Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Udayana

Meningkatkan Kualitas Sumber Daya Manusia dalam Persaingan Global melalui Pendidikan dan Aplikasi Matematika

Denpasar, 8 Oktober 2016

Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Udayana

DAFTAR ISI

Halaman

Tim Prosiding ... i

Tim Reviewer ... ii

Kata Pengantar ... iii

Daftar Isi ... iv

PENGEMBANGAN MODEL MATEMATIKA SYARAT BATAS ALIRAN FLUIDA KONVEKSI BEBAS PADA PELAT HORIZONTAL Leli Deswita, Syamsudhuha, Khozin Mu’tamar ... 1

PERLUASAN MODEL KENDALI OPTIMAL PADA MASALAH INVENTORI YANG MENGALAMI PENURUNAN MUTU Pardi Affandi ... 10

PENERAPAN TEORI PEWARNAAN GRAF PADA PENYUSUNAN JADWAL MATA PELAJARAN (STUDI KASUS DI SMP PGRI BANTAR GEBANG) Luh Putu Widya Adnyani ... 23

PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PADA MASALAH ALIRAN PANAS Ketut Jayanegara ... 34

EFEKTIVITAS METAPHORICAL THINKING DALAM MENINGKATKAN PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA DAN BUDI PEKERTI SISWA I Komang Agustina ... 44

MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA PADA MATERI BANGUN RUANG SISI LENGKUNG MELALUI MEDIA POWER POINT (STUDI KASUS: KELAS IX A SMPN 3 GEROKGAK BULELENG, BALI) Made Susilawati, Ni Luh Satriani ... 53

Prosiding SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA II – BALI – 8 Oktober 2016 ISSN: 2406-9868

PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PADA MASALAH ALIRAN PANAS

Ketut Jayanegara^1§

Program Studi Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana

Kampus Bukit Jimbaran Badung 80211

Indonesia

Email: ketut_jayanegara@yahoo.com

§ Penulis Korespondesi

ABSTRACT

Partial differential equations (PDE) is a differential equation that consists of multivariable functions and their partial derivatives. One application of PDE is solving the heat flows on a bar rod. PDE solves the problem by assigning the initial state of rod and its boundaries. If this state and the boundaries are in homogenous forms, then solution could be obtained by applying separation of variables technique. However, if the state and boundaries are non-homogenous, the problem should be analyzed by adopting eigenfunction expansion technique.

This paper aims to demonstrate eigenfunction expansion technique to solve non- homogenous state. Solution of the one-dimensional heat flow problem on a bar rod is a parabolic type of PDE.

Keywords: eigenfunction, non-homogenous state, partial derivatives, PDE.

1. PENDAHULUAN

Penerapan Persamaan Diferensial (PD) tidak terbatas hanya pada ilmu pengetahuan alam, tetapi terdapat pada disiplin ilmu pengetahuan lain. Masalah-masalah yang sering dijumpai pada [1], [2] misalnya:

a) Aliran panas pada batang dimensi satu,

b) Difusi konsentrasi zat cair atau gas pada kimia-fisika,

c) Transmisi telegraph dengan kabel berinduksi atau berkapasitas rendah, d) Gerak lambat pada hidrodinamika,

e) Evolusi dan distribusi probabilitas dalam proses acak, dan masih banyak aplikasi pada masalah lain.

Setelah masalah-masalah yang dijumpai tersebut dianalisis, maka terbentuk suatu model matematika. Dari model matematika tersebut menuju ke suatu bentuk Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Dalam masalah aliran panas pada suatu batang berdimensi satu, model matematika yang muncul adalah PDP tipe parabolik.

Memperhatikan penerapan ilmu matematika yang sangat luas, paper ini bertujuan menunjukkan penerapan PD, khususnya PDP. PDP tersebut disertai dengan kondisi-kondisi batas dan kondisi awal, dengan bentuk homogen dan non homogen.

2. DATA DAN METODE

Makalah ini membahas tentang PDP yang muncul pada masalah aliran panas pada batang dimensi satu. Dalam menentukan temperatur dari batang diperlukan informasi kondisi batas dan kondisi awal. PDP, kondisi batas, dan kondisi awal tersebut merupakan masalah nilai batas awal (IBVP). Untuk menyelesaikan PDP ini hanya menggunakan metode-metode analitik, yaitu metode pemisahan variabel (separation of variables) dan metode perluasan fungsi eigen (eigenfunction expansion) [1], [2], [3] , [4].

