PROGRAMA MATEMATIK MULTI TUJUAN
Programa linier yang kita bahas sebelumnya mempunyai tujuan tunggal, baik persoalan memaksimalkan maupun persoalan meminimalkan.
Pengambil keputusan sering menghadapi persoalan dengan tujuan lebih dari satu, baik yang sejalan maupun yang bertentangan. Misalnya meminimalkan biaya kesehatan di satu pihak sedangkan di lain pihak ingin memaksimalkan kualitas pelayanan kesehatan.
Untuk membahas programa matematik multi tujuan, dibahas secara bertahap.
Programa linier dengan tujuan tunggal: Contoh 1
Sebuah perusahaan akan mengalokasikan dana iklan sebesar $ 100.000 pada media TV dan radio untuk setiap $ 1000 biaya iklan akan menarik peminat sebanyak 10.000 orang pada iklan di TV dan 7500 orang di radio. Pimpinan menetapkan tidak lebih 70% dana dialokasikan pada TV. Tentukan alokasi yang memaksimalkan peminat!
Penyelesaian :
Variabel : Xj = jumlah dana iklan pada media j j=1,2
f.t. maks. Z = 10.000 X1 + 7.500 X2
d.k. X1 + X2 ≤ 100
X1 ≤ 70
Xj ≥ 0 j= 1, 2
Sekarang persoalannya adalah target tujuan dari pimpinan yaitu jumlah peminat sebanyak 1.000.000 orang.
Dengan demikian kendala tujuan adalah: 10.000 X1 + 7.500 X2 ≥ 1.000.000
Jika kita lakukan penyelesaian pada persoalan ini tidak diperoleh penyelesaian yang layak.
Persoalan sekarang adalah tujuan dari pimpinan adalah jumlah peminat yang diraih sebanyak 1.000.000. Dengan demikian fungsi tujuannya menjadi meminimalkan penyimpangan tujuan.
Fungsi tujuan : min Z = 0 X1 + 0 X2 + d- + d+ atau: min Z = d- + d+ dengan kendala : - kendala sistem : X1 + X2 ≤ 100 X1 ≤ 70 - kendala tujuan : 10.000 X1 + 7.500 X2 + d- - d+ = 1.000.000 X1, X2, d- , d+ ≥ 0
di sini selain variabel keputusan terdapat variabel baru yaitu variabel penyimpangan, dengan :
d- = variabel penyimpangan kurang dari tujuan
d+ = variabel penyimpangan lebih dari tujuan
Kedua variabel tersebut berfungsi sebagai variabel slack dan variabel surplus, yang sama-sama ada pada kendala tujuan.
Jika X1 dan X2 dipilih sedemikian rupa diperoleh peminat kurang dari 1.000.000, d- mewakili
jumlah kekurangan peminat dari 1.000.000, dan jika X1 dan X2 dipilih sedemikian rupa
diperoleh peminat lebih dari 1.000.000, d+ mewakili jumlah kelebihan peminat dari 1.000.000.
Jika kita ingin target tujuan tepat 1.000.000, maka nilai kedua variabel penyimpangan tersebut = nol. Pada persoalan programa tujuan, fungsi tujuan selalu meminimalkan dan hanya terdiri dari variabel penyimpangan.
Jika kelebihan pencapaian tujuan dapat diterima, maka hanya terdapat variabel d- pada
fungsi tujuan (sedangkan pada kendala tujuan, kedua variabel tersebut harus terdapat pada kendala), dengan demikian kita ingin meminimalkan kekurangan pencapaian tujuan.
Sebaliknya jika kekurangan pencapaian tujuan dapat diterima, maka hanya terdapat variabel
d+ pada fungsi tujuan, dengan demikian kita ingin meminimalkan kelebihan dari pencapaian
tujuan.
Pada programa linier dengan tujuan tunggal tidak terdapat priorotas pada fungsi tujuan. Pada pembahasan berikut, di mana terdapat tujuan lebih dari satu maka pada fungsi tujuannya kita beri faktor priorotas pada fungsi tujuannya.
