1 BAB 1 STATISTIKA
A. Sejarah Statistik
Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium (“dewan negara”) dan bahasa Italia statista (“negarawan” atau “politikus”). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai “ilmu tentang negara (state)”. Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi “ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data”. Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.
Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke -19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.
Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika.
B. Pengertian Statistika
Hampir dalam tiap bidang baik pemerintahan, pendidikan, perekonomian, perindustrian, atau lainnya akan menghadapi persoalan yang diantaranya dinyatakan
2
dengan angka-angka. Kumpulan angka-angka ini biasanya disusun dalam tabel atau daftar disertai diagram atau grafik. Kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah yang dapat memberi gambaran mengenai masalah tersebut dinamakan statistik, seperti statistik penduduk, statistik kelahiran, statistik pendidikan dan lain-lain. Statistik juga diartikan sebagai ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu.
Asal kata “Statistic”:
Statia = catatan administrasi pemerintahan di US
Stochos =“anak panah” (bahasa Yunani), sesuatu yang mengandung ketidakpastian Pengertian:
Statistik = Data
Statistik = Ukuran Sampel (dugaan dari parameter)
Statistik = Ilmu yang mempelajari cara pengumpulan data, pengolahan data, analisis data serta penyajian data sehingga menjadi suatu informasi yang berguna bagi pengambilan keputusan . Statistik = suatu ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan, penganalisaan, interpretasi dan penarikan kesimpulan suatu data.
Menurut J. Supranto : 1. Dalam arti sempit
Statistik adalah data ringkasan yang berbentuk angka (kuantitatif). 2. Dalam arti luas
Statistik adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, dan analisis data, serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang menyeluruh.
Jadi, Statistik adalah ilmu yang mempelajari tentang seluk beluk data, yaitu tentang pengumpulan, pengolahan, penganalisisan, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data yang berbentuk angka-angka. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah ’statistika’ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan ’statistik’ (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Statistika adalah Ilmu mengumpulkan, menata, menyajikan, menganalisis, dan menginterprestasikan data menjadi informasi untuk membantu pengambilan keputusan yang efektif. Statistik adalah Suatu kumpulan angka yang tersusun lebih dari satu angka. Jadi statistik adalah produk dari kerja statistika.
3 C. Peran Statistik
Dalam kehidupan sehari-hari, sesungguhnya kita telah banyak memakai statistika walaupun dalam BENTUK YANG SANGAT SEDERHANA. Misal : di rumah, kantor, pemerintahan, dalam penelitian, dalam ilmu pengetahuan dll.
Di rumah: seorang ibu menghitung, pada bulan lalu uang yang dihabiskan untuk kebutuhan sebulan sebesar Rp 2.000.000,-.
Di kantor: seorang pimpinan memutuskan sebanyak 10% dari total pegawai terpaksa di-PHK untuk mengurangi kerugian perusahaan.
Pemerintah memperkirakan pertumbuhan ekonomi pada tahun mendatang mencapai 6% dengan asumsi tingkat investasi naik 10%, dll.
Pengguna Statistika Masalah yang Dihadapi
Manajemen 1. Penentuan struktur gaji, pesangon, dan tunjangan karyawan.
2. Penentuan jumlah persediaan barang, barang dalam proses, dan barang jadi.
3. Evaluasi produktivitas karyawan. 4. Evaluasi kinerja perusahaan.
Akuntansi 1. Penentuan standar audit barang dan jasa.
2. Penentuan depresiasi dan apresiasi barang dan jasa. 3. Analisis rasio keuangan perusahaan
4. Perusahaan akuntan publik seringkali menggunakan prosedur pengambilan sampel (contoh) yang memenuhi kaidah-kaidah statistik ketika melakukan audit terhadap kliennya.
Pemasaran 1. Penelitian dan pengembangan produk (Pengambilan sampel masyarakat sebagai calon konsumen untuk diminta pendapat tentang produk yang akan diluncurkan oleh suatu perusahaan seringkali menggunakan kaidah statistic)
2. Analisis potensi pasar, segmentasi pasar, dan diskriminasi pasar.
3. Ramalan penjualan.
4
Keuangan 1. Potensi peluang kenaikan dan penurunan harga saham, suku bunga, dan reksadana.
2. Tingkat pengembalian investasi beberapa sektor ekonomi. 3. Analisis pertumbuhan laba dan cadangan usaha.
4. Analisis resiko setiap usaha.
5. Penasehat keuangan menggunakan berbagai jenis informasi statistik, termasuk price-earnings ratio dan hasil dividen, untuk membantu dalam memberikan rekomentasi investasi
Ekonomi Pembangunan
1. Para ahli ekonomi menggunakan prosedure statistik dalam melakukan Analisis pertumbuhan ekonomi, inflasi, dan suku bunga.
2. Pertumbuhan penduduk dan tingkat pengangguran serta kemiskinan.
3. Indeks harga konsumen dan perdagangan besar.
Agribisnis 1. Analisis produksi tanaman, ternak, ikan, dan kehutanan. 2. Kelayakan usaha dan skala ekonomi.
3. Manajemen produksi agribisnis.
4. Analisis ekspor dan impor produk pertanian.
PERLUNYA STATISTIK :
1. Menjelaskan hubungan antara variabel-variabel
2. Membuat rencana dan ramalan (meramalkan keuntungan) 3. Mengatasi berbagai perubahan (prediksi jumlah pendidikan) 4. Membuat keputusan yang lebih baik
5. Untuk menjaga kestabilan sistem sesuai standar mutu yang diharapkan (pengendalian bahan baku, proses sampai hasil)
FUNGSI STATISTIK : Bank Data
Alat quality kontrol Alat analisis
5
D. Jenis Statistika berdasarkan cara pengolahan data : 1. Statistik Deskriptif
- Statistik yang mempersoalkan tentang cara pengumpulan data, analisa dan pengujian. Dengan kata lain berkenaan dengan pengumpulan, pengolahan, dan penyajian sebagian atau seluruh data (pengamatan) tanpa pengambilan kesimpulan.
- Statistika Deskriptif adalah metode statistika yang digunakan untuk menggambarkan atau mendeskripsikan data yang telah dikumpulkan menjadi sebuah informasi.
- Berfungsi untuk mendeskripsikan tentang objek yang diteliti melalui data sampel / populasi sebagaimana adanya, tanpa melakukan analisis dan membuat kesimpulan yang berlaku untuk populasi secara keseluruhan.
- Bagian dari Statistik yang mempelajari cara pengumpulan dan penyajian data sehingga mudah dipahami. Atau mempelajari tata cara pengumpulan, pencatatan, penyusunan dan penyajian data penelitian dalam bentuk frekuensi/grafik. Fungsi : untuk menerangkan keadaan, gejala, atau persoalan. Ruang Lingkup Bahasan :
a. Distribusi Frekuensi Grafik distribusi Ukuran nilai pusat Ukuran Dispersi
Kemencengan dan keruncingan kurva b. Angka Indeks
c. Deret waktu atau data berkala d. Korelasi dan regresi sederhana
statistik deskriptif (tanpa analisis, tanpa generalisasi, tanpa pengujian hipotesis, dan hanya melakukan perhitungan-perhitungan saja). Disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi (mean, modus, median), bar-diagram, histogram, polygon, dll
2. Statistik Inferensi
Statistik yang mempersoalkan tentang cara pengambilan keputusan/kesimpulan, termasuk penentuan ukuran keandalan dari kesimpulan/keputusan tsb.
Statistika Inferensial (Induktif) adalah metode yang digunakan untuk mengetahui populasi berdasarkan sampel dengan menganalisis dan menginterprestasikan data menjadi sebuah kesimpulan. Arti lain merupakan Bagian dari Statistik yang mempelajari mengenai penafsiran dan penarikan kesimpulan yang berlaku secara umum dari data yang tersedia.
6
Digunakan untuk menganalisis data sampel, hasilnya akan dimanfaatkan (digeneralisasikan) untuk populasi darimana sampel diambil.
Setelah data dikumpulkan, maka dilakukan berbagai metode statistik untuk menganalisis data, dan kemudian dilakukan interpretasi serta diambil kesimpulan. Statistika inferensi akan menghasilkan generalisasi (jika sampel representatif).
