BAHAN AJAR 2 KALKULUS LANJUT

BAHAN AJAR KALKULUS LANJUT Oleh: ENDANG LISTYANI

Volume dengan Integral Rangkap dua

Jika f(x , y)≥0 pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1

V =

∬

R

f(x , y)dA

, R = { (x , y):a≤x¿ ¿≤b , c≤y≤d .

Gambar 2

b

a

a

b

Dibuat Irisan pada benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 3)

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y)

Δy

Volume Δv dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh Δv ≈ A(y)

Δy

_{, diintegralkan ,}

V =

∫

c d

A(y)dy

, untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :

A(y) =

∫

a b

f(x, y)dx

, sehingga : V =

∫

c d

[

∫

a b

f(x, y)dx]dy

…….. (2)

Dari (1) dan (2) :

LA(y)

Δy

x

y

z

y

Gb. 3

∬

R

f(x , y)dA

=

∫

c

d

[

∫

a b

f(x, y)dx]dy

begitu juga

∬

R

f(x , y)dA =

∫

a b [

∫

c d

f(x, y)dy]dx

Contoh

Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 _{–y dan}

dibawah persegi panjang R = { (x , y): 0≤¿ ¿x≤1,0≤y≤2

Jawab :

Jawab :

V =

∬

R

f(x , y)dA

=

∬

R

(4−x2−y)dA

=

∫

0 2

∫

0 1

(4−x2−y)dxdy

=

∫

0 2

[[4x−1

3x

3_−yx] 0 1_]dy

=

∫

0 2

(4−1

3−y)dy

=

16

3 _{satuan volum}

Soal

1. Misalkan R = { (x , y): 1≤x¿ ¿≤4,0≤y≤2 .

, 1≤x≤3 ,

0≤

y

≤2

, 3≤x≤4 ,

0

≤

y

≤2

Hitung

∬

R

f(x , y)dA

2. Misalkan R = (x , y): 0¿≤x≤2 ¿

¿ ,

0≤

y

≤2

}

(x , y):

¿ R1=¿

¿ 0≤x≤2 ,

0≤

y

≤1

}

(x , y):

¿ R2=¿

¿ 0≤x≤2 ,

1≤

y

≤2

}

Jika

∬

R

f(x , y)dA

= 3,

∬

R

g(x, y)dA =5,

∬

R₁

g(x, y)dA

= 2, tentukan :

a.

∬

R

[3f(x , y)−g(x , y)]dA

b.

∬

R₁

2g(x , y)dA+

∬

R₁ 3dA

2 3

¿

c.

∬

R₂

g(x, y)dA

3. Hitung :

a.

∫

−1 4

∫

1 2

(x+y2_)dydx

b.

∫

0

π

∫

0 1

(xsiny)dxdy

1. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal

dibawah bidang z = x+y+1 diatas R = { (x , y): 0≤¿ ¿x≤1,1≤y≤3

Soal-soal

1. Hitung

∬

R

(x2_+y2_)dA

2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z =