TUTORIAL SIMULASI KOMPUTER. Modul. Montecarlo Laboratorium Pemodelan dan Simulasi Industri Universitas Islam Indonesia 2017/2018

(1)

6

2017/2018

Modul

Montecarlo

TUTORIAL SIMULASI KOMPUTER

Laboratorium Pemodelan dan Simulasi Industri

Universitas Islam Indonesia

(2)

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA FM-UII-AA-FKU-01/R0 Fakultas : Teknologi Industri Pertemuan : 6

Jurusan : Teknik Industri Modul : 6

Kode Mata Kuliah : 52213702 Halaman : 39

Nama Mata Kuliah : Simulasi Komputer Tahun : 2017

Halaman 1

BAB VI MONTECARLO

6.1 Tujuan Praktikum

1. Praktikan dapat memahami konsep dasar model simulasi Monte Carlo ; 2. Memperkenalkan aplikasi statistik dalam simulasi ;

a. Macam-macam distributisi dalam statistik b. Pembangkitan Bilangan Random

c. Langkah-langkah pengujian hipotesis d. Validasi model

3. Memperkenalkan mahasiswa mengenai fungsi-fungsi pada Ms. Excel yang sering digunakan dalam proses simulasi montecarlo (khususnya fungsifungsi statistik);

4. Melatih mahasiswa untuk mengaplikasikan fungsi-fungsi pada Ms Excel yang sering digunakan pada penyelesaian masalah simulasi montecarlo 5. Mahasiswa dapat menggunakan fungsi-fungsi pada Ms. Excel guna

pembuatan desain eksperimen pada model simulasi monte carlo;

6.2 Sejarah Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo dikenal juga dengan istilah Sampling Simulation atau Monte Carlo Sampling Technique. Simulasi ini menggambarkan kemungkinan penggunaan data sample dalam metode Monte Carlo yang juga juga sudah dapat diketahui atau diperkirakan distribusinya. Simulasi ini menggunakan data yang sudah ada (historical data) yang sebenarnya dipakai untuk tujuan lain. Dengan kata lain apabila menghendaki model simulasi yang mengikut sertakan random dan sampling dengan distribusi probabilitas yang dapat diketahui dan ditentukan, maka cara simulasi ini dapat dipergunakan.

Ketika kita menggunakan kata simulasi , kita mengacu pada metoda analitis manapun dengan maksud untuk meniru suatu sistem nyata, terutama

(3)

Halaman 2 ketika analisa lain ternyata merupakan suatu kasus mathematically yang kompleks atau terlalu sukar untuk dipecahkan.

Tanpa bantuan simulasi, suatu model spreadsheet hanya akan mengungkapkan hasil tunggal, dan biasanya yang hampir bisa dipastikan atau rata-rata dari skenario. Spreadsheet analisis risiko menggunakan suatu simulasi dan model spreadsheet yang secara otomatis meneliti efek dari bermacam-macam input untuk menghasilkan output pada sistem yang telah dibuat modelnya. Salah satu jenis simulasi spreadsheet adalah Monte Carlo simulasi, yang secara acak menghasilkan nilai-nilai untuk variabel yang tidak-pasti secara berulang kali untuk menirukan suatu model.

Istilah Monte Carlo dalam simulasi mulai diperkenalkan oleh Compte de Buffon pada tahun 1977, dan pertama kali pemakaiannya dalam sistem nyata adalah selama perang dunia II yang diperkenalkan oleh Stanislaw Ulam dan John von Neumann pada Los Alamos Scientific Laboratory. Pada saat itu digunakan untuk merancang pelindung nuklir, mereka membutuhkan data-data tentang jarak yang dapat ditembus oleh neutron pada berbagai material. Masalah ini sangat sulit dipecahkan secara analitik/ matematis. Kemudian mereka memecahkan masalah tersebut dengan menggunakan komputer, dengan bantuan bilangan random. Metode ini dinamakan Monte Carlo, diambil dari pusat judi terkenal di dunia Monte Carlo, karena pada dasarnya adalah seperti permainan judi.