Bagian dari Statistik yang mempelajari mengenai penafsiran dan penarikan kesimpulan yang berlaku secara umum dari data yang tersedia. atau mempelajari tata cara penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan populasi berdasar sampel. Fungsi : meramalkan dan mengontrol keadaan atau kejadian
Ruang Lingkup Bahasan :
a. Probabilitas atau teori kesimpulan b. Distribusi teoritis
c. Sampling dan distribusi sampling
d. Pendugaan populasi atau teori populasi e. Uji hipotesis
f. Analisis korelasi dan uji signifikan g. Analisis regresi untuk peramalan
Disebut statistik inferensial (dengan analisis, generalisasi, pengujian hipotesis Uji t,z, F)
Start
Pengolahan, Penyederhanaan
dan Penataan
Penyajian data yang telah disederhanakan Data Sempel Penggunaan data populasi dianalisis parameter populasi Stop Penarikan kesimpulan tentang karakteristik populasi Penggunaan data sampel guna menaksir
parameter Statistik Deskriptif Statistik Inferensi Ya Tidak
7
Hubungan Antara Statistik Deskriptif dan Statistik Inferensial
E. Data Statistika
Komponen – komponen statistik : 1. Data
2. Perlakuan data ( Seperti pengumpulan dan pengolahan) 3. Kesimpulan
4. Angka-angka
Istialh-istilah penting dalam statistik :
1. Data : - sekumpulan data yang berisi fakta-fakta serta gambaran suatu fenomena yang dikumpulkan, dirangkum, dianalisis dan selanjutnya diinterpretasikan.
- sejumlah informasi yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau masalah
Bagian-bagian data :
• Elemen : Unit terkecil dari obyek penelitian.
• Karakteristik : Sifat-sifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen, atau semua keterangan mengenai elemen.
• Variabel atau peubah : Sesuatu yang nilainya dapat berubah. Nilai karakteristik suatu elemen merupakan nilai variabel.
Syarat data yang baik :
a. Data harus obyektif, sesuai dengan keadaan sebenarnya (as it is). b. Data harus bisa mewakili (representative).
c. Kesalahan baku (standard error) harus kecil.
Suatu perkiraan (estimate) dikatakan baik (memiliki tingkat ketelitian tinggi) jika kesalahan bakunya kecil.
Syarat (2) & (3) sering disebut sebagai syarat data yang dapat diandalkan (reliable). d. Harus tepat waktu (up to date).
e. Harus relevan, yaitu data yang dikumpulkan harus ada hubungannya dengan masalah yang akan dipecahkan.
8
Contoh : Jenis kelamin, berat badan, kualitas material. Variabel ada 2, antara lain:
a. Variabel Diskrit, adalah suatu variabel dengan nilai yang dapat dihitung atau terbatas. Dengan kata lain Variabel yang selalu memiliki nilai bulat dalam bilangan asli, tidak berbentuk pecahan atau variabel yang tidak mengambil seluruh nilai dalam sebuah interval (selang). Data yang dinyatakan dalam bentuk variabel diskrit disebut data diskrit. Data diskrit (dari hasil perhitungan) berupa bilangan bulat, contoh: orang, meja, FE memiliki 2 jurusan
b. Variabel Kontinu, adalah variabel dengan nilai tidak terbatas yang dapat diukur atau dicatat sampai tingkat kesempatan yang diperlukan. Dengan kata lain Variabel yang memiliki nilai sembarang, baik berupa nilai bulat maupun pecahan, diantara dua nilai tertentu Atau variabel yang Mengambil seluruh nilai dalam suatu interval. Data kontinyu (dari hasil pengukuran) bisa bilangan pecahan, contoh berat badan, umur, pendapatan, tinggi badan Khairunnissa 176 cm
3. Populasi : - Himpunan keseluruhan obyek yang akan diteliti. Dapat berupa orang, benda, kejadian atau sesuatu yang menjadi perhatian
Sebuah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda dan ukuran lain dari objek yang menjadi perhatian.
4. Sampel : - Bagian dari populasi yang dijadikan obyek penelitian
Suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian.
Bagian dari sebuah populasi yang dianggap dapat mewakili populasi tersebut. Parameter : karakteristik atau konstanta dari suatu populasi
5. Sampling adalah proses menyeleksi sejumlah elemen dari populasi, sehingga dengan mempelajari sampel dan memahami sifat-sifat subyek dalam sampel, dapat menggeneralisasir sifat-sifat tersebut ke dalam elemen populasi.
Alasan sampling:
POPULASI ?
9
Tidak mungkin untuk mengumpulkan seluruh data Menghemat waktu, biaya dan sumber daya lainnya
Kadang lebih dipercaya sebab peneliti tidak lelah (kesalahan turun) Sampling ada 2 :
a. Probability sampling: setiap elemen dalam populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai subyek dalam sampel. Representatif ini penting untuk generalisasi. Contohnya simple random
b. Nonprobability sampling: setiap elemen dalam populasi belum tentu mempunyai kesempatan untuk dipilih sebagai subyek dalam sampel. Dalam hal ini waktu adalah yang utama. Contohnya Convenience dan purposive sampling
Data menurut skala pengukuran Skala Nominal
Angka yang diberikan hanya sebagai label saja. sifatnya hanya untuk membedakan antar kelompok. CIRI : posisi data setara, tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :)
Contoh:
- jenis kelamin : pria=1, wanita=2, dan waria=3
-Jurusan dalam PT (manaj Akuntansi)
Skala Ordinal / urutan
Angka mengandung pengertian tingkatan. Atau selain memiliki sifat nominal, juga menunjukkan peringkat. CIRI : posisi data tidak setara, tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :) Contoh: ranking: 1, 2, dan 3. Ranking 1 menunjukkan lebih tinggi dari ranking 2 dan 3, tk. Pendidikan, skala perusahaan (besar, sedang), kepuasan kerja, motivasi, rasa (enak, tidak enak, cukup enak)
10 Skala Interval
Angka mengandung sifat ordinal dan mempunyai jarak atau interval. Atau selain memiliki sifat data ordinal, juga memiliki sifat interval antar observasi dinyatakan dalam unit pengukuran yang tetap. CIRI : Tidak ada kategorisasi bisa dilakukan operasi matematika
Contoh: Saham sangat prospektif dengan harga Rp 736-878, Saham prospektif Rp592-735. Sistem kalender dan
temperatur (Suhu = 30oC,
perbedaan suhu = 33oC-28oC = 5oC
)
Skala Rasio
Angka mempunyai sifat nominal, ordinal dan interval serta mempunyai nilai titik absolut dari objek yang diukur. Atau selain memiliki sifat data interval, skala rasio memiliki angka 0 (nol) dan perbandingan antara dua nilai mempunyai arti. CIRI : tidak ada kategorisasi bisa dilakukan operasi matematika
Contoh: bunga BCA 7% dan bunga Mandiri 14%, maka bunga Mandiri 2 kali bunga BCA, tinggi badan, BB,waktu, gaji (Gaji = Rp.1,5juta/bl), skor ujian, jumlah buku
IKHTISAR PEMBAGIAN DATA
Data
Menurut Sumber (2) Menurut Sifat (1) Menurut Cara memperoleh (3) Kualitatif Kuantitatif Internal Eksternal Primer Sekunder Menurut waktu pengumpulannya (4) Time11 1. JENIS DATA MENURUT SIFATNYA
a. Kualitatif
Berupa label / nama - nama yang digunakan untuk mengidentifikasikan atribut suatu elemen
Skala pengukuran: Nominal atau Ordinal
Data bisa berupa numeric atau nonnumeric (data yang tidak berbentuk angka)
Misalnya prestasi siswa sangat meningkat, biaya sekolah sangat mahal, penyaluran BOS sangat lancar, dsb.
b. Kuantitatif
Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terdiri atas data diskrit dan data kontinu.
Data selalu numeric (data yang dinyatakan dalam bentuk angka) Skala pengukuran: Interval dan Rasio
Misalnya Data diskrit : data banyaknya anggota keluarga, data banyaknya penduduk di suatu tempat, data jumlah kendaraan yang diproduksi oleh suatu perusahaan, dan lainlain.
Data kontinu : data tinggi dan berat badan, data luas tanah, data luas bangunan, dan lainya.
