MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO
SKRIPSI
JUSTIN VENTALIUS ZEBUA 160823014
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2018
PERSETUJUAN
Judul : ANALISIS SISTEM ANTRIAN DAN SIMULASI
PELAYANAN DI KANTOR BPJS KESEHATAN
KOTA MEDAN DENGAN MENGGUNAKAN
METODE MONTE CARLO
Kategori : SKRIPSI
Nama : JUSTIN VENTALIUS ZEBUA
Nomor Induk Mahasiswa : 160823014
Program Studi : SARJANA (S1) EKSTENSI MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Disetujui : Medan, Oktober 2018
Disetujui oleh :
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua, Pembimbing
Dr. Suyanto, M. Kom Drs. Agus Salim Harahap, M.Si
NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19540828 198103 1 004
PERNYATAAN
ANALISIS SISTEM ANTRIAN DAN SIMULASI PELAYANAN DI KANTOR BPJS KESEHATAN KOTA MEDAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE
CARLO
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2018
JUSTIN VENTALIUS ZEBUA NIM. 160823014
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmatNya sehingga skripsi dengan judul: “Analisis Sistem Antrian Dan Simulasi Pelayanan Di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan Dengan Menggunakan Metode Monte Carlo” dapat diselesaikan dengan baik. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada pihak yang turut mendukung dalam penulisan skripsi :
1. Bapak Drs. Agus Salim Harahap, M.Si selaku dosen pembimbing yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.
2. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Bapak Drs. Pasukat Sembiring, M.Si selaku dosen pembanding atas kritik dan saran yang membangun dalampenyempurnaan skripsi ini.
3. Bapak Dr. Suyanto, M. Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU beserta staf pegawai.
4. Pimpinan Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan serta seluruh pegawai yang telah membantu pada penelitian ini.
5. Terkhusus untuk Ayahanda Talinibe Zebua, Ibunda Feberia Zega, saudara penulis Bonita Dwi Kasih Zebua, Jevon Trixie Zebua, Belinda Azaria Zebua Serta keluarga besar penulis yang selalu mendukung penulis.
6. Teman-teman penulis yakni teman-teman Ekstensi Matematika 2016 serta teman-teman penulis yang selalu dekat dan membantu saya yang tidak dapat disebutkan satu per satu atas segala bentuk dukungannya.
Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baikdalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yang Maha Esa. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi para pembaca.
ANALISIS SISTEM ANTRIAN DAN SIMULASI PELAYANAN DI KANTOR BPJS KESEHATAN KOTA MEDAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE
CARLO
ABSTRAK
Pada penelitian di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan memiliki antrian yang cukup panjang sehingga di lakukan penelitian dan terdapat peserta mengantri lebih lama. Sistem antrian bagian pendaftaran merupakan sistem antrian yang terdiri dari Loket. Tujuan dari penelitian skripsi ini yaitu memberikan gambaran model antrian, menentukan ukuran keefektifan dan mencari solusi optimal. Data yang dianalisis yaitu data hari sibuk pada hari Senin, 07 Mei 2018, Jumat, 11 Mei 2018, dan Senin, 14 Mei 2018. Pengambilan data dilakukan dengan dua metode yaitu wawancara dan observasi. Data kedatangan dan pelayanan yang diperoleh kemudian dikelompokkan per 10 menit. Selanjutnya pemeriksaan uji distribusi Poisson dan eksponensial, menentukan model antrian dan menghitung ukuran keefektifan. Ukuran keefektifan antrian pada bagian pendaftaran dapat dihitung menggunakan model (M/M/1):(GD/∞/∞). Optimasi sistem antrian dilakukan dengan dua cara yaitu menambah server dan simulasi Monte Carlo. Sistem antrian bagian pendaftaran akan optimal jika ditambah 1 (satu) server. Apabila optimasi menggunakan simulasi Monte Carlo, maka kapasitas sistem antrian harus dibatasi sampai mencapai hasil optimal. Dan menghasilkan rata-rata peserta mengantri sekitar 5,515 menit.
Kata Kunci: antrian, (M/M/1):(GD/∞/∞),Optimasi, simulasi Monte Carlo.
ANALYSIS OF QUEUING SYSTEM AND SIMULASI OF SERVICE IN THE MEDAN CITY BPJS KESEHATAN WITH MONTE CARLO METHOD
ABSTRSCT
In the study at the BPJS Health Office in Medan City, the queues were long enough to do research and there were participants queuing longer. Queue registration system is a queuing system consisting of counters. The purpose of this thesis research is to provide an overview of the queue model, determine the size of effectiveness and look for optimal solutions. The data analyzed are data on busy days on Monday, May 7, 2018, Friday, May 11, 2018, and Monday, May 14, 2018. Data collection is done in two methods, namely interviews and observations. Data on arrivals and services obtained are then grouped per 10 minutes.
Furthermore, the examination of the Poisson and exponential distribution tests, determines the queue model and calculates the measure of effectiveness. The size of the queue effectiveness in the registration section can be calculated using the model (M / M / 1) :( GD /
∞ / ∞). Queuing system optimization is done in two ways, adding server and Monte Carlo simulation. The registration queue system will be optimal if added by 1 (one) server. If optimization uses Monte Carlo simulation, the queuing system capacity must be limited to achieve optimal results. And the average participant queuing around 5,515 minutes.