Programa Linier Multi Tujuan :
Jika terdapat tujuan lebih dari satu, pada setiap kendala tujuan terdapat variabel penyimpangan. Setiap variabel penyimpangan yang akan dioptimalkan (diminimalkan), pada fungsi tujuan diberi faktor bobot priorotas, dimana yang mempunyai prioritas lebih tinggi lebih besar faktor bobot prioritasnya. Jika terdapat tujuan mempunyai bobot yang sama, maka faktornya sama besar.
Contoh 2 :
Dari contoh sebelumnya, lebih lanjut pimpinan menetapkan iklan tersebut tidak sukses jika peminat kurang dari 750.000 dan dikatakan sukses jika peminat lebih dari 1.000.000.
Pimpinan menetapkan tujuan berikut disusun berdasarkan urutan prioritasnya: - Meminimumkan kekurangan pencapaian dari 750.000
- Menghindari pengeluaran biaya lebih dari $100.000 - Menghindari pengeluaran lebih dari $70.000 pada TV - Meminimumkan kekurangan pencapaian dari 1.000.000
Penyelesaian :
Tujuan 1 dan 4 secara bertingkat mengatakan bahwa pimpinan mempunyai prioritas utama pencapaian tidak kurang dari 750.000,sedangkan prioritas terakhir pimpinan tidak menyukai pencapaian kurang dari 1.000.000.
Model: Fungsi tujuan : min Z = P1d1- + P2d2+ + P3d3+ + P4d4- dengan kendala : - kendala tujuan : 10.000 X1 + 7.500 X2 + d1- - d1+ = 750.000 X1 + X2 + d2- - d2+ = 100 X2 + d3- - d3+ = 70 10.000 X1 + 7.500 X2 + d4- - d4+ = 1.000.000 X1, X2, d1- , d1+ , d2- , d2+ , …d4+ ≥ 0 Pk = prioritas tujuan j=1; 2 ; 3 ;4 P1 >> P2 >> P3 >> P4
Contoh 3 :
Dari persoalan sebelumnya pimpinan berpendapat 2 kelompok umur peminat merupakan kelompok yang penting yaitu kelompok 18 s/d 21 tahun dan 25 s/d 30 tahun. Tabel berikut memperlihatkan jumlah peminat yang ditarik oleh $1.000 iklan pada setiap kelompok umur. Pimpinan menetapkan untuk kedua kelompok umur tersebut paling sedikit 250.000 dan keduanya berada pada prioritas kelima, namun kelompok umur 25 s/d 30 tahun bobotnya 2 kali kelompok umur 18 s.d. 21 tahun.
Umur TV Radio 18 – 21 th 2.500 3.000 25 – 30 th 3.000 1.500 Model: f.t. min Z = P1d1- + P2d2+ + P3d3+ + P4d4 - + P5d5- + 2P5d6 -d.k. 10.000 X1 + 7.500 X2 + d1- - d2+ = 750.000 X1 + X2 + d2- - d2+ = 100 X1 + d3- - d3+ = 70 10.000 X1 + 7.500 X2 + d4- - d4+ = 1.000.000 2.500 X1 + 3000 X2 + d5- - d5+ = 250.000 3.000 X1 + 1.500 X2 + d6- - d6+ = 250.000 X1, X2, d1- , d1+ , … d6- , d6+ ≥ 0
Contoh apikasi lainnya dari programa tujuan :
Contoh 4
Sebuah perusahaan mobill akan menempatkan pesanan 4 macam komponen pada 4 buah perusahaan. Tabel berikut memperlihatkan harga yang ditawarkan dan jumlah permintaan setiap komponen tersebut. Setiap komponen tidak perlu dibeli dari hanya satu pemasok.
Komp. Perush. 1 2 3 4 Juml.Permintaan (unit)
1 $25 $28 - $30 15.000
2 - $80 $75 $82 30.000
3 $30 $28 $33 - 10.000
Perusahaan-perusahaan tersebut mempunyai beberapa kendala yaitu:
- Perusahaan 1 hanya dapat mensuplai komponen 4 maks. 18.000
- Perusahaan 2 hanya dapat mensuplai komponen 1 maks. 3.000
- Perusahaan 4 hanya dapat mensuplai komponen 2 maks. 15.000 dan komponen 4
maksimal 5.000
- Perusahaan 4 menyatakan akan mensuplai pesanan dengan jumlah order paling sedikit
$500.000.