Misalnya rata-rata nilai matematika siswa 80, biaya SPP perbulan Rp 100.000,-, 99% siswa dinyatakan tamat dan lulus, dan sebagainya.
2. JENIS DATA MENURUT SUMBERNYA : a. Data Internal
yaitu data yang menggambarkan keadaan/kegiatan di dalam suatu organisasi. Di dalam suatu sekolah, misalnya data guru, data keuangan, data siswa, data prestasi siswa, dan sebagainya.
b. Data Eksternal
yaitu data yang menggambarkan keadaan/kegiatan di luar suatu organisasi. Bagi suatu sekolah, misalnya tingkat daya beli masyarakat, perkembangan biaya sekolah, permintaan (demand), dan sebagainya.
12 a. Data Primer
yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu organisasi atau perseorangan langsung dari objeknya.
Misalnya, BPS melakukan sensus penduduk tahun 2000 untuk memperoleh data penduduk.
b. Data Sekunder
yaitu data yang diperoleh dalam bentuk yang sudah jadi, sudah dikumpulkan dan diolah oleh pihak lain, biasanya sudah dalam bentuk publikasi.
Misalnya, suatu perusahaan memperoleh data penduduk dari BPS, data perbankan dari BI, dll.
4. JENIS DATA MENURUT WAKTU PENGUMPULANNYA : a. Cross-sectional Data
yaitu data yang dikumpulkan pada waktu tertentu yang sama atau hampir sama. Contoh: Jumlah mahasiswa UBINUS TA 2005/2006, Jumlah perusahaan go public tahun 2006 b. Time Series Data
yaitu data yang dikumpulkan selama kurun waktu/periode tertentu. Contoh: Pergerakan nilai tukar rupiah dalam 1 bulan, Produksi Padi Indonesia tahun 1997-2006
Data Berdasar Waktu Pengumpulan :
TIME SERIES CROSS SECTION TAHUN PENJUALAN TOKO PENJUALAN
2001 100 Pak A 100
2002 150 Pak B 150
2003 155 Pak C 155
DATA
Data Primer 1. Wawancara langsung 2. Wawancara tidak langsung 3. Pengisian kuisioner
4. Pengamatan (observasi)
Data Sekunder Data dari pihak lain: 1. BPS 2. Bank Indonesia 3. World Bank, IMF 4. FAO dan lain-lain
13
2004 160 Pak D 160
2005 200 Pak E 200
2006 185 Pak F 185
2007 210 Pak G 210
Tujuan Pengumpulan Data
1. Memperbaiki atau menyederhanakan teori atau hipotesa yang ada 2. Menciptakan teori atau hipotesa baru
3. Mengetahui keadaan atau hypotesa yang ada
4. Memecahkan masalah yang mencakup inter-relasi antara beberapa kasus
Teknik Pengumpulan Data 1. Pengumpulan langsung
Dengan cara mengamati langsung dan mencatat semua hasil pengamatan 2. Pengumpulan tidak langsung
dengan cara meghimpun data yang diperlukan dari orang-orang atau unit-unit kerja yang telah mengumpulan data secara langsung.
Klasifikasi Data
“ merupakan slah satu cara untuk mengelompokkan data menurut perbedaan dan persamaan “
Bertujuan untuk :
1. Untuk menghindari data yang tidak perlu
2. Untuk memperjelas bagian data yg mempunyai persamaan dan perbedaan 3. Untuk memperjelas gambaran objek yg dipelajari
4. Untuk mempermudah perbandingan dan interpertasi
Prosedur Penelitian 1. Perencanaan penelitan
Sebagai pedoman guna mengumpulkan data kasar secara terarah dan ekonomis. 2. Pengumpulan data atau fakta
Data yang dikumpulkan harus akurat, up to date dan relevan baik data yang sudah tersedia atau data asli. Memilih jenis sample
14 3. Pengolahan dan penataan data
Data yang sudah terkumpul dikelompokkan dulu baik itu pengkodean datanya , setelah itu data diolah perusahaan
4. Penyajian data kedalam bentuk tabel ataupun grafik
Data yang diolah biasanya disajikan dalam bentuk tabel ataupun grafik 5. Analisa dan interpretasi data
data yang berupa tabel atau grafik dianalisis dan kemudian diinterpretasikan .
Metode Pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua, yaitu : 1. Manual
2. Elektronik
Data mentah adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang dilakukan pada tahap pengumpulan data. Pengolahan data merupakan suatu proses untuk memperoleh data / angka ringkasan berdasarkan data mentah.
15 BAB 2 PENYAJIAN DATA
A. Pengertian
Suatu data dapat dibaca dan dianalisis dengan mudah jika data yang telah dikumpulkan disusun dan disajikan dalam bentuk yang baik dan jelas. “Bentuk-bentuk penyajian data yang akan dipelajari di antaranya tabel (daftar) atau diagram (grafik).
Pada dasarnya ada banyak macam penyajian data, namun dalam kesempatan ini hanya dibahas lima bentuk penyajian data, yaitu: histogram, poligon frekuensi, kurve ogive, diagram gambar dan diagram lingkaran.
B. Tabel Statistik
Tabel statistik dan tabel distribusi frekuensi. Tabel merupakan Kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategori, sehingga memudahkan untuk pembuatan analisis data. Tabel statistik terdiri atas beberapa kolom dan baris. Pada bagian atas tabel statistik terdapat judul yang menggambarkan data yang disajikan pada tabel. Jika data diperoleh dari sebuah sumber maka sumber dituliskan pada bagian kanan bawah tabel.
Bagian – bagian tabel :
TABEL HARGA KOMODITI EKSPOR ( Rp / Kg ) Nama Komoditas Tahun 1997 1998 1999 Leher Kepala
16 Karet Kopi Kopra 28.400 54.700 17.750 25.100 60.500 20.600 29.400 60.900 21.400 Jumlah 90.850 106.200 111.700
Sumber : Statistik Indonesia. 2000. BPS
TABEL : memberikan informasi secara rinci. Terdiri atas kolom dan baris
Langkah-langkah membuat tabel adalah sebagai berikut. a. Tuliskan judul tabel. Judul harus singkat dan jelas.
b. Buatlah tabel dengan jumlah baris dan kolom yang disesuaikan dengan data yang akan disajikan. c. Isilah tabel dengan data yang akan disajikan.
d. Jika Anda mengambil data dari referensi tertentu, cantumkan sumber data tersebut di bagian kanan bawah tabel.
Contoh Soal :
Diketahui jumlah penduduk kota Jakarta, Bandung, Surabaya, Medan, dan Palembang pada tahun 1997 berturut-turut adalah 7.764.764,3.557.665, 2.351.303, 1.974.300, dan 1.436.500. Sajikan data tersebut dalam bentuk tabel statistik.
Jawab:
Gunakan langkah-langkah untuk membuat tabel. Langkah ke-1: Tuliskan judul tabel.
Data yang akan disajikan merupakan data jumlah penduduk di Jakarta, Bandung, Surabaya, Medan, dan Palembang pada tahun 1997. Dengan demkian, Judul untuk tabel adalah "Jumlah Penduduk Jakarta, Bandung, Surabaya, Medan, dan Palembang Tahun 1997"
Langkah ke-2: Buatlah tabel dengan jumlah baris dan kolom disesuaikan dengan data yang akan disajikan. Data terdiri atas 5 kota sehingga terdapat 5 baris untuk data kota. Adapun 2 baris lainnya untuk judul data dan jumlah penduduk kelima kota sehingga banyaknya kolom ada 2. Kolom pertama untuk data kota dan kolom kedua untuk data jumlah penduduk. Dengan demikian, tabel terdiri atas 7 baris dan 2 kolom.
Badan
Kaki
Kolom kedua …. n : Frekuensi atau label TABEL
KOLOM
Kolom pertama : LABEL
17
Langkah ke-3: Isilah tabel dengan data yang akan disajikan. Pada baris pertama, tuliskan judul data. Data dituliskan pada baris kedua sampai dengan keenam. Pada baris terakhir, tuliskan jumlah penduduk kelima kota tersebut.
Langkah ke-4: Tulis sumber data. Oleh karena data diperoleh dari Microsoft Encarta 2005 maka pada bagian kanan bawah tabel harus dicantumkan "Sumber: Microsoft Encarta 2005"
Dari langkah-langkah tersebut, diperoleh tabel jumlah pendudukdi Jakarta, Bandung, Surabaya, Medan, dan Palembang pada tahun 1997sebagai berikut.
