JUMLAH SUBGRAF DARI GRAF
SKRIPSI
DENY LAMANI PUTRA 060803060
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
PERSETUJUAN
Judul : JUMLAH SUBGRAF DARI GRAF Kategori : SKRIPSI
Nama : DENY LAMANI PUTRA Nomor Induk Mahasiswa : 060803060
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di Medan, Juli 2013 Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Pengarapen Bangun, M.Si Drs. Ujian Sinulingga, M.Si
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D.
PERNYATAAN
JUMLAH SUBGRAF DARI GRAF
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2013
DENY LAMANI PUTRA
060803060
PENGHARGAAN
ALLAHU AKBAR… ALLAHU AKBAR… ALLAHU AKBAR. Alhamdulillahi Robbil „alamin washolatu wassalam „alaa asrofil ambiyai wal mursalin wa „ala aalihi wa shohbihi ajma‟in.
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat ALLAH SWT Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan hidayahNya yang telah diberikan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “JUMLAH SUBGRAF DARI GRAF”
ini dengan baik .
Selama proses penyusunan skripsi ini, telah banyak bantuan berupa motivasi, nasehat maupun bimbingan yang penulis terima demi kelancaran skripsi ini. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan ribuan terima kasih yang sebesar-besarnya dan tak dapat ternilai harganya bagi penulis kepada Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku dosen pembimbing I dan kepada Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan penulis serta kebaikannya dalam meluangkan waktu, tenaga, pikiran dan bantuannya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Serta kepada Bapak Prof. Dr. Drs. Saib Suwilo, M.Sc.
dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si yang telah bersedia menjadi dosen penguji skripsi.
Terima kasih atas semua saran dan masukannya. Bagi penulis, seluruh dosen tersebut adalah ibarat oase di gurun pasir dan embun di pagi hari yang dengan segala nasehat dan kesabarannya membimbing penulis. Tanpa mereka semua mustahil penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Selanjutnya penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Terima kasih pula kepada Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D. selaku Ketua Departemen Matematika dan kepada seluruh staff dosen pengajar di Departemen Matematika FMIPA USU beserta seluruh staff pegawainya.
Tidak lupa juga penulis ucapkan terima kasih kepada seluruh rekan – rekan mahasiswa di S-1 Matematika yang tidak dapat penulis sebutkan satu – persatu namanya.
Akhirnya penulis ucapkan terima kasih yang sedalam – dalamnya kepada seluruh anggota keluarga penulis, kepada Pakde H.M. Saleh Lamani dan Bukde Hj.
Siti Shofiah, kepada Ayah Imran Lamani dan Ibu Warnida Guci, kepada adikku Astuti Irmayani Lamani terima kasih telah memberikan dukungan dalam segala situasi dan kondisi.
Hanya syukur dan terima kasih yang dapat penulis ucapkan kepada semua
pihak untuk dukungan, do‟a, bimbingan dan arahan yang penulis dapatkan selama ini.
Hanya kepada ALLAH-lah penulis berdo‟a agar semuanya mendapat rahmat dan pahala dariNya. Aamiin.
Penulis menyadari masih ada begitu banyak kekurangan dalam penelitian ini, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua orang dan juga bagi dunia pendidikan.
Medan, Juli 2013 Penulis,
Deny Lamani Putra
ABSTRAK
Banyak permasalahan dan penelitian dalam teori graf yang memiliki peranan penting
dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi dewasa ini. Sebagian besar
permasalahan dan penelitian dalam teori graf memiliki kaitan erat dengan konsep
subgraf dari suatu graf. Subgraf dari suatu graf G didefinisikan sebagai sebuah graf
dengan verteks – verteksnya adalah himpunan bagian tak kosong dari himpunan
verteks graf G dan rusuk – rusuknya adalah juga himpunan bagian dari himpunan
rusuk graf G dimana setiap rusuk di dalam subgraf itu yang bersesuaian dengan rusuk
di graf G memiliki verteks – verteks ujung yang sama. Salah satu permasalahan yang
penting di dalam subgraf ini adalah mengenai bagaimana untuk menghitung dan
membentuk seluruh subgraf yang dapat dibentuk dari suatu graf. Maka oleh karena itu
diperlukan sebuah penelitian untuk mencari dan menemukan suatu rumus yang tepat
untuk menghitung jumlah seluruh subgraf dari suatu graf. Dari hasil penelitian ini
didapat rumus untuk menghitung jumlah seluruh subgraf dari suatu graf adalah
𝑺
g=
𝒏𝒑=𝟏 𝑪(𝒏,𝒑)𝒌=𝟏𝟐
𝒆𝒎𝒂𝒌𝒔(𝒑,𝒌)THE NUMBER OF SUBGRAPHS OF A GRAPH
ABSTRACT
Many problems and researchs in graph theory which have an important role in the
development of science and technology nowadays. Most of the issues and researchs in
graph theory is closely linked with the concept of subgraph of a graph. Subgraph of a
graph G is defined as a graph with its vertices are subset of the non – empty set of
vertices of graph G and its edges are also subset of the set of edges of graph G where
each edge in the subgraph that corresponds to the edge in the graph G has the same
end – vertices. One of the important issues in this subgraph is about how to calculate
and form the entire subgraphs which can be formed from a graph. So therefore needed
a study to look for and find the right formula to calculate the sum of all subgraphs of a
graph. From the results of this study derived a formula to calculate the sum of all
subgraphs of a graph is 𝑺
g=