Simulasi Monte Carlo merupakan metode komputasi numerik yang melibatkan pengambilan sampel eksperimen dengan bilangan random. Metode ini cukup mudah diaplikasikan dengan komputer. Metode ini digambarkan sebagai metode percobaan statistik, karena dalam pelaksanaannya melibatkan unsur-unsur perhitungan statistik, seperti bentuk distribusi, probabilitas, variansi, dan standar deviasi.

Saat melakukan eksperimen data menggunakan simulasi kita sering menggunakan sampel dari bilangan acak (random) dimana distribusi probabilitasnya menggambarkan generalisasi dari objek yang diamati. Simulasi

(4)

Halaman 3 yang menggunakan bilangan random yang digabungkan dengan model simulasi probabilitas dikenal dengan nama Monte Carlo Sampling.

Kunci dari metode Monte Carlo terletak pada pembangkitan bilangan random yang digunakan untuk mewakili ketidakpastian atau risiko yang diamati.

Sebelum hal ini dilakukan terlebih dahulu pendefinisian tingkat probabilitas yang ada pada setiap elemen yang mengandung unsur risiko. Tingkat probabilitas tersebut kemudian diterjemahkan dalam bilangan random yang dihasilkan dari generator bilangan acak (random).

Dalam kesederhanaan cara, simulasi ini memberikan tiga batasan dasar yang perlu diperhatikan, yaitu :

1. Apabila suatu persoalan sudah dapat diselesaikan atau dihitung jawabannya secara matematis dengan tuntas maka hendaknya jangan menggunakan simulasi ini. Itu berarti apabila persoalan dapat diselesaikan dengan pemrograman ataupun teori dalam operation research (Quening Theory, Integer Programin dll) simulasi ini tidak perlu digunakan lagi, kecuali perancangan-perancangan itu memerlukan perkiraan tertentu

2. Apabila sebagian persoalan tersebut dapat diuraikan secara analitis dengan baik, maka penyelesaiannya lebih baik dilakukan secara terpisah, yaitu sebagian dengan cara analitis dan yang lainnya dengan simulasi Monte Carlo untuk kemudian disusun kembali keseluruhannya sebagai penyelesaian akhir.

Ini berarti teknik sampling dari simulasi Monte Carlo ini hanya dilakukan apabila betul-betul dibutuhkan

3. Apabila mungkin maka dapat digunakan simulasi perbandingan. Kadangkala simulasi ini dibutuhkan apabila dua sistem dengan perbedaan-perbedaan pada parameter, distribusi, cara-cara pelaksanaannya.

Teknik Simulasi Monte Carlo :

 Tentukan distribusi probabilitas untuk variabel yang penting

 Membangun distribusi kumulatif untuk masing-masing variabel

(5)

Halaman 4

 Menentukan interval bilangan random umtuk setiap variabel

 Bangkitkan bilangan random

 Simulasikan

Bidang aplikasi monte carlo - Antrian

- Forecasting

- Pengelolahan inventory

- Perkiraan studi kelayakan proyek - Perencanaan kebijakan pemasaran - Pengelolahan produksi

6.3 Pendahuluan

Simulasi berusaha merepresentasikan sistem nyata yang ada dengan presisi yang lebih “pas” dibandingkan jenis model lain. Dengan demikian sudah barang tentu bahwa model simulasi yang baik adalah model simulasi yang tidak hanya berorientasi pada output/hasil dari sebuah sistem, melainkan bagaimana model tersebut dapat menjelaskan karakteristik dan perubahan sistem dari waktu ke waktu.