Keywords: queue, (M / M / 1) :( GD / ∞ / ∞), Monte Carlo simulation
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
DAFTAR ISI ... vi
DAFTAR SIMBOL viii
DAFTAR TABEL ix
DAFTAR GAMBAR x
DAFTAR LAMPIRAN xi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Manfaat Penelitian 3
1.6 Tinjauan Pustaka 3
1.7 Metodologi Penelitian 5
BAB 2 LANDASAN TEORI 6
2.1 Teori Antrian 6
2.2 Sistem Antrian 7
2.3 Disiplin Antrian 9
2.4 Struktur Antrian 10
2.5 Model-Model Antrian 12
2.6 Terminolohi dan Notasi Antrian 14
2.7 Pola Kedatangan dan Waktu Pelayanan 15
2.7.1 Pola Kedatanga 15
2.7.2 Lama Pelayanan 16
2.9 Formula yang digunakan 17
2.10 Simulasi 18
2.11 Model-Model Simulasi 20
2.12 Simulasi Monte Carlo 21
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 23
3.1 Pengumpulan Data 23
3.2 Uji Kesesuaian Distribusi 24
3.2.1 Uji Chi Square Terhadap Kedatangan Peserta 24
3.2.2 Uji Chi Square Terhadap Pelayanan Peserta 30
3.3 Desain Antrian dan Disiplin Antrian 35
3.4 Notas Kendall 35
3.5 Hasil Perhitungan berdasrkan 35
3.6 Simulasi 38
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 47
4.1 Kesimpulan 47
4.2 Saran 47 DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR SIMBOL
n = Jumlah nasabah yang mengantri pada waktu t k = Jumlah satuan pelayanan
λ = Tingkat kedatangan μ = Tingkat pelayanan
ρ = Tingkat kesibukan sistem
P0 = Peluang semua loket menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem
Pn(n-k) = Peluang peserta yang datang harus menunggu
Ls = Ekspektasi panjang sistem
𝐿𝑞 = Rata-rata banyaknya peserta dalam antrian atau rata-rata panjang antrian L = Ekspektasi panjang antrian
Ws = Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem Wq = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman Tabel Tabel 3.1 Tabel Jumlah Peserta yang datang 9
Tabel 3.2 Tabel Rekapitulasi Kedatangan 26
Tabel 3.3 Tabel Uji Chi Square Kedatangan Rabu, 09 Mei 2018 42 Tabel 3.4 Tabel Uji Chi Square Kedatangan Rabu, 15 Mei 2018 52 Tabel 3.5 Tabel Uji Chi Square Kedatangan Jumat, 18 Mei 2018 53 Tabel 3.6 Tabel Uji Chi Square Pelayanan Rabu, 09 Mei 2018 54 Tabel 3.7 Tabel Uji Chi Square Pelayanan Rabu, 15 Mei 2018 54 Tabel 3.8 Tabel Uji Chi Square Pelayanan Jumat, 18 Mei 2018 55 Tabel 3.9 Tabel Interval Bilangan Random Kedatangan Rabu,
09 Mei 2018 56
Tabel 3.10 Tabel Interval Bilangan RandomPelayanan Rabu,
09 Mei 2018 57
Tabel 3.11 Tabel Interval Bilangan Random Kedatangan Rabu,
15 Mei 2018 57
Tabel 3.12 Tabel Interval Bilangan RandomPelayanan Rabu,
15 Mei 2018 58
Tabel 3.13 Tabel Interval Bilangan Random Kedatangan Jumat,
18 Mei 2018 58
Tabel 3.14 Tabel Interval Bilangan RandomPelayananJumat,
18 Mei 2018 61
Tabel 3.15 Tabel Simulasi Kedatangan Rabu, 09 Mei 2018 62 Tabel 3.16 Tabel Simulasi Pelayanan Rabu, 09 Mei 2018 63
Tabel 3.17 Rangkuman Hasil Simulasi 64
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Halaman Lampiran
Lampiran 1 Tabel Jumlah Peserta 51
Lampiran 2 Data Penelitian Waktu Kedatangan 52
Lampiran 3 Data Penelitian Waktu Pelayanan 53
Lampiran 4 Data Penelitian Senin 07 Mei 2018 54 Lampiran 5 Data Penelitian Selasa 08 Mei 2018 57
Lampiran 6 Data Penelitian Rabu 09 Mei 2018 60
Lampiran 7 Data Penelitian Kamis 10 Mei 2018 63 Lampiran 8 Data Penelitian Jumat 11 Mei 2018 65 Lampiran 9 Data Penelitian Senin 14 Mei 2018 68 Lampiran 10 Data Penelitian Selasa 15 Mei 2018 71
Lampiran 11 Data Penelitian Rabu 16 Mei 2018 73
Lampiran 12 Tabel Distribus Chi Square 75
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Badan Penyelenggara Jaminan Sosial (BPJS) Kesehatan Merupakan suatu program jaminan kesehatan. Jaminan Kesehatan diselenggarakan secara nasional berdasarkan prinsip asuransi dan prinsip ekuitas, dengan tujuan menjamin agar peserta memperoleh manfaat pemeliharaan kesehatan dan perlindungan dalam memenuhi kebutuhan dasar kesehatan.
Dalam melakukan tugasnya sebagaimana mestinya BPJS bertugas meliputi pendaftaran kepesertaan dan pengolahan data kepesertaan, pemungutan, pengumpulan iuran termasuk menerima bantuan iuran dari pemerintah, pengelolaan dana jaminan sosial, pembayaran manfaat atau membiayai pelayanan kesehatan dan tugas penyampain informasi dalam rangka sosialisasi program jaminan sosial dan keterbukaan informasi.
Pelayanan yang optimal pada BPJS Kesehatan merupakan hal yang penting, karena masyarakat selalu ingin proses yang cepat dan tepat. Dengan demikian penulis ingin melakukan Penelitian secara sistematis menganalisis sistem antrian dan pelayanan di kantor BPJS Kesehatan Kota Medan. Kantor BPJS Kota Medan memiliki antrian yang banyak setiap harinya dengan berbagai masalah yang berbeda- beda dalam setiap waktunyasehingga perlu dimodelkan terlebih dahulu agar mendapatkan waktu pelayanan yang optimal. Dalam sistem antrian, Pendekatan Monte Carlo digunakan untuk menghitung bagaimana seharusnya pelayanan yang optimal dilakukan dengan mempertimbangkan variabel input seperti waktu kedatangan, waktu pelayanan, dan variabel input lainnya sesuai dengan distribusi data yang diperoleh.
Simulasi Monte Carlo merupakan suatu metode untuk mengevaluasi secara berulang suatu model matematika dengan membangkitkan data menggunakan
himpunan bilangan acak sebagai masukkan dengan tujuan untuk mencerminkan dengan baik keadaan sesungguhnya.
Tujuan menggunakan Simulasi Monte Carlo adalah untuk menentukan bagaimana variable acak mempengaruhi sensitivitas, performa ataurelia bilitas dari sistem yang sedangdimodelkan. Simulasi Monte Carlo digolongkan sebagai metode sampling karena input dibangkitkan secara acak dari suatu distribusi kepekatan peluang untuk proses sampling dari suatu populasi nyata.
Metode Monte Carlo ini bersifat statis artinya teknik ini tidak memperhatikan perubahan-perubahan nilai dari variabel-variabel yang ada jika terjadi di waktu yang berbeda.Hal ini yang melatarbelakangi penulis mengangkat permasalahan ini dalam satu karya ilmiah berupa skripsi yang berjudul “ANALISIS SISTEM ANTRIAN DAN SIMULASI PELAYAN DI KANTOR BPJS KESEHATAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO”.Dengan menggunakan metode monte carlo ini diharapkan dapat memperhitungkan jumlah petugas yang optimal guna mengurangi lama waktu menunggu dan meningkatkan kinerja pelayanan di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan.
1.2 Rumusan Masalah
Pada Penelitian ini yang menjadi permasalahan adalah sering terjadi antrian yang cukup panjang pada pelayanan BPJS Kesehatan, sehingga dilakukan analisis antrian dengan menggunakan metode monte carlo untuk mengetahui gambaran alternatif jumlah pelayanan untuk mengatasi antrian yang terjadi.
