " ' " bersifat
simetris.
3. Akan dibuktikan " ' " bersifat transitif, yaitu jika F ' G dan G ' H, akan dibuktikan F ' H:
Misalkan F ' G dan G ' H, maka terdapat barisan D = fDp : Cp !
Cp+10 g dan D0 =fD0p : Cp ! Cp+10 g
@p+10 Dp+ Dp 1@p = Fp Gp , @p+10 D0p+ Dp 10 @p = Gp Hp
dan Dp(Up) Up+10 , D0p(Up) Up+10 . Perhatikan
Fp Gp+ Gp Hp = @p+10 Dp+ Dp 1@p+ @p+10 D0p+ D0p 1@p
misalkan D00 =fDp00g rantai (U; U0)-homotopi dengan D00p = Dp+ Dp0, maka
Fp Gp + Gp Hp = @p+10 (Dp+ D0p) + (Dp 1+ Dp 10 )@p
= @p+10 D00p + D00p 1@p
= Fp Hp
Karena Dp(Up) Up+10 ; Dp0(Up) Up+10 ; D00p = Dp+ D0p; dan Up+10 tertutup
pada operasi penjumlahan maka D00p(Up) Up+10 . Maka F ' H; dan " ' "
bersifat transitif.
Jadi terbukti bahwa relasi (U; U0)-homotopi " ' " adalah relasi ekuivalen.
Lema 4.15 ([2 , Lemma 2.9)]Misal (C; U; @), (C0; U0; @0), dan (C00; U00; @00)
masing-masing merupakan rantai U -kompleks, rantai U0-kompleks, dan rantai U00-kompleks. Jika F ' G : C ! C0 dan F0 ' G0 : C0 ! C00, maka
F F0 ' G0G : C ! C00 Cp+1 @p+1 ! Cp @p ! Cp 1 Fp+1 ##Gp+1 Fp ##Gp Fp 1 ##Gp 1 C0 p+1 @0 p+1 ! C0 p @0 p ! C0 p 1 F 0p+1 ##G0p+1 F 0p ##G0p F 0p 1 ##G0p 1 C00 p+1 @00 p+1 ! C00 p @00 p ! C00 p 1
Bukti. Misalkan (C; U; @), (C0; U0; @0), dan (C00; U00; @00) masing-masing
meru-pakan rantai U -kompleks, rantai U0-kompleks, dan rantai U00-kompleks.
Mis-alkan F ' G : C ! C0 dan F0 ' G0 : C0 ! C00, maka terdapat barisan
D =fDp : Cp ! Cp+10 g dan D0 =fD0p : Cp0 ! Cp+100 g sedemikian sehingga
Fp Gp = @p+10 Dp + Dp 1@p; Dp(Up) Up+10
F0
p G0p = @p+100 Dp0 + D0p 1@p0; D0p(Up0) Up+100 :
1. Akan dibuktikan Fp0Fp G0pGp = @p+100 Dp00+ Dp 100 @p: Perhatikan Fp0Fp G0pGp = Fp0Fp Fp0Gp+ Fp0Gp G0pGp = Fp0(Fp Gp) + (Fp0 G0p)Gp = Fp0(@p+10 Dp+ Dp 1@p) + (@p+100 D0p+ D0p 1@0p)Gp = Fp0@p+10 Dp+ Fp0Dp 1@p+ @p+100 D0pGp+ D0p 1@p0Gp = @p+100 Fp+10 Dp+ Fp0Dp 1@p+ @p+100 D0pGp+ Dp 10 Gp 1@p = @p+100 (Fp+10 Dp+ Dp0Gp) + (Fp0Dp 1+ D0p 1Gp 1)@p misalkan D00 p = Fp+10 Dp+ Dp0Gp maka Fp0Fp G0pGp = @p+100 (Fp+10 Dp+ Dp0Gp) + (Fp0Dp 1+ Dp 10 Gp 1)@p = @p+100 Dp00+ D00p 1@p
maka kondisi pertama pada De…nisi 4.13 terpenuhi.
2. Akan dibuktikan bahwa D00
p(Up) Up+100 . Perhatikan
D00p = Fp+10 Dp+ Dp0Gp
D00p(Up) = Fp+10 Dp(Up) + D0pGp(Up)
Karena G adalah rantai (U; U0)-pemetaan, maka berdasarkan De…nisi 4.6
G(Up) Up0 dan berdasarkan De…nisi 4.13 Dp(Up) Up+10 sehingga
D0pGp(Up) D0p(Up0) Up+100 :
Karena F0 juga adalah rantai (U; U0)-pemetaan, maka berdasarkan De…nisi
4.6 dan De…nisi 4.13
Fp+10 Dp(Up) Fp+10 (Up+10 ) Up+100
ter-tutup terhadap penjumlahan maka
D00p(Up) = Fp+10 Dp(Up) + D0pGp(Up) Up+100 :
Jadi D00p(Up) Up+100 .
Lemma 4.15 terbukti.
B. Davvaz dan H. Shabani-Solt dalam [2] memaparkan fakta penting men-genai rantai (U; U0)-homotopi, sebagai berikut.
Teorema 4.16 ([2 , Teorema 2.10)]Jika dua rantai (U; U0)-pemetaan F; G : C !
C0 adalah (U; U0)-homotopi, maka Fp = Gp (Hp(F ) = Hp(G)).
