TOPOLOGI (ppt) Retno

(1)

(2)

TOPOLOGI



BAB I

SET DAN RELASI



BAB II

FUNGSI



BAB III

RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL

SPACES)



BAB IV

BASIS & BASIS BAGIAN



BABV

KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN



BAB VI

KONTABILITAS



BAB VII AKSIOMA PEMISAH



BAB VIII

KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS)

(3)

BAB I

SET DAN RELASI



SET, ELEMEN (UNSUR)



SUBSET & SUPERSET



SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG



KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG



OPERASI-OPERASI PADA SET



PRODUK DARI SET-SET



RELASI



RELASI EQUIVALEN

(4)

SET, ELEMEN (UNSUR)



Pernyataan dinotasikan .



Negasi dari ditulis “” dan ini berarti “p bukan elemen A atau p

tidak termasuk di dalam A”



Ada dua cara untuk menyatakan suatu set, yaitu:

Bila mungkin semua anggota ditulis (cara Roster),

misal

Menyatakan suatu set dengan notasi pembentuk set (cara Rule),

misal

(5)

(6)

SUBSET & SUPERSET



Definisi:

Dua set A dan B adalah sama bila dan hanya bila

.

Dalam hal tetapi , dikatakan bahwa A adalah

subset

murni dari B atau B memuat A.



Teorema I:

(7)

SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG



Dalam teori set, semua set dibentuk oleh subset-subset dari

suatu set tetap. Set tetap seperti itu disebut

set universal

atau semesta pembicaraan

dan dinotasikan dengan U. Ada

pula set yang tidak mempunyai anggota dan set ini disebut

set kosong dengan notasi yang merupakan set terhingga dan

merupakan subset dari setiap set. Jadi

untuk sebarang set

A maka

.

(8)

KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG



Anggota-anggota dari suatu set adalah set, misalnya tiap-tiap garis di dalam

suatu set dari garis-garis adalah set dari titik-titik. Set yang anggotanya

terdiri dari set-set disebut

Kelas, Koleksi atau Famili

, misalkan bukanlah

kelas karena mengandung elemen c yang bukan set (himpunan).



Pada umumnya koleksi atau family digunakan untuk member nama dari set

yang anggotanya kelas-kelas. Pengertian subkelas, subkoleksi, dan subfamili

mempunyai arti yang sama dengan subset. Misalkan A adalah suatu set.

Set Kuasa (Power Set) dari A ditulis atau adalah kelas dari semua

subset dari A.



Umumnya,

apabila A terhingga dengan n unsur di dalamnya maka =

anggota.



Kata ruang (spaces) artinya suatu set yang tidak kosong yang anggotanya

beberapa bentuk struktur matematika, seperti ruang vektor, ruang metrik

atau ruang topologi.

(9)

OPERASI-OPERASI PADA SET

 _{Teorema 2:}

Hukum-hukum Aljabar set: Hukum sama kuat: , Hukum Asosiatif: , Hukum Komutatif: , Hukum Distributif: , Hukum Identitas: , Hukum Komplemen: , Hukum De Morgan: ,

(10)

PRODUK DARI SET-SET



Misalkan A dan B adalah set-set tertentu.

Produk dari set A

dan B ditulis

, memuat semua pasangan terurut (a,b)

dengan .



Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan

dinotasikan dengan .

(11)

(12)



Domain (daerah asal) dari relasi R dari A ke B

adalah set dari koordinat pertama pasangan di

dalam R dan range (daerah hasil) adalah set dari

koordinat kedua di dalam R yaitu:



Domain & Range



Invers dari R ditulis adalah relasi dari B ke A

didefinisikan:

(13)

(14)

 _{Bila R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari adalah set dari}

elemen-elemen yang berrelasi dengan a yaitu: .

 _{Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis A/R disebut faktor (quotient) A oleh R yaitu}

A/R=.

 _{Set faktor A/R memenuhi sifat-sifat berikut:}  _{Teorema 4.}

Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan adalah kelas equivalen dari maka:

Untuk setiap

bila dan hanya bila (a,b) Bila

Suatu kelas dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan hanya bila :

Tiap termasuk anggota dari

Anggota-anggota dari sepasang-sepasang saling lepas (disjoint)

 _{Teorema 5.}

Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor (quotient) A/R adalah partisi dari A.

(15)

KOMPOSISI DARI RELASI

 _{Misal U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu maka relasi}

dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang . disebut komposisi dari U dan V ditulis .

Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis: .

 _Contoh:

Misalkan , , dan

U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C. Gambarkan kedua relasi tersebut dan tentukan !

(16)

BAB II

FUNGSI



FUNGSI



FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS &

INVERS



KOMPOSISI FUNGSI



SET BERINDEKS



ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI

(17)

FUNGSI

 _{Misalkan tiap-tiap elemen dari set A dipasangkan dengan tepat satu elemen yang unik}

dari set B, suatu koleksi f yang memasangkan elemen-elemen tersebut disebut fungsi (mapping/pemetaan) dari A ke B ditulis .

 _{Elemen yang ada dalam B sebagai pasangan dari disebut nilai f pada a atau}

bayangan (image) dari a di bawah f. Domain (daerah asal) f adalah A dan kodomain (daerah kawan) dari f adalah B. Tiap-tiap fungsi berkorespondensi dengan relasi di dalam A X B dinyatakan oleh .

 _{Set tersebut dikatakan sebagai grafik dari f. Daerah hasil dari f (range f) ditulis adalah}

set dari semua bayangan (peta) dari a oleh f yaitu .

 _{Dua fungsi adalah sama ditulis bila dan hanya bila untuk tiap yaitu bila dan hanya}

bila kedua grafik sama.