𝒏𝒑=𝟏 𝑪(𝒏,𝒑)𝒌=𝟏𝟐
𝒆𝒎𝒂𝒌𝒔(𝒑,𝒌)DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR GAMBAR ix
BAB
1. PENDAHULUAN 1
1.1. Latar Belakang Penelitian 1
1.2. Perumusan Masalah 3
1.3. Pembatasan Masalah 4
1.4. Tujuan Penelitian 4
1.5. Manfaat Penelitian 4
1.6. Metodologi Penelitian 5
2. LANDASAN TEORI 6
2.1. Definisi dan Konsep Dasar Graf 6
2.2. Jenis – Jenis Graf 8
2.3. Kaidah – Kaidah Dasar Menghitung 10
2.3.1 Kaidah Penjumlahan (rule of sum) 11
2.3.2 Kaidah Perkalian (rule of product) 12
2.4. Permutasi dan Kombinasi 13
3. PEMBAHASAN 19
3.1. Kombinasi dari Unsur – Unsur Himpunan Verteks
dari Suatu Graf 19
3.2. Kombinasi dari Unsur – Unsur Himpunan Rusuk
dari Suatu Graf 22
3.3. Rumus untuk Menghitung Jumlah Subgraf dari Suatu Graf 26
4. KESIMPULAN DAN SARAN 55
4.1. Kesimpulan 55
4.2. Saran 55
DAFTAR PUSTAKA 57
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
2.1. Graf dengan 6 verteks dan 10 rusuk 7
2.2. Graf sederhana dengan 5 verteks dan 5 rusuk 8
2.3. Graf ganda dengan 6 verteks dan 9 rusuk 9
2.4. Graf semu dengan 8 verteks dan 12 rusuk 9
2.5. Graf berarah dengan 6 verteks dan 13 rusuk 10 3.1. Graf dengan 12 verteks dan 18 rusuk 19
3.2. Graf dengan 4 verteks dan 7 rusuk 26
3.3. Beberapa contoh subgraf dari G (4,7) 27
3.4. Beberapa contoh graf yang bukan subgraf dari G (4,7) 28
3.5. Contoh graf sederhana G (3,3) 30
3.6. Seluruh subgraf dari graf sederhana G (3,3) 30-31
3.7. Contoh graf ganda G (3,4) 35
3.8. Contoh graf semu G (3,4) 39
3.9. Contoh graf G (2,4) 52
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah sangat tua usianya namun memiliki banyak sekali terapan sampai saat ini. Graf dipakai untuk merepresentasikan objek – objek diskrit dan hubungan antara objek – objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek – objek sebagai sebuah titik atau bulatan yang juga sering disebut dengan verteks dan biasanya diberi lambang v, sedangkan hubungan antara objek – objek tersebut dilambangkan dengan sebuah garis atau rusuk yang juga sering disebut dengan edge dan biasa diberi lambang e.
Ada banyak jenis graf yang dapat digolongkan berdasarkan jenis rusuknya,
ataupun dapat juga digolongkan berdasarkan ada atau tidaknya arah pada rusuk dari
graf tersebut. Berdasarkan jenis rusuknya maka graf dibagi kepada 2 jenis yaitu graf
sederhana (simple graph) dan graf tak sederhana (unsimple graph). Adapun graf
sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang (loop) maupun rusuk ganda
(multiple edge). Sedangkan graf tak sederhana adalah graf yang mengandung rusuk
ganda dan dapat saja juga mengandung gelang. Adapun graf tak sederhana dapat
dibagi 2 yaitu graf ganda (multi graph) dan graf semu (pseudo graph). Graf ganda
adalah graf yang memiliki rusuk ganda tanpa memiliki gelang. Sedangkan graf semu
adalah graf yang memiliki gelang dan bisa juga sekalian memiliki rusuk ganda atau
hanya memiliki gelang tanpa rusuk ganda. Selanjutnya berdasarkan ada atau tidaknya
arah pada rusuk, maka graf dapat terbagi 2 yaitu graf tak berarah (undirected graph)
dan graf berarah (directed graph) yang biasa disebut juga digraf. Graf tak berarah
adalah graf yang setiap rusuknya tidak memiliki arah sehingga setiap rusuknya hanya
digambarkan berupa garis saja tanpa ada penunjuk arah. Sedangkan graf berarah
adalah graf yang setiap rusuknya memiliki arah tertentu sehingga rusuk – rusuknya
digambarkan berupa garis beserta tanda panah sebagai penunjuk arah tertentu.
Suatu graf dapat dipecah – pecah menjadi subgraf – subgraf. Adapun subgraf dari suatu graf G adalah suatu graf yang memiliki verteks – verteks yang merupakan himpunan bagian tak kosong dari himpunan verteks graf G dan rusuk – rusuknya adalah himpunan bagian dari himpunan rusuk graf G, selain itu setiap rusuk di dalam subgraf itu yang bersesuaian dengan rusuk dari graf G harus mempunyai verteks – verteks ujung yang sama.
Teori graf dengan usianya yang sudah sangat tua memiliki perkembangan yang sangat pesat baik dari segi penelitian untuk pengembangannya maupun dari segi aplikasinya yang juga sangat luas. Ada banyak sekali contoh – contoh aplikasi dari graf, antara lain: aplikasi untuk memodelkan suatu rangkaian misalnya adalah rangkaian listrik, aplikasi untuk memodelkan suatu molekul senyawa kimia, aplikasi dalam bidang komputer yaitu untuk menganalisa suatu jaringan basis data terpusat (centralized database) yang melakukan beberapa transaksi secara bersamaan (konkuren) agar transaksi – transaksi itu tidak membuat sistem menjadi kacau (hang), aplikasi dalam bidang rekayasa perangkat lunak yaitu penggunaan graf alir (flow graph) untuk memodelkan aliran kendali dari suatu program sehingga apabila terdapat kesalahan (bug) dari program tersebut dapat dideteksi pada tahap pengujian. Selain itu graf juga dapat digunakan untuk memodelkan sesuatu yang abstrak seperti struktur perusahaan, tingkatan sosial, pohon keluarga, aliran kerja dalam suatu proyek, perencanaan dan manajemen proyek, perpindahan dalam suatu permainan, maupun memodelkan langkah – langkah dalam pemecahan suatu masalah. Selain aplikasi – aplikasi yang telah disebutkan tadi masih ada begitu banyak aplikasi dari graf yang begitu luas di segala bidang baik yang saat ini telah diketahui manusia maupun aplikasi – aplikasi lainnya yang belum diketahui dan masih butuh untuk dieksplorasi lagi.