Untuk dapat menggambarkan bagaimana mekanisme perubahan sistem, tentu diperlukan sebuah metode pendekatan khusus yang dianggap dapat dijadikan dasar untuk mengidentikkan perubahan sistem tersebut. Dalam simulasi khususnya Simulasi Sistem Kejadian Diskrit yang yang dikenal juga dengan sebutan “Discrete-Event System Simulation” (DESS), sebagian besar perubahan

(6)

Halaman 5 yang terjadi pada sistem didekati dengan konsep probabilitas dari setiap kemungkinan perubahan variabel sistem yang ada. Kita akan dituntut dapat menentukan sebuah fungsi yang menunjukkan bagaimana sistem itu beraktifitas.

Simulasi Monte Carlo sering digunakan untuk melakukan analisa keputusan pada situasi yang melibatkan risiko yang melibatkan beberapa parameter untuk dilakukan pertimbangan secara simultan. Metode ini dapat digunakan secara luas karena didasarkan pada proses simulasi dengan pilihan kemungkinan secara random. Dengan demikian jumlah iterasi yang dilakukan sangat menentukan tingkat ketelitian atas jawaban yang diperoleh. Metoda ini seringkali juga disebut dengan metoda percobaan statistik (method of stastical trials).

Metoda ini mengasumsikan pola kejadian variabel perhitungannya pada dua model distribusi yaitu distribusi normal dan distribusi uniform. Asumsi ini dapat melemahkan suatu kasus yang mempunyai pola distribusi di luar kedua asumsi tersebut di atas. Namun dengan sedikit melakukan usaha manipulasi statistik dengan melakukan transformasi data mentah pada variabel yang bersangkutan untuk diubah untuk memenuhi dua asumsi distribusi tersebut dapat dilakukan dengan sederhana. Dengan demikian bagi pengambil keputusan hal yang harus diperhatikan terlebih dahulu sebelum menggunakan metoda ini adalah melakukan uji distribusi atas variabel perhitungan yang akan digunakan sampai memenuhi asumsi distribusi yang dipersyaratkan baru kemudian melakukan perhitungan berdasarkan prosedur yang ada. Metoda ini didasarkan pada perhitungan sederhana dan dapat diadaptasi dengan komputer. Keuntungan atas fasilitas uji coba (pengulangan) yang sangat cepat pada komputer sangat membantu dalam aplikasi metoda Monte Carlo ini.

Di dalam operasionalnya Monte Carlo melibatkan pemilihan secara acak terhadap keluaran masing-masing secara berulang sehingga diperoleh solusi dengan nilai pendekatan tertentu. Oleh Canada dan White (1980) dinyatakan bahwa dengan semakin banyaknya jumlah ulangan percobaan yang dilakukan

(7)

Halaman 6 maka tingkat kesalahan atas atas hasil yang diperoleh akan semakin kecil.

Dengan demikian tingkat ketelitian atas jawaban bagi seorang pengambil keputusan dapat ditentukan sendiri atas kisaran kesalahan yang terjadi dikaitkan dengan jumlah ulangan berdasarkan data yang ada.

Perubahan itu sendiri-karena keacakannya sering sulit untuk dapat dimodelkan dengan tepat. Untuk itu, maka alternatif terbaik adalah bagaimana kita memperhatikan keacakan yang terjadi dalam pembuatan model simulasi hingga dapat dibentuk sebuah model yang bisa menjadi representasi sistem nyata yang diamati.

Sebuah keacakan, biasanya dicapai dengan membuat sifat dan waktu (dalam sistem yang diamati) sebagai sebuah variabel random dengan distribusi yang sesuai. Jadi kita mempunyai suatu fungsi distribusi variabel random f(x) tertentu dan ingin (untuk menyediakan masukan masukan pada model simulasi) menghasilkan variabel angka random X1, X2,…. Bebas yang mempunyai fungsi distribusi seperti fungsi yang ada pada sistem nyata

Metode atau langkah pembuatan model simulasi Monte Carlo terbagi dalam beberapa langkah, yaitu :

1. Formulasi masalah, dalam tahap ini ditentukan masalah apa yang akan dibahas dan ditentukan batasan-batasan masalah.

2. Pembuatan model simulasi monte carlo, dalam tahap ini kita membuat model dan menentukan parameter-parameter model, variabel, hubungan antar bagian model

3. Pembuatan distribusi untuk Variabel, dalam tahap ini kita menetapkan distribusi probabilitas untuk variabel – variabel utama. Dalam tahap ini juga menggunakan teori probabilitas.