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Proses penurunan PDP dari masalah aliran panas pada batang sepanjang sumbu x dengan fungsi temperatur u (x, t) [1]- [2]. Batang diasumsikan sebagai berikut:

1. batang terbuat dari bahan penghantar homogen yang tunggal,

2. sisi-sisi batang diisolasi sehingga panas mengalir hanya dalam arah x,

3. batang adalah tipis sehingga temperatur pada semua bagian melintang adalah konstan.

Kondisi batang secara sederhana terlihat pada gambar 3.1.

Gambar 3.1 Batang konduksi tipis.

Untuk lebih menyederhanakan masalah, misalkan c sebuah konstanta panas spesifik, sehingga panas perunit panjang batang adalah ρcu( tx, ), ρ adalah kerapatan garis yang juga merupakan konstanta.

Hukum aliran panas Fourier menyatakan bahwa jumlah aliran panas pada sembarang x pada batang adalah sebanding dengan gradien (turunan) temperatur. Hukum termodinamika menyatakan bahwa aliran panas searah dengan penurunan temperatur. Maka panas total dalam segmen 0 ≤ s ≤ x dari batang adalah:

dx t x u c x

t H

x

) , (

) , (

∫

0

= ρ ^(3.1)

x = 0 x = L

x

Ketut Jayanegara Penerapan PDP Pada Masalah Aliran Panas

Menurut hukum Fourier, aliran panas melintasi titik x adalah:

x cK u t

H

∂

= ∂

∂

∂ ρ ^(3.2)

dimana K > 0 adalah konduktivitas dari batang.

Jika sejumlah panas f (x ,t) ditambahkan pada batang melalui pemanasan luar per satuan waktu, maka:

dx t x x f

cK u t

H ^x

) , (

0

∫

∂ +

= ∂

∂

∂ ρ ^(3.3)

Selanjutnya, diferensialkan (3.1) terhadap waktu (t) di bawah tanda integral, diperoleh:

t dx t x c u

t

H ^x ( ,)

0 ∂

= ∂

∂

∂ ^ρ

∫

^(3.4)

Maka ruas kanan (3.3) dan (3.4) adalah sama. Maka jika keduanya didiferensialkan terhadap x , diperoleh persamaan aliran panas:

c

u f K

u_{t xx}

ρ

= + (3.5)

Pers. (3.5) merupakan PDP tipe parabolik, di mana c f

ρ adalah kerapatan sumber panas.

Suhu tertinggi dalam batang atau media konduksi lain pada suatu saat yang diketahui tidak dapat melebihi suhu awal batang dan suhu tertinggi keadaan akhir yang diperoleh setelah observasi. Dalam menentukan suhu secara tunggal, maka diperlukan informasi tambahan. Sebagai contoh, misalkan ujung-ujung batang, yaitu x = 0 dan x = L keduanya berada dalam suhu konstan 0⁰ C. Informasi tambahan tentang kondisi awal dari batang, misalkan kondisi awal u(x ,0) = f (x).

3.1 PDP Homogen

Jadi masalah di atas dapat ditulis dalam bentuk:

PDP u_t = u_xx , 0< x< L , 0<t<∞ Kondisi Batas

0 ) , (

0 ) , 0 (

=

= t L u

t

u t ≥ 0 Kondisi Awal u (x, 0) = f (x)

Untuk menyelesaikan masalah nilai batas awal tersebut digunakan metode yang sesuai dengan kondisi-kondisi batas, yaitu metode pemisahan variabel dan perluasan fungsi eigen.

Metode pemisahan variabel digunakan untuk memecahkan masalah nilai batas awal (IBVP) jika bentuk PDP adalah linier dan homogen serta kondisi-kondisi batas homogen. Metode ini bertujuan untuk mencari penyelesaian sederhana dari PDP dengan bentuk:

) ( ) ( ) ,

(x t X x T t

u = (3.6)

Proses metode pemisahan variabel terdiri dari tiga tahap.