1.3 Batasan Masalah
Batasan-batasan masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Penelitian dilakukan selama 8 hari jam kerja di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan, data yang diambil adalah 3 hari yang dipilih pada periode sibuk.
2. Tidak terjadi penolakan dan pembatalan terhadap kedatangan masyarakat.
3. Penelitian mencakup kedatangan, pelayanan, displin antrian.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah:
1. Untuk mempermudah proses pelayanan masyarakat di kantor BPJS Kesehatan.
2. Untuk menentukan bagaimana variabel acak mempengaruhi sensitivitas, performa atau reliabilitas dari sistem yang sedang dimodelkan.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini antara lain:
1. Menambah wawasan dan sebagai tambahan referensi tentang penelitian yang berkaitan dengan Teori Antrian.
2. Hasil penelitian ini diharapkan dapat mengurangi lama waktu mengantri yang terjadi dalam masalah antrian di kehidupan sehari-hari dengan menggunakan metode Monte Carlo.
1.6 Tinjauan Pustaka
Menurut Gross danHaris (2001:1-3) mengatakan bahwa sistem antrian adalah kedatangan pelanggan untuk mendapatkan pelayanan, menunggu untuk dilayani jika fasilitas pelayanan (server) masih sibuk, mendapatkan pelayanan dan kemudian meninggalkan sistem setelah dilayani. Pelanggan tiba dengan laju tetap atau tidak tetap untuk memperoleh pelayanan pada fasilitas pelayanan. Bila pelanggan yang tiba dapat masuk kedalam fasilitas pelayanan, maka itu akan segera di lakukan.
Tetapi kalau harus menunggu, maka mereka akan membentuk 10 suatu antrian hingga tiba waktunya untuk dilayani. Mereka akan dilayani dengan laju tetap atau tidak tetap. Dan setelah selesai, mereka pun meninggalkan antrian. Berdasarkan uraian diatas, maka sistem antrian dapat dibagi menjadi 2 (dua) komponen yaitu :
a. Antrian yang memuat pelanggan atau satuan-satuan yang memerlukan pelayanan (pembeli, orang sakit, mahasiswa, kapal dan lain-lain).
b. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (Pompa minyak dan pelayanannya, loket bioskop, petugas penjual karcis, teller, dan lain-lain).
Menurut Kakiay (2004 : 12) disiplin antrian adalah aturan dimana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima layanan. Disiplin antrian adalah konsep membahas mengenai kebijakan dimana para pelanggan dipilih dari antrian untuk dilayani, berdasarkan urutan kedatangan pelanggan. Ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek yaitu:
a. First Come Served (FCS) atau First In First Out (FIFO) yaitu pelanggan yang datang lebih dulu akan dilayani, misalnya sistem antrian pada Bank, SPBU, Pembelian karcis bioskop, dan lain-lain.
b. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First out (LIFO) yaitu sistem antrian pelanggan yang datang terakhir akan dilayani lebih dulu. Misalnya sistem antrian dalam elevator lift untuk lantai yang sama.
c. Service In Random Order (SIRO) yaitu panggilan didasarkan pada peluang secara acak, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba, biasanya timbul dalam keadaan praktis.
d. Priority Service (PS) yaitu pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan mereka yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun sudah lebih dulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang karena kedudukannya atau jabatannya lebih tinggi menyebabkan dia dipanggil lebih dulu atau diberi prioritas lebih tinggi, atau seseorang yang keadaan penyakitnya lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.
Arman Hakim (2007) dalam bukunya “Simulasi Bisnis” menyatakan bahwa Pendekatan Monte Carlo digunakan untuk menghasilkan variable input dalam simulasi seperti waktu antar kedatangan, waktu proses, dan variable input lain sesuai dengan disribusi yang diinginkan. Teknik ini menggunakan bilangan random yang berdistribusi uniform.
Sri Mulyono (2002) dalam bukunya yang berjudul “Riset Operasi” menyatakan bahwa Dalam simulasi, variable random dinyatakan dalam distribusi probabilitas,
sehingga sebagian besar model simulasi adalah model probabilistik. Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi probabilistik, namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik memilih angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi.
Winda Nur Cahyo (2008) menyatakan bahwa Simulasi Monte Carlo adalah salah satu metode simulasi sederhana yang dapat dibangun secara cepat dengan hanya menggunakan spreadsheet (misalnya Microsoft Excel). Pembangunan model simulasi Monte Carlo didasarkan pada probabilitas yang diperoleh data historis sebuah kejadian dan frekuensinya, dimana:
1.7 Metodologi Penelitian
1. Studi literatur dan referensi, yaitu mempelajari buku-buku dan makalah- makalah dari pustaka yang berhubungan dengan antrian dan simulasi.
2. Observasi ke tempat penelitian dan memahami informasi dari teori yang berkaitan dengan topik penelitian.
3. Pengumpulan data antrian yang ada dalam pelayanan berupa waktu kedatangan peserta dan waktu pelayanan peserta, lalu dikelompokkan per 10 menit. Pengelompokkan berdasarkan interval waktu tersebut dilakukan pukul 08.00 wib – 11.00 wib.
4. Melakukan uji kecocokan distribusi terhadap pola kedatangan dan pola pelayanan dengan uji Chi Square.
5. Menentukan Desain antrian dan Disiplin Antrian.
6. Menentukan model antrian yang sesuai berdasarkan notasi Kendall.
7. Menentukan ukuran kinerja sistem, yaitu jumlah pasien yang diperkirakan dalam antrian (Lq), jumlah pasien yang diperkirakan dalam sistem (Ls), waktu menunggu dalam antrian (Wq), dan waktu menunggu dalam sistem (Ws). Perhitungan ukuran keefektifan tersebut dilakukan dengan optimasi sistem antrian.
8. Pengolahan dan analisis data dengan menggunakan teknik simulasi monte carlo dan membandingkan pelayanan dengan 2 loket dengan 3 loket . 9. Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang
telah diselesaikan.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Antrian
Antrian yang panjang sering kali kita temukan di bank saat nasabah mengantri di teller untuk melakukan transaksi, di klinik saat pasien mengantri untuk mendapatkan pelayanan, di airport saat para calon penumpang melakukan check in, di super market saat para pembeli antri untuk melakukan pembayaran, di tempat cuci mobil saat mobil antri untuk dicuci dan masih banyak contoh lainnya.
Hal ini dapat menyebabkan konsumen berhenti untuk mengantri atau bahkan dapat meninggalkan sistem sehingga dapat mengakibatkan kehilangan konsumen atau kerugian bagi perusahaan.
Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang, seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu – waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama. Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian (Supranto, 1987). Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). RichardBronson (1982), proses antrian
(queueing process) adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seseorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika semua pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pada pelanggan dan pemroses masalahnya.
2.2 Sistem Antrian
Gross dan Haris (Gross, 2001) mengatakan bahwa sistem antrian adalah kedatangan pelanggan untuk mendapatkan pelayanan, menunggu untuk dilayani jika fasilitas pelayanan (server) masih sibuk, mendapatkan pelayanan dan kemudian meninggalkan sistem setelah dilayani. Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut :
1. Sistem pelayanan komersial.
Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model-model antrian, seperti restoran, kafetaria, toko-toko, salon, butik, supermarket, dan sebagainya.
2. Sistem pelayanan bisnis-industri. Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup sistem produksi, sistem material, handling, sistem pergudangan, dan sistem-sistem informasi komputer.
3. Sistem pelayanan transportasi.
4. Sistem pelayanan sosial
Sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-kantor dan perusahaan-perusahan lokal maupun nasional, seperti kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan lain-lain (Subagyo, 2000).
Dalam sistem antrian terdapat beberapa komponen dasar proses antrian antara lain adalah:
1. Kedatangan.
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dan lain-lain. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak. Karakteristik dari populasi yang akan dilayani dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang dilayani bisa terbatas (finite) dan tidak terbatas (infinite). pola kedatangan bisa teratur, dapat pula bersifat acak atau random. Variabel acak dapat berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit.
Sebaliknya bila nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak kontinu.
2. Pelayanan
Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap-tiap fasilitas pelayanan kadang-kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder,1997). Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol.
Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. Dalam mekanisme pelayanan ini ada 3 aspek yang harus diperhatikan yaitu :
1. Tersedianya pelayanan
Mekanisme pelayanan tidak selalu tersedia untuk setiap saat. Misalnya dalam pertunjukan bioskop, loket penjualan karcis hanya dibuka pada waktu tertentu antara satu pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya, sehingga saat loket ditutup mekanisme pelayanan terrhenti dan petugas beristirahat.
2. Kapasitas pelayanan
Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah pelanggan yang tidak dapat dilayani secara bersama-sama. Kapasitas pelayan yang tidak selalu sama untuk setiap saat, ada yang tetap, tapi ada juga yang berubah-ubah. Karena itu, fasilitas pelayanan dapat memiliki satu atau lebih saluran. Fasilitas yang mempunyai satu saluran disebut saluran tunggal atau sistem pelayanan tunggal dan fasilitas yang mempunyai lebih dari satu saluran disebut saluran ganda atau pelayanan ganda.
3. Lama pelayanan
Lama pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani seseorang langganan atau satu satuan. Ini harus dinyatakan secara pasti.
Oleh karena itu, waktu pelayanan boleh tetap dari waktu ke waktu untuk semua langgannan atau boleh juga berupa variabel acak. Umumnya dan untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap sebagai varriabel acak yang terpancar secara bebas dan sama tidak tergantung pada waktu pertibaan.
3. Antrian
Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan (Mulyono, 1991).
2.3 Disiplin Antrian
Menurut Thomas J. Kakiay disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut urutan kedatangan antara lain adalah :
1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih
dahulu.Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket pembelian tiket kereta api.
2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu.
Misalnya, sistem antrian pada elevator untuk lanti yang sama, sistem bongkar muat barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun dia datang paling akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.
3. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS), di mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya, pada arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian.
4. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang.
Hal ini mungkin disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang memiliki penyakit yang lebih berat dibandingkan orang lain pada suatu tempat praktek dokter, hubungan kekerabatan pelayan dan pelanggan potensial akan dilayani terlebih dahulu.
2.4 Struktur Antrian
Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian :
1. Single Channel – Single Phase
Gambar 2.4.1 Single Channel – Single Phase
Jalur Antrian Server
Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu fasilitas pelayanan. Contohnya adalah sebuah kantor pos yang hanya mempunyai satu loket pelayananan dengan jalur satu antrian, supermarket yang hanya memiliki satu kasir sebagai tempat pembayaran, dan lain-lain.
2. Single Channel – Multi Phase
Gambar 2.4.2 Single Channel – Multi Phase
Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini atau menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Sebagai contoh adalah : pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya.
3. Multi Channel – Single Phase
Gambar 2.4.3 Multi Channel – Single Phase
Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Contohnya adalah antrian pada sebuah bank dengan beberapa teller, pembelian tiket atau karcis yang dilayani oleh beberapa loket, pembayaran dengan beberapa kasir, dan lain-lain.
Jalur Antrian Server Server Server
4. Multi Channel – Multi Phase
Gambar 2.4.4 Multi Channel – Multi Phase
Sistem Multi Channel – Multi Phase ini menunjukkan bahwa setiap sistem mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap sehingga terdapat lebih dari satu pelanggan yang dapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada model ini adalah : pada pelayanan yang dibarikan kepada pasien di rumah sakit dimulai dari pendaftarran, diagnose, tindakan medis, samppai pembayaran, registrasi ulang mahasiswa baru pada sebuah universitas, dan lain-lain.
2.5 Model-Model Antrian
Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi.
Notasi standar yang digunakan adalah sebagai berikut :
( a / b / c / d / e )
Di mana simbol a, b, c, d, e merupakan elemen dasar dari model antrian : 1. a = distribusi kedatangan yaitu jumlah kedatangan per satuan waktu 2. b = distribusi waktu pelayanan
3. c = jumlah fasilitas pelayanan ( s = 1, 2, 3, …,∞) s = server
4. d = jumlah maksimum yang deperkenankan berada dalam sistem (dalam pelayanan ditambah yang di garis tunggu).
5. e = ukuran pemanggil populasi atau sumber.
( 2.5.1 )
Notasi standar untuk simbol a dan b sebagai distribusu kedatangan dan distribusi waktu pelayanan mempunyai kode sebagai berikut :
1. M = Poisson ( Markovian ) untuk distribusi kedatangan atau waktu pelayanan.
2. D = interarrival atau service time konstan ( deterministic )
3. Ek = interarrival atau service time berdistribusi Erlang atau Gamma
Contohnya adalah ( M/ D/ 5/ N/ artinya kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan konstan, dan terdapat 5 buah fasilitas pelayanan. Jumlah konsumen dibatasi sebanyak N dan sumber populasi tidak terbatas. Model-model antrian secara umum antara lain adalah sebagai berikut :
1. Model ( M/ M/ 1/ ∞ / ∞)
Syarat-syarat dari model ini antara lain :
1. Jumlah kedatangan tiap satuan waktu mengikuti distribusi Poisson 2. Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial
3. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS 4. Sumber populasi tidak terbatas
5. Jalur antriannya tunggal
6. Tingkat rata-rata kedatangan lebih kecil daripada tingkat rata-rata pelayanan
7. Panjang antrian tidak terbatas 2. Model ( M/ M/ S/ ∞ / ∞ )
Pada model ini fasilitas pelayanan ( server ) bersifat ganda, rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil daripada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat pelayanan di tiap jalur. Syarat yang lain sama dengan model server tunggal.