Selain aplikasi – aplikasi dari graf yang begitu banyak, graf juga memiliki
persoalan – persoalan yang menarik minat banyak ilmuwan terutama ilmuwan
matematika pada khususnya dan ilmuwan – ilmuwan lain pada umumnya untuk terus
meneliti dan memecahkannya. Persoalan – persoalan tersebut antara lain: persoalan
untuk mencari dan menghitung banyaknya subgraf dari suatu graf, persoalan untuk
meneliti keterhubungan (connectivity) dalam suatu graf, persoalan mencari jembatan (cut set/bridge) pada suatu graf, persoalan isomorfisma graf, persoalan planaritas suatu graf, persoalan untuk mencari banyaknya lintasan dan sirkuit Euler maupun Hamilton pada suatu graf, persoalan menciptakan algoritma yang efektif serta efisien untuk mencari lintasan terpendek (shortest path) pada suatu graf, persoalan pewarnaan graf, persoalan utilitas yang dinyatakan dengan graf bipartite (bipartite graph), persoalan pedagang keliling (travelling salesman problem/TSP), persoalan tukang pos Cina (Chinese Postman Problem), persoalan jumlah pohon merentang (spanning tree) yang dapat dibuat dari suatu graf, persoalan membuat pohon merentang minimum (minimum spanning tree), dan masih banyak lagi yang lainnya yang menjadi persoalan dalam teori graf yang selalu menarik banyak ilmuwan untuk menelitinya.
Apabila dicermati semua aplikasi – aplikasi dari graf maupun persoalan – persoalan di dalam teori graf yang telah disebutkan di atas tadi maka dapat dilihat bahwa sebagian dari aplikasi – aplikasi maupun persoalan – persoalan dalam teori graf tersebut adalah mengenai bagaimana suatu graf itu dipecah – pecah menjadi bagian – bagian yang lebih kecil atau yang biasa disebut dengan subgraf. Tentu dapat dipahami bahwa kegiatan memecah – mecah suatu graf menjadi bagian – bagian yang lebih kecil berkaitan erat dengan kegiatan untuk membuat subgraf – subgraf dari suatu graf baik graf yang berukuran kecil dan sederhana sampai kepada graf yang berukuran besar dan rumit. Oleh karena itulah penulis memandang perlu adanya penelitian mengenai subgraf – subgraf yang dapat dibentuk dari suatu graf sembarang. Maka dari itu penulis mengangkat judul “JUMLAH SUBGRAF DARI GRAF”.
1.2. Perumusan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam penulisan ini adalah mengenai bagaimana mencari
dan menemukan suatu rumus yang tepat untuk mencari dan menghitung banyaknya
jumlah seluruh subgraf dari suatu graf yaitu baik graf sederhana maupun graf tak
sederhana.
1.3. Pembatasan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam penulisan ini adalah untuk sembarang graf yaitu untuk semua model graf tanpa terkecuali baik dari graf sederhana maupun graf tak sederhana.
1.4. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mencari dan menemukan suatu rumus yang tepat untuk mencari dan menghitung banyaknya jumlah seluruh subgraf dari graf.
1.5. Manfaat Penelitian
Karena penelitian ini bertujuan untuk mencari suatu rumus yang tepat untuk menghitung banyaknya subgraf dari graf sembarang, maka penulis mengharapkan rumus yang berhasil ditemukan ini nantinya dapat berguna untuk menemukan dan memetakan semua subgraf dari graf sembarang sehingga pada akhirnya akan lebih memudahkan dalam penghitungan jumlah subgraf dari graf sembarang.
Selain itu penulis juga berharap bahwa pada masa mendatang rumus ini dapat
dipakai untuk melahirkan rumus – rumus baru lainnya yang berguna untuk
menemukan suatu pola tertentu dari subgraf – subgraf yang bersifat khusus dari suatu
graf dan akhirnya dapat juga ditemukan suatu rumus untuk menghitung jumlah
subgraf – subgraf khusus tersebut. Misalkan untuk menghitung banyaknya subgraf
yang berbentuk graf terhubung (connected graph) dari suatu graf, subgraf yang
berbentuk graf teratur (regular graph), subgraf yang berbentuk bipartit (bipartite
graph), subgraf – subgraf yang isomorfik, subgraf – subgraf yang planar, maupun juga
untuk menemukan rumus untuk menghitung banyaknya subgraf – subgraf yang
memiliki lintasan Euler maupun lintasan Hamilton, dan lain – lain.
1.6. Metodologi Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian literatur atau kepustakaan. Penelitian ini dilakukan dengan pertama kali melakukan kajian terhadap buku – buku mengenai teori graf maupun buku – buku matematika diskrit yang di dalamnya memuat topik – topik mengenai kombinatorika dan teori graf. Secara garis besar metodologi penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengumpulkan berbagai literatur yang berhubungan dengan kombinatorika dan teori graf.
2. Mempelajari literatur – literatur yang telah dikumpulkan.
3. Mengamati dan meneliti berbagai macam contoh graf kemudian membuat subgraf – subgraf yang memungkinkan dari graf – graf tersebut.
4. Menyusun dan mengelompokkan subgraf – subgraf secara baik dan teratur dengan tujuan untuk mencari dan menemukan suatu pola tertentu mengenai pembentukan subgraf ini.
5. Membuat dugaan – dugaan dari pola – pola yang telah didapat untuk
selanjutnya dijadikan acuan dasar dalam membuat rumus yang tepat untuk
menghitung jumlah subgraf dari suatu graf.
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi yang akan penulis gunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini sehingga mempermudah penulis untuk menunjang pencarian rumus untuk menghitung subgraf dari suatu graf. Adapun konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan penelitian ini seperti definisi dan konsep dasar graf, jenis – jenis graf, kaidah – kaidah dasar menghitung, serta mengenai konsep permutasi dan kombinasi.