BENTUK TABEL :
1. Tabel satu arah : tabel yang memuat satu hal atau satu karakteristik pendidikan, masa kerja
merk, harga, jenis
Tabel Produksi Kayu Hutan Indonesia 1998 ( 000 m³) Jenis Banyaknya Kayu Bulat Kayu Gergajian Kayu Lapis 26.069 3.427 10.948 Jumlah 40.444 2. Tabel dua arah
pendidikan dan masa kerja umur dan merk
Tabel Jumlah Mahasiswa Univ.X
Jurusan Semester Jumlah
I III V VII Ekonomi Teknik Hukum 100 75 100 90 110 80 120 100 110 80 60 70 390 345 360
18
Jumlah 275 280 330 210 1095 3. Tabel tiga arah
masa kerja, umur dan gol umur, merk dan jenis
Umur Toyota Mitsubishi Daihatsu Jumlah
A B A B A B < 1 thn < 3 thn < 5 thn > 5 thn 2 1 1 1 5 4 6 5 1 1 1 1 7 7 5 5 1 0 0 1 5 5 5 5 21 18 18 18 Jumlah 5 20 4 24 2 20 75
C. Jenis-jenis Diagram (Grafik)
GRAFIK : memberikan informasi dengan benar dan cepat, tetapi tidak rinci. Syarat :
1. Pemilihan sumbu (sumbu tegak dan sumbu datar), kecuali grafik lingkaran 2. Penetapan skala (skala biasa, skala logaritma, skala lain)
3. Ukuran grafik (tidak terlalu besar, tinggi, pendek) Hal yang perlu diperhatikan ketika membuat grafik :
1. Menentukan sumbu absis (X) dan ordinat Y). Sumbu absis mencantumkan nilai dan sumbu ordinat mewakili frekuensi.
2. Menentukan perbandingan antara X dan Y. Lazimnya sumbu X dibuat lebih panjang. 3. Pemberian nama pada tiap sumbu.
4. Pemberian nama pada grafik. Jenis Grafik, Bagan dan Diagram :
Histogram,
Grafik ini disebut juga Bar diagram atau diagram batang yakni penyajian data dalam bentuk batang-batang untuk menunjukkan frekuensinya. Dasar pembuatan dengan menggunakan batas nyata atau titik tengah. Untuk membuat diagram batang perlu ditempuh beberapa langkah berikut:
1. Dibuat garis absis (x) dan ordinat (y), dengan perbandingan 2:3
2. Ditentukan judul dari absis (x) dan ordinat (y) sesuai dengan tabel distribusi frekuensi yang ada.
3. Ditentukan penskalaannya berdasarkan batas riil (nyata)
Keterangan :A = jenis sedan B = jenis niaga
19
4. Dibuat kota persegi empat pada absisnya dan disesuaikan dengan frekuensi pada ordinatnya. Misalnya:
Distribusi Frekuensi Komplain Pelanggan PDAM Kota Batu
Jumlah Komplain (X) JARI-JARI FREKUENSI (f)
4 / 1 5 //// // 7 6 //// //// // 12 7 //// //// 9 8 / 1 JUMLAH 30
Histogramnya adalah sebagai berikut:
14 12 10 8 6 4 2 0 Poligon,
Poligon frekuensi sering disebut juga sebagai diagram garis, yaitu penyajian data dalam bentuk garis yang mengubungkan titik frekuensinya. Untuk membuat diagram garis hampir sama dengan pembuatan diagram batang. Perbedaannya terletak pada nilai absisnya yang didasarkan pada nilai titik tengah kelas atau batas nyata. Poligon frekuensi dibuat dengan menghubungkan oridnat masing-masing titik tengah dari absis tersebut. Adapun selengkapnya langkah adalah sebagai berikut:
1. Dibuat garis absis (x) dan ordinat (y), dengan perbandingan 2:3 KOMPLAIN PELANGGAN PDAM
JUMLAH KOMPLAIN
20
2. Ditentukan judul dari absis (x) dan ordinat (y) sesuai dengan tabel distribusi frekuensi yang ada.
3. Ditentukan penskalaannya berdasarkan nilai titik tengah absis
4. Dibuat garis yang mengubungkan pertemuan titik ordinat dengan titik tengah, berdasarkan nilai frekuensi.
Misalnya:
KOMPLAIN PELANGGAN PDAM
14 12 10 8 6 4 2 0 4 5 6 7 8 JUM L AH KOMP L AI N Ogive,
Disebut juga grafik frekuensi meningkat, karena cara pembuatannya dengan menjumlah frekuensi pada tiap nilai variabel. Berbeda dengan dua penyajian data sebelumnya yang berdasarkan kelas dan frekuensinya, Kurve ogive menggambarkan hubungan antara kelas dengan frekuensi kumulatif masing-masing kelas. Oleh sebab itu nanti akan terdapat dua bentuk kurve ogive, yaitu kurve ogive menurun dan kurve ogive meningkat. Adapun selengkapnya langkah adalah sebagai berikut:
1. Dibuat garis absis (x) dan ordinat (y), dengan perbandingan 2:3
2. Ditentukan judul dari absis (x) dan ordinat (y) sesuai dengan tabel distribusi frekuensi yang ada.
3. Ditentukan penskalaannya berdasarkan nilai titik tengah absis
4. Dibuat garis yang mengubungkan pertemuan titik ordinat dengan titik tengah berdasarkan frekuensi kumulatif.
DISTRIBUSI FREKUENSI KOMPLAIN PELANGGAN PDAM KOTA BATU Jumlah Komplain (X) frekuensi Fkum Naik Fkum Turun
4 1 1 30 5 5 6 29 6 16 22 24 7 6 28 8 8 2 30 2 JUMLAH 30
Kurve ogive meningkatnya adalah sebagai berikut:
21 35 30 25 20 15 10 5 0 4 5 6 7 8
22 Kurve ogive menurunnya adalah sebagai berikut
Komplain Pelanggan PDAM
35 30 25 20 15 10 5 0 Jumlah Komplain Bagan melingkar,
yaitu grafik atau bagan berupa lingkaran yang telah dibagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan proporsi data. Biasanya dinyatakan dalam persen. Barangkali penyajian data yang paling rumit adalah dalam bentuk diagram lingkaran. Hal ini disebabkan karena kita mesti menentukan porsi frekuensi dalam sebuah lingkaran, yang mesti menggunakan busur derajat. Adapun caranya adalah sebagai berikut:
1. Berdasarkan tabel distribusi frekuensi perlu ditambah kolom porsi kelas dalam satu lingkaran utuh yang satuannya adalah derajat.
2. Hitunglah porsi masing-masing frekuensi dalam lingkaran penuh (360O)
3. Gambar lingkaran utuh, dan kemudian tarik garis sembarang dari titik tengah lingkaran menuju ke garis lingkaran mana saja.
4. Berdasarkan porsi derajat dalam lingkaran, tentukan masing-masing kelas ke dalam lingkaran
23
5. Buatlah agendanya yang menunjukkan bahwa porsi dalam lingkaran sesuai dengan representasi kelas yang ada.
Misalnya:
DISTRIBUSI FREKUENSI KOMPLAIN PELANGGAN PDAM KOTA BATU Jumlah Komplain (X) frekuensi
4 1 5 5 6 16 7 6 8 2 JUMLAH 30
K omplain Pelanggan PDAM
Grafik batang,
Yaitu grafik yang berbentuk persegi panjang yang lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran sesuai data yang bersangkutan. Setiap batang tidak boleh saling melekat atau menempel dan jarak tiap batang harus sama. Susunan grafik ini boleh tegak atau mendatar Kartogram,
Yaitu grafik data berupa peta yang menunjukkan kondisi data dan diwakili oleh lambang tertentu dalam sebuah peta. Biasanya untuk menggambarkan kepadatan penduduk, curah hujan, hasil pertanian, hasil penjualan, hasil pertambangan dan sebagainya
24
Yaitu grafik data yang menggunakan gambar atau lambang dalam penyajiannya. Satu lambang bisa mewakili jumlah tertentu
Diagram garis,
Yaitu grafik data berupa garis yang diperoleh dari ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bilangan. Grafik ini dibuat dengan 2 sumbu yakni sumbu X menunjukkan bilangan yang sifatnya tetap, seperti tahun, ukuran dan sebagainya. Sedangkan pada sumbu Y ditempatkan bilangan yang sifatnya berubah-ubah seperti, harga, biaya dan jumlah.
