BAB III METODE NUMERIK

12

BAB III

METODE NUMERIK

3.1. Aplikasi Metode Numerik pada Sains dan Teknik

Model matematika merupakan penjelasan suatu konsep maupun sistem menggunakan konsep dan bahasa matematika yang biasanya dalam bentuk persamaan. Model matematika digunakan dalam sangat banyak bidang seperti bidang natural sciences (fisika, biologi, kimia), bidang teknik (computer science, teknik elektro), dan di bidang non-physical seperti ekonomi, psikologi, sosiologi, political science, musik, filosofi dan bahasa.

Model matematika digunakan untuk menjelaskan suatu sistem dan mempelajari efek dari komponen-komponen penyusun model matematika dan untuk membuat prediksi atas kebiasaan dari model matematika tersebut.

Model matematika yang banyak muncul dalam berbagai bidang ilmu biasanya tidak ideal atau dapat dikatakan rumit. Model matematika yang sulit ini biasanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik, oleh karena itu masalah tersebut diformulasikan sedemikian rupa sehingga lebih mudah dikerjakan dan pada zaman sekarang digunakan komputer untuk mempermudah dan mempercepat proses perhitungannya.

Analisis numerik merupakan proses menganalisa metode-metode numerik yang sudah ada pada suatu permasalahan untuk mencari metode numerik yang paling baik, untuk mendapatkan hasil yang makin mendekati

13

hasil pastinya dikarenakan metode numerik hanya memberikan hasil perkiraan.

Compact finite difference merupakan suatu metode numerik untuk

memperhitungkan finite difference approximation. Metode ini banyak dipakai di banyak persamaan dikarenakan memiliki akurasi yang cukup baik, stabilitas yang baik dan pada permasalahan hiperbola memiliki eror yang lebih baik dibandingkan dengan metode eksplisit, namun memiliki metode implisit menyebabkan lebih sulit untuk dimengerti dan harus menyelesaikan sistem matriks untuk evaluasi interpolasi dan turunan di setiap titiknya.

3.2. Aproksimasi untuk Turunan Pertama

Pada bagian ini, untuk mempermudah notasi persamaan digunakan fungsi satu variabel f(x). Pada variabel x dilakukan diskritisasi dengan jarak yang sama pada setiap gridnya dengan interval h, xi, dimana i = 0, 1,..., n- 1, n. Dengan mengaplikasikan ekspansi Taylor pada ke dua sisi persamaan dan menyesuaikan koefisien hingga mendapatkan h⁴, didapatkan :

• Pada i = 1,

4𝑓₁ ^′ + 𝑓₂ ^′ = ¹

ℎ ( −¹¹

12 𝑓₀− 4 𝑓₁+ 6𝑓₂−⁴

3𝑓₃+ ¹

4 𝑓₄) ... (3.1a)

• Pada i = 2,...., n-2

4𝑓_𝑖−1 ^′ + 𝑓_𝑖 ^′+ 𝑓_𝑖+1 ^′ =³

ℎ ( 𝑓_𝑖+1− 𝑓_𝑖−1)... (3.1b)

14

• i = n-1

𝑓_𝑛−2^′ + 4𝑓_𝑛−1 ^′ =¹

ℎ ( −¹¹

12 𝑓_𝑛+ 4 𝑓_𝑛−1− 6𝑓_𝑛−2+⁴

3𝑓_𝑛−3− ¹

4 𝑓_𝑛−4) ... (3.1c) Jika 𝑓₀ dan 𝑓_𝑛 ditentukan, maka persamaan tersebut membentuk triangular matrix sistem persamaan linear (SPL) untuk 𝑓_𝑖^′ (i = 1,...., n-1) yang dapat diselesaikan dengan efisien menggunakan algoritma Thomas.

3.3. Aproksimasi untukTurunan Kedua

Pada bagian ini, untuk mempermudah notasi menggunakan fungsi satu variabel f(x). Pada variabel x dilakukan diskritisasi dengan jarak yang sama pada setiap gridnya dengan interval h, xi, dimana i = 0, 1,..., n-1, n.

Dengan mengaplikasikan ekspansi Taylor pada ke dua sisi persamaan dan menyesuaikan koefisien hingga mendapatkan h⁴. Didapatkan :

• Pada i = 1,

10𝑓₁ ^′′+ 𝑓₂ ^′′ = ¹

ℎ² ( ³³

4 𝑓₀−⁶⁷

6 𝑓₁−³⁵

6 𝑓₂+ 13𝑓₃− ⁶¹

12𝑓₄+ ⁵

6𝑓₅) ... (3.2a)

• Pada i = 2,...., n-2

𝑓_𝑖−1 ^′′ + 10𝑓_𝑖 ^′′+ 𝑓_𝑖+1 ^′′ = ¹²

ℎ² ( 𝑓_𝑖+1− 2𝑓_𝑖+ 𝑓_𝑖−1) ... (3.2b)

• Pada i = n-1

𝑓_𝑛−2^′′ + 10𝑓_𝑛−1 ^′′ = ¹

ℎ² ( ³³

4 𝑓_𝑛 −⁶⁷

6 𝑓_𝑛−1−³⁵

6 𝑓_𝑛−2+ 13𝑓_𝑛−3− ⁶¹

12 𝑓_𝑛−4+

5

6 𝑓_𝑛−5)... (3.2c)

15

Jika 𝑓₀ dan 𝑓_𝑛 ditentukan, maka persamaan tersebut membentuk triangular matrix sistem persamaan linear (SPL) untuk 𝑓_𝑖^′ (i = 1,...., n-1) yang dapat diselesaikan dengan efisien menggunakan algoritma Thomas.