2.1 Definisi dan Konsep Dasar Graf
Suatu graf adalah sebuah objek matematika yang terdiri dari: (1) Himpunan titik – titik tak kosong V yang unsur – unsurnya disebut titik atau verteks, dan (2) himpunan garis E yang menghubungkan verteks – verteks dan disebut rusuk (edge). Dengan perkataan lain, suatu graf adalah sebuah himpunan berhingga yang terdiri dari verteks dan rusuk yang setiap ujung rusuk tersebut menghubungkan verteks – verteks. Suatu graf dapat ditulis sebagai G (V,E) atau graf G saja.
Verteks – verteks dalam graf G ditulis dengan huruf kecil seperti u, v, atau v
i, v
j.Rusuk – rusuk dalam graf G dapat dipresentasikan sebagai e
1,e
2,e
3,…,e
n. Suatu rusuk dapat juga ditulis sebagai sebuah pasangan verteks – verteks ujung seperti (v
1,v
2), (v
2,v
3,),…,(v
i,v
j). Jika e = (v
i,v
j) ∈ E (G) maka v
idan v
jdisebut verteks bertetangga (adjacent vertices), maksudnya adalah apabila 2 buah verteks dihubungkan oleh sebuah rusuk maka kedua verteks itu disebut bertetangga. Jika rusuk e
idan e
jkeduanya bertemu pada satu verteks yang sama maka kedua rusuk itu disebut rusuk
terhubung (incident edges). Selain itu pada verteks bertetangga (adjacent vertices) v
idan v
jyang dihubungkan oleh rusuk e maka rusuk e dikatakan terhubung (incident)
pada v
idan v
j, dan begitu juga sebaliknya v
idan v
jdikatakan terhubung (incident) pada e.
Contoh 2.1.1 : Berikut adalah contoh graf G (6,10), yaitu graf dengan 6 verteks dan 10 rusuk. Himpunan verteksnya adalah V = 𝑣
1, 𝑣
2, 𝑣
3, 𝑣
4, 𝑣
5, 𝑣
6dan himpunan rusuknya adalah E = 𝑒
1, 𝑒
2, 𝑒
3, 𝑒
4, 𝑒
5, 𝑒
6, 𝑒
7, 𝑒
8, 𝑒
9, 𝑒
10= {(𝑣
2, 𝑣
3),( 𝑣
2, 𝑣
3),( 𝑣
2, 𝑣
5), (𝑣
3, 𝑣
4),( 𝑣
1, 𝑣
1),( 𝑣
1, 𝑣
4),( 𝑣
4, 𝑣
4),( 𝑣
4, 𝑣
6),( 𝑣
5, 𝑣
6),(𝑣
5, 𝑣
6)}. Jika A adalah himpunan dua verteks yang bertetangga (adjacent vertices) 𝑣
𝑖dan 𝑣
𝑗maka A = {(𝑣
𝑖, 𝑣
𝑗)} = {(𝑣
2, 𝑣
3),( 𝑣
2, 𝑣
3),( 𝑣
2, 𝑣
5),( 𝑣
3, 𝑣
4),( 𝑣
1, 𝑣
1),( 𝑣
1, 𝑣
4),( 𝑣
4, 𝑣
4)( 𝑣
4, 𝑣
6),( 𝑣
5, 𝑣
6),(𝑣
5, 𝑣
6)}
Hal ini menunjukkan bahwa 𝑣
2bertetangga dengan 𝑣
3, 𝑣
2bertetangga dengan 𝑣
5, dan seterusnya seperti yang ditunjukkan oleh unsur – unsur di himpunan A. Namun 𝑣
1tidak bertetangga dengan 𝑣
2karena tidak ada rusuk yang menghubungkan kedua verteks tersebut, begitu juga yang terjadi dengan verteks – verteks lainnya jika tidak ada rusuk yang menghubungkan mereka. Selain itu dapat pula dikatakan bahwa 𝑒
1terhubung (incident) pada 𝑣
2dan 𝑣
3, sebaliknya juga 𝑣
2dan 𝑣
3terhubung (incident) pada 𝑒
1. Selanjutnya apabila himpunan I adalah himpunan rusuk – rusuk terhubung (incident edges) 𝑒
𝑖,𝑒
𝑗,𝑒
𝑘,… maka I = {(𝑒
1,𝑒
2,𝑒
3),( 𝑒
1,𝑒
2,𝑒
4),(𝑒
3,𝑒
9,𝑒
10),( 𝑒
4,𝑒
6,𝑒
7,𝑒
8), ( 𝑒
5,𝑒
6),( 𝑒
8,𝑒
9,𝑒
10)}. Pada himpunan I ditunjukkan bahwa rusuk – rusuk yang saling terhubung pada satu verteks bisa saja lebih dari dua rusuk.
𝒆
𝟏𝒗
𝟐𝒆
𝟓𝒆
𝟐𝒆
𝟑𝒗
𝟑𝒗
𝟏𝒆
𝟔𝒆
𝟒𝒗
𝟔𝒆
𝟖𝒗
𝟒𝒆
𝟗𝒆
𝟕𝒆
𝟏𝟎𝒗
𝟓Gambar 2.1 : Graf dengan 6 verteks dan 10 rusuk
2.2 Jenis-Jenis Graf
Pada dasarnya setiap peristiwa di alam nyata dapat dipresentasikan dalam bentuk graf.
Hal ini mengakibatkan setiap orang dapat menggambar bermacam – macam graf yang dia perlukan bergantung pada situasi ataupun kegiatan yang dia lakukan. Adapun secara umum graf dapat digolongkan kepada beberapa jenis yaitu dapat berdasarkan jenis rusuknya, ataupun dapat juga digolongkan berdasarkan ada atau tidaknya arah pada rusuk dari graf tersebut.