Dalam menempatkan pesanan, pimpinan menetapkan tujuan dengan urutan kepentingan sebagai berikut:
- Meminimumkan jumlah kontrak kepada semua pemasok lebih dari $3,5 juta
- Meminimumkan jumlah pesanan pada pemasok 4 kurang dari $500.000
- Meminimumkan jumlah pesanan pada setiap pemasok lebih dari $1,2 juta
- Oleh karena hubungan yang baik dengan pemasok 1, meminimumkan pesanan kurang
dari $1 juta
Variabel : Xij = jumlah komponen i yang diberikan pada pemasok j
Kendala sistem: Jumlah Komponen: Komponen 1: X11 + X12 + X14 = 15.000 Komponen 2: X22 + X23 + X24 = 30.000 Komponen 3: X31 + X32 + X33 = 10.000 Komponen 4: X41 + X44 = 20.000 Kemampuan pemasok: Pemasok 1 : X41 ≤ 18.000 Pemasok 2 : X12 ≤ 30.000 Pemasok 4 : X24 ≤ 20.000 X44 ≤ 5.000
Order kepada pemasok 4 minimum $ 500.000
(berlebih sehingga tidak diperlukan karena terdapat kendala tujuan 2)
Kendala tujuan:
- Kelebihan order dari $3,5 juta:
25 X11 + 28 X12 + ………….+ 42 X44 + d1- - d1+ = 3,5 juta
- Order pada pemasok 4 kurang dari $500.000
30 X14 + 82 X24 + 42 X44 + d2- - d2+ = 500.000
- Order pada setiap pemasok lebih dari $1,2 juta
25 X11 + 30 X31 + 40 X41 + d3- - d3+ = 1,2 juta
28 X12 + 80 X22 + 28 X32 + d4- - d4+ = 1,2 juta
75 X23 + 33 X33 + d5- - d5+ = 1,2 juta
30 X14 + 82 X24 + 42 X44 + d6- - d6+ = 1,2 juta
- Hubungan baik dengan pemasok 1:
25 X11 + 30 X31 + 40 X41 + d7- - d7+ = 1,0 juta
fungsi tujuan :
min Z = P1d1+ + P2d2- + P3[ d3+ + d4+ + d5+ + d6+ ] + P4d7
-dengan demikian model menjadi :
fungsi tujuan :
min Z = P1d1+ + P2d2- + P3 [ d3+ + d4+ + d5+ + d6+ ] + P4d7
-dengan kendala :
- Kendala sistem :
Kendala permintaan komponen :
Komp. 1 : X11 + X12 + X14 =15.000 Komp. 2 : X22 + X23 + X24 =30.000 Komp. 3 : X31 + X32 +X33 =10.000
Komp. 4 : X41+ X44 =20.000
Kendala persediaan perusahaan :
X41 ≤18.000
X24
≤
15.000 X44≤
5.000 - Kendala Tujuan : 25 X11 + 28 X12 + . . . + 42 X44 + d1- - d2+ = 3,5 juta 30 X14 + 82 X24 + . . . + 42 X44 + d2- - d2+ = 500.000 25 X11 + 30 X31 + . . . + 40 X41 + d3- - d3+ = 1,2 juta 28 X12 + 80 X22 + . . . + 28 X32 + d4- - d4+ = 1,2 juta 75 X23 + 33 X33 + . . . .+ d5- - d5+ = 1,2 juta 30 X14 + 82 X24 + . . . + 42 X44 + d6- - d66+ = 1,2 juta 25 X11 + 30 X31 + . . . + 40 X41 + d7- - d7+ = 1,0 juta - Kendala non negatif :Xij ≥ 0 i∀ j∀ dk ; dk + ≥ 0 k∀
Kendala terakhir dapat diganti dengan d3- + d7- - d7+ = 200.000
Contoh 5 :
Sebuah perguruan tinggi akan menerima sejumlah mahasiswa untuk tahun yang akan datang pada programa studi A, B, dan C yang berasal dari negara bagian tersebut dan dari luar negara bagian. Setiap program studi mempunyai kuota masing-masing sebesar 1500, 400, dan 200 mahasiswa baru. Perguruan tinggi tersebut mempunyai tujuan jumlah mahsiswa yang diterima 2000 orang. Perguruan tinggi tersebut mempunyai target 25% mahasiswa berasal dari luar negara bagian, dari 75% dari dalam negara bagian. Lebih lanjut perguruan tingggi tersebut berharap 40% mahasiswa adalah wanita dan 1300 mahasiswa akan tinggal di asrama. Tabel 1 menunjukkan persentase rata-rata jenis kelamin dari mahasiswa dari negara bagian dan luar negara bagian yang tinggal di asrama. Bagian pendaftaran menentukan batas maksimum mahasiswa pada berbagai program studi yang terdiri dari berbagai asal dan jenis kelamin untuk memenuhi kebutuhan minimum penerimaan seperti pada tabel 2.