Tahap I. Mencari penyelesaian sederhana dari PDP, yaitu mencari fungsi dari (3.6) yang memenuhi empat kondisi berikut:

PDP u_t = α²u_xx , 0<x<1, 0<t<∞ Kondisi Batas u(0 ,t) = 0 ,

, 0 ) , 1

( t =

u

Kondisi Awal u( x ,0) = φ( x) 0 ≤ x ≤ 1 Selanjutnya, substitusikan (3.6) ke PD yang diketahui, diperoleh:

X (x) T' (t) = α²X"( x )T ( t ) Kemudian semua ruas dibagi α²X ( x )T( t), diperoleh:

X(x) X"(x) T(t) α

T'(t)

2 = (3.7)

Pers. (3.7) merupakan persamaan dengan variabel terpisah, terlihat ruas kiri dan kanan masing-masing hanya tergantung pada t dan x, karena x dan t keduanya saling bebas maka kedua ruas (3.7) pasti bernilai konstan, misalkan k, sehingga diperoleh:

X(x) k X"(x) T(t) α

T'(t)

2 = = , atau

0 ) (

' (t) − k ²T t =

T α dan X" (x) − kX (x) = 0 masing-masing persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial biasa (PDB).

Ambil k =−λ²sehingga persamaan menjadi:

0 0 ) (

'

2 2 2

X (x) λ

X" (x)

t T (t)

T

= +

= + λα

(3.8) Bagian pertama (3.8) merupakan PDB linier tingkat satu, jika diselesaikan diperoleh:

t α

Ae

-λ

T (t) =

^{2 2 , A} konstanta sembarang Bagian kedua (3.8) merupakan PDB tingkat dua, dengan nilai karakteristik adalah k = ± iλ dengan penyelesaiannya berbentuk:

x i x

i c e

e c

X(x) = ₁ ^λ + ₂ ^−λ

= Acosλx + Bsinλx A, B konstanta sembarang Penyelesaian PDP: u_t =

α

²u_xx merupakan suatu fungsi dari perkalian kedua penyelesaian (3.8), diperoleh:

x) ( B x) ( A e

(t) X (x) T t)

(x,

u = = ^−(λα)2t[ sin λ + cos λ ]

Untuk setiap

λ

, A, dan B yang akan memenuhi PDP.

Tahap II. Memilih himpunan bagian dari sekumpulan penyelesaian umum:

x) ( B x) ( A e

t) (x,

u = ^−(λα)2t[ sin λ + cos λ ] ^(3.9)

Ketut Jayanegara Penerapan PDP Pada Masalah Aliran Panas

yang memenuhi kondisi batas u(0 ,t) = 0 dan u(1 ,t) = 0 dengan mensubstitusikan (3.9) ke dalam kondisi batas didapat:

0 ]

0 cos 0

sin [

0,t) = e^{−(λ )2t} A + B = Be^{−(λ )2t} = (

u ^{α α}

Nilai e^−(λα)2t tidak mungkin bernilai nol, maka haruslah B = 0. Substitusikan (3.9) ke dalam kondisi batas kedua didapat:

0 ] cos sin

[

1,t ) = e^{− )2} A + B = (

u ^{(λα t} λ λ ^.

Karena B = 0, maka diperoleh: u(1,t) = e^−(λα)2tA sin λ = 0. Maka persamaan tersebut bernilai nol, haruslah sinλ = 0. Jadi kondisi batas kedua membatasi pemisahan konstanta dari sembarang bilangan tidak kosong. Jadi λ harus merupakan suatu akar λ dari persamaan sinλ = 0. Dengan kata lain, supaya memenuhi u(1 ,t) = 0, harus dipilih dengan teliti: λ_n = ±nπ , n = 1 ,2 ,3 ,!

Pada kondisi batas kedua dapat juga berarti A = 0, tetapi jika hal ini dipilih, maka akan menghasilkan penyelesaian kosong dalam (3.9). Akhir tahap II diperoleh suatu bilangan tak terhingga dari persamaan:

x) (n e

A t) (x,

u_n = _n ^−(nλα)2t sin π ^(3.10)

yang masing-masing akan memenuhi PDP dan kondisi-kondisi batas.