3.4. Aproksimasi Temperatur pada Dinding Adiabatik

Jika 𝑓₀^′ dan 𝑓_𝑛^′ ditentukan, maka persamaan (3.1a) – (3.1c) dapat dimanipulasi untuk mendapatkan 𝑓₀ dan 𝑓_𝑛, Pada i = 1, persamaan (3.1b) menjadi:

𝑓₀ ^′ + 4𝑓₁ ^′ + 𝑓₂^′ =3

ℎ ( 𝑓₂− 𝑓₀)

Jika 𝑓₀^′ di tentukan atau diketahui maka persamaan diatas dan persamaan (3.1a) menghasilkan hubungan sebagai berikut:

3

ℎ ( 𝑓₂− 𝑓₀) − 𝑓₀^′ = 1

ℎ ( −11

12 𝑓₀− 4 𝑓₁+ 6𝑓₂−4

3𝑓₃+ 1 4 𝑓₄) Oleh karena itu, 𝑓₀ dapat dinyatakan sebagai:

𝑓₀ = ¹²

25 (4 𝑓₁− 3𝑓₂+⁴

3𝑓₃− ¹

4 𝑓₄) − ^12ℎ

25 𝑓₀^′ ... (3.3a) Dengan cara yang sama Jika 𝑓_𝑛^′ di tentukan atau diketahui, dari persamaan (3.1b) dan (3.1c). 𝑓_𝑛 dapat dinyatakan sebagai:

𝑓_𝑛 = ¹²

25 (4 𝑓_𝑛−1− 3𝑓_𝑛−2+⁴

3𝑓_𝑛−3− ¹

4 𝑓_𝑛−4) + ^12ℎ

25 𝑓_𝑛^′ ... (3.3b) Setelah mendapatkan nilai fungsi berdasarkan persamaan (3.3a) dan (3.3b), turunan pertama dan turunan kedua didapatkan dengan menggunakan persamaan (3.1a) - (3.1b) dan persamaan (3.2a) – (3.2c), berurutan.

16

Kemudian, hasil dari bagian ini menjadi fungsi multivariable secara langsung, dikarenakan fungsi tersebut berdasarkan persamaan ekspansi Taylor satu dimensi yang sama.

3.5. Solusi Sistem Persamaan Linear (SPL) Tridiagonal dengan Algoritma Thomas

Pada bagian ini, dipertimbangkan sebuah persamaan matriks tridiagonal:

[

𝑑₁ 𝑎₁ 0 ⋯ 0 0 0

𝑏₂ 𝑑₂ 𝑎₂ ⋯ 0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 0 ⋯ 𝑏_𝑛−2 𝑑_𝑛−2 𝑎_𝑛−2

0 0 0 ⋯ 0 𝑑_𝑛−1 𝑎_𝑛−1] [

𝑥₁ 𝑥₂

⋮ 𝑥_𝑛−2 𝑥_𝑛−1][

𝑐₁ 𝑐₂

⋮ 𝑐_𝑛−2 𝑐_𝑛−1]

... (3.4a)

Algoritma Thomas untuk menyelesaikan SPL tridiagonal terdiri dari:

1. Forward Elimination:

• Anggap:

𝑑₁^′ = 𝑑₁ 𝑑𝑎𝑛 𝑐₁^′ = 𝑐₁ ... (3.4b)

• Untuk i dari 2 sampai n-1, dihitung secara berurutan:

𝑑_𝑖^′= 𝑑_𝑖− ^𝑏𝑖

𝑑_𝑖−1^′ 𝑎_𝑖−1 , 𝑐_𝑖^′= 𝑐_𝑖− ^𝑏𝑖

𝑑_𝑖−1^′ 𝑐_𝑖−1^′ ... (3.4c) 2. Backward Elimination:

• Hitung:

𝑥_𝑛−1 = ^{𝑐𝑛−1′}

𝑑_𝑛−1^′ ... (3.4d)

17

• Untuk i dari n-2 sampai 1, dihitung secara berurutan:

𝑥_𝑖 = ^{𝑐𝑖′−𝑎𝑖𝑥𝑖+1}

𝑑_𝑖^′ ... (3.4e) Untuk mendapatkan turunan pertama dan kedua, harus menyelesaikan SPL (3.1a) – (3.1c) dan (3.2a) – (3.2c) sangat banyak saat simulasi transien. Maka, melakukan ekspansi Taylor pada algoritma Thomas diatas terutama pada permasalahan SPL ini akan sangat efisien secara komputasional.

Untuk contoh spefisik, algoritma Thomas untuk menyelesaikan SPL (3.1a) – (3.1c) untuk menyelesaikan turunan pertama. Dengan nilai 𝑏_𝑖, 𝑑_𝑖, 𝑎_𝑖 tetap selama simulasi. Maka, hanya diperlukan perhitungan dan penyimpanan 𝑑_𝑖^′ dan 𝑚_𝑖 ≡ ^𝑏𝑖

𝑑_𝑖−1^′ sekali pada awal simulasi:

𝑑₁^′ = 4 ... (3.4f)

• Untuk i dari 2 sampai n-1, dihitung secara berurutan:

𝑚_𝑖 = ¹

𝑑_𝑖−1^′ ... (3.4g) 𝑑_𝑖 ^′ = 4 − 𝑚_𝑖 ... (3.4h)

Untuk menyelesaikan 𝑓_𝑖^′, nilai variabel 𝑐_𝑖 berdasarkan:

1. Forward Elimination:

• Anggap:

𝑐₁^′ = 𝑐₁ ... (3.4i)

18

• Untuk i dari 2 sampai n-1, dihitung secara berurutan:

𝑐_𝑖^′ = 𝑐_𝑖− 𝑚_𝑖 𝑐_𝑖−1^′ ... (3.4j) 2. Backward Elimination:

• Hitung:

𝑓_𝑛−1^′ = ^{𝑐𝑛−1′}

𝑑_𝑛−1^′ ... (3.4k)

• Untuk i dari 2 sampai n-1, dihitung secara berurutan:

𝑓_𝑖^′= ^{𝑐𝑖′−𝑥𝑖+1}

𝑑_𝑖^′ ... (3.4l) Dengan metode yang sama dapat dilakukan untuk mendapatkan turunan kedua dari persamaan (3.2a) – (3.2c).

