Kerangka Kuliah
• Himpunan Persamaan Linear
• Fungsi-fungsi Matriks
Himpunan Persamaan Linear
• Semula Matlab dibuat untuk
menyederhanakan komputasi matriks
dan aljabar linear yang terdapat di
berbagai aplikasi
Himpunan Persamaan Linear
• Simbol perkalian matriks (.) diartikan dalam konteks matriks, tidak dalam konteks array seperti pada bab sebelumnya
• Dalam Matlab perkalian matriks dilambangkan dengan asterik (*)
• Persamaan di atas berarti “perkalian matriks A dengan vektor x sama dengan vektor b
351 9 8 7 804 6 5 4 366 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 351 804 366 . 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 x x x
b
x
Himpunan Persamaan Linear
• Masalah mendasar dalam aljabar linear:
ada atau tidaknya solusi
• Jika ada solusi, terdapat berbagai
metode penyelesaian:
– Eliminasi Gauss – Faktorisasi LU
Himpunan Persamaan Linear
• Cara memasukkan elemen-elemen
matriks ada 2:
– Titik koma – Ganti baris
• Matriks memiliki solusi bila
determinan
-nya tidak sama nol:
>>det(A)
Himpunan Persamaan Linear
• Dua cara penyelesaian:
– Lebih disukai: x=A\b
– Kurang diminati tapi langsung menuju sasaran: x=inv(A)*b
• Metode 1 menggunakan pendekatan faktorisasi LU dan melambangkan solusi sebagai pembagian kiri A ke b
• Lebih disukai karena:
– Memerlukan sedikit perkalian dan pembagian, sehingga lebih cepat
Himpunan Persamaan Linear
• 2 kasus persamaan:
– Terdapat lebih BANYAK persamaan dari
pada variabel (kasus berlebihan) disebut
penyelesaian kuadrat terkecil
– Terdapat lebih SEDIKIT persamaan dari
pada variabel (kasus kekurangan) disebut
penyelesaian normal minimum
Himpunan Persamaan Linear
KASUS BERLEBIHAN
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0;2 5 8] % 4 pers. 3 var >>b=[366 804 351 514]’ % vektor rhs baru
Himpunan Persamaan Linear
KASUS KEKURANGAN
>>A=A’ % membuat 3 pers. 4 var
>>b=b(1:3) % membuat vektor rhs baru
>>x=A\b % solusi dengan jumlah nol terbanyak >>xn=pinv(A)*b % solusi normal minimum
Fungsi-fungsi
Matriks
• balance (A) • cdf2rdf(A) • chol(A)
• cond(A) • det(A) • eig(A) • expm(A)
• hess(A) • inv(A) • lu(A)
Matriks Khusus
Pengaturan Grafik
Pengaturan Grafik
•
Jenis grafik
•
Jenis garis
x = 0:0.01:20;
y1 = 200*exp(-0.05*x).*sin(x); y2 = 0.8*exp(-0.5*x).*sin(10*x);
[AX,H1,H2] = plotyy(x,y1,x,y2,'plot');
set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','Left Y-axis') set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','Right Y-axis') xlabel('Zero to 20 \musec.')
POLINOMIAL
Akar
• Bagaimana menemukan akar suatu polinomial, yaitu suatu nilai yang membuat polinomial bernilai nol, adalah problem yang muncul dalam berbagai bidang ilmu.
• MATLAB menyelesaikan masalah ini dan sekaligus menyediakan sarana untuk memanipulasi
polonomial.
• Dalam MATLAB, polinomial direpresentasikan
Contoh 1
x
4-12x
3+10x
2+25x+116 =0
• Berapa akarnya?
• MATLAB:
>> p =[1-12 0 25 116]; >> r=roots(p)
• Karena baik suatu polinomial maupun akarnya adalah vektor dalam MATLAB, MATLAB menggunakan
Akar ke Polinomial
•
Dengan memberikan akar-akar suatu
polinomial maka dimungkinkan untuk
menemukan polinomialnya.
•
Hal tersebut dikerjakan dengan menggunakan
fungsi poly:
Perkalian
•
Perkalian polinomial dikerjakan dengan
fungsi conv (yang melakukan “convolution”
dari dua array).
•
Perhatikan hasil perkalian dua polinomial
a(x)=x
3+2x
2+3x+4
dengan
b(x)=x
3+4x
2+9x+16
:
Penjumlahan
•
MATLAB tidak menyediakan fungsi langsung
untuk menjumlahkan polinomial.
•
Penjumlahan array biasa dapat digunakan jika
kedua vektor polinomial mempunyai ukuran
yang sama.
•
Untuk menjumlah polinomial a(x) dengan b(x)
di atas:
Pembagian
•
Dalam beberapa kasus tertentu adalah perlu
membagi suatu polinomial dengan polinomial
yang lain.
•
Dalam MATLAB, hal tersebut dapat
dilakukan dengan menggunakan fungsi
deconv.
•
Dengan menggunakan polinomial b dan c
Turunan
•
Karena turunan suatu polinomial mudah
dilakukan MATLAB menyediakan fungsi
polyder untuk turunan polinomial:
Evaluasi
• Setelah anda dapat menjumlahkan, mengurangkan,
mengalihkan membagi dan menurunkan polinomial
berdasarkan pada vektor baris dari koefisien-koefisiennya, Anda seharusnya juga dapat mengevaluasinya.
• Hal tersebut dikerjakan dengan fungsi polyval
>> x = linspace (-1, 3)
>> p = [ 1 4 -7 -10] ;
>>v=polyval (p,x)
Polinomial Rasional
•
Dengan MATLAB, bentuk diatas
dimanipulasi dengan memperhatikan kedua
polinomial secara terpisah
• Pembilang : >>n = [ …… ] • Penyebut : >>d = [ …… ]
>> [r,p,k] = residue (n,d)