3. Model ( M/ M/ 1/ N/∞)
Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, di mana panjang antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah
maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani.
4. Model ( M/ M/ 1/ ∞ / N)
Model ini hampir sama dengan model yang pertama haya saja sumber populasi dibatasi sebanyak N.
2.6 Terminologi dan Notasi Antrian
Terminologi yang biasa digunakan dalam sistem antrian adalah :
1. Keadaan sistem yaitu jumlah aktivitas pelayanan yang terjadi dalam melayani pelanggan dalam sistem.
2. Panjang antrian yaitu banyaknya satuan yang berada dalam sistem dikurangi dengan jumlah yang sedang dilayani.
Notasi yang digunakan adalah sebagai berikut :
n = Jumlah nasabah yang mengantri pada waktu t k = Jumlah satuan pelayanan
λ = Tingkat kedatangan μ = Tingkat pelayanan
ρ = Tingkat kesibukan sistem
P0 = Peluang semua teller menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem
Pn(n-k) = Peluang nasabah yang datang harus menunggu
Ls = Ekspektasi panjang sistem L = Ekspektasi panjang antrian
Ws = Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem Wq = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian
Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanan adalah sebagai berikut :
1. Distribusi kedatangan, kedatangan individu atau berkelompok 2. Distribusi pelayanan, pelayanan individu atau berkelompok 3. Fasilitas pelayanan, berbentuk series, paralel, atau network station 4. Disiplin pelayanan, berbentuk FCFS, LCFS, SIRO atau PP
5. Ukuran dalam antrian, kedatangan bersifat tidak terbatas atau terbatas 6. Sumber pemanggil, bersifat terbatas atau tidak terbatas
2.7 Pola Kedatangan dan Waktu Pelayanan 2.7.1. Pola Kedatangan
Salah satu cara menentukan distribusi probabilitas adalah memberikan sebuah variabel untuk menguji hasil out-comenya. Distribusi probabilitas harus dicatat, tidak selalu menjadi basis dalam pengamatan. Seringkali managerial mengestimasi berdasarkan keputusan dan pengalaman yang digunakan untuk membuat sebuah distribusi dari variabel tersebut. Distribusi itu sendiri dapat berupa data empiris atau berdasarkan bentuk yang diketahui seperti Uniform, Normal, Binomial, Poisson atau Eksponensial.
Individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola kedatangan (arrival pattern). Individu-individu datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak, bersifat bebas dan tidak terpenganruh oleh kedatangan sebelum atau sesudahnya. Tingkat kedatangan sangat sering mengikuti suatu distribusi Poisson karena menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu.
2.7.2. Lama Pelayanan
Lama pelayanan dihitung sejak kedatangan pelanggan dalam sistem antrian sampai selesai pelayanan yang bisa berupa konstan maupun acak. Apabila waktu pelayanan didistribusikan secara acak, maka harus didapat distribusi probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Biasanya jika pelayanan acak, analisis antrian menggunakan distribusi Eksponensial.
2.8 Uji Kesesuaian
Uji kesesuaian atau kecocokan dari distribusi empirik terhadap distribusi teoritis dilakukan dengan uji Chi Square. Pengujian ini dilakukan untuk menguji hipotesis nihil yang menyatakan proporsi -proporsi dari beberapa individu (sampel) yang diteliti mempunyai sifat/kriteria yang sama. Misalnya proporsi tidak senang, proporsi setuju, proporsi tidk setuju, dll.Prosedur uji statistic Chi - Kuadrata. Uji ini membandingkan kelompok frekuensi yang diamati dengan kelompok frekuensi yang diharapkan. Frekuensi yang diharapkan ternyata timbul dari suatu dugaan atau hipotesis. Hipotesis yang digunakan dalam pengujian ini adalah :
H0 : Ada hubungan antara distribusi teoritis dengan distribusi aktual.
H1 : Tidak ada hubungan antara distribusi teoritis dengan distribusi aktual.
Terima H0 jika x2hitung ≤ x2tabel dan dalam hal lain H0 ditolak, dengan taraf nyata α = 5% dan nilai Degree of Freedom (d.f) = (b-1)(k-1) yang dapat diperoleh dari tabel Chi Square. Disini kita dapat menggunakan taraf keyakinan 80 %, 90%, 95%, 98%, dan 99%. Sesuai dengan taraf keyakinan si penguji, derajat kebebasan ditentukan melalui banyaknya pasang frekuensi dikurangi dengan banyaknya besaran yang di hitung dari hasil observasi (pengamatan) yang digunakan untuk menghitung frekuensi harapan.
( 2.9.1 )
( 2.9.2 ) ( 2.8.3 ) ( 2.8.2 ) ( 2.8.1 ) Nilai Statistik uji (x2hitung) digunakan rumus :
𝑥2 = ∑ ∑(𝑂𝑖𝑗− 𝐸𝑖𝑗)2 𝐸𝑖𝑗
𝑘
𝑖=𝑗 𝑏
𝑖=1
Keterangan :
Oij = banyaknya peserta yang diamati pada baris i kolom j Eij = banyaknya peserta yang diharapkan pada baris i kolom j b = jumlah baris
k = jumlah kolom
Nilai Eij dapat dicari dengan rumus :
𝐸𝑖𝑗= 𝑛𝑖𝑋𝑛𝑗 𝑛 Keterangan :
𝑛𝑖 = jumlah baris ke i 𝑛𝑗 = jumlah kolom ke j
Demikian misalnya didapat :
𝐸11= 𝑛1𝑋 𝑛𝑛 1 ; 𝐸12 =𝑛1𝑋 𝑛𝑛 2 𝐸21 =𝑛1𝑋 𝑛𝑛 1 ; 𝐸22 =𝑛2𝑋 𝑛𝑛 2 dan seterusnya....