Bagan piramida. prestasi kerja sangat baik baik cukup baik jelek sangat jelek M e a n g a ji p e rb u la n 800000 700000 600000 500000 400000 300000 Jenis kelamin laki-laki w anita bidang pekerjaan keuangan marketing produksi personalia administrasi C o u n t 30 20 10 0 bidang pekerjaan keuangan marketing produksi personalia administrasi Ju m la h 30 20 10 0 keuangan marketing produksi personalia administrasi Grafik batang (bar)(bar)Batang
Grafik Garis (line)
Grafik lingkaran (pie) Grafik Interaksi (interactive)
0 5 10 15 20 20,5 22,5 24,5 26,5 28,5 30,5 32,5 34,5
Grafik poligon
25 BENTUK GRAFIK
1. Grafik Garis
Grafik garis tunggal Grafik garis berganda
Grafik garis komponen berganda
Grafik garis persentase komponen berganda Grafik garis berimbang netto
2. Grafik Batangan
Grafik batangan tunggal Grafik batangan berganda
Grafik batangan komponen berganda
Grafik batangan persentase komponen berganda Grafik batangan berimbang netto
3. Grafik Lingkaran
4. Grafik Peta (Cartogram Chart) 5. Grafik Gambar (Pictogram Chart)
Grafik garis tunggal grafik garis berganda
60
80
100
120
140
160
Hasil Penju…26
0%
50%
100%
Kulkas Radio Televisi grafik garis komponen berganda grafik garis % komponen berganda27 BAB 3
DISTRIBUSI FREKUENSI (DF)
A. Definisi :
Adalah salah satu bentuk tabel yang merupakan suatu penyusunan data ke dalam kelas-kelas tertentu dimana individu hanya termasuk ke dalam kelas tertentu.
Pengelompokan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori dan setiap data tidak dapat dimasukan ke dalam dua atau lebih kategori
Susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Dari distribusi frekuensi dapat diperoleh keterangan atau gambaran sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh.
Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Data berkelompok adalah data yang telah disusun ke dalam kelas-kelas tertentu..
Bisa dengan kata lain distribusi adalah upaya mengolah data mentah menjadi data matang dengan cara menggunakan penggolongan berdasar kategori-kategori tertentu.
Jadi, distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut katagori tertentu dalam sebuah daftar.
Tujuan : Data menjadi informatif dan mudah dipahami Kelebihan : Dapat mengetahui gambaran secara menyeluruh Kekurangan : Rincian atau informasi awal menjadi hilang B. Tujuan Distribusi Frekuensi
1. Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi. 2. Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik.
C. Bagian-bagian Distribusi Frekuensi 1. Kelas-kelas (class)
2. Batas kelas (class limits) 3. Tepi kelas (class boundary)
4. Titik tengah kelas/tanda kelas (class mid point/class marks) 5. Interval kelas (class interval)
28 6. Panjang Interval kelas atau kelas (interval kelas) 7. Frekuensi kelas (class frequency)
Kelas
Adalah penggolongan data yang dibatasi oleh nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas. Atau kelompok nilai data atau variabel
Batas Kelas (class limit)
Adalah nilai terendah dan tertinggi pada suatu kelas. Nilai batas tiap kelas dalam sebuah df dan dipergunakan sebagai pedoman guna memasukkan angka-angka hasil observasi ke dalam kelas- kelas yang sesuai. Nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. Terdapat dua batas kelas, yaitu:
1. Batas Kelas Bawah (lower class limit)
Batas pertama kelas, terdapat dideretan kiri setiap kelas 2. Batas Kelas Atas (upper class limit)
Batas kedua kelas, terdapat dideretan kanan setiap kelas
Batas kelas merupakan batas semu dari setiap kelas, karena di antara kelas yg satu dengan kelas yang lain masih terdapat lubang tempat angka tertentu.
Tepi Kelas (class boundaries/true limits) :
Adalah Nilai batas antar kelas (border) yang memisahkan nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Batas kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas yang lain. Penentuan tepi kelas tergantung pada keakuratan pencatatan data. Terdapat dua tepi kelas, yaitu:
1. Tepi Bawah Kelas (lower class bounderis)
Tepi bawah kelas atau batas kelas bawah sebenarnya 2. Tepi atas Kelas (upper class bounderis)
Tepi atas kelas atau batas atas sebenarnya. Untuk Ketelitian sampai satu desimal,
29
b. Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5 , atau
• Frekuensi Kumulatif : Penjumlahan frekuensi pada setiap kelas, baik meningkat (kurang dari)
atau menurun (lebih dari).
Titik tengah (Mid Point)
Angka atau nilai data yang tepat terletak di tengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya.
Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah) kelas Interval Kelas
Lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya. Selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain. Panjang Interval kelas atau kelas (interval kelas)
Jarak antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas. Frekuensi kelas (class frequency)
Banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas tertentu
Contoh distribusi frekuensi
30 Contoh 1:
Tabel 1. Modal PT.Angin Ribut Modal ( jutaan Rp) Frekuensi ( f ) 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 16 32 20 17 15 Jumlah 100 Jwb : Banyaknya kelas : 5 Batas kelas : 50, 59, 60, 69,…..
Batas bawah kelas : 50, 60, 70, 80, 90
Batas atas kelas : 59, 69, 79, 89, 99
Tepi bawah kelas : 49,5 ; 59,5 ; …;89,5
Tepi atas kelas : 59,5 ; 69,5 ; …; 99,5
Titik tengah kelas : 54,5 ; 64,5 ; … ; 84,5
Interval kelas : 50-59, 60-69,…, 90-99
Panjang interval masing-masing : 10
Frekuensi kelas adalah : 16, 32, 20, 17 dan 15
Contoh 2: Upah (Rp 000) Kelas Banyak Buruh (f) Mid Poin (Xi) 5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 10 20 14 4 2 7 12 17 22 27 Jumlah 50
Untuk kelas pertama ( 5 – 9) :
31
Batas atas Kelas = 9 Tepi bawah kelas = 4,5 Tepi atas kelas = 9.5
Titik Tengah = (5 + 9)/2 = 7 atau (9,5 + 4,5)/2 = 7
D. Langkah-langkah membuat distribusi frekuensi (tahap-tahap penyusunan df) :
1. Mengumpulkan Data & Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar atau sebaliknya. Data yang baru saja dikumpulkan dari lapangan disebut data kasar. Data yang telah disusun ke dalam urutan dari nilai terbesar hingga data terkecil atau sebaliknya disebut array data. 2. Menentukan jangkauan atau sebaran (range) dari data.
Jangkauan (R) = data terbesar – data terkecil
3. Menentukan banyaknya atau jumlah kelas (k) atau membuat kategori kelas. Umumnya dilakukan oleh pertimbangan praktis yang masuk akal dari pengolah data itu sendiri. Mengenai hal tersebut, metode statistik tidak memberikan metode mutlak untuk melakukan hal tersebut. Hal umum yang harus diikuti adalah jumlah kelas jangan terlalu besar dan terlalu kecil. Aturan yang bisa digunakan adalah aturan H.A. Sturges (from “The choice of a Class Interval”, Journal of the American Statistical Association, 1926), yaitu :
k = 1 + 3,3 log n; => k Є bulat
ket : k = banyaknya kelas
n = banyaknya data
Hasil dibulatkan, biasanya ke atas.
Cara lain adalah dengan menggunakan n > 2K dengan n jumlah data dan K adalah jumlah
kelas.
4. Menentukan panjang interval kelas (i).
32 i : Panjang interval kelas
R : jangkauan (range) K : banyaknya kelas
5. Menentukan batas bawah kelas pertama. (data dibagi mjd nilai k, dr data terkecil sejauh nilai i (panjang interval))
Batas bawah kelas pertama biasanya dipilih dari data terkecil atau data terkecil yang berasal dari pelebaran jangkauan (data yang lebih kecil dari data terkecil), dan selisihnya harus kurang dari panjang interval kelasnya.