(18)

FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS

 _{Fungsi disebut}_satu-satu_{atau 1 – 1 bila elemen-elemen dalam A mempunyai peta}

yang berbeda dalam B yaitu bila:

 _{Fungsi disebut}_onto_{(kepada) bila tiap adalah bayangan dari sebarang yaitu bila: .}

Jadi bila f onto .

 _{Umumnya, relasi invers dari suatu fungsi tak perlu merupakan fungsi. Apabila f suatu}

fungsi yang onto dan satu-satu maka adalah fungsi dari B kepada A dan disebut fungsi invers.

 _{Relasi identitas (diagonal) adalah suatu fungsi yang disebut fungsi}_identitas_{pada A.}

Fungsi identitas dinotasikan oleh . Dalam hal ini, untuk tiap

 _{Selanjutnya bila f : A , bila f satu-satu dan onto dengan invers maka}  _{Proporsi 1: misal sehingga maka:}

(19)

(20)

ALJABAR DARI FUNGSI

BERNILAI REAL

 _{Misal F (X,R) notasi untuk koleksi dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan}

pada sebarang set X. Beberapa operasi di dalam F (X,R) berkorespondensi dengan operasi-operasi di dalam R.

(21)

 _Teorema:

Koleksi dari semua fungsi bernilai real didefinisikan pada set tidak kosong X dengan operasi-operasi yang didefinisikan di atas memenuhi aksioma ruang vector real linear berikut:

Operasi tambahan (adisi) dari fungsi-fungsi f dan g memenuhi sifat-sifat:

Untuk tiap

Operasi perkalian skalar k.f dari fungsi f dengan bilangan real k memenuhi sifat:

Operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi sifat:

(22)

BAB III

SPACES)



RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)



TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS)



HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS

& CLOSED SETS)



PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET)



INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY



LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN



TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER



RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF

(23)

SPACES)



Misal adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas yang

anggotanya subset-subset dari disebut

topologi pada X

, bila

dan hanya bila memenuhi ketiga aksioma berikut:

termasuk dalam

Gabungan dari set-set anggota dari adalah anggota

Irisan dari dua set anggota adalah anggota



Anggota –anggota dari disebut set – set buka dari , dan

(24)



Apabila D adalah kelas dari semua subset dari atau atau

dapat dikatakan D adalah

himpunan kuasa (power set)

dari

maka adalah topologi pada karena memenuhi ketiga

aksioma pada topologi sehingga disebut

topologi diskrit

dan

disebut

ruang topologi

diskrit

atau secara singkat disebut

ruang diskrit

., sedangkan

himpunan kuasa (power set)

dari X

yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah

semua himpunan bagian dari .



Suatu topologi pada harus memuat set . Kelas yang

hanya memuat adalah topologi pada X, sehingga disebut

topologi indiskrit

dan

disebut

ruang topologi indiskrit

atau

ruang indiskrit.



Apabila ruang topologi dan adalah kelas yang anggotanya

semua komplemen dari set-set buka dari maka adalah

(25)

 _{adalah topologi pada X maka juga merupakan topologi pada tetapi belum tentu}

(tak perlu) merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong adalah set kosong dan irisan kosong dari subset-subset dari adalah sendiri.

 _{Elemen suatu topologi pada disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian}

dari yang komplemennya ada di dalam ( merupakan himpunan yang tertutup atau dapat dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka adalah himpunan-himpunan yang tertutup. Jadi suatu himpunan disebut tertutup jika hanya jika adalah terbuka.

 _{Apabila adalah suatu topologi pada maka kelas himpunan bagian yang tertutup}

dari mempunyai sifat :

adalah himpunan-himpunan yang tertutup

Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup

(26)

(27)

HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN

TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS)

 _Definisi:

Untuk sebarang ruang topologi . Anggota-anggota dari dikatakan himpunan terbuka.

 _Teorema:

Untuk sebarang ruang topologi maka: adalah set-set buka Irisan dari set-set buka adalah buka

Gabungan dari dua set-set buka adalah buka

 _{Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan}

terbuka. Misal adalah ruang topologi. Subset dari disebut set tertutup bila dan hanya bila komplemen adalah set buka.

 _Definisi:

Untuk sebarang ruang topologi , suatu himpunan bagian dari dikatakan himpunan tertutup jika komplemennya merupakan himpunan terbuka pada .

 _{Apabila adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari adalah buka maka setiap subset dari adalah}

juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain, setiap subset dari X adalah buka dan tutup. Ingat bahwa , untuk setiap subset dari maka diperoleh proposisi berikut:

 _{Dalam ruang topologi , subset dari adalah buka bila dan hanya bila komplemennya tutup.}

(28)

 _{Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema}

berikut:

Bila ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari memiliki sifat-sifat yaitu:

adalah set-set tutup

Irisan dari set-set tutup adalah tutup

Gabungan dari dua set tutup adalah tutup

 _{Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik}

kumpul sebagai berikut, dengan teorema:

 _{Subset dari ruang topologi adalah tutup bila dan hanya bila A memuat semua}

titik kumpul dari .

 _{Dengan kata lain bahwa}_{set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive}

dari A adalah subset dari A yaitu

(29)

PENUTUP DARI SET (CLOSURE

OF A SET)

 _{Misal subset dari ruang topologi .}_{Penutup dari A (closure of A) ditulis adalah}

irisan dari semua superset tutup dari A. Dengan kata lain, bila adalah kelas semua subset tutup dari yang memuat maka

 _{Perhatikan bahwa adalah tutup karena adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya}

juga, adalah superset tutup terkecil dari , dengan demikian bila adalah set tutup yang memuat maka .