2.9 Formula yang Digunakan Formula yang digunakan antara lain :
1. Tingkat kesibukan sistem (ρ) 𝜌 = 𝜆
𝑘𝜇
2. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengganggur (Po)
𝑃0 = 1
[∑ 𝑛!1 (λμ)𝑛] + (μλ)𝑐 1
𝑐!(1−cμλ) 𝑐−1𝑛−0
( 2.9.3 )
( 2.9.4 )
( 2.9.5 )
( 2.9.6 )
( 2.9.7) 3. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian (Lq)
𝐿𝑞= (𝜆𝜇)𝑘𝜆𝜇
(𝑘 − 1)! (𝑘𝜇 − 𝜆)2𝑃0
Rata-rata menunggu : Lq = Lq 𝜇
2𝑣(𝑡)+𝑣(𝑡′)λ2 2
4. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem (Ls)
𝐿𝑠 = 𝐿 + 𝜇𝜆
5. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian (Wq) 𝑊𝑞 =𝐿𝑞
𝜆
6. Waktu rata-rata nasabah dalam sistem (Ws) 𝑊𝑠 = 𝑊𝑞+1
𝜇
Di mana :
ρ = tingkat kesibukan sistem k = jumlah server yang ada λ = rata-rata tingkat kedatangan μ = rata-rata tingkat pelayanan
2.10 Simulasi
Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata (Siagian, 1987). Menurut Hasan (2002), simulasi merupakan suatu model pengambilan keputusan dengan
mencontoh atau mempergunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya pada keadaan yang sesungguhnya.
Simulasi adalah suatu teknik yang dapat digunakan untuk memformulasikan dan memecahkan model – model dari golongan yang luas.
Golongan atau kelas ini sangat luasnya sehingga dapat dikatakan , “ Jika semua cara yang lain gagal, cobalah simulasi” (Schroeder, 1997). Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem dinamis yang kompleks membuat simulasi sebagai alternatif yang baik.
Model analitik sangat berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan tetapi terdapat beberapa keterbatasan antara lain, yaitu :
1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu dan masa mendatang melalui pembagian waktu. Model analitik hanya memberikan penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin tunggal dan optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur operasional untuk masa lebih singkat dari masa perencanaan.
Misalnya, penyelesaian persoalan program linier dengan masa perencanaan satu tahun, tidak menggambarkan prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan, minggu demi minggu, atau hari demi hari.
2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian..
3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal – hal yang tidak pasti dan aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.
Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik.
Beberapa kelebihan simulasi adalah sebagai berikut :
1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.
2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model persediaan tidak perlu harus deterministik.
3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk menjawab pertanyaan : what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat dicoba untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.
4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.
5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.
6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.
Model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan antara lain yaitu : 1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi.
Simulasi tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi termasuk solusi optimal.
2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan waktu yang lama dibandingkan dengan model analitik.
3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang memuat ketidakpastian (Siagian, 1987).
2.11 Model-Model Simulasi
Model-model simulasi dapat diklasifikasikan dengan beberapa cara. Salah satu pengelompokannya adalah :
1. Model simulasi statis adalah representasi sistem pada waktu-waktu tertentu atau model yang digunakan untuk mempresentasikan sistem dimana waktu tidak mempunyai peranan. Contohnya simulasi Monte Carlo ( simulasi perilaku sistem fisika dan matematika).
Model simulasi dinamis adalah representasi sistem sepanjang pergantian waktu ke waktu. Contohnya sistem conveyor di pabrik .
2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak mengandung kimponen yang sifatnya probabilistik ( random ) dan output telah dapat ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu dimasukkan.
Model simulasi stokastik adalah moel simulasi yang mengandung input-input probabilistik ( random ) dan output yang dihasilkan pun sifatnya random.
3. Model simulasi kontinu adalah model simulasi dimana state ( status ) dari sistem berubah secara kontinu karena berubahnya waktu ( change state variable ). Contohnya simulasi polpulasi penduduk.
Model simulasi diskrit adalah model suatu sistem dimana perubahan state terjadi pada satuan-satuan waktu yang diskrit sebagai hasil suatu kejadian ( event ) tertentu (discrete change state variables ). Contohnya simulasi antrian.
2.12 Simulasi Monte Carlo
Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan yang membentuk kembali distribusi peluang berdasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan acak.
Penerapan simulasi Monte Carlo pada sistem antrian karena beberapa asumsi yang diperlukan sulit terpenuhi. Misalnya, keadaan sistem antrian yang belum steady state atau laju kedatangan dan pelayanan yang tidak berdistribusi Poisson dan exponensial.
Teknik simulasi Monte Carlo merupakan suatu teknik untuk memilih angka-angka secara acak dari distribusi probabilitas yang digunakan dalam suatu
percobaan (komputer) (Taylor, 2008: 242). Adapun langkah-langkah simulasi Monte Carlo dengan bantuan software MS. Excel adalah sebagai berikut:
1. Menetapkan distribusi probabilitas untuk masing-masing waktu kedatangan dan waktu pelayanan.
2. Menghitung distribusi kumulatif pada masing-masing probabilitas.
3. Menetapkan suatu interval angka acak untuk masing-masing variabel.
4. Gunakan fasilitas yang telah disediakan pada software MS. Excel untuk pemilihan angka acak.
5. Selanjutnya, cari rata-rata panjang antrian dan rata-rata waktu menunggu dalam antrian.
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Pengumpulan Data
Pengumpulan data dalam penelitian ini menggunakan metode observasi. Data diambil secara langsung pada saat dibuka pelayanan di Kantor BPJS Kota Medan.
Penelitian ini dilakukan sejak tanggal 07 Mei 2018 sampai dengan 16 Mei 2018.
Pelayanan di Kantor BPJS Kota Medan dibuka setiap hari kerja sejak pukul 08.00 WIB dan pada hari Senin hingga hari Jumat selesai sampai dengan pukul 16.00 Wib.
Jumlah kedatangan para peserta di Kantor BPJS Kota Medan selama 8 hari pelayanan di Kantor BPJS Kota Medan adalah sebagai berikut :
Tabel 3.1 Tabel Jumlah Peserta Yang Datang Pada Jam 08.00-11.00 Wib
Hari / Tanggal Jumlah Peserta Yang Datang
Senin, 07 Mei 2018 116
Selasa, 08 Mei 2018 99
Rabu, 09 Mei 2018 83
Kamis, 10 Mei 2018 46
Jumat, 11 Mei 2018 111
Senin, 14 Mei 2018 110
Selasa, 15 Mei 2018 72
Rabu, 16 Mei 2018 53
3.2. Uji Kesesuaian Distribusi
Dalam penelitian ini kedatangan pasien diasumsikan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan diasumsikan berdistribusi Eksponensial. Untuk menguji kebenarannya dilakukan uji Chi Square.