6. Menuliskan frekuensi kelas dalam kolom turus sesuai banyaknya data. Seluruh data harus dimasukan ke dalam kelas dan satu data tidak boleh masuk ke dalam 2 kelas yang berbeda. 7. Melakukan penghitungan setiap kelasnya
8. Nilai distribusi frekuensi relatif
Adalah DF yang nilai frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka absolut, melainkan dalam bentuk angka relatif (%).
atau
Kelemahan data array tersebut :
1. kurang bisa memperlihatkan berapa nilai ujian yang diterima oleh sebagian besar mahasiswa.
2. Tidak bisa memperlihatkan berapa mahasiswa yang mempunyai nilai sekitar angka tertentu, misalnya kurang dari 40 atau lebih dari 40.
3. Membuang banyak waktu
4. Tidak bisa menggambarkan peristiwa secara singkat dan jelas.
E. PENYAJIAN DATA
33 1. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang sering digunakan untuk menggambarkan distribusi frekuensi.
Histogram : grafik batang Poligon frekuensi : grafik garis
Batang-batang pada histogram saling melekat atau berimpitan.
Poligon frekuensi dibuat dengan cara menarik garis dari satu titik tengah batang histogram ke titik tengah batang histogram yang lain.
Pada pembuatan histogram digunakan sistem salin sumbu. Sumbu-sumbu mendatar (sumbu X) menyatakan interval kelas (tepi bawah kelas dan tepi atas masing-masing kelas) dan sumbu tegak (sumbu Y) menyatakan frekuensi.
2. Kurva Frekuensi
Kurva distribusi frekuensi, disingkat kurva frekuensi yang telah dihaluskan mempunyai berbagai bentuk dengan ciri-ciri tertentu. Antara lain : simetris, tidak simetris, bentuk J, bentu U, Bimodal, Multimodal, dll.
34
Poligon Frekuensi
CONTOH SOAL 3:
Buat distribusi frekuensi dari data berikut :
78 72 74 79 74 71 75 74 72 68 72 73 72 74 75 74 73 74 65 72 66 75 80 69 82 73 74 72 79 71 70 75 71 70 70 70 75 76 77 67 CONTOH SOAL 4 :
Buat distribusi frekuensi dari data berikut :
80 18 69 51 71 92 35 28 60 45 63 59 64 98 47 49 48 64 58 74 85 56 72 38 89 55 28 67 84 78 37 73 65 66 86 96 57 76 57 19 54 76 49 53 83 55 83 47 64 39
0
5
10
15
65,5
-67,5
70,5
-73,5
76,5
-79,5
DIAMETER PIPA
DIAMETE
R PIPA
35 Jawaban cth 3: . Urutan data: 65 66 67 68 69 70 70 70 70 71 71 71 72 72 72 72 72 72 73 73 73 74 74 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 76 77 78 79 79 80 82 b. Jangkauan (R) = 82 – 65 =17
c. Banyaknya kelas (k) adalah k = 1 + 3.3 log 40 = 1 + 5.3 = 6.3 ≈ 6 d. Panjang interval kelas (i) adalah
e. Batas kelas pertama adalah 65 (data terkecil)
f. Tabel :
Diameter Turus Frekuensi (F) Relatif (%) Frekuensi Keterangan
65 – 67 III 3 7,5 % x 100 % 68 – 70 IIIII I 6 15 % x 100 % 71 – 73 IIIII IIIII II 12 30 % x 100 % 74 – 76 IIIII IIIII III 13 32,5 % x 100 % 77 – 79 IIII 4 10 % x 100 % 80 – 82 II 2 5 % x 100 % Jumlah 40 100 %
36 F. Jenis-jenis distribusi frekuensi :
Dilihat dari jenisnya terdapat dua macam : a. Distribusi frekuensi numerik
Distribusi frekuensi yang pembagian kelas-kelasnya berupa angka-angka frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka absolut tetapi angka-angka relatif atau %. atau secara kuantitatif.
b. Distribusi frekuensi katagori
Distribusi yang pembagian kelasnya berdasarkan kategori-kategori atau secara kualitatif.
Jenis tabel distribusi frekuensi 1. Distribusi frekuensi tunggal :
37
Distribusi frekuensi tunggal adalah jenis distribusi frekuensi yang mengelompokkan data mentah berdasarkan kategori tunggal, bukan kelompok. Biasanya jenis ini digunakan untuk jenis data yang jarak interval nilai terteinggi dan terendah maksimal 10.
Misalnya: Nilai (x) Frekuensi (f) 8 7 6 5 6 9 19 6 Total 40 = N
2. Distribusi frekuensi bergolong (kelompok) : ada intervalisasi/ penggolongan
Berbeda dengan distribusi frekuensi tunggal, distribusi frekuensi kelompok agak rumit, karena proses pembuatan tabelnya mesti menggunakan rumus baku.
Tabel Distribusi Frekeunsi Data Kelompokan adalah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka, di mana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat sekelompok angka). Data yang disajikan melalui tabel di bawah ini berbentuk Data Kelompokan. Adapun huruf N yang terdapat pada lajur “Total” adalah singkatan dari Number atau Number of Gases, yang berarti “jumlah frekuensi” atau “jumlah hal yang diselidiki”, atau “jumlah individu”. Contoh :
Tabel Distribusi Frekuensi Tentang Usia dari Sejumlah 50 Orang Guru PPKn yang bertugas Pada Sekolah Menengah Atas Negeri.
38 Usia Frekuensi (f) 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 25 – 29 6 7 10 12 8 7 Total 50 = N
3. Distribusi frekuensi meningkat (cummulative frequency) atau Cf: menjumlah secara meningkat frekuensinya.
Dimaksud dengan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif ialah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau: selalu ditambah-tambahkan, baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah.
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Nilai-nilai hasil UTS dalam Mata Pelajaran Pendidikan Pancasila dan Kewarganegaraan (PPKN) dari 40 orang siswa SMAN 13 Bekasi
Ada 2 jenis Cf yaitu :
▫ Distribusi frekuensi meningkat dari bawah (Cfb ) yakni jika menjumlahkan frekuensi diawali dari nilai paling rendah dan
▫ Distribusi frekuensi meningkat dari atas (Cfa) jika menjumlahkan frekuensi dimulai dari nilai tertinggi.
39
Upah (Rp Banyak Persetase
keseluruhan 5 – 10 – 15 – 20 – 25 – (10/50)x100 = (20/50)x100 = (14/50)x100 = (4/50)x100 = (2/50)x100 =
∑
a. DF RelatifAdalah df yang dinyatakan dalam bentuk persentase atau proporsi Dengan rumus :
40
b. Df Kumulatif “Kurang Dari” Upah (Rp 000) Kelas Banyak Buruh
f
i(f
relatif) %
Kurang dari 5 Kurang dari 10 Kurang dari 15 Kurang dari 20 Kurang dari 25 Kurang dari 30 0 10 = (0+10) 30 = (10+20) 44 = (10+20+14) 48 = (10+20+14+4) 50 = (10+20+14+4+2) 0 20 60 88 96 100 c. Df Kumulatif “Atau Lebih”Upah (Rp 000) Kelas Banyak Buruh
f
i(f
relatif) %
5 Atau lebih 10 Atau lebih 15 Atau lebih 20 Atau lebih 25 Atau lebih 30 Atau lebih 50 = (10+20+14+4+2) 40 = (50-10) 20 = (40-20) 6 = (20-14) 2 = (6-4) 0 = (2-2) 100 80 40 12 4 0 Grafik Df1. Histogram (ordinat diambil dari tepi bawah kelas)
2. Poligon Frekuensi (ordinat diambil dari titik tengah kelas) 3. Kurva Frekuensi (poligon yang diratakan)
41
SOAL SATU
Suatu penelitian dilakukan terhadap 100 peti barang dalam rangka meneliti barang rusak dalam tiap peti. Didapat daftar sebagai berikut :
Banyaknya Barang Rusak Dalam Tiap Peti Banyaknya Peti Kurang dari 4 20 5 – 9 39 10 – 14 23 15 – 19 11 20 – 24 7 Pertanyaan :
a. Berapa rata-rata banyaknya barang rusak dalam tiap peti (gunakan ukuran gejala pusat yang tepat). (20%)
b. Jika dinyatakan, setiap peti diijinkan keluar gudang jika hanya berisi barang paling banyak 12 barang, berapa jumlah peti yang memenuhi syarat
tersebut ? (40%)
Soal Dua
Diketahui data mengenai umur mahasiswa UNIDU sebagai berikut :
Umur Banyaknya Mahasiswa 18 – 20 50 21 – 25 750 26 – 30 100 Jumlah 900 Pertanyaan :
a. Hitung Rata-rata yang paling tepat selain dengan rata-rata hitung ( 20%) b. Hitung rata-rata hitungnya. (20%)
42 BAB 4
PENGUKURAN NILAI SENTRAL
Tujuan :
mempelajari cara penyajian data secara numerik dan grafik : rata-rata, median, modus rata-rata ukur, rata-rata harmony, rata-rata tertimbang.