3.6. Aproksimasi Orde 4 Persamaan Poisson untuk Streamfunction Persamaan Poisson untuk nilai 𝟁:

𝜕²ψ

𝜕𝑥²+^𝜕2ψ

𝜕𝑦² = −⍵ ... (3.5a) Dengan menggunakan Compact Finite Difference Approximation orde 4 pada persamaan (3.5a) dengan mengaplikasikan ekspansi Taylor dan dengan memanfaatkan persamaan (3.5a) itu sendiri untuk memperkirakan nilai turunan yang lebih tinggi yang dibutuhkan. Hasilnya:

𝜓_{𝑖+1,𝑗+1}+ 𝜓_{𝑖+1,𝑗−1}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑗+1}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑗−1}+ 4(𝜓_𝑖+1,𝑗 + 𝜓_𝑖,𝑗+1+ 𝜓_{𝑖,𝑗−1}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑗}) − 20𝜓_𝑖,𝑗 = −^ℎ2

2 (8⍵_𝑖,𝑗+ ⍵_𝑖+1,𝑗+ ⍵_𝑖,𝑗+1+ ⍵_{𝑖−1,𝑗} + ⍵_{𝑖,𝑗−1}) ... (3.5b)

19 3.7. Syarat untuk Nilai ⍵ di Boundary

Nilai vorticity pada boundary harus ditentukan sedemikian rupa sehingga tercipta kondisi no-slip terpenuhi pada bagian dinding. Hal ini dapat didapatkan dengan mengaplikasikan ekspansi Taylor dan dengan memanfaatkan persamaan (3.5a) itu sendiri untuk memperkirakan nilai turunan yang lebih tinggi yang dibutuhkan. Didapatkan persamaan untuk nilai vorticity pada boundary:

• Dinding bagian atas:

⍵_{𝑖,𝑛𝑦} = −^{24𝑢𝑖,𝑛𝑦}

7ℎ − ¹

7ℎ²(𝜓_{𝑖+1,𝑛𝑦−2}− 2𝜓_{𝑖,𝑛𝑦−2}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑛𝑦−2}−

2𝜓_{𝑖+1,𝑛𝑦−1}+ 28𝜓_{𝑖,𝑛𝑦−1}− 2𝜓_{𝑖−1,𝑛𝑦−1}+ 𝜓_{𝑖+1,𝑛𝑦}− 26𝜓_{𝑖,𝑛𝑦}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑛𝑦}) −

6

7⍵_{𝑖,𝑛𝑦−1}+¹

7⍵_{𝑖,𝑛𝑦−2} ... (3.6a)

• Dinding bagian kanan:

⍵_{𝑛𝑥,𝑗} = −^{24𝑣𝑛𝑥,𝑗}

7ℎ − ¹

7ℎ²(𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑗+1}− 2𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑗}+ 𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑗−1}−

2𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑗+1}+ 28𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑗}− 2𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑗−1}+ 𝜓_{𝑛𝑥,𝑗+1}− 26𝜓_{𝑛𝑥,𝑗}+ 𝜓_{𝑛𝑥,𝑗−1}) −

6

7⍵_{𝑛𝑥−1,𝑗}+¹

7⍵_{𝑛𝑥−2,𝑗} ... (3.6b)

• Dinding bagian bawah:

⍵_𝑖,0= −^24𝑢_7ℎ^𝑖,0−_7ℎ¹₂(𝜓_𝑖+1,2− 2𝜓_𝑖,2+ 𝜓_𝑖−1,2− 2𝜓_𝑖+1,1+ 28𝜓_𝑖,1− 2𝜓_𝑖−1,1+ 𝜓_𝑖+1,0− 26𝜓_𝑖,0+ 𝜓_𝑖−1,0) −⁶

7⍵_𝑖,1+¹

7⍵_𝑖,2 ... (3.6c)

20

• Dinding bagian kiri:

⍵_0,𝑗 = −^24𝑣0,𝑗

7ℎ − ¹

7ℎ²(𝜓_2,𝑗+1− 2𝜓_2,𝑗 + 𝜓_2,𝑗−1− 2𝜓_1,𝑗+1+ 28𝜓_1,𝑗− 2𝜓_1,𝑗−1+ 𝜓_0,𝑗+1− 26𝜓_0,𝑗+ 𝜓_0,𝑗−1) −⁶

7⍵_1,𝑗+¹

7⍵_2,𝑗 ... (3.6d) 3.8. Metode Numerik SPL Nilai 𝟁 dengan Variasi Nilai ⍵ di Boundary

Penyelesaian 𝜓_𝑖,𝑗 dengan i = 1,...,nx-1, j=1,...,ny-1. Dengan sistem persamaan linear (SPL) :

• Jika (i,j) = (1,1):

6

7𝜓_2,2+³⁰

7 (𝜓_2,1+ 𝜓_1,2) − 24𝜓_1,1= −^22ℎ2

7 ⍵_1,1−^4ℎ2

7 ⍵_2,1−^4ℎ2

7 ⍵_1,2+

12ℎ

7 (𝑣_0,1− 𝑢_1,0) −⁶

7(𝜓_2,0+ 𝜓_0,2+ 𝜓_0,0) − 6(𝜓_1,0+ 𝜓_0,1) ... (3.7a)

• Jika i=1, j=2,...,ny-2:

13

14(𝜓_2,𝑗+ 𝜓_1,𝑗+1) +²⁹

7 (𝜓_2,𝑗+1+ 𝜓_2,𝑗−1+ 𝜓_1,𝑗−1) − 22𝜓_1,𝑗 =

−^25ℎ2

7 ⍵_1,𝑗−^4ℎ2

7 ⍵_2,𝑗−^ℎ2

2 (⍵_1,𝑗+1+ ⍵_1,𝑗−1) +^{12ℎ𝑣0,𝑗}

7 −¹³

14(𝜓_0,𝑗+1+ 𝜓_0,𝑗−1) −⁴¹

7 (𝜓_0,𝑗) ... (3.7b)

• Jika i = 1, j = ny-1:

6

7𝜓_{2,𝑛𝑦−2}+³⁰

7 (𝜓_{2,𝑛𝑦−1}+ 𝜓_{1,𝑛𝑦−2}) − 24𝜓_{1,𝑛𝑦−1} = −^22ℎ2

7 ⍵_{1,𝑛𝑦−1}−

4ℎ²

7 ⍵_{2,𝑛𝑦−1}−^4ℎ2

7 ⍵_{1,𝑛𝑦−2}+^12ℎ

7 (𝑣_{0,𝑛𝑦−1}+ 𝑢_1,𝑛𝑦) −⁶

7(𝜓_2,𝑛𝑦+ 𝜓_{0,𝑛𝑦−2}+ 𝜓_0,𝑛𝑦) − 6(𝜓_1,𝑛𝑦+ 𝜓_{0,𝑛𝑦−1}) ... (3.7c)

21

• Jika i=2,...,nx-2, j=1:

13

14(𝜓_𝑖+1,2+ 𝜓_𝑖−1,2) +²⁹

7 (𝜓_𝑖+1,1+ 𝜓_𝑖,2+ 𝜓_𝑖−1,1) − 22𝜓_𝑖,1 =

−^25ℎ2

7 ⍵_𝑖,1−^4ℎ2

7 ⍵_𝑖,2−^ℎ2

2 (⍵_𝑖+1,1+ ⍵_𝑖−1,1) +^{12ℎ𝑢𝑖,0}

7 −¹³

14(𝜓_𝑖+1,0+ 𝜓_𝑖−1,0) −⁴¹

7 (𝜓_𝑖,0) ... (3.7d)

• Jika i=2,...,nx-2, j=2,...,ny-2:

𝜓_{𝑖+1,𝑗+1}+ 𝜓_{𝑖+1,𝑗−1}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑗+1}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑗−1}+ 4(𝜓_𝑖+1,𝑗 + 𝜓_𝑖,𝑗+1+ 𝜓_{𝑖,𝑗−1}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑗}) − 20𝜓_𝑖,𝑗 = −^ℎ2

2 (8⍵_𝑖,𝑗+ ⍵_𝑖+1,𝑗+ ⍵_𝑖,𝑗+1+ ⍵_{𝑖−1,𝑗} + ⍵_{𝑖,𝑗−1}) ... (3.7e)

• Jika i=2,...,nx-2, j=ny-1:

13

14(𝜓_{𝑖+1,𝑛𝑦−2}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑛𝑦−2}) +²⁹

7 (𝜓_{𝑖+1,𝑛𝑦−1}+ 𝜓_{𝑖,𝑛𝑦−2}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑛𝑦−1}) − 22𝜓_{𝑖,𝑛𝑦−1}= −^25ℎ2

7 ⍵_{𝑖,𝑛𝑦−1}−^4ℎ2

7 ⍵_{𝑖,𝑛𝑦−2}−^ℎ2

2 (⍵_{𝑖+1,𝑛𝑦−1}+

⍵_{𝑖−1,𝑛𝑦−1}) +^{12ℎ𝑢𝑖,𝑛𝑦}

7 −¹³

14(𝜓_{𝑖+1,𝑛𝑦}+ 𝜓_{𝑖−1,𝑛𝑦}) −⁴¹

7 (𝜓_{𝑖,𝑛𝑦}) ... (3.7f)

• Jika i=nx-1, j=1:

6

7𝜓_{𝑛𝑥−2,2}+³⁰

7 (𝜓_{𝑛𝑥−2,1}+ 𝜓_{𝑛𝑥−1,2}) − 24𝜓_{𝑛𝑥−1,1}= −^22ℎ2

7 ⍵_{𝑛𝑥−1,1}−

4ℎ²

7 ⍵_{𝑛𝑥−2,1}−^4ℎ2

7 ⍵_{𝑛𝑥−1,2}+^12ℎ

7 (𝑣_𝑛𝑥,1− 𝑢_{𝑛𝑥−1,0}) −⁶

7(𝜓_{𝑛𝑥−2,0}+ 𝜓_𝑛𝑥,2+ 𝜓_𝑛𝑥,0) − 6(𝜓_{𝑛𝑥−1,0}+ 𝜓_𝑛𝑥,1) ... (3.7g)

22

• Jika i=nx-1, j=2,...,ny-2:

13

14(𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑗+1}+ 𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑗−1}) +²⁹

7 (𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑗+1}+ 𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑗−1}+ 𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑗}) − 22𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑗}= −^25ℎ2

7 ⍵_{𝑛𝑥−1,𝑗}−^4ℎ2

7 ⍵_{𝑛𝑥−2,𝑗}−^ℎ2

2 (⍵_{𝑛𝑥−1,𝑗+1}+

⍵_{𝑛𝑥−1,𝑗−1}) +^{12ℎ𝑣𝑛𝑥,𝑗}

7 −¹³

14(𝜓_{𝑛𝑥,𝑗+1}+ 𝜓_{𝑛𝑥,𝑗−1}) −⁴¹

7 (𝜓_{𝑛𝑥,𝑗})... (3.7h)

• Jika i=nx-1, j=ny-1:

6

7𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑛𝑦−2}+³⁰

7 (𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑛𝑦−1}+ 𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑛𝑦−2}) − 24𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑛𝑦−1}=

−^22ℎ2

7 ⍵_{𝑛𝑥−1,𝑛𝑦−1}−^4ℎ2

7 ⍵_{𝑛𝑥−2,𝑛𝑦−1}−^4ℎ2

7 ⍵_{𝑛𝑥−1,𝑛𝑦−2}+^12ℎ

7 (𝑣_{𝑛𝑥,𝑛𝑦−1}− 𝑢_{𝑛𝑥−1,𝑛𝑦}) −⁶

7(𝜓_{𝑛𝑥−2,𝑛𝑦}+ 𝜓_{𝑛𝑥,𝑛𝑦−2}+ 𝜓_{𝑛𝑥,𝑛𝑦}) − 6(𝜓_{𝑛𝑥−1,𝑛𝑦}+ 𝜓_{𝑛𝑥,𝑛𝑦−1}) ... (3.7i)

Sistem persamaan linear (SPL) diatas, dapat diselesaikan dengan metode Successive Over Relaxation (SOR). Menyelesaikan SPL dengan metode SOR terdiri dari memperbarui nilai 𝜓_𝑖,𝑗 secara berulang hingga mencapai konvergen. Sebagai contoh, 𝜓_𝑖,𝑗^(𝑘) dengan k-th menunjukkan jumlah iterasi dari 𝜓_𝑖,𝑗. Dari persamaan (3.7e) didapatkan formula iterasi sebagai berikut:

𝛿_𝑖,𝑗^(𝑘+1) = ¹

20(𝜓_{𝑖+1,𝑗+1}^(𝑘) + 𝜓_{𝑖+1,𝑗−1}^(𝑘) + 𝜓_{𝑖−1,𝑗+1}^(𝑘+1) + 𝜓_{𝑖−1,𝑗−1}^(𝑘+1) + 4(𝜓_𝑖+1,𝑗^(𝑘) + 𝜓_𝑖,𝑗+1^(𝑘) + 𝜓_{𝑖,𝑗−1}^(𝑘+1)+ 𝜓_{𝑖−1,𝑗}^(𝑘+1)) +^ℎ₂²(8⍵_𝑖,𝑗+ ⍵_𝑖+1,𝑗+ ⍵_𝑖,𝑗+1+ ⍵_{𝑖−1,𝑗}+

⍵_{𝑖,𝑗−1})) − 𝜓_𝑖,𝑗^(𝑘) ... (3.8a) 𝜓_𝑖,𝑗^(𝑘+1)= 𝜓_𝑖,𝑗^(𝑘)+ 𝛽𝛿_𝑖,𝑗^(𝑘+1) ... (3.8b)

23

Untuk i = 2,..., nx-2, j = 2,..., ny-2, dimana 𝛽 adalah koefisien relaksasi yang biasanya antara 1 sampai 2. Dengan cara yang sama, formula iterasi SOR dapat digunakan untuk kasus i dan j yang lain.