Tahap III. Mencari penyelesaian PDP yang memenuhi kondisi-kondisi batas dan awal dengan menjumlahkan penyelesaian dasar:

x) (n e

A t) (x,

u _n ^{(nλ t}

n

α⁾² sin π

1

∞ −

∑

=

= (3.11)

Substitusikan (3.11) kedalam kondisi awal didapat:

) ( sin

0 ⁾²

1

x x)

(n e

A ) (x,

u _n ^{(nλ t}

n

φ

α π =

= ^{∞ −}

∑

= ^(3.12)

Untuk mencari A_n kalikan kedua ruas (3.12) dengan _sin(mπ dan integrasikan terhadap _x) x dari 0 sampai 1 didapat:

dx x m x) (n A

dx x m

x _n

n

) sin(

sin

) ( sin ) (

1

1 0 1

0

π π

π

φ

∑ ∫

∫

^∞

=

= Ambil m = n

n n

n

A dx

x) (n A

dx x n

x

2 1 sin

) ( sin )

( ²

1

1 0 1

0

=

=

∑ ∫

∫

^∞

=

π π

φ

Hasilnya diperoleh: A_n 2 (x )sin(n x) dx

1

0

π

∫

φ

=

Sehingga penyelesaian dari masalah nilai batas awal:

x) (n e

A t) (x,

u _n ^{(nλ t}

n

α⁾² sin π

1

∞ −

∑

=

= .

3.2 PDP Non-Homogen

Jika masalah nilai batas awal (IBVP) mempunyai kondisi batas non homogen, dengan bentuk:

PDP u_t − α²u_xx = f (x, t) Kondisi Batas α₁u_x( 0 ,t) + β₁u( 0 ,t) = g₁( t ) ,

, ) ( ) , ( ) ,

( _{2 2}

2u_x L t + β u L t = g t α

Kondisi Awal u(x ,0) = φ(x) .

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, maka kondisi-kondisi batas ditransformasikan menjadi bentuk homogen. Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel, jika PDP homogen. Jika PDP non-homogen diselesaikan dengan menggunakan metode perluasan fungsi eigen.

Misalkan aliran panas pada batang dimensi satu yang terisolasi pada sisinya supaya tidak ada panas masuk dan keluar, kedua ujungnya pada suhu konstan, dan kondisi awal

) ( ) 0 ,

(x x

u = φ . Masalah tersebut dalam model matematika dapat ditulis sebagai berikut:

PDP u_t − α²u_xx = 0 , 0< x<L, 0<t<∞ Kondisi Batas

2 1

) , (

) , 0 (

k t

L u

k t

u

=

= 0< t<∞ (3.13)

Kondisi Awal u(x ,0) = φ(x) 0 ≤ x ≤ L Suhu u(x ,t) merupakan jumlah dari dua bagian penyelesaian, yaitu:

nt transie

steady keadaan

) ,

(x t = +

u

[ ₁ (k₂ k₁)] U (x ,t) L

k + x − +

=

Sekarang tujuannya mencari penyelesaian transient U (x ,t) dengan mensubstitusikan:

) , ( )]

( [ ) ,

( ₁ k₂ k₁ U x t

L k x t x

u = + − + ke (3.13), didapat:

PDP u_t = α²u_xx , 0 < x < L

Kondisi Batas u( 0 ,t )=k₁, menghasilkan k₁+ U( 0 ,t) = k₁ ^atau U (0 ,t) = 0, 0< t<∞ dan U( L ,t)=k₂, menghasilkan U (L ,t)=0, 0< t<∞

Kondisi awal u(x ,0) = φ(x) , menghasilkan: [ ₁ ( k₂ k₁)] U( x ,0) (x ) L

k + x − + =φ

)]

( [ ) ( ) 0 ,

( ₁ k₂ k₁

L k x x x

U = φ − + −

= φ(x)

Ketut Jayanegara Penerapan PDP Pada Masalah Aliran Panas

dengan ( ) ( ) [ ₁ ( k₂ k₁)]

L k x x

x =φ − + −

φ merupakan harga awal baru. Jadi kondisi-kondisi batas pada masalah nilai batas awal (3.13) telah ditransformasikan menjadi kondisi-kondisi batas yang berbentuk homogen. Maka masalah dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel, karena PDP-nya juga homogen. Setelah diselesaikan diperoleh:

L ) x (n e

a t) (x,

u _n ^{(nλ t}

n

α⁾² sin π

1

∞ −

∑

=

= dengan dx

L x x n

a_n L2 ( )sin( )

1

0

φ π

∫

=

Selanjutnya, masalah nilai batas awal yang mempunyai kondisi-kondisi batas berbentuk homogen, tetapi PDP-nya tidak homogen. Hal ini diselesaikan dengan menggunakan metode perluasan fungsi eigen. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

PDP u_t = α²u_xx + f (x, t) , 0<x<1 Kondisi Batas

0 ) , 1 (

0 ) , 0 (

=

= t u

t

u 0< t<∞ (3.14)

Kondisi Awal u(x ,0) = φ(x) 0 ≤ x ≤ 1

Proses menyelesaikan masalah nilai batas awal (3.14) terdiri dalam dua tahap.

