Kumpulan soal-soal level seleksi provinsi: solusi:

Kumpulan soal-soal level seleksi provinsi:

1. Sebuah bola A berjari-jari r menggelinding tanpa slip ke bawah dari puncak sebuah bola B berjari- jari R. Anggap bola bawah tidak bergerak sama sekali. Hitung kecepatan sudut bola A ketika meninggalkan bola B! Anggap kecepatan awal bola A nol. Anggap gesekan sangat besar, sehingga bola tidak dapat slip.

solusi:

Pertama tentukan dahulu hubungan-hubungan sudut pada gerak bola A. Perhatikan busur AB pada bola A. Supaya tidak slip, maka panjang busur AB pada bola A harus sama dengan AB pada bola B.

Dari hubungan ini, didapat Rθ = rφ. Tetapi sudut φ dihitung relatif terhadap sumbu yang berubah-ubah terhadap waktu (sumbu dari pusat bola A ke pusat bola B).

Kecepatan sudut bola A harusnya diukur terhadap sumbu yang tetap, sehingga kecepatan sudut A seharusnya terkait laju perubahan sudut φ + θ atau diberikan oleh ω

θ

+ ω

φ

.

Selanjutnya hitung energi kinetik bola A saat di posisi sudut θ.

Ada 2 komponen energi kinetik: energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.

Kecepatan pusat massa bola A diberikan oleh (r+R) ω

θ

, dengan ω

θ

adalah laju perubahan sudut θ terhadap waktu.

Energi kinetik translasi = EK

_t

= 1

2 mrR

²



_²

Energi kinetik rotasi = EK

_r

= 1

2 I 

_



_



²

= 1

5 m rR 

_²

Energi potensial di sudut θ diberikan oleh mg (r+R) cos θ.

Energi mekanik mula-mula = mg (r+R)

Hukum kekekalan energi: mg  rR=mg rRcos  1

2 m rR

²



_²

 1

5 mrR

²



_²

atau g 1−cos= 7

10 rR

_²

.

Tinjauan persamaan gerak bola A dalam arah radial saat masih menyentuh bola B:

A B A

θ B

θ

φ

Saat persis akan lepas, N = 0, sehingga didapat g cos =

_²

rR . Masukkan persamaan ini ke

hubungan energi, didapat cos = 10

17 . Masukkan hasil ini kembali ke persamaan energi, untuk

mendapat 

_

=  ^{17 10 g  Rr} . Kecepatan sudut bola A diberikan oleh r R

r 

_

=  ^{10 g 17 r rR}

²

2. Sebuah batang ringan (massa diabaikan) ujung-ujungnya diberi sebuah bola pejal dan ditahan secara horisontal (lihat gambar).

Ketika dilepaskan, batang berotasi terhadap sumbu horisontal yang melalui titik O. Tentukan kelajuan v bola bermassa m saat di titik tertinggi.

(Soal seleksi provinsi 2006)

solusi:

Dalam pengerjaan soal ini, harus diasumsikan ukuran bola pejal m dan 2m. Jika dianggap jari-jari bola jauh lebih kecil daripada panjang L, maka pengerjaan soal ini menjadi relatif lebih gampang.

Energi kinetik mula-mula sistem adalah nol. Energi kinetik akhir hanyalah energi kinetik translasi.

Karena seluruh sistem berotasi dengan kecepatan sudut tertentu, maka kecepatan linear m dan 2m, dihubungkan oleh v

2m

= 2v

m

= 2v.

Perubahan energi kinetik sistem diberikan oleh

ΔEK = ½ mv

²

+ ½ 2m (2v)

²

= 4,5 mv

²

. Perubahan energi potensial sistem diberikan oleh

ΔEP = mgL – 2mg2L = - 3mgL.

Karena energi kekal, maka didapat hubungan ΔE = ΔEK + ΔEP = 0 atau 4,5 mv

²

= 3mgL.

Sehingga didapat v =  ^{3 2 gL}

2L L

2m

m v

O

3. Sebuah massa m berada di atas sebuah massa lain M. Mula- mula M diam dan m memiliki kecepatan awal v. Berapakah ketinggian maksimum h yang dapat dicapai oleh massa m?