 _{Berdasarkan hal tersebut, set adalah tutup bila dan hanya bila dan diperoleh}

pernyataan berikut dengan dalil (proposisi):

 _{Bila penutup dari set maka:}

adalah penutup

Bila superset tutup dari A maka adalah tutup bila dan hanya bila

(30)



Misal adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set

terhingga dan adalah set-set buka maka set-set tutup dari

topologi tersebut adalah set-set terhingga dari dengan .



Jadi bila terhingga, penutup dari adalah sendiri karena tutup.

Sebaliknya bila tak hingga maka adalah superset tutup dari ,

jadi .



Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X

dengan penutup yang memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan

pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup Kuratowski

dengan dalil (proposisi):

(31)

INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY

 _{Misal subset dari ruang topologi . Titik disebut}_{titik interior} _{dari bila}

termasuk set buka subset dari , yaitu , set buka.

 _{Set dari titik-titik interior dari A}_{ditulis int (A), atau}_{, disebut interior dari A.}  _{Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan dalil (proporsisi):}

 _{Interior dari set A adalah gabungan dari semua subset dari A, selanjutnya juga}

bahwa: adalah buka

 _{subset buka terbesar dari ; yaitu bila subset buka dari maka}  _{A adalah buka bila hanya bila}

 _{Eksterior dari ditulis eks () adalah interior dari komplemen A yaitu int .}

Boundary (batas) dari ditulis b() adalah set dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan tidak termasuk eksterior dari .

 _{Berikut ini hubungan interior, eksterior, dan penutup dengan teorema:}

 _{Misal A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari}

interior dan batas dari A yaitu .

(32)

LINGKUNGAN & SISTEM

LINGKUNGAN

 _{Misal adalah titik dalam ruang topologi . Suatu subset dari disebut lingkungan dari}_jika

dan hanya jika adalah suatu superset dari set buka yang memuat yaitu: dengan set buka. Dengan kata lain relasi “N adalah lingkungan dari p” adalah invers dari “p adalah titik interior N”. Kelas dari semua lingkungan dari disebut sistem lingkungan (neighborhood system) dari . Untuk suatu sistem lingkungan dari suatu titik ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut aksioma lingkungan sebagai berikut:

 _{Proporsisi: a. dan p termasuk ke dalam tiap anggota}

Irisan dari dua anggota termasuk

Setiap superset dari anggota termasuk

Tiap anggota adalah superset dari anggota dengan G adalah lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu untuk tiap-tiap

(33)

TOPOLOGI KORSER DAN

TOPOLOGI FAINER



Misal dan adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka

anggota subset dari X adalah anggota subset dari X. Dengan demikian,

bahwa adalah kelas bagian dari yaitu , sehingga dikatakan bahwa adalah

lebih kasar (Coarser) atau lebih kecil (smaller) atau lebih lemah (weaker)

terhadap atau lebih halus (finer) atau lebih besar (larger) terhadap .

Perhatikan bahwa koleksi dari topologi-topologi adalah terurut parsial dan

dapat ditulis dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X tidak dapat

(34)

RUANG BAGIAN, TOPOLOGI

RELATIF



Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi . Kelas

yaitu kelas dari semua

irisan dari A dengan

subset-subset buka pada X

adalah topologi pada A dan topologi

tersebut disebut topologi relative pada A atau relatifisasi

terhadap A dan ruang topologi disebut ruang bagian dari .

Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka dari ,

yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset buka

G dari X dan sedemikian hingga

(35)

EKUIVALENSI DARI DEFINISI

TOPOLOGI

 _{Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang}

topologi dan digunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk

topologi. Teorema berikut menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada suatu set dengan menggunakan pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu titik dan penutup suatu set :

 _{Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap , kelas dari subset-subset dari X}

memenuhi aksioma berikut:

tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari Irisan dari dua anggota termasuk dalam

Setiap superset dari anggota termasuk

Setiap anggota adalah superset dari anggota sedemikian hingga untuk tiap maka ada satu dan hanya satu topologi pada X sedemikian hingga adalah sistem lingkungan dari titik .

(36)



Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang

menghubungkan tiap subset A dari X dengan subset A

k

dari X yang

memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut:

maka ada satu dan hanya satu topologi pada X sedemikian hingga

adalah penutup subset A dari X.

(37)

BAB IV

BASIS & BASIS BAGIAN



BASIS UNTUK TOPOLOGI



BASIS BAGIAN



TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS

DARI SET

(38)

BASIS UNTUK TOPOLOGI

 _Definisi:

Misal suatu ruang topologi. Suatu kelas yang terdiri dari subset-subset buka dari X yaitu adalah basis untuk topologi bila dan hanya bila setiap set buka adalah

gabungan dari anggota-anggota .

 _{Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut “ adalah basis untuk}

topologi bila dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada dengan .

 _{Dengan definisi lain:}

Apabila diberikan ruang topologi , suatu koleksi dari himpunan- himpunan terbuka pada X maka dikatakan basis pada topologi jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan dari elemen-elemen pada .

(39)



Teorema berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup

untuk kelas dari set-set yang merupakan basis untuk suatu

topologi, yaitu:



Misal adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong

X maka adalah basis untuk suatu topologi pada X bila dan

hanya bila memenuhi dua sifat:

Untuk suatu B,

, adalah gabungan dari

anggota-anggota atau bila maka

sedemikian hingga

.



Jika merupakan suatu basis untuk topologi pada dan

merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada dimana

maka adalah juga basis untuk topologi .

(40)

BASIS BAGIAN

 _{Misal suatu ruang topologi. Kelas yang anggotanya subset-subset buka dari yaitu}

adalah basis bagian untuk topologi pada bila dan hanya bila irisan terhingga dari anggota-anggota membentuk basis untuk

Contoh:

 _{Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis real R adalah irisan dari dua}

interval buka tak hingga dan . Interval-interval bukanya membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R.