Berdasarkan jenis rusuknya maka graf dibagi kepada 2 jenis yaitu graf sederhana (simple graph) dan graf tak sederhana (unsimple graph). Adapun graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang (loop) maupun rusuk ganda (multiple edge). Gelang (loop) adalah suatu rusuk yang terhubung (incident) dari suatu verteks dan kembali lagi ke verteks yang sama, atau dengan kata lain rusuk tersebut terhubung (incidents) dengan verteks tunggal saja serta dinotasikan menjadi e = ( 𝑣
𝑖, 𝑣
𝑖).
Sedangkan rusuk ganda (multiple edge) adalah beberapa buah rusuk yang terhubung (incident) pada pasangan verteks yang sama, atau dengan kata lain kedua verteks tersebut terhubung (incident) pada lebih dari satu rusuk. Kemudian graf tak sederhana adalah graf yang mengandung rusuk ganda dan dapat saja juga mengandung gelang.
Adapun graf tak sederhana dapat dibagi 2 yaitu graf ganda (multi graph) dan graf semu (pseudo graph). Graf ganda adalah graf yang memiliki rusuk ganda tanpa memiliki gelang. Sedangkan graf semu adalah graf yang memiliki gelang dan bisa juga sekalian memiliki rusuk ganda atau hanya memiliki gelang tanpa rusuk ganda.
Contoh 2.2.1 : Berikut adalah contoh graf sederhana G (5,5) 𝒗
𝟏𝒆
𝟏𝒆
𝟐𝒆
𝟑𝒆
𝟓𝒗
𝟐𝒆
𝟒𝒗
𝟑𝒗
𝟒𝒗
𝟓Gambar 2.2 : Graf sederhana dengan 5 verteks dan 5 rusuk
Contoh 2.2.2 : Berikut adalah contoh graf ganda G (6,9) 𝒆
𝟏𝒗
𝟏𝒗
𝟐𝒆
𝟐𝒗
𝟑𝒗
𝟒𝒆
𝟓𝒆
𝟑𝒆
𝟒𝒆
𝟕𝒆
𝟖𝒆
𝟗𝒆
𝟔𝒗
𝟓𝒗
𝟔Gambar 2.3 : Graf ganda dengan 6 verteks dan 9 rusuk
Pada gambar graf 2.3 di atas, rusuk ganda diperlihatkan oleh pasangan rusuk (𝑒
1, 𝑒
3), (𝑒
4, 𝑒
5), dan (𝑒
8, 𝑒
9). Dengan adanya rusuk ganda di dalam graf tersebut menunjukkan bahwa graf itu adalah graf ganda.
Contoh 2.2.3 : Berikut adalah contoh graf semu G (8,12) 𝒗
𝟏𝒆
𝟏𝒗
𝟐𝒆
𝟐𝒆
𝟑𝒆
𝟒𝒆
𝟓𝒆
𝟔𝒆
𝟕𝒆
𝟖𝒗
𝟑𝒗
𝟒𝒗
𝟓𝒗
𝟔𝒆
𝟗𝒆
𝟏𝟎𝒆
𝟏𝟏𝒗
𝟕𝒗
𝟖𝒆
𝟏𝟐Gambar 2.4 : Graf semu dengan 8 verteks dan 12 rusuk
Pada gambar graf 2.4 di atas, gelang diperlihatkan oleh rusuk 𝑒
11dan 𝑒
12. Pada
graf semu di atas juga terdapat rusuk ganda yaitu pasangan rusuk (𝑒
4, 𝑒
5), namun
suatu graf dikatakan graf semu tidak harus memiliki juga rusuk ganda melainkan graf
tersebut minimal harus ada memiliki 1 gelang sehingga apabila suatu graf semu tidak
memiliki rusuk ganda namun memiliki gelang maka graf tersebut tetap dinamakan
graf semu. Dengan adanya gelang di dalam graf tersebut menunjukkan bahwa graf itu adalah graf semu.
Selanjutnya berdasarkan ada atau tidaknya arah pada rusuk, maka graf dapat terbagi 2 yaitu graf tak berarah (undirected graph) dan graf berarah (directed graph) yang biasa disebut juga digraf. Graf tak berarah adalah graf yang setiap rusuknya tidak memiliki arah sehingga setiap rusuknya hanya digambarkan berupa garis saja tanpa ada penunjuk arah. Adapun contoh dari graf tak berarah adalah seperti graf pada gambar 2.2, 2.3, dan 2.4. Sedangkan graf berarah adalah graf yang setiap rusuknya memiliki arah tertentu sehingga rusuk – rusuknya digambarkan berupa garis beserta tanda panah sebagai penunjuk arah tertentu.
Contoh 2.2.4 : Berikut adalah contoh graf berarah G (6,13)
𝒗
𝟏𝒆
𝟏𝒗
𝟐𝒆
𝟐𝒆
𝟑𝒆
𝟖𝒗
𝟑𝒆
𝟓𝒆
𝟕𝒆
𝟒𝒗
𝟒𝒆
𝟗𝒆
𝟏𝟏𝒆
𝟔𝒆
𝟏𝟎𝒆
𝟏𝟐𝒗
𝟓𝒆
𝟏𝟑𝒗
𝟔Gambar 2.5 : Graf berarah dengan 6 verteks dan 13 rusuk
2.3 Kaidah – Kaidah Dasar Menghitung
Materi pembahasan dalam bidang matematika diskrit dan kombinatorial biasanya
dimulai dari pembahasan mengenai kaidah – kaidah dasar dalam menghitung. Adapun
kaidah dasar ini terbagi 2 yaitu kaidah penjumlahan (rule of sum) dan kaidah perkalian
(rule of product). Di dalam percobaan – percobaan ataupun aplikasi – aplikasi
matematika yang berhubungan dengan matematika diskrit baik yang sederhana
maupun yang kompleks maka kedua kaidah ini sering dipakai untuk mencari solusi
dalam menghitung banyaknya jumlah kemungkinan dari percobaan tersebut. Jadi misalnya pada percobaan memasukkan sebuah kelereng ke dalam sebuah kantung, percobaan memasukkan beberapa kelereng ke dalam beberapa kantung, memilih wakil dari beberapa kelompok mahasiswa, memasang taruhan pada lomba pacuan kuda, percobaan melemparkan sekeping koin, percobaan menggulirkan sepasang dadu, membagi kartu pada permainan poker, dan masih banyak lagi percobaan – percobaan matematika lainnya.