Anggap seluruh sistem licin dan massa m meninggalkan M dalam arah vertikal ke atas relatif terhadap M.

solusi:

Saat benda m terlepas dari benda M, keduanya memiliki kecepatan dalam arah horizontal yang sama, yaitu v

x

. Dari hubungan kekekalan momentum, didapat

mv = (m+M) v

x

. Dari hukum kekekalan energi, didapat

1

2 mv

²

= 1

2 M v

²_x

 1

2 m v

²_x

mgh Dari kedua persamaan ini, didapat

h= M v

²

2 g  M m

4. Sebuah bola homogen bermassa m

1

diletakan di atas sebuah papan yang bermassa m

2

. Antara bola dan papan terdapat gesekan dengan koefisien gesek (statis dianggap sama dengan kinetis) µ. Demikian juga antara balok dengan lantai terdapat gesekan yang sama. Berapakah gaya maksimum F agar bola tidak terpeleset?

solusi:

Terdapat gaya normal dari bola pada papan sebesar N

1

sebesar m

1

g, sedangkan gaya normal dari papan pada lantai diberikan oleh N

2

= (m

1

+m

2

)g.

Lantai akan memberikan gaya gesek pada papan sebesar f

2

= µ N

2

= µ(m

1

+m

2

)g.

Gaya gesek antara bola dan papan diberikan oleh f

1

.

Persamaan gerak papan: F − f

1

−m

1

m

2

 g=m

2

a

₂

Persamaan gerak linear bola: f

₁

=m

1

a

₁

Persamaan gerak rotasi bola: f r= I  , dengan I = 2

m r

²

, dan α adalah percepatan F h

m

v M

sudut bola.

Syarat agar bola tidak slip adalah f

1

≤ µ N

1

= µm

1

g. Pada keadaan ini berlaku hubungan

 r=a

2

−a

1

. Dengan menggunakan hubungan di atas, didapat 7 a

₁

=2 a

₂

, a

1

= g , a

₂

= 7

2  g , sehingga didapat F =2 m

₁

 9

2 m

₂

 g

5. Sebuah sistem terdiri dari dua buah balok identik, masing-masing bermassa m. Kedua massa dihubungkan dengan pegas tak bermassa yang mempunyai konstanta pegas k. Pegas ditekan turun dari posisi pegas kendur sehingga panjang pegas berkurang sebesar Δl. Setelah itu balok dilepas, sehingga balok atas bisa bergerak dalam arah vertikal. Berapakah besar Δl maksimum agar balok bawah tidak terangkat?

Solusi:

Anggap saat balok bergerak ke atas, sampai ketinggian maksimum, balok bawah tetap menyentuh lantai (tidak bergerak). Dalam keadaan ini, seluruh energi potensial awal diubah menjadi energi potensial akhir (tidak ada energi kinetik).

Energi potensial mula-mula = 1

2 k l

²

−mg l ,

(ambil acuan energi potensial gravitasi adalah nol saat massa berada pada posisi pegas kendur. ) Energi potensial akhir = 1

2 k A

²

mgA , dengan A adalah simpangan maksimum Syarat agar massa m bawah bisa mulai terangkat adalah gaya pegas (arahnya ke atas) sama atau lebih besar daripada gaya berat balok bawah:

mg = kA.

Dengan memasukkan syarat ini ke persamaan di atas, dan dengan menggunakan hukum kekekalan energi, didapat

l

²

− 2 mg

k l− 3 m

²

g

²

k

²

=0 .

Δl

Dengan menyelesaikan persamaan di atas, didapat l=1±2 mg k Ambil solusi positif : l= 3 mg

k

6. Sebuah bandul dengan panjang tali l dan massa m mulanya dijaga diam dengan sudut orientasi θ.

Berapakah impuls maksimum dalam arah z (keluar bidang kertas) agar massa m tidak menyentuh atap?

(Soal seleksi provinsi 2008)

Solusi:

Energi mula-mula adalah energi kinetik dan energi potensial:

Energi mula-mula: ^E =−mgl cos  1 2 mv

²

.

Supaya tidak menyentuh atap, kecepatan akhir hanya dalam arah azimuthal saat θ = π/2.

Energi akhir: ^E = 1

2 m v

_²

.