Ide dasar simulasi monte carlo adalah membangkitkan nilai-nilai untuk variabel penyusun yang sedang dianalisa. Banyak sekali variabel pada kondisi sistem nyata yang bersifat probabilistik secara alami.

(8)

Halaman 7 Beberapa dari variabel itu antara lain :

a. Permintaan persediaan harian atau mingguan b. Waktu penyelesaian aktivitas proyek

c. Tingkat pendapatan penjualan perminggu

d. Kedatangan pengangkutan untuk pengiriman produk perbulan e. Lead time untuk pesanan persediaan tiba

f. waktu antar kerusakan mesin, dll.

Satu cara yang sering digunakan dalam menetapkan distribusi probabilistik dari variabel yang ada ada adalah menganalisis data – data historis. Probabilitas atau frekuensi relatif untuk setiap hasil yang mungkin dari sebuah variabel didapat dengan membagi frekuensi observasi dengan jumlah observasinya. Distribusi dapat secara empiris berdasarkan yang sudah umum digunakan, seperti distribusi normal, poisson atau eksponensial.

4. Ubah distribusi probabilitas menjadi probabilitas kumulatif. Setelah menentukan distribusi probabilitas selanjutnya adalah mengubahnya menjadi distribusi probabilitas kumulatif. Hal ini untuk menentukan bahwa hanya satu variabel akan diasosiasikan dengan satu bilangan acak.

5. Simulasikan model. Lakukan simulasi dan analisa untuk sejumlah besar pengamatan. Jumlah replikasi yang sesuai dengan cara yang sama dengan jumlah yang tepat dari suatu sampel dalam eksperimen aktual. Uji karakteristik yang umum mengenai signifikansi dapat digunakan. Dengan simulasi komputer, jumlah model yang dilakuakan sangat besar, dan ekonomis untuk menjalankan sampel besar dengan tingkat kesalahan yang sangat kecil. Dalam mensimulasikan model terlebih dahulu ditentukan :

a. Aplikasi aturan keputusan

b. Pembangkitan bilangan – bilangan acak.

Setelah kita menentukan distribusi kumulatif untuk setiap variabel yang terlibat dalam simulasi, selanjutnya adalah menentukan

(9)

Halaman 8 bilangan – bilangan tertentu untuk mempresentasikan setiap nilai atau hasil mungkin. Ini sebagai acuan interval bilangan acak.

Bilangan acak (random) dibangkitkan untuk masalah – masalah simulasi dengan berbagai cara. Jika masalah tersebut sangat komplek dan proses yang diamati melibatkan ribuan percobaan simulasi, maka suatu program komputer dapat digunakan. Jika simulasi dilakukan secara manual, pemilihan bilangan acak dapat dilakukan seperti halnya putaran roda rolet, atau metode lainnya.

Yang jelas karakteristiknya adalah setiap digit atau angka memiliki kesempatan yang sama untuk muncul.

6. Evaluasi strategi model. Pada tahap ini kita melakukan evaluasi terhadap model apakah sudah menyerupai sistem nyata.

7. Periksa apakah diperlukan adanya perbaikan model ?. Pada tahap ini apabila ternyata diperlukan adanya perbaikan model dikarenakan sesuatu hal, tidak sesuai dengan sistem nyata maka akan dilakukan perbaikan (pengulangan) formulasi masalah. Sedangkan apabila ternyata tidak diperlukan perbaikan model maka langkah selanjutnya penentuan keputusan.