 _{Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R}2 adalah

persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang – persegi panjang buka

membentuk basis untuk topologi pada R2 . Kelas dari semua pita buka tak hingga adalah

basis bagian untuk R2.

(41)

TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH

KELAS DARI SET

 _{Misal adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong. Kemungkinan bukan}

merupakan basis untuk topologi pada . Jadi selalu merupakan pembangunan dari topologi pada seperti dikemukakan pada teorema berikut:

 _{Suatu kelas yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong adalah basis}

bagian untuk suatu topologi yang unik pada . Jadi irisan tak hingga dari anggota-anggota membentuk basis untuk topologi pada .

 _{Misal subset-subset dari set tidak kosong . Meskipun bukan basis tapi dapat}

membentuk topologi dengan cara:

Ditentukan semua irisan hingga dalam yang merupakan basis dari suatu topologi.

Dilakukan gabungan dari basis tersebut yang merupakan topologi yang dicari.

 _{Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti}

proposisi berikut:

Bila adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong maka topologi pada yang dibangun oleh adalah irisan dari semua topologi pada yang memuat .

(42)

BASIS LOKAL

 _{Misal adalah sebarang titik di dalam ruang topologi X . Kelas dari subset-subset}

buka yang memuat p disebut basis lokal pada bila dan hanya bila untuk tiap set buka yang memuat ada sedemikian hingga

 _{Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik}

dengan proposisi:

 _{Bila basis untuk topologi pada X dan maka anggota dari basis yang memuat p}

membentuk basis lokal di p.

 _{Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila}

tiap-tiap anggota suatu basis lokal pada p memuat suatu titik A yang berbeda dengan p.

 _{Barisan dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke bila dan hanya bila}

tiap anggota dari sebarang basis lokal pada p memuat semua suku-suku dari barisan itu.

(43)

 _{Ketiga proposisi diatas memberikan corollary berikut:}  _{Bila suatu basis untuk topologi pada}_X_{maka :}

adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila tiap set basis buka yang memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.

 _{Barisan dari titik-titik dalam}_X_{konvergen ke bila dan hanya bila tiap set basis buka}

yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu.

 _{Definisi basis lokal lainnya:}

Diberikan (X,T) merupakan ruang topologi dan maka koleksi dikatakan basis lokal pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G terdapat anggota dari B sehingga .

 _{Remark/Keterangan:}

It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each

point of ground set but the converse may not be true (Setiap basis untuk topologi juga merupakan basis lokal dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya mungkin tidak benar).

 _{Union of all bases froms bases for topology defined on the any non-empty set X}

(Persatuan dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi , setiap tidak kosong X set).

(44)

BASIS LIMIT

 _{Basis limit dengan teorema sebagai berikut:}

 B₁ merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil yaitu dan . R adalah himpunan bilangan riil. Karena setiap bilangan riil terletak pada suatu

interval terbuka tertutup dari B1 maka R merupakan gabungan (union) dari

anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan dari dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau

merupakan suatu interval terbuka tertutup lagi yang berarti juga anggota dari B1.

Jika A merupakan koleksi interval terbuka tertutup (a,b] maka A merupakan suatu topologi pada R sehingga B1 merupakan basis untuk topologi A dan disebut topologi

limit atas (upper limit topology).

 Bila yaitu kelas interval tertutup terbuka pada garis bilangan riil R dimana maka B2

merupakan suatu basis untuk topologi pada R dan disebut topologi limit bawah (lower limit topology) pada R.

 _{Bila yaitu koleksi interval terbuka pada garis riil}_{R dimana maka B}₃_merupakan

basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.

(45)

BAB V

KONTINUITAS DAN TOPOLOGI

EQUIVALEN



FUNGSI-FUNGSI KONTINU



FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG



KONTINU PADA SUATU TITIK



KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK



FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP



RUANG HOMEOMORPHIS



SIFAT-SIFAT TOPOLOGI

(46)

FUNGSI-FUNGSI KONTINU



Misalkan dan adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi

f

dari

X

ke

dalam

Y

disebut kontinu relative ke atau kontinu atau kontinu bila dan

hanya bila bayangan invers dari tiap dengan

H

subset buka dari

Y

adalah

anggota merupakan subset buka dari

X

atau bila dan hanya bila .



Ditulis untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain dan

merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi disebut kontinu jika

untuk setiap himpunan terbuka

H

anggota berlaku anggota dari .



Proposisi:

Fungsi adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis

untuk

Y

adalah subset buka dari

X

.

(47)

Teorema:

 _{Misal adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi adalah kontinu}

bila hanya bila invers tiap-tiap anggota adalah sub set buka dari .

 _{Fungsi adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup dari}

Y adalah tutup dari X.

Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu:

 _{Suatu fungsi adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang}

terbuka adalah set yang terbuka.

 _{Jika suatu fungsi adalah konstan yaitu untuk setiap maka f adalah kontinu.}  _{Jika suatu fungsi adalah fungsi identitas yaitu maka f adalah kontinu.}

(48)

FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG



Misal

X

adalah ruang topologi. Titik disebut tutup sebarang (arbitrarily

close) terhadap set bila dan

p

adalah titik kumpul dari

A



Ingat bahwa ; jadi penutup dari

A

memuat titik di dalam

X

yang

merupakan tutup sebarang terhadap

A

. Ingat juga bahwa , jadi

p

adalah tutup sebarang terhadap

A

karena

p

adalah titik interior atau

titik batas dari

A

.