2.3.1 Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum)
Ketika melakukan suatu percobaan matematika, bisa saja unsur – unsur di dalam percobaan tersebut tidak saling memiliki hubungan. Dalam terminologi Himpunan, unsur – unsur tersebut dapat dianggap sebagai unsur – unsur yang tidak beririsan (intersection) ataupun tidak memiliki unsur bersama. Pada situasi inilah Kaidah Penjumlahan dipakai untuk menghitung banyaknya jumlah kemungkinan dari percobaan tersebut.
Secara sederhana Kaidah Penjumlahan (rule of sum) dapat didefinisikan sebagai cara menghitung jumlah total kemungkinan dari cara suatu pekerjaan itu dilakukan yang melibatkan beberapa unsur kegiatan yang tidak saling berhubungan / tidak beririsan sedemikian hingga jumlah total dari kemungkinan – kemungkinan tersebut adalah penjumlahan dari setiap kemungkinan dari setiap unsur. Misalkan suatu pekerjaan mempunyai m cara untuk melakukannya dan sebuah pekerjaan lainnya mempunyai n cara untuk melakukannya. Jika kedua pekerjaan itu tidak dapat dilakukan secara bersamaan ataupun juga tidak bisa dilakukan secara berturut yang berarti harus dipilih salah satu dan meninggalkan yang lainnya, maka total keseluruhan cara untuk melakukan pekerjaan itu adalah sebanyak m + n cara.
Contoh 2.3.1 : Berikut adalah contoh persoalan yang memakai Kaidah Penjumlahan
dalam penyelesaiannya :
Ada 2 cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak, yaitu dengan menggunakan kapal terbang atau kapal laut. Untuk kapal terbang ada 4 penerbangan, sedangkan kapal laut ada 3 kapal. Ada berapa banyak cara untuk bepergian dari Jakarta ke Pontianak ?
Jawaban :
Karena cara bepergian dari Jakarta ke Pontianak dengan kapal terbang atau kapal laut adalah merupakan dua hal yang terpisah sehingga harus dipilih salah satunya saja.
Maka total banyaknya cara untuk bepergian dari Jakarta ke Pontianak adalah sebanyak 4 + 3 = 7 cara. Yaitu dalam persoalan ini dipakailah Kaidah Penjumlahan untuk penyelesaiannya. (Budhi, 2003:145)
2.3.2 Kaidah Perkalian (Rule of Product)
Ketika melakukan suatu pekerjaan, adakalanya pekerjaan tersebut memiliki beberapa tahap pengerjaan. Dalam hal ini tahap – tahap pengerjaan tersebut adalah saling lepas yaitu tidak saling bergantung/tidak mempengaruhi satu sama lain. Pada situasi seperti inilah Kaidah Perkalian dipakai untuk menghitung banyaknya jumlah total kemungkinan dari urutan tahapan – tahapan pekerjaan itu.
Secara sederhana Kaidah Perkalian (rule of product) dapat didefinisikan sebagai cara menghitung jumlah total kemungkinan dari kemungkinan – kemungkinan urutan – urutan pengerjaan dari suatu pekerjaan yang memiliki tahapan – tahapan di dalam pengerjaannya. Misalkan suatu pekerjan dapat dilakukan dengan 2 tahap pengerjaan yang saling lepas, tahap pertama memiliki m cara pengerjaan sedangkan tahap kedua memiliki n cara pengerjaan. Maka pekerjaan tersebut dapat dilakukan dengan total kemungkinan – kemungkinan urutan tahapan pengerjaannya adalah sebanyak m.n cara.
Contoh 2.3.2 : Berikut adalah contoh persoalan yang memakai Kaidah Perkalian dalam penyelesaiannya :
Misalkan seseorang akan pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A menuju ke kota B terdapat 3 jalan, dan dari kota B menuju ke kota C terdapat 2 jalan. Ada berapa banyak kemungkinan cara untuk pergi dari kota A ke kota C melalui kota B ?
Jawaban :
Persoalan ini adalah mengenai suatu pekerjaan yang dilakukan secara bertahap yaitu di soal ini ada 2 tahapan. Tahapan pertama adalah memilih jalan dari kota A ke kota B, kemudian dilanjutkan dengan tahapan kedua yaitu memilih jalan dari kota B ke kota C. Maka pertama sekali hal yang harus dilakukan adalah memilih jalan dari kota A ke kota B, adapun pilihan jalan dari kota B ke kota C tidak tergantung pada pilihan jalan dari kota A ke kota B yang berarti keduanya saling lepas. Dengan demikian Kaidah Perkalian dapat diterapkan pada persoalan ini. Maka menurut Kaidah Perkalian, banyaknya kemungkinan cara perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota B adalah sebanyak 3 × 2 = 6 cara. Apabila jalanan dari kota A ke kota B diberi lambang a, b, c sedangkan jalanan dari kota B ke kota C diberi lambang
1 dan 2. Maka pemilihan jalanan ini adalah sama halnya dengan memasangkan lambang – lambang tadi yaitu a1, a2, b1, b2, c1, c2 yang dapat dihitung berjumlah 6 cara pemilihan jalan. (Budhi, 2003:149-150)
2.4 Permutasi dan Kombinasi
Ada beberapa ide dan pemikiran matematika yang dapat dikembangkan dari Kaidah – Kaidah Dasar Menghitung. Beberapa diantaranya adalah yang berkaitan erat dengan Kaidah Perkalian yaitu Permutasi dan Kombinasi. Adapun konsep Kombinasi didapat dari pengembangan konsep Permutasi.