8. Keputusan. Keputusan diambil apabila model sudah sesuai dengan sistem nyata.

9. Selesai. Pembuatan model simulasi Montecarlo selesai.

(10)

Halaman 9 Gambar 1. Diagram Langkah-langkah penyelesaian model simulasi Monte Carlo

(11)

Halaman 10 6.4 VARIABEL RANDOM

6.4.1 Preview

Jika kita mengamati sebuah sistem nyata yang ada di sekitar kita, bagaimana setiap entitas, atribut, dan elemen lain dari sistem itu berubah dari waktu kewaktu., maka kita akan sampai pada sebuah kesimpulan bahwa keadaan selau berubah, dinamis. Dinamisasi sebuah sistem sering tak dapat diduga karena keacakan dalam setiap kemungkinan perubahan yang ada. Sebagai sebuah contoh, ketika kita mengamati sebuah supermarket, kita tidak dapat mengetahui kapan secara pasti sebuah produk yang dijual akan habis, kapan kasir akan kebanjiran pembeli yang hendak membayar, atau kapan petugas kasir akan mempunyai waktu yang cukup “selo” untuk berbincang-bincang dengan rekannya karena tidak ada pembeli yang membayar karena sepi, atau kapan supermarket tersebut akan penuh sesak hingga kita merasa “sumuk” karena penuhnya pengunjung serta kapan supermarket akan terlihat hanya sebagai tempat “kongko-kongko” para penjaga/karyawannya, karena hampir tidak ada pengunjung ?. Semua hal tersebut mungking sekali terjadi pada sebuah sistem supermarket. Namun kita tidak bisa memperkirakan dengan pasti karena keacakan kemungkinan tersebut. Dilain pihak, lalu bagaimana jika kita ingin membuat model simulasi sistem supermarket tersebut, dimana harus dapat menjelaskan perubahan yang terjadi, sedang perubahan itu sendiri-karena keacakannya sering sulit untuk dapat dimodelkan dengan tepat. Untuk itu, maka alternatif terbaik adalah bagaimana kita memperhatikan keacakan yang terjadi dalam pembuatan model simulasi hingga dapat dibentuk sebuah model yang bisa menjadi representasi sistem nyata yang diamati.

Sebuah keacakan, biasanya dicapai dengan membuat sifat dan waktu (dalam sistem yang diamati) sebagai sebuah variabel random dengan distribusi yang sesuai. Jadi kita mempunyai suatu fungsi distribusi variabel random f(x) tertentu dan ingin (untuk menyediakan masukan masukan pada model simulasi) menghasilkan variabel angka random X1, X2,…. Bebas yang mempunyai fungsi distribusi seperti fungsi yang ada pada sistem nyata.

(12)

Halaman 11 Pada Hakekatnya semua metode untuk menghasilkan suatu barisan variabel angka random X1, X2,…. Yang bebas dengan distribusi f(x) menyangkut penggunaan deret variabel random yang bebas dam berdistribusi seragam pada (0,1). Hal tersebut memiliki fungsi densitas probabilitas :

1

Gambar 2.1. PDF untuk Bilangan Random

Persoalan memilih nilai yang baik, untuk tetapan pembangkit bilangan Random (disebut juga “Pseudo-Random”) merupakan persoalan yang rumit.

Agar dapat dikatakan acak, deret bilangan yang dihasilkan oleh pembangkit bilangan random harus memenuhi beberapa uji (test) untuk menjamin bahwa bilangan – bilangan tersebut terdistribusi secara serba-sama, dan tak ada korelasi signifikan antar digit bilangan-bilangan itu atau antar bilangan-bilangan yang berurutan.