Fungsi-fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi-fungsi

dengan tutup sebarang utuh dengan teorema seperti berikut:

Fungsi adalah kontinu bila dan hanya bila untuk

;

p tutup sebarang ke A maka f(p) tutup sebarang ke f[A] atau maka

atau .

(49)

KONTINU PADA SUATU TITIK



Suatu fungsi adalah kontinu di titik bila hanya bila bayangan

invers dari tiap set buka yang memuat

f(p)

adalah superset

dari set buka yang memuat

p

, atau nila dan hanya bila

bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari

f(p)

adalah

lingkungan dari

p

yaitu .

Teorema:



Misal

X dan Y

masing-masing ruang topologi maka fungsi

adalah kontinu bila dan hanya bila kontinu pada tiap titik dari

(50)

KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK

 _{Fungsi adalah barisan kontinu di titik bila dan hanya bila untuk tiap barisan (a}_n₎

dalam X konvergen ke p, barisan (f(an)) dalam Y konvergen ke f(p), yaitu:

 _{Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi kontinu di titik}

maka adalah barisan kontinu di titik p.

Catatan:

 _{Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi pada}

garis real R yang terdiri dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu barisan (an) konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk , maka untuk

suatu fungsi , (f(an)) = (f(a1), f(a2), … , f(ano), f(p), f(p), f(p),…) konvergen ke f(p).

Dengan kata lain, setiap fungsi pada adalah barisan kontinu. Sebaliknya, fungsi yang didefinisikan oleh , yaitu fungsi identitas, adalah bukan kontinu karena bukan subset buka dari R.

(51)

FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP

 _{Fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa bayangan invers dari tiap set buka dan}

bayangan invers dari tiap set tutup adalah tutup. Definisi dari fungsi buka dan tutup didefinisikan sebagai berikut:

 _{Fungsi disebut fungsi buka (fungsi interior) bila bayangan (peta) dari tiap set buka}

adalah buka.

 _{Fungsi disebut fungsi tutup bila bayangan (peta) dari tiap set tutup adalah tutup.}  _{Pada umumnya fungsi-fungsi buka, tidak perlu tutup, dan sebaliknya.}

Contoh:

 _{Fungsi konstan merupakan fungsi tertutup dan kontinu, tidak terbuka.}

 _{Fungsi merupakan fungsi tidak terbuka karena misalnya interval buka maka}

tidak terbuka.

(52)

(53)

SIFAT-SIFAT TOPOLOGI



Sifat

P

dari set-set disebut topologi atau topologi invarian, bila

ruang topologi mempunyai sifat

P

maka setiap ruang yang

homeomorphis dengan juga mempunyai sifat

P

.

Berikut, “keterhubungan” didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat

topologi:



Ruang topologi disebut tidak terhubung (disconnected) bila dan

hanya bila X adalah gabungan dari dua subset buka yang tidak

kosong dan subset-subset yang lepas yaitu dengan .



Bila suatu homemorphisma maka bila dan hanya bila dan Y

adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak terhubung.

Ruang topologi adalah terhubung (connected) bila dan hanya

bila tidak tak terhubung

(54)

TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI

 _{Misal adalah koleksi dari ruangtopologi-ruang topologi dan untuk tiap terdapat}

fungsi yang didefinisikan pada sebarang set tidak kosong X.

 _{Untuk memeriksa topologi–topologi pada X yang berturut-turut semua fungsi}_f_i

adalah kontinu, ingat kembali bahwa fi adalah kontinu relative terhadap sebarang

topologi pada X maka invers bayangan dari tiap-tiap subset buka dari adalah subset buka dari X.

 _{Jadi kelas-kelas dari subset-subset dari}_X_{adalah .}

 _{Dengan demikian, memuat invers bayangan dari tiap-tiap subset dari setiap ruang}

topologi . Topologi pada X yang dibangun oleh disebut topologi yang dibangun leh fungsi . Sifat-sifat topologi seperti itu mempunyai sifat-sifat berikut dengan teorema:

a. Semua fungsi adalah kontinu relative terhadap .

b. adalah irisan dari semua toplogi pada X dengan fungsi-fungsi adalah kontinu. c. adalah terkecil yaitu coarser topologi pada X yang masing-masing fungsi

adalah kontinu.

d. adalah basis bagian untuk topologi .

(55)

BAB VI

KONTABILITAS



RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG



TEOREMA LINDELOF



RUANG TERPISAH

(56)

RUANG KONTABEL / RUANG

TERHITUNG

 _{Ruang topologi X disebut ruang kontabel pertama bila memenuhui aksioma yang disebut}

aksioma pertama dari kontabilitas yaitu: Untuk setiap ada kelas dari set-set buka yang kontabel yang memuat p sedemikan hingga tiap set buka G yang memuat p juga memuat anggota dari . Dengan kata lain, ruang topologi X adalah ruang kontabel pertama bila dan hanya bila basis lokal pada tiap titik , dimana aksioma diatas merupakan sifat basis lokal dari ruang topologi X .

 _{Dapat juga dikatkan, diberikan (X,T) ruang topologi maka X dikatakan ruang dihitung}

pertama jika untuk setiap memiliki basis lokal dihitung yaitu setiap , yang dapat dihitung.

 _{Teorema: Fungsi yang didefinisikan pada ruang kontabel pertama X adalah kontinu di bila}

dan hanya bila fungsi itu adalah barisan kontinu di p.

 _{Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa bila X memenuhui aksioma diatas maka kontinu}

di bila dan hanya bila tiap barisan (a_n) konvergen ke p dalam X, barisan (f(a_n)) konvergen ke (f_p) dalam Y yaitu “bila ”.