Secara sederhana Permutasi dapat didefinisikan sebagai penyusunan n unsur
yang berbeda menjadi berbagai bentuk / ukuran susunan dengan memperhatikan
urutan unsur – unsur pada susunan tersebut. Dari definisi tersebut dapat dipahami
bahwa urutan unsur – unsur di setiap susunan tersebut adalah penting untuk
diperhatikan dan tidak boleh diabaikan sehingga apabila ada beberapa susunan yang
seluruh unsur – unsurnya sama namun urutannya berbeda maka susunan – susunan tersebut tetap dianggap berbeda satu sama lain.
Contoh 2.4.1 : Berikut adalah contoh persoalan yang memakai konsep Permutasi dalam penyelesaiannya :
Misalkan ada 3 angka 5, 6, dan 7. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibentuk dari 3 unsur angka tersebut dimana setiap susunan juga terdiri dari 3 angka serta tanpa pengulangan unsur ?
Jawaban :
Karena unsur – unsur dari susunan tersebut berupa angka – angka maka tentu dapat dipahami bahwa urutan adalah hal yang penting dan tidak bisa diabaikan di dalam susunan itu karena tentunya 657 dengan 576 adalah dianggap susunan yang berbeda meskipun seluruh unsur – unsurnya adalah sama. Maka di dalam persoalan ini dapat diterapkan konsep Permutasi untuk menyelesaikannya, selain juga dipakai Kaidah Perkalian. Untuk urutan pertama ada 3 kemungkinan unsur, untuk urutan kedua ada 2 kemungkinan unsur karena satu unsur telah dipakai di urutan pertama serta karena tidak boleh ada pengulangan unsur, terakhir untuk urutan ketiga ada 1 kemungkinan unsur. Dengan memakai Kaidah Perkalian maka total kemungkinan susunannya adalah 3 × 2 × 1 = 6 macam susunan. Adapun susunan tersebut adalah 567, 576, 657, 675, 756, 765. Selanjutnya karena persoalan ini adalah persoalan Permutasi dimana urutan unsur adalah faktor yang penting, maka jawaban ini adalah benar.
Pada contoh 2.4.1 di atas diketahui bahwa terdapat 3 unsur yang kemudian
disusun menjadi beberapa susunan yang masing – masing susunan tersebut terdiri dari
3 unsur juga tanpa pengulangan unsur. Hal ini berarti contoh 2.4.1 menunjukkan
mengenai suatu n unsur yang disusun menjadi susunan – susunan yang masing –
masing susunan tersebut terdiri dari sebanyak n unsur juga, atau dengan kata lain n
unsur yang berbeda dipermutasikan kepada n unsur juga. Lalu bagaimana jika dari n
unsur disusun menjadi susunan-susunan yang terdiri kurang dari n unsur ? Katakanlah
jika dari n unsur akan dibentuk beberapa susunan yang masing – masing susunannya
terdiri dari r unsur, dimana 1 ≤ r ≤ n.
Contoh 2.4.2 :
Di dalam suatu kelas terdapat 10 orang siswa yang dicalonkan untuk menjadi ketua kelas, wakil ketua kelas, sekretaris, dan bendahara. Ada berapakah semua susunan yang mungkin untuk jabatan – jabatan tersebut dimana setiap siswa dari 10 orang itu tidak boleh menduduki dua jabatan sekaligus ?
Jawaban :
Untuk menjawab persoalan ini maka perlu disusun dulu jumlah kemungkinan dari masing – masing jabatan. Adapun susunannya adalah :
Jabatan : Ketua Kelas Wakil Ketua Sekretaris Bendahara Jumlah Kemungkinan : 10 9 8 7
Masing – masing jabatan jumlah kemungkinannya berkurang 1 dari jumlah sebelumnya karena tidak boleh ada seorang siswa yang merangkap lebih dari satu jabatan sehingga ketika seseorang sudah terpilih untuk suatu jabatan maka pada pemilihan jabatan yang lain dia tidak diikut – sertakan. Selanjutnya karena persoalan ini pada dasarnya adalah mengenai suatu pekerjaan yang bertingkat – tingkat yaitu pekerjaan yang dilakukan bertahap dimana tahap pertama adalah pemilihan ketua kelas selanjutnya tahap kedua adalah pemilihan wakilnya dan begitu seterusnya, maka jelaslah bahwa persoalan ini dapat diselesaikan dengan Kaidah Perkalian.
Maka jumlah total semua susunan yang mungkin untuk jabatan – jabatan tersebut adalah 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 kemungkinan susunan.
Apabila contoh 2.4.2 diperhatikan dengan seksama, maka dapat diketahui bahwa
persoalan pada contoh tersebut adalah suatu persoalan Permutasi. Hal ini karena pada
persoalan tersebut salah satu unsur yang penting dan tidak dapat diabaikan adalah
urutan unsur – unsur dalam susunan tersebut yaitu urutan pertama untuk ketua kelas
kemudian urutan kedua untuk wakilnya dan seterusnya. Tentu saja pada suatu susunan
tertentu dimana seorang siswa berada di urutan ke-3 yaitu menjadi sekretaris dengan
apabila di kemungkinan susunan lainnya siswa yang sama tersebut berada di urutan
ke-2 yaitu menjadi wakil ketua kelas, maka tentu saja susunan – susunan tersebut akan
dianggap berbeda walaupun mungkin seluruhnya dari keempat orang siswa yang
terpilih tersebut adalah kumpulan siswa yang sama di susunan – susunan tersebut.
Sehingga apabila merujuk pada konsep Permutasi maka persoalan di contoh 2.4.2 adalah persoalan Permutasi dari 10 unsur yang berbeda kepada 4 unsur.
Maka berdasarkan hasil yang telah didapat sebelumnya, hasil tersebut dapat diolah menjadi sebagai berikut :
10 × 9 × 8 × 7 =
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1=
10!6!
=
10!10−4 !
Dari hasil ini dapat diketahui bahwa permutasi dari 10 unsur kepada 4 unsur dapat dituliskan menjadi
10!10−4 !
. Apabila hasil ini diperumum maka menunjukkan bahwa permutasi dari n unsur yang berbeda kepada r unsur adalah
𝑛 !𝑛−𝑟 !