Konvergensi dari iterasi SOR dapat dicapai jika |𝛿^(𝑘+1)| < 𝜖|𝜓⁽⁰⁾|, dimana |𝜓^(𝑘)| menunjukkan L2-norm dari 𝜓_𝑖,𝑗^(𝑘)

|𝜓^(𝑘)| = √∑^{𝑛𝑥,𝑛𝑦}_{𝑖=0,𝑗=0}𝜓_𝑖,𝑗^(𝑘)2 ... (3.8c) Dan 𝜖 parameter kecil yang biasanya 10⁻⁴.

3.9. Metode Numerik untuk Permasalahan Burger 1 Dimensi Persamaan Burger 1 dimensi:

𝜕𝑢

𝜕𝑡 + 𝑢^𝜕𝑢

𝜕𝑥= 𝑣^𝜕2𝑢

𝜕𝑥² ... (3.9a) dengan batas a< x < b, 0<t ≤ T.

Dengan kondisi Boundary:

u(a,t) = f1(t) , u(b,t) = f2(t) ... (3.9b) dengan batas 0<t ≤ T dan konstan.

Dan dengan kondisi awal:

U(x,0) = g(x) ... (3.9c) dengan batas a< x < b.

Dimana v >0 yang merupakan parameter kinematik vis denotes kositas, f1(t), f2(t), dan g(x) merupakan fungsi yang diketahui. Persamaan ini merupakan persamaan non-linear diferensial parsial, yang sangat mirip

24

dengan persamaan Navier-Stokes. Persamaan ini memiliki hubungan konveksi, hubunga difusi, dan hubungan time-dependent.

Untuk mencari turunan pertama dan turunan kedua dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan (3.1a)-(3.1c) dan (3.2a)-(3.2c) yang digabungkan dengan algoritma Thomas pada persamaan (3.4f)-(3.4i).

Dengan menggunakan metode garis:

𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 = 𝑣^𝜕2𝑢

𝜕𝑥²− 𝑢_𝑖^𝜕𝑢

𝜕𝑥 ... (3.9d) dengan i = 1, 2,..., N-1. Dan dengan batas:

𝜕𝑢₀

𝜕𝑡 = ^𝜕𝑢𝑁

𝜕𝑡 = 0 ... (3.9e) Pada n = 0, aplikasikan metode Heun orde 2:

𝑘_0𝑖 = 𝑣(^𝜕2𝑢

𝜕𝑥²)_𝑖^𝑛− 𝑢_𝑖^𝑛(^𝜕𝑢

𝜕𝑥)_𝑖^𝑛 ... (3.9f) melakukan perubahan 𝑢_𝑖^∗ dari 𝑘_0𝑖

𝑢_𝑖^∗ = 𝑢_𝑖^𝑛+ 𝑘_0𝑖∆𝑡 ... (3.9g) memperhitungkan 𝑘_1𝑖, turunan pertama, dan turunan kedua menggunakan 𝑢_𝑖^∗

𝑘_1𝑖 = 𝑣(^𝜕2𝑢

𝜕𝑥²)_𝑖^∗− 𝑢_𝑖^∗(^𝜕𝑢

𝜕𝑥)_𝑖^∗ ... (3.9h) Memperhitungkan nilai u pada time-step selanjutnya 𝑢_𝑖^𝑛+1dengan menggunakan 𝑘_0𝑖 dan 𝑘_1𝑖

𝑢_𝑖^𝑛+1 = 𝑢_𝑖^𝑛 + ^∆𝑡

2 (𝑘_0𝑖+ 𝑘_1𝑖) ... (3.9i)

25

3.10. Metode Numerik untuk Permasalahan Aliran Tak Termampatkan 2 Dimensi

Persamaan non-dimensional 2 dimensi dengan aliran tak termampatkan dalam bentuk konservatifnya:

𝜕⍵

𝜕𝑡 +^{𝜕(𝑢⍵)}

𝜕𝑥 +^{𝜕(𝑣⍵)}

𝜕𝑦 = ¹

𝑅𝑒(^𝜕2⍵

𝜕𝑥² +^𝜕2⍵

𝜕𝑦²) ... (3.10a)

𝜕²𝜓

𝜕𝑥² +^𝜕2𝜓

𝜕𝑦² = −⍵... (3.10b) Dimana komponen kecepatan diberikan:

𝑢 =^𝜕𝜓

𝜕𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = −^𝜕𝜓

𝜕𝑥... (3.10c) Penyelesaian persamaan transien 2 dimensi dengan grid yang tersusun seragam dengan interval panjang h. Notasi yang sering digunakan:

𝑓_𝑖,𝑗^𝑛 yang menunjukkan nilai f pada titik grid (𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗) pada waktu 𝑡_𝑛, dimana i = 0,...,nx dan j = 0,...,ny.

Dengan catatan:

1. Dapat diaplikasikan metode compact finite difference orde 4 pada bagian 3.3.1 sampai 3.3.3 untuk medapatkan perkiraan turunan pertama dan kedua dari u⍵, v⍵, dan ⍵ pada persamaan (3.10a). Hal ini juga dapat digunakan untuk mendapatkan perkiraan turunan pertama dan turunan kedua dari 𝟁 pada persamaan (3.10b) dan (3.10c).

26

2. Dengan diketahui nilai ⍵, bisa mendapatkan nilai dari 𝟁 pada bagian dalam dengan menggunakan metode SOR yang diaplikasikan pada SPL yang berada pada bagian 3.3.7.