Catatan:

 _{Bila merupakan basis local kontabel pada titik maka dapat ditulis dan bila , maka disebut}

tumpukan basis lokal pada p.

(57)

Ruang Kontabel Kedua / Ruang

Terhitung Kedua (Second

Countable Spaces)

 _{Ruang topologi disebut ruang topologi kedua bila memenuhi aksioma}

berikut yang disebut aksioma kedua dari kontabilitas, yaitu: ada basis kontabel untuk topologi .

 _{Teorema: Setiap ruang kontabel kedua adalah ruang kontabel pertama}

 _{Sebaliknya, garis real R dengan topologi diskrit tidak memenuhi aksioma}

kedua menurut contoh 2 pada bagian B tentang kontabel kedua diatas tetapi memenuhi aksioma pertama pada bagian A tentang kontabel

pertama, sehingga konvers dari teorema 2 adalah benar.

(58)

TEOREMA LINDELOF

Sebelumnya ada beberapa istilah/pengertian berikut:

 _{Bila dan adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga maka disebut}

sampul (cover) dari A atau disebut sampul A.

 _{Bila anggota-anggota dari adalah subset buka dari X maka disebut sampul buka dari}

A.

 _{Bila memuat sampul dari A maka disebut tereduksi ke suatu sampul kontabel}

(terhingga) atau disebut memuat sampul bagian yang kontabel (terhingga). Ruang kontabel kedua termuat di dalam kedua teorema berikut:

 _{Bila A subset dari ruang kontabel kedua X maka tiap sampul buka A tereduksi ke sampul}

kontabel

 _{Bila X ruang kontabel kedua maka tiap basis untuk X tereduksi ke basis kontabel X.}

Kedua teorema diatas selanjutnya dipakai untuk mendefinisikan ruang Lindelof berikut:

 _{Ruang topologi X disebut Ruang Lindelof}_{bila tiap sampul buka dari X tereduksi ke}

sampul kontabel. Jadi setiap ruang kontabel kedua adalah Ruang Lindelof.

(59)

RUANG TERPISAH

 _{Ruang topologi}_X_{disebut terpisah bila ruang topologi}_X_{tersebut memenuhi aksioma:} X memuat subset padat yang kontabel

 _{Dengan kata lain, X adalah terpisah bila dan hanya bila ada subset terhingga atau}

subset denumerabel A dari X sedemikian hingga penutup A sama dengan X yaitu Contoh:

 _{Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terpisah karena set bilangan rasional}

Q adalah denumerabel dan padat di dalam R yaitu

 _{Garis real R dengan toplogi diskrit D. Ingat kembali bahwa setiap subset dari R}

adalah D buka dan D tutup, dimana D merupakan subset padat dari R dalam R sendiri dan R bukan set kontabel, sehingga (R,D) bukan ruang terpisah.

 _{Teorema: Bila X memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas maka X adalah terpisah.}  _{Garis real R dengan topologi yang dibangun olrh interval tutup buka [a,b) adalah}

contoh klasik (biasa) dari ruang terpisah yang tidak memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas. Dengan demikian maka konvers dari teorema diatas pada umumnya tidak benar.

(60)

SIFAT-SIFAT HEREDITER



Sifat P dari ruang topologi X disebut herediter bila dan hanya

bila setiap ruang bagian dari X mempunyai sifat P. Setiap

ruang bagian dari ruang kontabel kedua adalah kontabel

kedua dan setiap ruang bagian dari ruang kontabel pertama

adalah kontabel pertama. Dengan kata lain aksioma pertama

dan kedua, kedua-duanya herediter, tetapi ruang bagian dari

ruang terpisah tidak perlu terpisah yaitu terpisah bukan

(61)

BAB VII

AKSIOMA PEMISAH



RUANG – T

₁



RUANG HAUSDORFF (RUANG – T

₂

)



RUANG REGULER (RUANG – T

₃

)



RUANG NORMAL (RUANG – T

₄

)



LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI



FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH

(62)

RUANG – T

1

 _{Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma}

[R]:

 _{Bila F subset tutup dari X dan bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H}

yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga

 Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi

aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:

 Misal X adalah ruang T₃ maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T₂ dapat

ditunjukkan dengan dimisalkan titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka

adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka . Menurut [R], ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas.

 _{Topologi pada set . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah dan}

memenuhi [R] tetapi bukan ruang T1 karena ada set terhingg tidak tutup.

(63)

RUANG HAUSDORFF (RUANG – T

2

)

 Ruang topologi X disebut Ruang hausdorff atau Ruang – T2 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T2]:

Setiap pasang titik yang berbeda berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka yang lepas (disjoint)

 _{Dengan kata lain (T}₂_{), ada set-set buka}_{G & H}_{sedemikian hingga:}

 _{Teorema: Setiap ruang metrik adalah ruang hausdorff}

 Pada umumnya, barisan (a1,a2, ...) dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke lebih dari satu titik. Hal ini tidak berlaku bila X Ruang Hausdorff seperti dinyatakan dalam teorema berikut:

Bila X ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam X mempunyai limit yang unik (konversnya tidak benar)

Bila X adalah ruang kontabel pertama maka X adalah Ruang Hausdorff bila dan hanya bila setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.

(64)

RUANG REGULER (RUANG – T

3

)

 _{Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]:}

Bila F subset tutup dari X dan bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga

 Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi

aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:

 _{Misal X adalah ruang T}₃_{maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T}₂_dapat

ditunjukkan dengan dimisalkan titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka

adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka . Menurut [R], ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas.

 _{Topologi pada set . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah dan}

memenuhi [R] tetapi bukan ruang T1 karena ada set terhingg tidak tutup.