Hipotesis tentang kedatangan peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan dalam penelitian ini sebagai berikut :
H : Kedatangan peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan berdistribusi Poisson
H1 : Kedatangan peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan tidak berdistribusi Poisson
Hipotesis tentang waktu pelayanan peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan dalam penelitian ini sebagai berikut :
H : Waktu pelayanan peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan berdistribusi Eksponensial
H1 : Waktu pelayanan peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan tidak berdistribusi Eksponensial
Tabel 3.2 Data Penelitian Waktu Kedatangan Per Interval Waktu 10 Menit No Interval Waktu
Kedatangan
Senin, 07 Mei 2018
Jumat, 11 Mei 2018
Senin, 14 Mei 2018
Jumlah Peserta
1 08.00-08.10 13 7 12 32
2 08.11-08.21 11 8 2 21
3 08.22-08.32 7 13 4 24
4 08.33-08.43 12 8 5 25
5 08.44.08.54 13 9 5 27
6 08.55-09.05 6 7 9 22
7 09.06-09.16 7 9 8 24
8 09.17-09.27 4 5 10 19
9 09.28-09.38 2 7 5 14
10 09.39-09.49 6 7 4 17
11 09.50-10.00 7 7 11 25
12 10.01-10.11 6 7 7 20
13 10.12-10.22 2 4 6 12
14 10.23-10.33 5 6 7 18
Lanjutan Tabel 3.2 Data Penelitian Waktu Kedatangan Per Interval Waktu 10 Menit
No Interval Waktu Kedatangan
Senin, 07 Mei 2018
Jumat, 11 Mei 2018
Senin, 14 Mei 2018
Jumlah Peserta
15 10.34-10.44 7 2 6 15
16 10.45-10.55 6 3 7 16
17 10.56-11.06 2 2 2 6
Total 116 111 110 337
Tabel 3.3 Data Penelitian Waktu Pelayanan Per Interval Waktu 10 Menit
No Interval Waktu Kedatangan
Rata – Rata Waktu Pelayanan Jumlah Rata-rata Pelayanan Senin,
07 Mei 2018
Jumat, 11 Mei 2018
Senin, 14 Mei 2018
1 08.00-08.10 2,03 2,89 2,10 7,02
2 08.11-08.21 2,04 2,31 2,05 6,40
3 08.22-08.32 2,08 2,35 2,09 6,52
4 08.33-08.43 1,96 2,07 1,91 5,94
5 08.44.08.54 1,71 1,94 1,88 5,53
6 08.55-09.05 1,69 1,87 1,82 5,38
7 09.06-09.16 1,90 1,92 2,30 6,12
8 09.17-09.27 2,31 1,69 1,83 5,83
9 09.28-09.38 1,61 2,00 2,03 5,64
10 09.39-09.49 2,19 2,04 2,23 6,45
11 09.50-10.00 1,62 1,92 1,76 5,31
12 10.01-10.11 1,67 2,02 1,78 5,46
13 10.12-10.22 1,64 1,64 1,56 4,84
14 10.23-10.33 1,45 1,58 1,77 4,80
15 10.34-10.44 1,63 1,66 2,24 5,54
16 10.45-10.55 1,70 1,72 2,16 5,59
17 10.56-11.06 1,22 2,59 1,77 5,58
Total 30,46 34,20 33,28 97,94
3.2.1 Uji Chi Square Terhadap Kedatangan Peserta
Kedatangan peserta diasumsikan berdistribusi Poisson. Untuk meyakinkan bahwa Kedatangan peserta berdistribusi Poisson, maka dilakukan uji Chi Square. Dari data hasil penelitian, kedatangan peserta per interval waktu 10 menit (Tabel 3.2) selanjutnya data digunakan untuk melakukan uji kedatangan pasien.
Untuk menghitung banyaknya peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan yang diharapkan pada hari Senin 07 Mei 2018 digunakan rumus (2.8.3), sehingga:
𝐸11 =32 𝑋 116 337 = 11,01 𝐸21=21 𝑋 116
337 = 7,23 𝐸32=24𝑋 116
337 = 8,26 𝐸41=25 𝑋 116 337 = 8,61 𝐸51=27 𝑋 116 337 = 9,29 𝐸61=22 𝑋 116
337 = 7,57 𝐸71=24 𝑋 116
337 = 8,26 𝐸81=19 𝑋 116
337 = 6,54
𝐸91 =14 𝑋 116 337 = 4,82 𝐸101 =17 𝑋 116 337 = 5,85 𝐸111 =25 𝑋 116
337 = 8,61 𝐸121 =20 𝑋 116 337 = 6,88 𝐸131 =12 𝑋 116 337 = 4,13 𝐸141 =18 𝑋 116 337 = 6,20 𝐸151 =15 𝑋 116
337 = 5,16
𝐸161 =16 𝑋 116 337 = 5,51 𝐸171 =6 𝑋 116 337 = 2,07
dihitung juga banyaknya peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan yang diharapkan pada hari Jumat, 11 Mei 2018 sebagai berikut :
𝐸12 =32 𝑋 111
337 = 10,54
𝐸22=21 𝑋 111 337 = 6,92 𝐸32=24𝑋 111
337 = 7,91 𝐸42=25 𝑋 111
337 = 8,23
𝐸52=27 𝑋 111
337 = 8,89
𝐸62=22 𝑋 111 337 = 7,25 𝐸72=24 𝑋 111
337 = 7,91 𝐸82=19 𝑋 111
337 = 6,26 𝐸92 =14 𝑋 111
337 = 4,61
𝐸102 =17 𝑋 111
337 = 5,60
𝐸112 =25 𝑋 111
337 = 8,23 𝐸122 =20 𝑋 111
337 = 6,59 𝐸132 =12 𝑋 111
337 = 3,95
𝐸142 =18 𝑋 111 337 = 5,93 𝐸152 =15 𝑋 111
337 = 4,94 𝐸162 =16 𝑋 111
337 = 5,27 𝐸172 =6 𝑋 111
337 = 1,98
dihitung juga banyaknya peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan yang diharapkan pada hari Senin, 14 Mei 2018 sebagai berikut :
𝐸13 =32 𝑋 110 337 = 10,45 𝐸23=21 𝑋 110