Tahap I. Ide dasar dari metode perluasan fungsi eigen adalah menguraikan sumber panas )

, (x t

f menjadi komponen-komponen berikut:

) ( ) ( . . . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

( x t f₁ t X₁ x f₂ t X₂ x f t X x

f = + + + _{n n}

dan menentukan u(x,t) untuk masing-masing komponen individu f_n( t )X_n ( x) tersebut.

Jadi masalah di atas mempunyai penyelesaian:

) , (

1

t x u t) (x,

u _n

n

∑

^∞

=

=

Untuk menguraikan sumber panas f (x ,t) kedalam komponen-komponen individu )

( ) ( t X x

f_{n n} adalah merupakan suatu masalah yang cukup rumit. Faktor X_n( x) adalah vektor eigen dari sistem Sturm–Liouville dan bilamana penyelesaian digabung dengan masalah yang homogen menggunakan metode pemisahan variabel, diperoleh:

xx

t u

u = α² (misalkan f (x ,t) = 0 )

0 ) , 1 (

0 ) , 0 (

=

= t u

t u

) ( ) 0 ,

(x x

u = φ

Dalam hal ini, Sturm–Liouville mencari X_n( x) dengan memisahkan variabel, diperoleh:

) sin(

)

(x n x

X_n = π , n = 1 ,2 ,3 ,_! Karena itu penguraian sumber panas menghasilkan bentuk:

) ( sin ) ( ) 2 ( sin ) ( ) ( sin ) ( ) ,

( x t f₁ t x f₂ t x f t n x

f = π + π + ! + _n π

Akhirnya untuk menentukan fungsi-fungsi f_n( t ) kalikan kedua ruas dengan sin(mπ , dan x) diintegrasikan terhadap x dari 0 sampai 1, diperoleh:

dx x m x) (n (t)

f dx x m t

x

f _n

n

) sin(

sin

) ( sin ) , (

1

1 0 1

0

π π

π

∑ ∫

∫

^∞

=

= Ambil m = n, maka

) ( 2 1 sin

) ( sin ) ,

( ²

1

0 1

0

t f dx

x) (n (t)

f dx x n t

x

f = _n

∫

= _n

∫

^{π π}

Jadi f_n(t) 2 f(x, t) sin(n x) dx

1

0

∫

π

=

Tahap II. Dalam tahap ini menetukan solusi u_n( x ,t) = T_n ( t )X_n ( x) dengan mengganti sumber panas f (x ,t) dengan hasil penguraian sumber panas:

x) (n (t) f t x

f _n

n

π sin )

, (

∑

^∞1

=

=

digunakan untuk mencari jawaban individu: ( ,) ( )sin ( )

1

x n t

T t

x

u _n

n

∑

^∞ π

=

=

Dengan kata lain, menentukan fungsi T_n ( t) . Maka untuk menyelesaikan T_n ( t) , substitusikan u(x ,t) dalam sistem nilai batas awal:

) ( sin ) (

1

2u f t n x

u _n

n xx

t α

∑

^∞ π

=

+

=

0 ) , 1 (

0 ) , 0 (

=

= t u

t u

) ( ) 0 ,

(x x

u = φ

Menghasilkan:

0 ) ( sin )]

( ) ( ) ( '

[ ²

1

=

−

∑

^∞ +

=

x n t

f T n

t

T _{n n n}

n

π πα

)]

( ) ( ) ( '

[ ²

1

t f T n

t

T _{n n n}

n

=

∑

^∞ +

=

πα ^(3.15)

Sedangkan kondisi awal dapat ditulis sebagai:

(x) x

(n T_n

n

φ π ⁾ sin

) 0 (

1

∑

^∞ =

=

Untuk menentukan T_n (0) masing-masing ruas dikalikan dengan sin (mπx) dan diintegrasikan terhadap x dengan batas-batas dari 0 sampai 1, diperoleh:

dx x m x

(n T

dx x m

(x) _n

n

) ( sin ) sin ) 0 (

) ( sin

1

1 0 1

0

π π

π

φ

∑ ∫

∫

^∞

=

=

Ketut Jayanegara Penerapan PDP Pada Masalah Aliran Panas

Ambil m=n, maka diperoleh:

) 0 ( 2 1 ) sin

) 0 ( ) (

sin ²

1

0 1

0

n

n (n x dx T

T dx x n

(x) =

∫

=

∫

^{φ π π}

Jadi T_n(0) 2 (x)sin (n x )dx c

1

0

=

=

∫

^{φ π}

Jika (3.15) diselesaikan, diperoleh:

] ) ( [

)

( ^{2 ( )2}

1

0 )

( e f t dt c

e t

T_n = ^{− nπα t}

∫

^{− nπα t} _n +

Untuk menentukan c, digunakan kondisi awal T_n (0) . Oleh karena itu, penyelesaian dari masalah (3.14), adalah:

] ) ( )[

( sin )

( sin

) ( sin ) (

) , (

2 2

2 ( )

0 ) ( 1

) ( 1 1

dt t f e

e x n x

n e

c

x n t

T t

x u

t t n

t n n

t n n

n n

πα πα

πα π π

π

−

∞ −

=

∞

=

∞

=

∑ ∫

∑

∑

+

=

=

Hal ini menunjukkan bahwa penyelesaian tersebut terdiri dari dua bagian, yaitu bagian pertama merupakan jawaban dari kondisi awal dan kedua merupakan jawaban dari sumber panas f (x ,t).

4. SIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan pembahasan diperoleh simpulan sebagai berikut:

1. Hasil analisis masalah aliran panas pada batang dimensi satu dalam model matematika merupakan PDP tipe parabola. Untuk menentukan temperatur dari batang diperlukan informasi tambahan, yaitu kondisi batas dan kondisi awal. PDP, kondisi batas, dan kondisi awal tersebut merupakan masalah nilai batas awal (IBVP).

2. Untuk menyelesaikan IBVP digunakan metode-metode yang sesuai, yaitu: metode pemisahan variabel jika PDP dan kondisi-kondisi batas berbentuk homogen. Proses metode tersebut terdiri dari tiga tahap, yaitu tahap pertama, diperoleh solusi

x) ( B x) ( A e

(t) X (x) T t)

(x,

u = = ^−(λα)2t[ sin λ + cos λ ] untuk setiap

λ

, A, dan B yang akan memenuhi PDP. Tahap kedua, diperoleh suatu bilangan tak terhingga dari persamaan u_n(x,t) = A_ne^{−(nλα)2t sin} (nπx) yang masing-masing akan memenuhi PDP dan kondisi-kondisi batas. Tahap ketiga, menyelesaikan PDP yang memenuhi kondisi-kondisi batas dan awal dengan menjumlahkan penyelesaian

dasar u(x,t) A_ne ^{(nλ t} (n x)

n

α⁾² sin π

1

∞ −

∑

=

= diperoleh

dx x n x

A_n 2 ( )sin( )

1

0

π

∫

φ

= .

3. Jika PDP berbentuk non homogen dan kondisi batasnya sudah berbentuk homogen maka untuk menyelesaikannya digunakan metode perluasan fungsi eigen dengan hasil

] ) ( )[

( sin )

( sin

) ( sin ) (

) , (

2 2

2 ( )

0 ) ( 1

) ( 1 1

dt t f e

e x n x

n e

c

x n t

T t

x u

t t n

t n n

t n n

n n

πα πα

πα π π

π

−

∞ −

=

∞

=

∞

=

∑ ∫

∑

∑

+

=

=

Solusi tersebut terdiri dari dua bagian, yaitu bagian pertama merupakan jawaban dari kondisi awal dan bagian kedua merupakan jawaban dari sumber panas f (x ,t).

DAFTAR PUSTAKA

[1] Farlow, Stanley J., An Introduction to Differential Equations and Their Applications., New York: McGraw-Hill, Inc., 1994.

[2] Haberman, Richard, Elementary Applied Partial Equations with Fourier Series and Boundary Value Problem, vol. Second Edition, New Jersey: Prentice-Hall, 1983.

[3] Ayres Jr, Frank ; Ault, J. C., Persamaan Diferensial Dalam Satuan SI Metric, Jakarta:

Erlangga, 1981.

[4] Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, New York: John Wiley & Sons, Inc., 1967.