Memperhatikan hal tersebut, maka unsur variabel random ini menjadi salah satu elemen pokok dalam hampir setiap model Simulasi terutama simulasi

F(x)

0 1 x

(13)

Halaman 12 kejadian diskrit. Mengenai bagaimana cara membangkitkan variabel random, kita gunakan bantuan software untuk melakukannya dengan asumsi bahwa software tersebut memiliki metoda pembangkitan variabel Random yang andal.Dalam Statistik

Variabel Random dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu : 1. Variabel Random Diskrit

Adalah suatu variabel random yang mengandung jumlah tertentu (Countable). Sebagai contoh :

a. Jumlah manager dalam suatu perusahaan (bisa 0,1,2,3, dan seterusnya).

b. Jumlah kesalahan yang dibuat oleh seorang operator (bisa 0,1,2,3, dan seterusnya)

c. Jumlah konsumen yang antri pada sebuah restoran (bisa 0,1,2,3, dan seterusnya).

Terlihat disini bahwa ciri khas dari variabel random diskrit adalah jumlahnya yang bulat, dan tidak bisa diubah menjadi pecahan atau desimal.

2. Variabel Random Kontinyu

Adalah suatu variabel random yang mengandung suatu nilai dalam sutu interval tertentu. Sebagai contoh :

a. Jumlah waktu yang diperlukan untuk mengerjakan sutu tugas tertentu (bisa 1 menit, 2.4 menit, 1,5 jam, dan seterusnya)

b. Berat jeruk yang dijual di suatu supermarket (bisa 200 gr, 1,25 Kg,

250,5 gr, dan seterusnya)

c. Tinggi badan calon asisten SIMBI (bisa 160,5 cm , 172,4 cm, dan seterusnya)

(14)

Halaman 13 Terlihat bahwa angka untuk variabel random kontinyu dalam bentuk rasional, bisa bulat, desimal, maupun pecahan.

6.4.2 Metode Pembangkitan Bilangan random (Random Generate)

Simulasi suatu sistem yang mengandung bilangan random atau stokhastik memerlukan metode pembangkitan bilangan random. Cara yang paling awal adalah dengan melempar dadu. Karena perkembangan dan kompleksitas sistem maka metode-metode baru berkaitan dengan pembangkitan bilangan random bermunculan. Dua metode pembangkitan bilangan random yang akan dibahas pada modul ini yaitu : Mid Square dan Linear Congruential serta transformasi inversi.

6.4.2.1 Metode Mid Square

Metode ini pada intinya adalah mengambil nilai kuadrat tengah dari bilangan inisial/awal. Bilangan awal sendiri ditentukan secara bebas oleh pemodel.

Contoh : Kita ambil angka 76 sebagai bilangan awal dan kita ambil dua digit untuk seterusnya. Diinginkan bilangan random dengan distribusi uniform[0,1], penyelesaiannya :

Bilangan inisial r0 = 76 r02 = 5776 r1 = 77 r02 = 5929 r2 = 92 dst.

Didapat bilangan random : 0.77, 0.92 ... dst.

6.4.2.2 Metode Linear Congruential

Metode Linear Congruental ini pertama kali dikenalkan oleh Lehmer (1951).

Rumus untuk membangkitkan bilangan random dengan metode ini adalah : Xi+1 = (aXi +c)modm, i = 0,1,2,...

X0 : disebut dengan nilai inisial/seed a : disebut konstanta pengali

c : adalah inkremen

(15)

Halaman 14 m : adalah modulus

Jika c ≠ 0 diartikan sebagai mixed congruential method. Jika c = 0, dinamakan multiplicative congruental method. Pemilihan nilai a, c, m, dan X0

mempengaruhi kelengkapan nilai statistical dan nilai cycle lenght.

Syarat-syarat pembangkitan bilangan random dengan metode LCM : a. Konstanta a harus lebih besar dari √𝑚

Dan biasanya dinyatakan dengan syarat : m

𝑚

100 < 𝑎 < 𝑚 − √𝑚 𝑚

100 + 𝑚 > 𝑎 > √𝑚

b. Untuk konstanta c harus berangka ganjil apabila m bernilai pangkat dua.