Tabel 1 Presentase berdasarkan daerah dan jenis kelamin tinggal di asrama
Daerah Laki-laki Perempuan
Negara bagian 50 % 60 %
Tabel 2 Maksimal penerimaan untuk memenuhi penerimaan minimum
Mahasiswa PS.A PS.B PS.C
Laki-laki negara bagian 800 400 200
Perempuan negara bagian 400 100 10
Laki-laki luar negara bagian 300 100 50
Perempuan luar negara bagian 150 50 5
Tujuan dari perguran tinggi tersebut disusun menurut urutan prioritasnya sbb : - Menerima mahasiswa baru tepat 2000 orang
- Menerima mhsw sesuai dengan kuotanya dgn urutan prioritas pesanan A,B, dan C - Meminimumkan kekurangan pencapaian mahasiswa dari negara bagian dari 75 % - Meminimumkan kelebihan pencapaian mhsw dari luar negara bagian dari 40% - Meminimumkan kekurangan penerimaan mhsw dari 1300 orang tinggal di asrama - Meminimumkan kekurangan penerimaan mahasiswa perempuan dari 40%
- Membatasi kelebihan penerimaan tinggal di asrama sebanyak 50 orang
Variabel : Xijk i = 1,2 j = 1,2 k = 1,2,3
= jenis kelamin j = asal negara bagian k = programa studi Fungsi Tujuan : min Z = P1[d1-+d2+] + 3P2[d3-+d3+] + 2P2[d4--d4+] + P2[d2--d2+] + P3d5- + P4 d6+ + P5d7- + P6d8- + P7d9+ dengan kendala : - Kendala sistem: X111 ≤ 800 X112 ≤ 400 X113 ≤ 200 X121 ≤ 300 X122 ≤ 100 X123 ≤ 50 X211 ≤ 400 X212 ≤ 100 X213 ≤ 10 X221 ≤ 150 X222 ≤ 50 X223 ≤ 5
Kendala Tujuan: X111 + X112 + X113 + X211 + X212 + X213 + X121 + X122 + X123 + X221 + X222 + X223 + d1- - d1+ = 2000 X111 + X211 + X121 + X221 + d2- - d2+ = 1500 X112 + X212 + X122 + X222 + d3- - d3+ = 400 X113 + X213 + X123 + X223 + d4- - d4+ = 200 X111 + X112 + X113 + X211 + X212 + X213 + d5- - d5+ = 0.75 (X111 + … + X223) atau 0.25X111 + 0.25X112 + 0.25X113 + 0.25X211 + 0.25X212 + 0.25X213 – 0.75X121 – 0.75X122 – 0.75X123 – 0.75X221 – 0.75X222 – 0.75X223 + d5- - d5+ = 0 X121 + X122 + X123 + X221 + X222 + X223 + d6- - d6+ = 0.25(X111 + … + X223) atau - 0.25X111 - 0.25X112 - 0.25X113 - 0.25X211 - 0.25X212 - 0.25X213 + + 0.75X121 + 0.75X122 + 0.75X123 + 0.75X221 + 0.75X222 + 0.75X223 + d6- - d6+ = 0 0.5X111 + 0.5X112 + 0.5X113 + 0.6X211 + 0.6X212 + 0.6X213 + 0.8X121 + 0.8X122 + 0.8X123 + 0.95X221 +0.95X222 + 0.95X223 + d7- - d7+ = 1300 X211+X212+X213 + X221 + X222 + X223 + d8- - d8+= 0.40(X111 + … + X223) atau - 0.40X111 - 0.40X112 - 0.40X113 + 0.60X211 + 0.60X212 + 0.60X213 - 0.40X121- 0.40X122 - 0.40X123 + 0.60 X221 + 0.60X222 + 0.60 X223 + d8- - d8+ = 0 d7+ + d8- - d9+ = 0 Xijk ≥ 0 i=1,2 j=1,2 k=1,2,3 dl- ; dl+ ≥ 0 i=1,2,…9