, dengan n!
merupakan notasi untuk n faktorial yang didefinisikan dengan :
0! = 1
n! = n.(n - 1).(n - 2). … .(3).(2).(1) , untuk n ≥ 1.
Dari definisi ini maka bisa diketahu bahwa 1! = 1, 2! = 2.1 = 2, 3! = 3.2.1 = 6, 4! = 4.3.2.1 = 24, … dan seterusnya.
Secara umum, jika ada n unsur yang dinotasikan 𝑎
1, 𝑎
2, 𝑎
3, … , 𝑎
𝑛, dan ada sebuah bilangan asli r dengan 1 ≤ r ≤ n, maka berdasarkan Kaidah Perkalian, banyaknya jumlah susunan permutasi berukuran r unsur yang diambil dari n unsur adalah :
n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – r + 1 ) = urutan I urutan II urutan III urutan ke – r
n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – r + 1 ) ×
𝑛 – 𝑟 𝑛 – 𝑟 − 1 … 3 2 (1)𝑛 – 𝑟 𝑛 – 𝑟 − 1 … 3 2 (1)
=
𝑛!𝑛−𝑟 !
. Kemudian Permutasi dari n unsur kepada r unsur dinotasikan dengan P (n,r) dimana 0 ≤ r ≤ n. Pada contoh 2.4.2, permutasinya dinotasikan P(10,4) =
10!10−4 !
=
10!6!
=
10 × 9 × 8 × 7 × 6!6!
= 10 × 9 × 8 × 7 = 5040. Sehingga secara umum, banyaknya Permutasi n unsur yang berbeda kepada r unsur dinotasikan dengan
P (n,r) =
𝑛!𝑛−𝑟 !
Selanjutnya, konsep Kombinasi dapat didefinisikan sebagai penyusunan n unsur yang berbeda menjadi berbagai bentuk/ukuran susunan tanpa memperhatikan urutan unsur – unsur pada susunan itu. Dari definisi ini dapat dipahami bahwa pada Kombinasi, urutan unsur adalah hal yang tidak penting sehingga dapat diabaikan. Hal yang dapat membedakan antara suatu susunan dengan susunan lainnya adalah hanya unsur – unsur pada susunan itu sedangkan apabila semua unsur – unsur dari beberapa susunan adalah sama maka susunan – susunan itu dianggap sama walaupun mungkin urutan unsur – unsur antara satu susunan dengan susunan lainnya berbeda. Secara umum, banyaknya Kombinasi n unsur yang berbeda kepada r unsur dinotasikan dengan
𝐶 (𝑛, 𝑟) =
𝑃 (𝑛,𝑟)𝑟!
=
𝑛!𝑟! × 𝑛−𝑟 !
Contoh 2.4.3 :
Di dalam suatu kelas terdapat 10 orang siswa yang akan dipilih sebanyak 4 orang untuk diutus menjadi peserta olimpiade matematika. Ada berapakah semua susunan yang mungkin untuk keempat peserta tersebut?
Jawaban :
Untuk menjawab persoalan ini maka perlu disusun dulu jumlah kemungkinan dari keempat peserta yang akan dipilih. Adapun susunannya adalah :
10 siswa 9 siswa 8 siswa 7 siswa
urutan I urutan II urutan III urutan IV
Persoalan ini sekilas mirip dengan persoalan Permutasi pada contoh 2.4.2, namun persoalan ini adalah persoalan yang berbeda karena merupakan soal Kombinasi karena pada persoalan ini susunan unsur – unsur menjadi tidak penting dan dapat diabaikan.
Dengan pengabaian ini maka susunan – susunan yang keseluruhan unsur – unsurnya sama maka susunan – susunan tersebut dianggap sama. Maka jumlah kemungkinan susunan Kombinasi ini adalah 𝐶 (10,4) =
𝑃 (10,4)4!
=
10!4! × 10−4 !
=
10!4! × 6!
= 210 kemungkinan susunan.
Teorema 2.1 Andaikan x dan y adalah variabel – variabel dan n adalah bilangan bulat positif, maka :
𝑥 + 𝑦
𝑛= 𝐶 𝑛, 0 𝑥
0𝑦
𝑛+ 𝐶 𝑛, 1 𝑥
1𝑦
𝑛−1+ 𝐶 𝑛, 2 𝑥
2𝑦
𝑛−2+ … + 𝐶 𝑛, 𝑛 − 1 𝑥
𝑛 −1𝑦
1+ 𝐶 𝑛, 𝑛 𝑥
𝑛𝑦
0=
𝑛𝑘𝑥
𝑘𝑦
𝑛−𝑘𝑛 𝑘=0
(Grimaldi, 1985:14)
Selanjutnya apabila pada teorema binomial diatas dimasukkan nilai – nilai x = 1 dan y = 1 maka akan menghasilkan :
𝑥 + 𝑦
𝑛= 𝐶 𝑛, 0 1
01
𝑛+ 𝐶 𝑛, 1 1
11
𝑛 −1+ 𝐶 𝑛, 2 1
21
𝑛−2+ … + 𝐶 𝑛, 𝑛 − 1 1
𝑛−11
1+ 𝐶 𝑛, 𝑛 1
𝑛1
0= 𝐶 𝑛, 0 . 1.1 + 𝐶 𝑛, 1 . 1.1 + 𝐶 𝑛, 2 . 1.1 + … + 𝐶 𝑛, 𝑛 − 1 . 1.1 + 𝐶 𝑛, 𝑛 . 1.1
= 𝐶 𝑛, 0 + 𝐶 𝑛, 1 + 𝐶 𝑛, 2 + … + 𝐶 𝑛, 𝑛 − 1 + 𝐶 𝑛, 𝑛 =
𝑛𝑘=0𝐶 𝑛, 𝑘
= 1 + 1
𝑛= 2
n(Budhi, 2003:221) Atau persamaan tersebut secara sederhana dapat ditulis :
𝐶 𝑛, 𝑘
𝑛𝑘=0