(65)

RUANG NORMAL (RUANG – T

4

)



Ruang topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila

memenuhi aksioma berikut:



Bila F

₁

dan F

₂

saling lepas dan merupakan subset-subset buka

G dan H yang saling lepas sedemikian hingga .



Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut:



Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila

untuk setiap set tutup F dan set buka H yang memuat F, ada

set buka G sedemikian hingga

(66)

LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI

Teorema Lemma Urysohn’s:



Misal

F

₁

dan F

₂

salin lepas dan merupakan subset-subset tutup

dari ruang normal X maka ada fungsi kontinu sedemikian

hingga .

Teorema Metrisasi Urysohn:

(67)

FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH



Misal adalah kelas dari fungsi-fungsi dari set X ke

dalam set Y. Kelas dari fungsi-fungsi disebut titik-titik

terpisah bila dan hanya bila untuk suatu pasangan

dari titik-titik yang berbeda ada fungsi f dalam

sedemikian hingga dengan proposisi:



Bila C(X,R) kelas dari semua fungsi kontinu bernilai

real pada ruang topologi terpisah X, maka X adalah

Ruang Hausdroff.

(68)

RUANG REGULER LENGKAP

 _{Ruang topologi disebut ruang regular lengkap bila dan hanya bila memenuhi aksioma:}

Bila F subset tutup dari X dan bukan anggota dari F maka ada fungsi kontinu sedemikian hingga .

 _{Proporsisi: Ruang Reguler Lengkap adalah Ruang Reguler}

 Ruang regular lengkap X yang memenuhi [T1] yaitu ruang T1 reguler lengkap disebut Ruang Tychonoff. Berdasarkan atas Lemma Urysohn, ruang – T4 adalah Ruang Tychonoff dan menurut proposisi bahwa Ruang Tychonoff adalah Ruang T3 sehingga Ruang

Tychonoff yaitu Ruang – T1 Reguler Lengkap, kadang-kadang disebut Ruang – T3 ½.

 _{Salah satu sifat penting dari Ruang Tychonoff adalah teorema berikut:}

(X,R) yaitu kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real ada Ruang – T1 – Reguler Lengkap X adalah titik-titik pisah.

(69)

BAB VIII

KETERHUBUNGAN

(CONNECTEDNESS)



SET-SET TERPISAH



SET TERHUBUNG



RUANG TERHUBUNG



KOMPONEN

(70)

SET-SET TERPISAH

Dua set A dan B dari ruang topologi X disebut terpisah, bila:

 _{A dan B}_{saling lepas (disjoint) dan}

 _{Titik kumpul dari}_A_{tidak termasuk anggota set}_B_{dan sebaliknya.}

Dengan kata lain, A dan B terpisah bila dan hanya bila . Contoh:

 _{Perhatikan interval-interval pada garis real}_R_berikut:_A_{=(0,1) ,}_B_{=(1,2) dan}_C_=[2,3)

A dan B terpisah karena

Tetapi B dan C tidak terpisah karena adalah titik kumpul dari B sehingga .

 _{Perhatikan subset-subet pada bidang R}2 berikut:

Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan set-set terpisah.

(71)

SET TERHUBUNG

 _{Subset A dari ruang topologi X disebut tidak terhubung (disconnected) bila ada subset-subset buka G}

dan H dari X sedemikian hingga merupakan set-set tidak kosong yang saling lepas dan gabungannya sama dengan A. Dalam hal ini, disebut tak terhubung dari A. suatu set disebut terhubung (connected) bila set tersebut tidak tak terhubung.

 _{Perhatikan bahwa:}

 _{Oleh karena itu tak terhubung bila dan hanya bila:}

 _Catatan: _{Set kosong dan set singleton selalu terhubung.}

Contoh:

 _{Perhatikan topologi pada dengan}

 _{Set adalah tak terhubung karena untuk dan maka merupakan set-set lepas yang tidak kosong dan}

gabungannya =A (G dan H tidak lepas).

Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema;

 _{Suatu set disebut terhubung bila dan hanya bila set tersebut buka merupakan gabungan dari set-set}

terpisah yang tidak kosong.

 _{Bila A dan B set-set terhubung yang tidak terpisah maka adalah terhubung.}

(72)

RUANG TERHUBUNG

Keterhubungan adalah sifat mutlak dari suatu set dengan teorema:



Bila A subset dari ruang topologi maka A terhubung terhadap

bila dan hanya bila A terhubung terhadap topologi relative pada

A.



Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila:



X bukan gabungan dari dua set buka tidak kosong yang lepas;

atau



Hanya merupakan subset-subset dari X yang keduanya set buka

dan tutup.



Bayangan kontinu dari set terhubung adalah terhubung

(73)

KOMPONEN

 _{Komponen E dari ruang topologi X adalah subset terhubung maksimal dari X sehingga}

E terhubung dan E bukan subset murni dari suatu subset terhubung dari X. Jelaslah E tidak kosong.

Teorema:

 _{Komponen-komponen dari ruang topologi X membentuk suatu partisi dari X sehingga}

komponen-komponen tersebut saling lepas dan gabungannya adalah X. Setiap subset terhubung dari X termasuk ke dalam sebarang komponen.

 _{Produk (perkalian) dari ruang terhubung adalah terhubung.}

Contoh:

 _{Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu sendiri.}  _{Perhatikan topologi pada}

 _dengan

 _{Komponen dari X adalah .}

(74)

RUANG TERHUBUNG LOKAL

 _{Ruang topologi X disebut terhubung lokal di bila dan hanya bila setiap set buka}

yang memuat p termasuk dalam set buka terhubung yang memuat p yaitu bila set-set terhubung buka yang memuat p membentuk basis lokal di p. X disebut

terhubung lokal bila X terhubung lokal di setiap titik atau bila subset-subset terhubung dari X membentuk basis untuk X.