Contoh 6 :
Ahli gizi pada sebuah sekolah merencanakan menu makan siang untuk besokhari. Tabel 9-5 berikut adalah daftar makanan dan harganya serta berbagai data nutrisi. Ahli gizi tersebut menentukan untuk menyajikan paling sedikit satu macam makanan dari setiap grup makanan. Tepat satu macam dari grup daging dan grup minuman. Makanan yang hanya dapat lebih dari 1 (dan makanan yang diikutsertakan dalam seluruh penyajian) adalah keju dan roti. Kebutuhan lain dalam perencanaan adalah paling sedikit 30% dari kebutuhan harian minimum (minimum daily allowance/MDA) dari Calcium dan Vitamin.
Dalam memnentukan berapa banyak setiap jenis makanan diikutsertakan dalam sajian makan ahli gizi menentukan tujuan dngan urutan priortas sebagai berikut:
- Meminimumkan kelebihan biaya total dari $0,8
- Meminimumkan kekurangan jumlah protein 50% dari MDA - Meminimumkan kelebihan jumlah lemak dari 25 gram - Meminimumkan kekurangan pottasium dari 400 mg - Meminimumkan kelebihan jumlah sodium dari 350 mg
Cost/ Protein Fat Minerals Vitamins(mG)
Food Measure Measure Calories (gram) (gram Calcium Potassium Sodium B1 B2 Niacin
Dairy :
1. Whole milk 2. Ice cream 3. Cheese Meat :
4. Lean ground beef 5. Broiled chicken 6. Baked flounder Vegetables 7. Frenchfried potatoes 8. Green beans 9. Carrots, cooked Fruit : 10. Apple juice 11. Banana
12. Orange juice, fresh Grain :
13. Bread, whole wheat 14. Noodles 15. Pizza, cheese 1 cup 1 cup 1” cube 3 oz. 3 oz. 3.5 oz. 10 pcs 1 cup 1 cup 1 cup 1 8 oz. 1 slice 1 cup 1 slice $ 0.15 0.25 0.05 0.45 0.22 0.60 0.10 0.35 0.30 0.18 0.12 0.40 0.05 0.04 0.20 165 300 70 185 185 200 155 25 45 125 85 112 55 200 180 8 6 4 24 23 30 1 1 1 0 1 2 2 7 8 10 18 6 10 9 8 7 0 0 0 0 0 1 2 6 385 175 133 10 10 22 9 45 38 15 8 27 23 16 157 52.5 170 30 340 250 585 510 204 600 200 390 500 40 0 96 19 140 180 110 50 235 6 2 75 5 1 2 144 0 525 0.08 0.18 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.2 0.25 0 0 .425 .30 .10 0 0.1 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0 5.3 7 2.5 1.8 0.6 0.7 0 0.7 1 0.7 0.7 0.8 Minimum daily allowance