337 = 6,85 𝐸33=24𝑋 110
337 = 7,83 𝐸43=25 𝑋 110 337 = 8,16
𝐸53=27 𝑋 110 337 = 8,81 𝐸63=22 𝑋 110
337 = 7,18 𝐸73=24 𝑋 110
337 = 7,83 𝐸83=19 𝑋 110
337 = 6,20 𝐸93 =14 𝑋 110
337 = 4,57
𝐸103 =17 𝑋 110 337 = 5,55 𝐸113 =25 𝑋 110
337 = 8,16 𝐸123 =20 𝑋 110
337 = 6,53
𝐸133 =12 𝑋 110
337 = 3,92
𝐸143 =18 𝑋 110 337 = 5,88 𝐸153 =15 𝑋 110
337 = 4,90 𝐸163 =16 𝑋 110
337 = 5,22
𝐸173 =6 𝑋 110 337 = 1,96
Setelah diperoleh nilai-nilai harapan diatas, maka nilai χ² pada masing-masing waktu untuk peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan dapat dihitung dengan menggunakan rumus (2.8.1), sehingga:
𝑥2 = ∑ ∑(𝑂𝑖𝑗− 𝐸𝑖𝑗)2 𝐸𝑖𝑗
𝑘
𝑖=𝑗 𝑏
𝑖=1
nilai χ² pada hari Senin, 07 Mei 2018 adalah : 𝑥2 = (13 − 11,01)2
11,01 + (11 − 7,23)2
7,23 +(7 − 8,26)2
8,26 + (12 − 8,61)2 8,61 + (13 − 9,29)2
9,29 +(6 − 17,57)2
7,57 +(7 − 8,26)2
8,26 +(4 − 6,54)2
6,54 +
(2 − 4,82)2
4,82 +(6 − 5,85)2
5,85 +(7 − 8,61)2
8,61 +(6 − 6,88)2
6,88 +
(2 − 4,13)2
4,13 +(5 − 6,20)2
6,20 +(7 − 5,16)2
5,16 +(6 − 5,51)2
5,51 +
(2 − 2,07)2 2,07
𝑥2 = 0,3578 + 1,9678 + 0,1925 + 1,3391 + 1,4780 + 0,3266 + 0,1925 + 0,9865 + 1,6490 + 0,0038 + 0,2995 + 0,1136 + 1,0990 + 0,2308 + 0,6534 + 0,0441 + 0,0021
𝑥2 = 8,6918
nilai χ² pada hari Jumat, 11 Mei 2018 adalah : 𝑥2 = (7 − 10,54)2
10,54 + (8 − 6,92)2
6,92 +(13 − 7,91)2
7,91 + (8 − 8,23)2 8,23 + (9 − 8,89)2
8,89 +(7 − 7,25)2
7,25 +(9 − 7,91)2
7,91 +(5 − 6,26)2
6,26 +
(7 − 4,61)2
4,61 +(7 − 5,60)2
5,60 +(7 − 8,23)2
8,23 +(7 − 6,59)2
6,59 +
(4 − 3,95)2
3,95 +(6 − 5,93)2
5,93 +(2 − 4,94)2
4,94 +(3 − 5,27)2
5,27 +
(2 − 1,98)2 1,98
𝑥2 = 1,1890 + 0,1696 + 3,2838 + 0,0067 + 0,0013 + 0,0084 + 0,1517 + 0,2529 + 1,2374 + 0,3503 + 0,1851 + 0,0258 + 0,0006 + 0,0009 + 1,7503 + 0,9778 + 0,0003
𝑥2 = 6,2330
nilai χ² pada hari Senin, 14 Mei 2018 adalah : 𝑥2 = (12 − 10,45)2
10,54 + (2 − 6,85)2
6,85 +(4 − 7,83)2
7,83 + (5 − 8,16)2 8,16 + (5 − 8,81)2
8,81 +(9 − 7,18)2
7,18 +(8 − 7,83)2
7,83 +(10 − 6,20)2
6,20 +
(5 − 4,57)2
4,57 +(4 − 5,55)2
5,55 +(11 − 8,16)2
8,16 +(7 − 6,53)2
6,53 +
(6 − 3,92)2
3,92 +(7 − 5,88)2
5,88 +(6 − 4,90)2
4,90 +(7 − 5,22)2
5,22 +
(2 − 1,96)2 1,96
𝑥2 = 0,2315 + 3,4381 + 1,8763 + 1,2239 + 1,6498 + 0,4608 + 0,0035 + 2,3262 + 0,0405 + 0,4324 + 0,9882 + 0,0341 + 1,1078 + 0,2153 + 0,2489 + 0,6049 + 0,0009
𝑥2 = 10,6944
Sehingga total nilai χ² adalah 8,6918 + 6,2330 + 10,6944 = 25,6192
Dari tabel Chi Square pada tabel diperoleh χ2 (0,05;16) adalah 26,30. Dengan demikian χ2 hitung ≤ χ2 tabel maka H0 diterima artinya kedatangan peserta berdistribusi Poisson atau kedatangan pasien per jam bersifat acak.
3.1.2. Uji Chi Square Terhadap Waktu Pelayanan Peserta
Pelayanan peserta biasanya mengikuti distribusi Eksponensial. Untuk meyakinkan bahwa kedatangan peserta berdistribusi Eksponensial, maka dilakukan uji Chi Square. Dari data hasil penelitian, rata-rata waktu pelayanan peserta per interval waktu 10 menit (Tabel 3.3) selanjutnya data digunakan untuk melakukan uji pelayanan peserta.
Untuk menghitung banyaknya peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan yang diharapkan pada hari Senin 07 Mei 2018 digunakan rumus (2.8.3), sehingga:
𝐸11 =7,02 𝑋 30,46
90,94 = 2,18 𝐸21=6,40 𝑋 30,46
90,94 = 1,99 𝐸31=6,52 𝑋 30,46
90,94 = 2,03 𝐸41=5,94 𝑋 30,46
90,94 = 1,85 𝐸51=5,53 𝑋 30,46
90,94 = 1,72
𝐸61=5,38 𝑋 30,46
90,94 = 1,67
𝐸71=6,12 𝑋 30,46
90,94 = 1,90 𝐸81=5,83 𝑋 30,46
90,94 = 1,81 𝐸91 =5,64 𝑋 30,46
90,94 = 1,76 𝐸101 =6,45 𝑋 30,46
90,94 = 2,01 𝐸111 =5,31 𝑋 30,46
90,94 = 1,65
𝐸121 =5,46 𝑋 30,46
90,94 = 1,70 𝐸131 =4,84 𝑋 30,46
90,94 = 1,50
𝐸141 =4,80 𝑋 30,46
90,94 = 1,49
𝐸151 =5,54 𝑋 30,46
90,94 = 1,72 𝐸161 =5,59 𝑋 30,46
90,94 = 1,74 𝐸171 =5,58 𝑋 30,46
90,94 = 1,73
dihitung juga banyaknya peserta di Kantor BPJS Kesehatan Kota Medan yang diharapkan pada hari Senin, 14 Mei 2018 sebagai berikut :
𝐸12 =7,02 𝑋 34,20
90,94 = 2,45 𝐸22=6,40 𝑋 34,20
90,94 = 2,24 𝐸32=6,52 𝑋 34,20
90,94 = 2,28
𝐸42=5,94 𝑋 34,20
90,94 = 2,08
𝐸52=5,53 𝑋 34,20
90,94 = 1,93 𝐸62=5,38 𝑋 34,20
90,94 = 1,88 𝐸72=6,12 𝑋 34,20
90,94 = 2,14 𝐸82=5,83 𝑋 34,20
90,94 = 2,04