Contoh:

 _{Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila adalah set terhubung}

buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam setiap set buka yang memuat p. Catatan: X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik.

 _{Perhatikan subset-subet pada bidang R}2 berikut

adalah set-set terhubung, tetapi bukan terhubung lokal di .

(75)

BAB IX

KEKOMPAKAN

(COMPACTNESS)



SAMPUL (COVER)



SET KOMPAK



SUBSET DARI RUANG KOMPAK

(76)

SAMPUL (COVER)

 _{Misalkan adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga untuk}

sebarang Ingat kembali bahwa disebut sampul (cover) dari A dan disebut

sampul buka bila tiap adalah buka. Selanjutnya, bila suatu kelas bagian terhingga dari merupakan sampul juga dari A yaitu ada sedemikian hingga , maka disebut tereduksi ke sampul terhingga atau memuat sampul bagian terhingga.

 _{Teorema Heine-Borel: Setiap sampul buka dari interval tutup terbatas A=[a,b]}

adalah tereduksi ke sampul terhingga. Contoh:

 _{Misal kelas , B set bilangan-bilangan bulat, Dp: daerah buka pada bidang R}2

dengan jari-jari 1 dan pusatnya p = (m,n), dimana maka adalah sampul dari R2

yaitu setiap titik dalam R2 termasuk ke paling sedikit anggota dari tetapi kelas

dari daerah-daerah buka , dengan Dp mempunyai pusat p dan jari-jari ½ bukan

sampul dari R2.

(77)

SET KOMPAK



Definisi:

Subset A dari ruang topologi X disebut kompak bila setiap

sampul (cover) buka dari A tereduksi ke sampul terhingga.



Dengan kata lain, bila A kompak dan dengan Gi set-set buka

maka dapat terpilih terhingga banyaknya set-set buka

misalkan .



Teorema: Bayangan-bayangan kontinu dari set-set kompak

adalah kompak.



Bila A subset dari ruang topologi maka A adalah kompak

terhadap bila dan hanya bila A kompak terhadap toplogi relatif

pada A.

(78)

SUBSET DARI RUANG KOMPAK



Subset dari ruang kompak tidak perlu kompak,

misalnya, interval unit tutup [0,1] adalah kompak

menurut teorema Heine-Borel, tetapi interval buka

(0,1) subset dari [0,1] tidak kompak.



Teorema: Bila F subset tutup dari ruang kompakX

(79)

KEKOMPAKAN DAN RUANG

HAUSDORFF

 _{Berikut ini relasi konsep kekompakan dengan sifat pemisah dari ruang hausdorff}

dengan teorema:

 _{Setiap subset kompak dari ruang Hausdorff adalah tutup (tidak berlaku umum}

misalkan untuk ruang topologi seperti set-set terhingga selalu kompak tetapi ada ruang topologi yang terdiri dari subset-subset terhingga yang tidak semuanya tutup).

 _{Bila A dan B saling lepas dan merupakan subset-subset kompak dari ruang Hausdorff}

maka ada set-set buka yang lepas G dan H sedemikian hingga .

 _{Bila f fungsi satu-satu yang kontinu dari ruang kompak X ke dalam ruang Hausdorff Y}

maka X dan f[X] adalah Homoemorphik (sangat penting dalam geometri tetapi tak berlaku umum).

 Dalam keadaan khusus, bila X ruang Hausdorff dan kompak, dan F1 dan F2

subset-subset tutup saling lepas dari X maka F1 dan F2 adalah kompak sehingga F1 dan F2

adalah subset-subset dari dua set buka yang saling lepas dengan dinyatakan dalam Corollary: Setiap ruang Hausdorff kompak adalah normal.

(80)

KONTABILITAS SET KOMPAK

 _{Subset A dari ruang topologi X disebut kontabel kompak bila dan hanya bila setiap subset}

tak hingga B dari A mempunyai titik kumpul dalam A. Teorema Bolzano – Weierstrass :

 _{Setiap set tak hingga yang terbatas dari bilangan-bilangan real} _{mempunyai titik kumpul.}

Teorema;

 _{Misal A subset dari ruang topologi X. Bila A kompak atau barisan kompak maka A kontabel}

kompak. Contoh:

 _{Misal adalah topologi pada yang terdiri dari set-set}

 _{Misal A adalah subset tak kosong dari N dan dan bila ganjil maka adalah titik kumpul dari A}

dan bila bila genap maka adalah titik kumpul dari A. Dalam kedua hal ini, A mempunyai titik kumpul sehingga adalah kontabel kompak.

 _{Tetapi tidak kompak karena adalah sampul buka dari N yang bukan sampul bagian}

terhingga dan selanjutnya bukan barisan kompak karena barisan tidak memuat barisan bagian yang konvergen.

(81)

RUANG KOMPAK LOKAL

 _{Ruang topologi X disebut ruang kompak local bila dan hanya bila setiap titik dalam X}

mempunyai lingkungan kompak. Contoh:

 _{Perhatikan garis real R pada topologi biasa dan perhatikan bahwa tiap-tiap titik}

merupakan titik interior dari interval tutup dan interval tutup tersebut kompak menurut teorema Heine – Borel. Jadi R adalah ruang kompak local tetapi R bukan ruang kompak karena untuk kelas adalah sampul buka dari R tetapi tidak memuat sampul bagian terhingga.

 _{Dengan demikian terlihat bahwa ruang kompak lokal tak perlu merupakan ruang}

kompak, tetapi katena suatu ruang topologi adalah lingkungan dari tiap-tiap titik maka konvers dari definisi diatas benar dengan proposisi sebagai berikut:

(82)