(MDA)
Variabel : 1 makanan j dipilih j = 1, 2, 4, 5, ….., 12 Xj =
0 makanan j tidak dipilih
X3; X13 > 0 dan integer; dk-; dk+ > 0 k = 1;2; ….; 5 Kendala : Kendala sistem : 1) X1+X2+X3 > 1 2) X4+X5+X6 = 1 3) X7+X8+X9 > 1 4) X10+X11+X12 > 1 5) X13+X14+X15 > 1 6) X1 + X10 + 12 = 1 7) 385X1 + 175X2 + 10X4 + 10X5 + 22X6 + 9X7 + 45X8 + 38X9 + 15X10 + 8X11 + 27X12 + 23X13 + 16X14 + 157X15 > 240 8) 0.08X1 + 0.18X2 + 0.1X11 + 0.2X12 + 0.05X13 > 0.3 9) 425X1 + 0.3X2 + 0.1X3 + 0.1X5 + 0.1X8 + 0.1X15 > 0.48 10) 0.2X1+0.3X2+5.3X4+7X5+2.5X6+1.8X7+0.6X8+0.7X9+0.7X11+X12+ 0.7X13 + 0.7X14 + 0.8X15 > 5.1 11) 1.5X1 + 8X7 + 16X8 + 6X9 + 2X10 + 10X11 + 129X12 + 8X15 > 21 Kendala tujuan : 12) 0.15X1+0.25X2+0.05X3+0.45X4+0.22X5+0.6X6+0.1X7+0.35X8+0.2X9+ 0.18X10+0.12X11 +0.4X12 + 0.05X13 + 0.04X14 + 0.2X15 + d1- - d1+ = 0.8 13) 8X1+6X2+4X3+24X4+23X5+30X6+X7+X8+X8+X9+2X12+ 2X13+7X14+8X15 + d2- - d2 + = 35 14) 10X1+ 8X2+6X3+10X4+9X5+8X6+7X7+X13+2X14+6X15 + d3- - d3+ = 25 15) 52.5X1+170X2+30X3+340X4+350X5+585X6+510X7+204X8+ 600X9+200X10+390X11+500X12+40X13+96X15+ d4- - d4+ = 400 16) 19X1+140X2+180X3+110X4+50X5+235X6+6X7+2X8+75X9+ 5X10 + X11+`2X12`+`144X13`+`525X15 + d5- - d5+ = 350
Terdapat 11 kendala sistem dan 5 kendala tujuan. Kendala 1-5 menjamin paling sedikit 1 jenis makanan yang dipilih, sedangkan kendala 2 menjamin hanya 1 dari keduanya dipilih. Kendala 6 menjamin hanya satu jenis minuman yang dipilih. Kendala 7 s/d 11 adalah kendala jumlah minimum dari kalsium dan vitamin, sedangkan kendala 12-16 adalah kendala tujuan.
Contoh 7 :
Sebuah perusahaan memproduksi empat macam komponen yang memerlukan mesin bubut dan mesin drilling. Kedua mesin tersebut beroperasi 10 jam per hari. Pada tabel diberikan waktu yang diperlukan dalam menit untuk memproduksi setiap komponen pada kedua mesin tersebut. Dikehendaki kedua mesin tersebut bekerja dalam waktu yang seimbang, di mana dibatasi perbedaan waktu produksi kedua mesin tersebut berbeda paling banyak 30 menit. Permintaan setiap komponen tersebut paling sdikit 10 unit. Di samping itu jumlah produksi komponen 1 tidak dapat melebihi julah produksi komponen 2. buatlah mpdel programa tujuan dari persoalan di atas.