Bukti. Misalkan rantai (U; U0)-pemetaan F; G : C ! C0 adalah (U; U0
)-homotopi, akan dibuktikan Fp = Gp, yaitu Fp(x) + Bp(C0; U0; @0) = Gp(x) +
Bp(C0; U0; @0)untuk setiap x 2 Zp(C; U; @):Karena rantai (U; U0)-pemetaan F; G :
C ! C0 adalah (U; U0)-homotopi maka terdapat barisan D = fDp : Cp !
C0
p+1g sedemikian sehingga Fp Gp = @p+10 Dp + Dp 1@p dan Dp(Up) Up+10 .
Ambil sebarang x 2 Zp(C; U; @) maka,
(Fp Gp)(x) = (@p+10 Dp+ Dp 1@p)(x)
Fp(x) Gp(x) = @p+10 Dp(x) + Dp 1@p(x):
Karena @p(x)2 Up 1, maka berdasarkan De…nisi 2.12
Dp 1(@p(x)) 2 Up0 Im @p+10 = Bp(C0; U0; @0)
dan @p+10 Dp(x) 2 Up0 Im @p+10 = Bp(C0; U0; @0)
sehingga karena Im @0
p+1 = Bp(C0; U0; @0) tertutup terhadap penjumlahan, maka
maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat
Fp(x) + Bp(C0; U0; @0) = Gp(x) + Bp(C0; U0; @0)
Jadi terbukti Fp = Gp.
De…nisi 4.17 ([2 , De…nisi 2.11)]Rantai (U; U0)-pemetaan F : (C; U; @) ! (C0; U0; @0) disebut rantai (U; U0)-ekivalensi jika terdapat rantai (U; U0)-pemetaan
G : (C0; U0; @0) ! (C; U; @) sedemikian sehingga F G ' IC dan GF ' IC0. Dua
rantai U -Kompleks dan U0-kompleks disebut rantai (U; U0)-ekivalen jika terdapat
rantai (U; U0)-ekivalensi di antara mereka. Cp+1 @p+1 ! Cp @p ! Cp 1 Fp+1 #"Gp+1 Fp #"Gp Fp 1 #"Gp 1 Cp+10 @ 0 p+1 ! Cp0 @ 0 p ! Cp 10
Akibat 4.18 ([2 , Akibat 2.12)]Jika rantai U -kompleks (C; U; @) dan rantai U0
-kompleks (C0; U0; @0) adalah rantai (U; U0)-ekivalen, maka untuk setiap p berlaku Hp(C; U; @) = Hp(C0; U0; @0).
Bukti. Misalkan F adalah rantai (U; U0)-ekivalesi antara (C; U; @) dan (C0; U0; @0), akan dibuktikan Hp(C; U; @) = Hp(C0; U0; @0) untuk setiap p
F adalah rantai (U; U0)-ekivalesi antara (C; U; @) dan (C0; U0; @0) maka terdapat rantai (U; U0)-pemetaan G : (C0; U0; @0) ! (C; U; @) sedemikian sehingga
F G' IC0 dan GF ' IC
Sehingga berdasarkan Teorema 4.16 (F G)p = IC0 dan (GF )p = IClalu berdasarkan
Lemma 4.10 didapat (GF )p = GpFp dan (F G)p = FpGp maka (F G)p = FpGp = IC0 dan (GF )p = GpFp = IC:
BAB 5
KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Rantai U -kompleks merupakan generalisasi dari rantai kompleks dengan @n@n+1 = 0 dalam rantai kompleks, submodul trivial f0g diganti dengan
submodul Up 1 dari Cp 1 sehingga @p@p+1(Cp+1) Up 1 dan Im @p Up 1.
2. Rantai pemetaan yang mengaitkan antara rantai U -kompleks adalah rantai (U; U0)-kompleks dengan F
p(Up) Up0 dan Fp 1@p = @p0Fp:
3. Rantai (U; U0)-homotopi adalah generalisasi dari rantai homotopi dengan
@p+10 Dp+Dp 1@p = Fp Gp dimana fDpg rantai homotopi adalah homotopik
nol. Sedangkan @0
p+1Dp + Dp 1@p = Fp Gp dengan fDpg rantai (U; U0
)-homotopi dengan Dp(Up) Up+10 :
4. Relasi (U; U0)-homotopi " ' " adalah relasi ekuivalen.
5.2 Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat diteliti mengenai generalisasi kategori kompleks yaitu kategori dengan objeknya merupakan rantai U -kompleks.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Abdusysyakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN Press [2] B.Davvaz and H.Shabani-Solt, A generalization of Homological Algebra,
J.Korean Math. Soc, 39 (2002), 6, 881-898
[3] B.Davvaz dan Y.A Parnian - Gramaleky, A Note on Exact Sequence, Bull. Malaysian Math. Soc. (2) 22 (1999) ; 53 56
[4] Charles A. Weabel, An Introduction to Homological Algebra, Departement of Mathematic, Rutger University, Cambridge University Press, 1997. [5] Hall F. M., An Introduction to Abstract Algebra, Head of the Mathematics
Faculty Shrewsbury School, Cambridge University Press, 1969.
[6] Howlet, Robert, An undergraduate course in, Abstract Algebra, London: Springer Verlag, 1974:
[7] J. J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York-London, 1979.
[8] Roman, Steven, Graduate Text in Mathemetics, Advance Linear Algebra, London: Springer Verlag, 1992:
[9] Steven Roman, Advanced Linier Algebra, Third Edition, Prentice Hall, New York-London, 2003.
[10] Tu, Loring W. (1982), Di¤erential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978 0 387 90613 3