Dengan melakukan langkah 1 dan 2, dapat dilakukan simbolisasi penulisan persamaan (3.10a), (3.10b), (3.10c) dan setelah dilakukan diskretisasi parsial:

𝜕𝑤_𝑖,𝑗

𝜕𝑡 = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢, 𝑣, ⍵) ... (3.10d) Dimana:

𝐹_𝑖,𝑗(𝑢, 𝑣, ⍵) = −^{𝜕(𝑢⍵)}

𝜕𝑥 −^{𝜕(𝑣⍵)}

𝜕𝑦 + ¹

𝑅𝑒(^𝜕2⍵

𝜕𝑥² +^𝜕2⍵

𝜕𝑦²) ... (3.10e) 𝜓_𝑖,𝑗 = 𝐺_𝑖,𝑗(⍵) ... (3.10f) 𝑢_𝑖,𝑗 = 𝐻_𝑖,𝑗(𝜓) 𝑑𝑎𝑛 𝑣_𝑖,𝑗 = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓) ... (3.10g) Vorticity pada boundary diberikan pada persamaan (3.6a) sampai (3.6d), yang dapat dituliskan secara simbolik menjadi:

⍵_𝑖,𝑗= 𝑀_𝑖,𝑗(𝟁) pada 𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦 ... (3.10h) Sekarang persamaan (3.10e) dapat dilihat sebagai sistem persamaan diferensial biasa (PDB) untuk ⍵_𝑖,𝑗 pada titik interior grid yang harus diselesaikan secara konsisten bersaman dengan persamaan (3.10f) sampai (3.10h). Kemudian, dijelaskan metode orde 4 untuk sistem PDB untuk memajukan 𝟁, ⍵, u, v dari waktu 𝑡_𝑛 menjadi waktu 𝑡_𝑛+1.

27

Algoritma time-stepping berdasarkan metode Rungge Kutta orde 4 (RK4) yang terdiri secara berurutan memperhitungkan:

1. 𝑘_𝑖,𝑗⁰ = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢^𝑛, 𝑣^𝑛, ⍵^𝑛)

2. ⍵_𝑖,𝑗⁰ = ⍵_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘_𝑖,𝑗⁰ pada titik interior grid

3. 𝜓_𝑖,𝑗⁰ = 𝐺_𝑖,𝑗(⍵⁰)

4. 𝑢_𝑖,𝑗⁰ = 𝐻_𝑖,𝑗(𝜓⁰)

5. 𝑣_𝑖,𝑗⁰ = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓⁰)

6. ⍵_𝑖,𝑗⁰ = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓⁰) pada boundary

7. 𝑘_𝑖,𝑗¹ = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢⁰, 𝑣⁰, ⍵⁰)

8. ⍵¹_𝑖,𝑗 = ⍵_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘_𝑖,𝑗¹ pada titik interior grid

9. 𝜓_𝑖,𝑗¹ = 𝐺_𝑖,𝑗(⍵¹) 10. 𝑢_𝑖,𝑗¹ = 𝐻_𝑖,𝑗(𝜓¹)

11. 𝑣_𝑖,𝑗¹ = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓¹)

12. ⍵¹_𝑖,𝑗 = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓¹) pada boundary

13. 𝑘_𝑖,𝑗² = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢¹, 𝑣¹, ⍵¹)

14. ⍵_𝑖,𝑗² = ⍵_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘_𝑖,𝑗² pada titik interior grid

15. 𝜓_𝑖,𝑗² = 𝐺_𝑖,𝑗(⍵²)

28 16. 𝑢_𝑖,𝑗² = 𝐻_𝑖,𝑗(𝜓²)

17. 𝑣_𝑖,𝑗² = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓²)

18. ⍵_𝑖,𝑗² = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓²) pada boundary

19. 𝑘_𝑖,𝑗³ = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢², 𝑣², ⍵²)

20. ⍵_𝑖,𝑗^𝑛+1 = ⍵_𝑖,𝑗^𝑛 +^∆𝑡

6 (𝑘_𝑖,𝑗⁰ + 2𝑘_𝑖,𝑗¹ + 2𝑘_𝑖,𝑗² + 𝑘_𝑖,𝑗³ ) pada titik interior grid

21. 𝜓_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝐺_𝑖,𝑗(⍵^𝑛+1)

22. 𝑢_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝐻_𝑖,𝑗(𝜓^𝑛+1)

23. 𝑣_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓^𝑛+1)

24. ⍵_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓^𝑛+1) pada boundary

Dimana ∆𝑡 = 𝑡_𝑛+1− 𝑡_𝑛.

Karena itu, algoritma keseluruhan untuk simulasi transien adalah:

1. Menentukan kondisi awal ⍵⁰, 𝜓⁰. Dengan n= 0 dan menentukan nilai dari ∆t

2. Memperhitungkan 𝑤_𝑖,𝑗¹ , 𝜓_𝑖,𝑗¹ menggunakan metode RK4

3. Memperbarui n=1, dan t = ∆t

4. If t ≥ tfin, hentikan simulasi. Selain itu, ulangi dari langkah 2.

29

3.11. Metode Numerik untuk Konveksi Alami 2 Dimensi

Persamaan non-dimensional 2 dimensi dengan aliran tak termampatkan dalam bentuk konservatifnya:

𝜕⍵

𝜕𝑡 +^{𝜕(𝑢⍵)}

𝜕𝑥 +^{𝜕(𝑣⍵)}

𝜕𝑦 = 𝑃𝑟 (^𝜕2⍵

𝜕𝑥² +^𝜕2⍵

𝜕𝑦²) + 𝑅𝑎𝑃𝑟^𝜕𝑇

𝜕𝑥 ... (2.1a)

𝜕²𝜓

𝜕𝑥² +^𝜕2𝜓

𝜕𝑦² = −⍵... (2.1b)

𝜕𝑇

𝜕𝑡+^{𝜕(𝑢𝑇)}

𝜕𝑥 +^{𝜕(𝑣𝑇)}

𝜕𝑦 = (^𝜕2𝑇

𝜕𝑥²+^𝜕2𝑇

𝜕𝑦²) ... (2.1c) Dimana komponen kecepatan diberikan:

𝑢 =^𝜕𝜓

𝜕𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = −^𝜕𝜓

𝜕𝑥... (3.11a) Penyelesaian persamaan transien 2 dimensi dengan grid yang tersusun seragam dengan interval panjang h. Notasi yang sering digunakan:

𝑓_𝑖,𝑗^𝑛 yang menunjukkan nilai f pada titik grid (𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗) pada waktu 𝑡_𝑛, dimana i = 0,...,nx dan j = 0,...,ny.