Waktu produksi (menit/unit)
Komponen Mesin Bubut Mesin drilling
1 2 3 4 5 6 4 7 3 2 6 4 Penyelesaian : Variabel :
Xj = jumlah produksi komponen j j = 1; 2; 3; 4
Kendala waktu produksi :
- mesin bubut : 5X1 + 6X2 + 4X3 + 7X4 < 600
- mesin drilling : 3X1 + 2X2 + 6X3 + 4X4 < 600
Selisih waktu produksi : 2X1 + 4X2 – 2X3 + 3X4 Kendala permintaan : Xj > 10
X1 - X2 < 0
Kendala tujuan : 2X1 + 4X2 – 2X3 + 3X4 + d- + d+ = 30
Kendala : Xj; d-; d+ > 0 j = 1; 2; 3; 4
Fungsi tujuan : min. Z = d- + d+
Fungsi tujuan : min. Z = d- + d+ - Kendala sistem : 5X1 + 6X2 + 4X3 + 7X4 < 600 3X1 + 2X2 + 6X3 + 4X4 < 600 Xj > 10; j = 1; 2; 3; 4 X1 - X2 < 0 Kendala tujuan : 2X1 + 4X2 – 2X3 + 3X4 + d- + d+ = 30
Kendala non negatif Xj; d-; d+ > 0 j = 1; 2; 3; 4
Contoh 8 :
Sebuah perusahaan memproduksi mobil mainan. Komponen dari mobil mainan tersebut antara lain adalah roda dan tempat duduk. Setiap mobil mempunyai empat roda dan dua tempat duduk. Yang akan diproduksi pada tiga shift produksi. Kapasitas produksi pada setiap batch produksi pada ketiga shift tersebut berbeda-beda, seperti pada tabel. Pada shift 1 jumlah batch
PENYELESAIAN PERSOALAN PROGRAMA TUJUAN : Penyelesaian secara grafis :
Contoh 7 :
Model Programa Tujuan :
Min Z = p1 d1- + P2 d2 - + P3 d3 -Kendala sistem : 2X1 + 3X2 ≤ 30 6X1 + 4X2 ≤ 60 Kendala tujuan : X1 + X2 + d1- - d1+ = 10 X2 + d2- - d2+ = 7 X1 + d3- - d3+ = 8 X1, X2, d1-, d1+ , d2-, d2+ , d3-,d3+ ≥ 0 Penyelesaian :
Pertama dicari bidang penyelesaian dari kendala sistem
Kemudian dimasukkan kendala tujuan , lalu dicari bidang penyelesaian dari kendala tujuan tersebut berurutan menurut skala prioritasnya
- Gambar a menggambarkan daerah penyelesaian dari kendala sistem.yaitu bidang yang
berwarna gelap.
- Pada gambar b kendala tujuan ditambahkan pada gambar a. Tanda panah yang menuju
titik A (0,0) menunjukkan daerah penyimpangan kurang dari, sedangkan tanda panah yang menjauhi titik A menunjukkan daerah penyimpangan lebih dari.
- Gambar c menunjukkan tujuan prioritas pertama yaitu meminimumkan d1- dimasukkan
ke daerah penyelesaian. Disini nilai d1- pada garis persamaan X1+X2 = 10 adalah nol.
Dengan demikian bidang yang berwarna lebih gelap adalah bidang penyelesaian yang baru.
- Gambar d kendala tujuan prioritas kedua dimasukkan yaitu meminimumkan d2-, dengan
demikian diperoleh bidang penyelesaian ABC.
- Gambar e kendala tujuan prioritas ketiga dimasukkan, yaitu meminimumkan d3-. Pada
gambar ini terlihat d3- tidak dapat nol. D3- paling kecil diperoleh pada titik C Dengan demikian titik C dalah titik optimal, dimana pada titik tersebut d3- terkecil yang dapat diperoleh.
Contoh 8 :
Dari contoh 2 pada hal. 3 modelnya :
f. t. min Z = P1d1- + P2d2+ + P3d3+ + P4d4- d. k. 10.000 X1 + 7.500 X2 + d1- - d1+ = 750.000 (1) X1 + X2 + d2- - d2+ = 100 (2) X2 + d3- - d3+ = 70 (3) 10.000 X1 + 7.500 X2 + d4- - d4+ = 1.000.000 (4) X1, X2, d1- , d1+ , d2- , d2+ , …d4+ ≥ 0 Pk = prioritas tujuan j=1; 2 ; 3 ;4 P1 >> P2 >> P3 >> P4
Dari gambar (d) di atas, terlihat titik optimal adalah di titik C, yaitu porpotongan antara garis (2) dan dan garis (3) à
(2) x1 + x2 = 100 x2 = 30
(3) x1 = 70
dengan demikian titik optimal adalah pada x1 = 70 dan x2 = 30
Penyelesaian dengan metode simpleks :
Pada model programa linear jika variabel lebih dari 2 buah persoalan harus diperoleh dengan metode simpleks, demikian juga pada programa tujuan. Di sini bobot prioritas diberi angka, di mana P1>> P2>> P3 . . . >> Pn
Jika pada model terdapat kendala dengan hubungan = dan > , maka pada fungsi tujuan terdapat penalti sebesar M x variable buatan. Disini M >> P1. Setelah itu diselesaikan dengan metode simpleks.