Kekekalan momentum sudut:

^{ml sin}

^

^θ

^

^v=mlvφ

. Dari persamaan-persamaan ini didapat v =  ^{cos θ 2 gl}

Implus maksimum = mv =m  ^{cos θ 2 gl}

7. Suatu pegas memiliki konstanta pegas k dan massa m. Untuk memudahkan perhitungan, pegas ini bisa dimodelkan dengan sebuah sistem yang terdiri dari susunan massa dan pegas. Untuk pendekatan pertama, anggap sistem pegas bermassa ini ekuivalen dengan sistem massa pegas yang terdiri dari 2 massa identik m’

dan 2 pegas identik tak bermassa dengan konstanta pegas k’. Jika kita menambah terus jumlah massa dan pegas dalam model ini,

x y

z l θ

m

k,m ≡

k'

k' m'

m'

Untuk selanjutnya, tinjau gerak dalam model seperti pada gambar di bawah (terdiri dari 2 massa dan 2 pegas tak bermassa)

Gantung pegas dalam keadaan vertikal. Mula-mula sistem dibiarkan pada keadaan setimbang.

Panjang pegas menjadi L (panjang pegas dalam keadaan kendur adalah L

0

). Jika ujung atas A dipotong, berapa percepatan massa bawah menurut model ini? Berapa percepatan massa atas menurut model ini? (percepatan gravitasi adalah g.)

(Soal seleksi provinsi 2007)

Solusi:

Pertama hitung dulu massa ekuivalen dan juga konstanta pegas ekuivalen dari model:

Karena massa total harus sama, maka didapat m = 2m'.

Untuk menghitung konstanta pegas ekuivalen, letakkan pegas dalam arah horizontal, sehingga tidak ada pengaruh gaya gravitasi. Tarik pegas dengan gaya F. Dalam pegas sejati, pertambahan panjang adalah F/k. Dalam pegas model, pertambahan panjang pegas adalah F/k' +F/k' = 2F/k'. Karena pertambahan panjang harus sama, maka didapat

2k = k'.

Sekarang tinjau keadaan pegas model dalam posisi vertikal dan keadaan kesetimbangan. Pegas bawah bertambah panjang sebanyak:

l

1

= m' g k ' = m g

4 k Pertambahan panjang pegas atas diberikan oleh:

l

2

= 2 m ' g k ' = m g

2 k

Tegangan pegas bawah adalah k ' l

1

=m' g= m g 2 Tegangan pegas atas adalah k ' l

2

=2 m' g=m g

Pada saat ujung atas dipotong, gaya total yang bekerja pada massa bawah adalah k ' l

1

−m' g=m' g−m' g=0 ,

dan gaya yang bekerja pada massa atas adalah

k ' l

2

=mg

Percepatan massa bawah adalah nol

Percepatan massa atas adalah ^mg m' =2 g

8. Sistem yang digambarkan di samping berada pada keadaan kesetimbangan. Pegas bagian kanan (konstanta pegas k) teregang sejauh x

1

. Koefisien gesek statis antara kedua balok adalah µ. Anggap tidak ada gesekan antara balok dan lantai.

Konstanta masing masing pegas adalah 3k dan k, sedangkan massa kedua balok sama, yaitu m. Berapakah simpangan maksimum, A, dari massa m agar kedua balok masih bisa berosilasi bersama-sama? Abaikan massa pegas.

(Soal seleksi provinsi 2005)

Solusi:

Mula-mula, sebelum diberi gangguan, pegas kanan teregang sejauh x

1

. Karena sistem dalam keadaan kesetimbangan, maka pegas kiri juga harus teregang sejauh x

2

. Hubungan keduanya diberikan oleh kx

1

= 3kx

2

, atau

x

1

= 3x

2

.

Ketika kedua balok bergerak bersama-sama, sistem setara dengan sistem massa pegas yang terdiri dari satu massa dengan besar 2m dan 1 pegas dengan konstanta pegas 4k. Frekuensi sudut sistem

diberikan oleh: =  ^{2 m 4 k .}

Simpangan massa atas, relatif terhadap keadaan saat pegas atas kendur diberikan oleh



2

=x

2

A cos  ^{2 k m t ,}

dan simpangan massa bawah, relatif terhadap keadaan saat pegas bawah kendur diberikan oleh



1

=x

1

− Acos  ^{2 k m t .}

Persamaan gerak massa atas diberikan oleh f −3 k 

2

=m a

2

,

m m 3k

k

k 

1

− f =m a

1

.