Tidak boleh berkelipatan dari m

c. Untuk modulus m harus bilangan prime atau bilangan tidak terbagikan, sehingga memperlancar dan memudahkan perbitungan-perhitungan di dalam komputer dapat berjalan dengan mudah dan lancar.

d. Untuk pertama Xo harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup besar.

Contoh :

Bangkitkan bilangan random dengan menggunakan metode linear Congruental jika diketahui;

X0 = 27 ; a = 17, c = 43; dan m = 100 Penyelesaian :

Nilai integer bilangan random yang dibangkitkan berada antara 0 sampai dengan 99 dikarenakan nilai modulusnya 100.

Bilangan random dapat dibangkitkan dengan cara :

(16)

Halaman 15 Xi+1 = (aXi +c)modm, i = 0,1,2,...,

𝑅_𝑖 = ^𝑋^𝑖

𝑚 i = 1, 2,...

X0 = 27

X1 = (17 * 27 + 43) mod 100 = 502 mod 100 = 2 R1 = = 0.02

X2 = (17 * 2 + 43) mod 100 = 77 mod 100 = 77 R2 = = 0.77

X3 = (17 * 77 + 43) mod 100 = 1352 mod 100 = 52 R2 = = 0.52

Dst....

6.4.2.3. Metode Transformasi Inversi

6.4.2.3.1 Distribusi eksponensial

Misal untuk setiap i maka didapat waktu rat-rata tiap kejadian adalah : Probability density function (pdf) dirumuskan :

Diketahui parameter λ adalah rata-rata jumlah kejadian tiap satuan waktu.

Sebagai contoh, waktu antar kedatangan adalah X1, X2, X3, ...berdistribusi eksponensial dengan rata-rata λ, kemudian λ bisa di-interpretasikan sebagai jumlah kedatangan persatuan waktu atau rata-rata kedatangan.

Untuk setiap i berlaku :

E(X i ) = ¹

𝜆

(17)

Halaman 16 Sehingga 1/ λ diartikan sebagai waktu antar kedatangan.

Langkah-langkah pembangkitan bilangan random yang berdistribusi eksponensial adalah ;

1. Tentukan variabel random X untuk distribusi ekponensial F (x) = 1 - 𝑒^−𝜆𝑥 , x ≥ 0

2. Set F(X) = R dalam range dari X

Untuk distribusi eksponential 1- 𝑒^−𝜆𝑥= R berada dalam range x 0 X adalah variabel random (dalam hal ini berdistribusi eksponential), berart bahwa 1- 𝑒^−𝜆𝑥juga variabel random, yang disebut R.

3. Cari penyelesaian F(X) =R 1- 𝑒^−𝜆𝑥 = R

𝑒^−𝜆𝑥 = 1 – R - λX = ln (1-R) X = ⁻¹

𝜆 ln (1 − 𝑅_𝑖) ; dinamakan random variate generator yang berdistribusi eksponential.

4. Pembangkitan bilangan Random berdistribusi eksponential R1, R2, R3,...

adalah ; F^-1(R) = ⁻¹

𝜆 ln (1 − 𝑅) Xi = ⁻¹

𝜆 ln (1 − 𝑅_𝑖)

6.4.2.3.2 Distribusi uniform

Diketahui interval variabel random X adalah [a,b] dengan a adalah nilai minimum dan b adalah nilai maksimum. Adapun umus untuk membangkitkan nilai X dengan distribusi uniform adalah :

X = a + (b - a) R

(18)

Halaman 17 Dengan Ri adalah bilangan random ke-i

Rumus ini didapat dari :

Mengingat bahwa R adalah bilangan random diantara (0,1), maka probability density function (pdf) adalah :

jika persamaan diatas diturunkan menjadi

langkah 1 :