Dengan catatan:

1. Dapat diaplikasikan metode compact finite difference orde 4 pada bagian 3.3.1 sampai 3.3.3 untuk medapatkan perkiraan turunan pertama dan kedua dari u⍵, v⍵, ⍵ dan T pada persamaan (2.1a), dapat digunakan untuk mendapatkan perkiraan turunan pertama dan kedua dari 𝟁 pada persamaan (2.1b) dan (3.11a), dan dapat digunakan untuk mendapatkan turunan pertama dan turunan kedua dari uT, vT,dan T dari persamaan (2.1c)

30

2. Dengan diketahui nilai ⍵, bisa mendapatkan nilai dari 𝟁 pada bagian dalam dengan menggunakan metode SOR yang diaplikasikan pada SPL yang berada pada bagian 3.3.7.

Dengan melakukan langkah 1 dan 2, dapat dilakukan simbolisasi penulisan persamaan (2.1a), (2.1b), (2.1c), (3.11a) dan setelah dilakukan diskretisasi parsial:

𝜕𝑤_𝑖,𝑗

𝜕𝑡 = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢, 𝑣, ⍵, 𝑇) ... (3.11b)

𝜕𝑇_𝑖,𝑗

𝜕𝑡 = 𝐺_𝑖,𝑗(𝑢, 𝑣, 𝑇) ... (3.11c) Dimana:

𝐹_𝑖,𝑗(𝑢, 𝑣, ⍵, 𝑇) = −^{𝜕(𝑢⍵)}

𝜕𝑥 −^{𝜕(𝑣⍵)}

𝜕𝑦 + 𝑃𝑟 (^𝜕2⍵

𝜕𝑥²+^𝜕2⍵

𝜕𝑦²) + 𝑅𝑎𝑃𝑟^𝜕𝑇

𝜕𝑥 ... (3.11d) 𝐺_𝑖,𝑗(𝑢, 𝑣, 𝑇) = −^{𝜕(𝑢𝑇)}

𝜕𝑥 −^{𝜕(𝑣𝑇)}

𝜕𝑦 + (^𝜕2𝑇

𝜕𝑥²+^𝜕2𝑇

𝜕𝑦²) ... (3.11e) 𝜓_𝑖,𝑗 = 𝐻_𝑖,𝑗(⍵) ... (3.11f) 𝑢_𝑖,𝑗 = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓) 𝑑𝑎𝑛 𝑣_𝑖,𝑗 = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓) ... (3.11g) Vorticity pada boundary diberikan pada persamaan (3.6a) sampai (3.6d), yang dapat dituliskan secara simbolik menjadi:

⍵_𝑖,𝑗= 𝑂_𝑖,𝑗(𝟁) pada 𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦 ... (3.11h) Temperatur pada boundary diberikan pada persamaan (3.3a) dan (3.3b), yang dapat dituliskan secara simbolik menjadi:

𝑇_𝑖,𝑗 = 𝑃_𝑖,𝑗(𝑻) pada 𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦 ... (3.11i)

31

Sekarang persamaan (3.11d) dapat dilihat sebagai sistem persamaan diferensial biasa (PDB) untuk ⍵_𝑖,𝑗 pada titik interior grid yang harus diselesaikan secara konsisten bersaman dengan persamaan (3.11e) sampai (3.11i). Kemudian, dijelaskan metode orde 4 untuk sistem PDB untuk memajukan 𝟁, ⍵, u, v,T dari waktu 𝑡_𝑛 menjadi waktu 𝑡_𝑛+1.

Algoritma time-stepping berdasarkan metode Rungge Kutta orde 4 (RK4) yang terdiri secara berurutan memperhitungkan:

1. 𝑘_𝑖,𝑗⁰ = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢^𝑛, 𝑣^𝑛, ⍵^𝑛, 𝑇^𝑛)

2. 𝑘𝑇_𝑖,𝑗⁰ = 𝐺_𝑖,𝑗(𝑢^𝑛, 𝑣^𝑛, 𝑇^𝑛)

3. 𝑇_𝑖,𝑗⁰ = 𝑇_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘𝑇_𝑖,𝑗⁰ pada titik interior grid

4. ⍵_𝑖,𝑗⁰ = ⍵_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘_𝑖,𝑗⁰ pada titik interior grid

5. 𝜓_𝑖,𝑗⁰ = 𝐻_𝑖,𝑗(⍵⁰)

6. 𝑢_𝑖,𝑗⁰ = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓⁰)

7. 𝑣_𝑖,𝑗⁰ = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓⁰)

8. ⍵_𝑖,𝑗⁰ = 𝑂_𝑖,𝑗(𝜓⁰) pada boundary

9. 𝑇_𝑖,𝑗⁰ = 𝑃_𝑖,𝑗(𝑇⁰) pada boundary

10. 𝑘_𝑖,𝑗¹ = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢⁰, 𝑣⁰, ⍵⁰, 𝑇⁰)

11. 𝑘𝑇_𝑖,𝑗¹ = 𝐺_𝑖,𝑗(𝑢⁰, 𝑣⁰, 𝑇⁰)

32

12. 𝑇_𝑖,𝑗¹ = 𝑇_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘𝑇_𝑖,𝑗¹ pada titik interior grid

13. ⍵¹_𝑖,𝑗 = ⍵_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘_𝑖,𝑗¹ pada titik interior grid

14. 𝜓_𝑖,𝑗¹ = 𝐻_𝑖,𝑗(⍵¹)

15. 𝑢_𝑖,𝑗¹ = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓¹)

16. 𝑣_𝑖,𝑗¹ = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓¹)

17. ⍵¹_𝑖,𝑗 = 𝑂_𝑖,𝑗(𝜓¹) pada boundary

18. 𝑇_𝑖,𝑗¹ = 𝑃_𝑖,𝑗(𝑇¹) pada boundary

19. 𝑘_𝑖,𝑗² = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢¹, 𝑣¹, ⍵¹, 𝑇¹)

20. 𝑘𝑇_𝑖,𝑗² = 𝐺_𝑖,𝑗(𝑢¹, 𝑣¹, 𝑇¹)

21. 𝑇_𝑖,𝑗² = 𝑇_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘𝑇_𝑖,𝑗² pada titik interior grid

22. ⍵_𝑖,𝑗² = ⍵_𝑖,𝑗^𝑛 + ∆t𝑘_𝑖,𝑗² pada titik interior grid

23. 𝜓_𝑖,𝑗² = 𝐻_𝑖,𝑗(⍵²)