Analisis statistika :
dimulai dari deskripsi fakta, analisis dan membuat kesimpulan (dasar pembuatan keputusan)
A. PENGERTIAN PENGUKURAN NILAI SENTRAL
adalah ukuran yang menunjukkan pusat sekumpulan data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Ukuran pemusatan yang akan dibahas disini adalah, rata-rata (mean), modus dan median.
Pengukuran tendensi sentral adalah pengukuran ke arah memusatnya data, yang biasanya terletak di tengah kurve normal.
Mean diterapkan dengan tujuan untuk menentukan angka/ nilai rata-rata dan secara aritmatik ditentukan dengan cara menjumlah seluruh nilai dibagi banyaknya individu.
Pengukuran rata-rata dapat diterapkan dengan asumsi bahwa data yang diperoleh dari hasil pengukuran berskala interval dan rasio.
Pengukuran tendensi sentral adalah pengukuran ke arah memusatnya data, yang biasanya terletak di tengah kurve normal.
B. Jenis pengukuran nilai sentral
Merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data. Yang termasuk nilai sentral :
1. rata-rata hitung (aritmatic mean) 2. median (nilai tengah)
3. modus (mode / nilai yang sering muncul) 4. rata-rata ukur (geometric mean)
43 5. rata-rata harmoni (harmonic mean) 6. rata-rata kuadrat (quadratic mean) 1. Rata-rata (Mean)
Ukuran Pemusatan yang paling sering digunakan adalah rata-rata. Rata-rata sering pula disebut mean. Nilai rata-rata dari sekumpulan data adalah jumlah nilai (bilangan) Semua anggota data dibagi dengan banyaknya anggota data yang digunakan.
Rumus umumnya :
a. Data Tunggal (tidak berkelompok )
misalkan x1,x2,x3,...,Xn menyatakan nilai dari sekumpulan data yang banyaknya n buah. Rata-rata ini dihitung dengan cara :
̅ = ∑
xi = nilai tengah kelas ke-I
fi = frekuensi kelas ke-I
n = jumlah data Contoh 1 :
Dari lima kali ulangan harian matematika seorang siswa diperoleh nilai : 85,79,91,81,dan 78. Berapakah nilai rata-ratanya ?
Penyelesaian :
̅ =
Jadi, rata-rata nilai siswa tersebut adalah 82,8 Contoh 2 :
Tabel frekuensi berikut ini memperlihatkan hasil ulangan IPA untuk 25 siswa disuatu kelas, berapakah nilai rata-rata ulangan IPA dikelas tersebut ?
Nilai Frekuensi 6 5 7 7 8 9 9 4 Jumlah 25 Penyelesaian : ̅ = ( ) ( ) ( ) ( ) n X n X ... X X X 1 2 n i
44
Jadi, rata-rata ulangan IPA dikelas tersebut adalah 7,48.
b. Data berkelompok
Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan : ̅ = ∑
∑ atau
dengan :
x1 = nilai titik tengah pada kelas interval ke-i
f1 = nilai frekuensi pada kelas interval ke-i
i = 1,2,3,...,n. Contoh 3 :
Misalnya diberikan tabel distribusi frekuensi berikut : Nilai Frekuensi 50 – 56 3 57 – 63 5 64 – 70 8 71 – 77 13 78 – 84 7 85 - 91 4 Jumlah 40 Penyelesaian : Nilai Frekuensi 50 – 56 3 53 159 57 – 63 5 60 300 64 – 70 8 67 536 71 – 77 13 74 962 78 – 84 7 81 567 85 - 91 4 88 352 40 2876 ̅ = ∑ ∑ =
Jadi, nilai rata-rata dari data tersebut adalah 71,9.
2. median (nilai tengah)
Median adalah nilai yang terletak di tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan. Perhitungan nilai median dari sekumpulan data bergantung
i i i n 2 1 n n 2 2 1 1 f X f f ... f f X f ... X f X f X
45
pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok. Median adalah nilai yang membagi distribusi menjadi 2 bagian yang sama yakni 50 persen, 50 persen.
Harga median bisa ditentukan dengan beberapa formulasi tergantung pada kasus yang dihadapi.
a. Data Tunggal (tidak berkelompok) Langkahnya sebagai berikut :
1. Jika banyaknya data berupa bilangan ganjil, maka nilai mediannya dihitung dari data yang paling tengah.
Median = X(k+1) atau nilai yang ke k+1 dimana n = 2k-1 dan k =
Contoh 4 :
- 81 86 94 98 102 maka mediannya adalah 94 - n = 111 nilai k =
2. Jika banyak datanya berupa bilangan genap, maka nilai mediannya dihitung berdasarkan nilai rata-rata dua data yang terletak ditengah. Median = ½ ( Xk +Xk+1) untuk n genap
dimana n = 2 k dan k = Contoh 5 :
diambil secara acak enam buku dengan panjang masing – masing 23, 31, 19,27, 25 dan 29. tentukan median buku !
Jika data tersebut diurutkan dari yang terkecil : 19,23,25,27,29,31 dan mediannya sebesar ( )= 26
Keterangan : K= median n = jumlah data
b. Data berkelompok
Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus digunakan : Me = BB + p( ) atau , -
Keterangan :
Me = Nilai median
BB / L0 = batas bawah kelas median
46 n = jumalah data
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang memuat median f = frekuensi median Contoh 6: Nilai Frekuensi 50 – 56 3 57 – 63 5 64 – 70 8 71 – 77 13 78 – 84 7 85 - 91 4 40 Berapa median dari data tersebut ?
Penyelesaian :
Pada tabel distribusi frekuensi tersebut, median berada pada kelas 71-77, sebab jumlah frekuensi tiga kelas pertama yaitu 3 + 5 + 8 = 16 lebih kecil dari 20, juga jumlah frekuensi dua kelas terkahir lebih kecil dari 20, yaitu 7 + 4 = 11. Maka median untuk data diatas, didapatkan sebagai berikut :
Me = BB + p( ) = 70,5 + 7( ) = 70,5 + 7. / = 72,65
Jadi, median dari data tersebut adalah 72,65.
3. Modus
Modus digunakan untuk menyatakan data yang paling banyak terjadi atau paling banyak muncul. Perhitungan nilai modus dari sekumpulan data tergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok. Satu hal yang perlu diingat bahwa modus adalah persoalan nilai bukannya frekuensi. Frekuensi hanya menunjuk intensitas kemunculan sesuatu nilai.
a. Data Tunggal (tidak berkelompok)
Ada beberapa kemungkinan terjadinya nilai modus dari sekumpulan data. (i). Hanya diperoleh satu nilai modus
Hal ini terjadi, jika sebuah nilai data mempunyai frekuensi kemunculan yang lebih banyak dari pada frekuensi kemunculan nilai data lainnya. Contoh 7:
Berapakah modus dari data-data berikut : 4,2,3,7,2,5,2,3,2
47
Karena dalam data tersebut 2 merupakan data yang paling banyak
muncul, maka modus dari data tersebut adalah 2.
(ii). Diperoleh dari satu nilai modus
Hal ini terjadi, jika ada lebih dari satu nilai data yang mempunyai frekuensi kemunculan yang sama dan terbanyak dibandingkan dengan frekuensi nilai data lainnya.
Contoh 8:
Berapakah modus dari data-data berikut : 5,4,3,7,2,5,2,3,2,3
Peelesaian rena dalam data tersebut 2 dan 3 merupakan datuncul yaitu masing-masing muncul sebanyak 3 kali, maka modus dari data tersebut adalah 2 dan 3.