Gunakan salah satu dari dua persamaan ini, misalnya gunakan persamaan untuk massa atas:

f =3 k 

₂

m a

₂

=3 k x

₂

k Acos  ^{2 k m t}

Nilai maksimum f adalah saat fungsi cos mencapai harga satu. Jadi nilai maksimum diberikan oleh f

_m

=3 k x

2

k A .

Nilai maksimum ini harus selalu lebih kecil atau sama dengan µN = µmg. Jadi

 m g ≥3 k x

2

k A .

sehingga A ≤  m g

k −3 x

2

,

atau A ≤  m g

k − x

1

.

Dengan menggunakan persamaan kedua juga akan diperoleh hasil yang sama.

9. Tentukan percepatan balok 1 (massa m), 2 (massa m) dan 3 (massa M) untuk sistem di samping. Anggap tali tidak slip pada katrol (massa m

k

). Jari-jari katrol adalah R dan momen inersia katrol diberikan oleh ½m

k

R

²

. Benda bergerak pada lantai yang licin, sehingga tidak ada gaya gesek dan juga tidak ada gaya gravitasi.

Solusi:

Percepatan massa 1 relatif terhadap katrol adalah a

m

. Demikian juga percepatan massa 2 terhadap katrol. Percepatan katrol dan massa 3 terhadap tanah adalah a

M

.

Dengan menggunakan notasi ini, maka percepatan massa 1 relatif terhadap tanah adalah a

m

+ a

M

, sedangkan percepatan massa 2 relatif terhadap tanah adalah a

M –

a

m

.

Tegangan tali yang menempel pada 1 adalah T

1

, tegangan tali yang menempel pada 2 adalah T

2

dan tegangan tali penghubung katrol dan massa 3 adalah T

3

.

Persamaan gerak benda 1: F −T

₁

=ma

_m

a

_M

 Persamaan gerak benda 2: −T

2

=ma

M

−a

m

 Persamaan gerak lurus katrol: T

₁

T

2

−T

3

=m

k

a

_M

F m m

M m

_k

1

2

3

Persamaan gerak rotasi katrol: T

1

−T

2

 R= 1

2 m

_k

R

²

 Persamaan gerak benda 3: T

₃

= M a

_M

Syarat tidak slip: = a

_m

R Dengan menyelesaikan keenam persamaan di atas, didapat

a

_M

= F

2 m m

k

 M , a

_m

= 2 F

4 m m

k

a

₁

=a

_m

a

_M

= F 8 m3m

k

2 M 

2 mm

k

 M 4 mm

k

 a

₂

=a

_M

−a

_m

=− F m

k

2 M 

2 mm

k

 M 4 mm

k

 a

₃

=a

_M

= F

2 m m

_k

M

10.Sebuah silinder homogon berjari-jari R diputar terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut mula- mula ω

0

. Dalam keadaan berputar ini, silinder ditempatkan pada sudut suatu ruangan. Koefisien gesek kinetis antara dinding dan lantai dengan silinder adalah µ. Setelah berapa putaran silinder akan berhenti?

Solusi:

Pertama perhatikan diagram gaya yang bekerja pada silinder.

Karena benda tidak bertranslasi, maka percepatan linearnya nol.

N

1

+ µN

2

= mg, N

2

= µN

1

.

Dari kedua persamaan ini, didapat ^N

1

= mg

1 

²

dan N

2

=  mg 1 

²

.

Kedua gaya gesek akan memberi torka perlambatan terhadap rotasi. Usaha dari gaya gesek akan menghabiskan seluruh energi rotasi bola.

N

₁

N

₂

µN

₁

µN

₂

Energi rotasi mula-mula E

₀

= 1 2 I 

0

2

= 1

4 mR

²



0 2

Usaha gaya gesek: W = N

1

 N

2

2  nR , dengan n adalah jumlah putaran.

Dengan memasukkan bentuk gaya normal yang telah didapat sebelumnya ke dalam persamaan usaha-energi, didapat

W = 1

1

²

2  nR mg= 1

4 mR

²



₀²

Sederhanakan, didapat n= R 

02

1

²



8  g 1 .