24. 𝑢_𝑖,𝑗² = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓²)

25. 𝑣_𝑖,𝑗² = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓²)

26. ⍵_𝑖,𝑗² = 𝑂_𝑖,𝑗(𝜓²) pada boundary

27. 𝑇_𝑖,𝑗² = 𝑃_𝑖,𝑗(𝑇²) pada boundary

28. 𝑘_𝑖,𝑗³ = 𝐹_𝑖,𝑗(𝑢², 𝑣², ⍵², 𝑇²)

33 29. 𝑘𝑇_𝑖,𝑗³ = 𝐺_𝑖,𝑗(𝑢², 𝑣², 𝑇²)

30. ⍵_𝑖,𝑗^𝑛+1 = ⍵_𝑖,𝑗^𝑛 +^∆𝑡

6 (𝑘_𝑖,𝑗⁰ + 2𝑘_𝑖,𝑗¹ + 2𝑘_𝑖,𝑗² + 𝑘_𝑖,𝑗³ ) pada titik interior grid

31. 𝑇_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝑇_𝑖,𝑗^𝑛 +^∆𝑡

6 (𝑘𝑇_𝑖,𝑗⁰ + 2𝑘𝑇_𝑖,𝑗¹ + 2𝑘𝑇_𝑖,𝑗² + 𝑘𝑇_𝑖,𝑗³) pada titik interior grid

32. 𝜓_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝐻_𝑖,𝑗(⍵^𝑛+1)

33. 𝑢_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝐿_𝑖,𝑗(𝜓^𝑛+1)

34. 𝑣_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝑀_𝑖,𝑗(𝜓^𝑛+1)

35. ⍵_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝑂_𝑖,𝑗(𝜓^𝑛+1) pada boundary

36. 𝑇_𝑖,𝑗^𝑛+1 = 𝑃_𝑖,𝑗(𝑇^𝑛+1) pada boundary

Dimana ∆𝑡 = 𝑡_𝑛+1− 𝑡_𝑛.

Karena itu, algoritma keseluruhan untuk simulasi transien adalah:

1. Menentukan kondisi awal ⍵⁰, 𝜓⁰, 𝑇⁰. Dengan n= 0 dan menentukan nilai dari ∆t

2. Memperhitungkan 𝑤_𝑖,𝑗¹ , 𝜓_𝑖,𝑗¹ , 𝑇_𝑖,𝑗¹menggunakan metode RK4

3. Memperbarui n=1, dan t = ∆t

4. If t ≥ tfin, hentikan simulasi. Selain itu, ulangi dari langkah 2.

34 3.12. Implementasi Metode Numerik

Pada proyek tugas akhir ini menggunakan perangkat lunak sebagai media implementasi pengerjaan yang berbahasa python, dan C++. Media tersebut bersifat open source dan komputasi dilakukan pada sebuah Virtual Private Server dengan CPU E5-2620 v4 8 core dan RAM 8 GB.

Variabel-variabel pada tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Variabel yang bebas, yaitu:

a. Bilangan Rayleigh b. Bilangan Prandtl c. Rasio Geometri 2. Variabel yang terikat, yaitu:

a. Isotermal b. Vorticity c. Velocity

3. Variabel yang terkendali, yaitu:

a. Ukuran grid

b. Kondisi awal suhu, tekanan, vorticity, dan velocity c. Toleransi nilai

3.13. Tahap Pelaksanaan Tugas Akhir

Dalam pelaksanaannya, tugas akhir ini dibagi menjadi dua tahap. Tahap pertama merupakan tahap validasi akurasi dan konvergensi, meliputi: validasi pada permasalahan burger, validasi pada permasalahan aliran tak termampatkan, validasi pada permasalahan konveksi alami 2 dimensi dalam sebuah persegi dengan dinding

35

samping dipanaskan. Tahap kedua merupakan tahap penerapan metode pada permasalahan konveksi Rayleigh-Bernard dengan melakukan variasi variabel bebas. Kedua tahap tersebut dapat dimengerti lebih mudah dengan melihat diagram 3.1. berikut.

Diagram 3.1. Tahap Pelaksanaan Tugas Akhir

Dengan melakukan tahap-tahap sebagai berikut:

1. Melakukan pengecekkan akurasi dan konvergensi pada permasalahan burger, permasalahan aliran tak termampatkan 2 dimensi, dan Konveksi alami 2 dimensi dalam sebuah persegi dengan dinding samping dipanaskan. Pengecekkan akurasi dilakukan dengan membandingkan hasil yang didapat dengan penelitian sebelumnya

2. Memodelkan permasalahan konveksi alami 2 dimensi pada geometri ruangan persegi panjang dengan kondisi batas berupa bagian sisi kiri dan

Dampak Variasi Variabel Bebas

Validasi permasalahan burger 1 dimensi

Validasi permasalahan aliran tak termampatkan 2 dimensi

Penerapan Metode

Variasi rasio geometri

Variasi bilangan Prandtl dan bilangan Rayleigh Validasi permasalahan konveksi

alami 2 dimensi dalam sebuah persegi dengan dinding samping

dipanaskan

Validasi

36

kanan merupakan adiabatik, dengan sisi bawah dengan temperatur yang tinggi dan pada sisi atas dengan temperatur yang rendah (Gambar 3.1).

Fluida yang berada di dalam ruangan persegi panjang merupakan fluida yang bersifat newtonian, tak termampatkan, dan netral.

Gambar 3.1. Geometri Permasalahan Konveksi Rayleigh-Benard

3. Melakukan simulasi numerik (Direct Numerik Simulation) dengan implementasi metode numerik HOC 20 pada model matematika persamaan non-momentum dalam bentuk stream-function vorticity serta persamaan non-dimensional konservasi energi. Simulasi numerik dilakukan pada masing-masing nilai variabel bebas yang divariasikan.

4. Membentuk plot grafik distribusi vorticity, streamline, isothermal, dan bilangan Nusselt, dari hasil perubahan variabel bebas yang diuji pada simulasi numerik. Plot tersebut digunakan untuk meneliti pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel terikat pada ruangan tertutup berbentuk persegi panjang tersebut.

5. Dari hasil pengaruh yang didapat kemudian dilakukan analisis dan kesimpulan yang dituliskan pada proyek tugas akhir.

Suhu dingin

Suhu panas

Adiabatik Adiabatik