(iii). Tidak mempunyai modus
Hal ini terjadi, jika setiap data mempunyai frekuensi kemunculan yang sama.
Contoh 9:
Berapakah modus dari data-data berikut : 4,5,6,7,8,9,10,11 Penyelesaian :
Karena dalam data tersebut setiap angka sama-sama muncul saru kali, maka data tersebut tidak mempunyai modus.
b. Data berkelompok
Hal ini agak berbeda jika berhadapan dengan data bergolong. Apabila data yang dihadapi bergolong menentukan harga modus ada 2 pendekatan, yakni pertama, dengan menentukan mid point atau nilai tengah dari interval kelas yang memiliki frekuensi terbanyak dan kedua dengan formulasi sebagai berikut:
Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan adalah :
Mo = BB + p . / atau b b b c L Mod 2 1 1 o Dengan :
Mo / Mod = nilai modus
48 p / c = panjang kelas interval
b1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya.
b2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudahnya
Contoh 10: Nilai Frekuensi 50 – 56 3 57 – 63 5 64 – 70 8 71 – 77 13 78 – 84 7 85 - 91 4 40 Penyelesaian ;
Kelas modus pada tabel distribusi frekuensi tersebut adalah 71-77, karena mempunyai frekuensi paling banyak, yaitu 13
Mo = BB + p . / = 70,5 + 7 . ( ) ( )/ = 70,5 + 7. / = 73,68
jadi, modus untuk data tersebut adalah 73,68.
C. HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :
1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri. 2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka kurva miring ke kanan. 3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka kurva miring ke kiri.
Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan : Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)
Dalam suatu distribusi data sangat dimungkinkan harga atau nilai mode/modus lebih dari satu.
Jika…
Nilai mode/modus hanya satu disebut dengan unimode, Dua nilai mode disebut dwi mode, dan
Lebih dari dua nilai mode/modus dinamakan multimode.
X Med
3 Mod
49 D. RATA-RATA UKUR
Dalam masalah bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan data untuk mengetahui rata-rata persentasi tingkat perubahan sepanjang waktu atau pengrata-rataan rasio.
√ Atau
∑
Contoh :
Wilayah Metropolitan diharapkan akan memperlihatkan laju kenaikan jumlah lapangan kerja yang tinggi antara tahun 2001 dan 2002. Jumlah lapangan kerja diharapkan meningkat dari 5.164.900 jiwa menjadi 6.286.800 jiwa berapa rata-rata ukur laju pertumbuhan kenaikkan tahunan yang diharapkan?
Jawab :
Diketahui : X1 = 5.164.900, X2 = 6.286.800, n = 2
Cara 1 : Log G = ½ (Log X1 +Log X2)
= ½ (Log 5164900 + Log 6286800) = ½ (6.713 + 6.798) = 6.7555 G = Antilog 6.7555 = 5695082.2 Cara 2 : √ =5.698.306,18 E. Rata-rata harmoni
Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal.
Rata-rata harmonis (RH) dari n angka, X1, X2, …, Xn adalah nilai yang diperoleh
dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X Untuk data tidak berkelompok
n X anti G log log i X 1 n RH50 Untuk data berkelompok
Contoh rata – rata harmoni 1 :
Contoh rata – rata harmoni 2 :
Seorang Pedagang Kaos di Bandung memperoleh hasil penjualan Rp 2.000.000/Minggu dengan rincian sebagai berikut :
Minggu 1 : Terjual 100 Kaos seharga Rp. 20.000/Kaos Minggu 2 : Terjual 80 Kaos seharga Rp. 25.000/Kaos Minggu 3 : Terjual 40 Kaos seharga Rp. 50.000/Kaos Minggu 4 : Terjual 50 Kaos Seharga Rp. 40.000/Kaos Berapakah Harga rata-rata kaos tersebut per-Kaosnya?
Jawab:adi rata-rata harmonis harga per kaos = Rp.29629.63
F. RATA-RATA HITUNG TERTIMBANG
Seringkali dalam suatu persoalan, masing-masing nilai mempunyai bobot atau timbangan tertentu.
Misalnya X1 dengan timbangan W1, X2 dengan timbangan W2 dan seterusnya
sampai Xn, dengan timbangan Wn
Oleh karena itu, rata-rata yang menggunakan timbangan tersebut disebut rata-rata tertimbang Contoh : X f f RH
63
,
29629
4
1
400001 50000 1 25000 1 20000 1 1
n i i HX
n
R
51
Seorang Mahasiswa dari jurusan Managemen U-Binus, Mengikuti ujian untuk mata kuliah Ekonomi Mikro(4sks), Metode Kuantitatif Bisnis (4sks), Statistik Ekonomi I (2sks), Ekonomi Manajerial (4sks). Dari 4 mata kuliah yang diambil diperoleh nilai akhirnya adalah:
Ekonomi Mikro : 80
Metode Kuantitatif Bisnis : 88 Statistik Ekonomi I : 78 Ekonomi Manajerial : 90 Hitunglah rata-rata hasil ujian dari mahasiswa tersebut?
Jawab
Diketahui : X1 = 80, X2 = 88, X3 = 78, X4 = 90 W1 = 4, W2 = 4, W3 = 2, W4 = 4
Jawab :
Jadi rata-rata ujian nilai mahasiswa tersebut = 84.67
67 , 84 4 2 4 4 90 . 4 78 . 2 88 . 4 80 . 4 1 1
n i i n i i i w W W X X52 G. Rata-rata kuadrat (Quadratis Mean) 1. Data Tunggal (tidak berkelompok)
√∑ Keterangan :
fn : Frekuensi
Xn : data
Contoh :
Apabila ada 6 orang mahasiswa mengikuti test dengan nilai masing-masing 80, 70,90,50,85,60 carilah rata-rata kuadratnya !
Penyelesaian :
√ √
2. Data berkelompok
Rumus rata-rata kuadrat untuk data berkelompok adalah sebagai berikut :
√∑ ∑ Keterangan : F : frekuensi M : titik tengah Contoh :
Diketahui nilai ujian mata kuliah statistika untuk kelas selasa pagi ruang R.506 di Fakultas Ekonomi yang diikuti oleh 65 orang mahasiswa adalah sebagai berikut :
Kelas Interval Kelas Frekuens i 1 25-34 6 2 35-44 8 3 45-54 11 4 55-64 14 5 65-74 12 6 75-84 8 7 85-94 6
53
Jumlah 65
Berapakah rata-rata kelompok nila i statistika dengan menggunakan rata-rata kuadratik ? Penyelesaian : No . Nilai Interval
Frekuensi (fi) Titik tengah (M) M² f.M² 1 25-34 6 29,5 870,25 5221,5 2 35-44 8 39,5 1560,3 12482 3 45-54 11 49,5 2450,3 26952,75 4 55-64 14 59,5 3540,3 49563,5 5 65-74 12 69,5 4830,3 57963 6 75-84 8 79,5 6320,3 50562 7 85-94 6 89,5 8010,3 48061,5 Jumlah 65 250806,3
H. UKURAN LETAK DATA
UKURAN LETAK DATA YANG DIBAHAS KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL KUARTIL
Jika sekumpulan data terurut dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak, maka bilangan pembaginya dinamakan kuartil. Letak kuartil ada 3, antara lain :
1. Kuartil ke-1 (kuartil bawah) : Q1
2. Kuartil ke-2 (kuartil tengah) : Q2
3. Kuartil ke-3 (kuartil ketiga) : Q3
Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil yang paling kecil. Perhitungan nilai kuartil dari sekumpulan data bergantung pada yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok.
Cara menentukan letak kuartil:
a. Data Tunggal (tidak berkelompok)
Cara 1 :
Untuk dt n ganjil
54 Cth n=9 ( ) Untuk dt n genap ( ) ( . / ) ( ) Cth n=8 ( ) ( ) ( ) Cara 2 : Untuk dt n ganjil
a. jika n+1, hasilnya habis dibagi 4
( ) ( ( )) ( ( ))
b. jika n+1, hasilnya tidak habis dibagi 4
. / . /
( ( )) . / . /
Untuk dt genap
a. hasilnya habis dibagi 4
. / . /