Langkah 2 : Set F(X) = (X-a) / (b-a) = R

Langkah 3 : Selesaikan persamaan untuk X dan R yaitu, X = a + (b-a)R

6.4.2.3.3 Distribusi Normal

Rumus yang digunakan untuk membangkitkan nilai X dengan distribusi normal adalah :

X = Z𝜎 + 𝜇

Dengan Z = bilangan random normal 𝜎 = standar deviasi

𝜇 = rataan

adapun untuk sampel maka E(𝜎) = S dan E(𝜇) = 𝑋̅

6.4.2.3.4 Distribusi Poisson

Diketahui variabel random poisson adalah N dengan rataan α

(19)

Halaman 18 Langkah langkah yang digunakan :

1. Set n = 0, P = 1

2. Bangkitkan bilangan random Rn 1 dan ganti P dengan P. Rn+1

3. Jika P < 𝑒^−𝛼 maka terima N = n. Jika sebaliknya tolak n dan tambah n dengan 1 kemudian kembali ke langkah 2

Untuk α ≥ 5 maka digunakan rumus yang mendekati normal, Nilai Z dicari pada tabel random normal.

kemudian bagnkitkan nilai N sebagai variabel poisson dengan rumus : N = α + √𝛼𝑍 – 0.5

Catatan : hasilnya dibulatkan jika α + √𝛼𝑍 – 0.5 < 0 maka N di set = 0 N = variabel poisson dengan n unit kejadian tiap satuan waktu

6.5 Pengujian Bilangan Random

Dua syarat utama bilangan random adalah uniform dan independen. Untuk memastikan bahwa suatu bilangan random memenuhi dua hal tersebut maka perlu pengujian, yaitu uji uniform dan uji independen.

6.5.1 Uji uniform

Uji ini menggunakan Kolmogorov Smirnov atau Chi-Square untuk membandingkan suatu set bilangan random dengan distribusi uniform.

6.5.1.1 Kolmogorov Smirnov

Uji Kolmogorov Smirnov ini berdasarkan pada deviasi absolute terbesar dari F(x) dan S N (x) dalam range bilangan random.

Catatan :

F(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1

(20)

Halaman 19 S N (x) = 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑅1,𝑅2,𝑅3,…,𝑅𝑁 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑎𝑛𝑎 ≤𝑥

𝑁

Jadi uji Kolmogorov Smirnov dirumuskan D = max F(x) - SN (x)

Langkah 1 : urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar.

R(1) ≤ R(2) ≤ ... ≤ R(N) Langkah 2 : hitung

langkah 3 : hitung D = max(D⁺,D¹)

langkah 4 : definisikan nilai kritis D α, dari tabel. Dengan tingkat kepercayaan dan besarnya N

langkah 5 : buat kesimpulan, jika D ≤ Dα maka tidak ada perbedaan antara distribusi data yang sebenarnya dengan distribusi uniform.

6.5.1.2 Uji Chi Square

Salah satu cara pengujian hipotesis dari suatu nilai random berukuran n dari variabel X adalah uji Chi Square. Permasalahan yang dihadapi pada pengujian ini adalah menguji apakah frekuensi yang diobservasi memang konsisten dengan frekuensi teoritisnya. Tes ini biasanya digunakan untuk pengujian sample dengan ukuran besar ( > 30 sampel). Tes ini diawali dengan membuat interval kelas dari sejumlah n data ke dalam k kelas interval. Pembuatan kelas interval sesuai dengan aturan Sturgess, yaitu :

k = 1 + 3.322 log n dimana : k = jumlah kelas

(21)

Halaman 20 n = jumlah keseluruhan observasi yang terdapat dalam

data.

Langkah selanjutnya adalah menentukan lebar kelas, yaitu : i = ^{(𝑡−𝑟)}

𝑘

dimana : i = lebar interval kelas t = nilai tertinggi r = nilai terendah k = jumlah kelas

rumus yang digunakan untuk pengujian bilangan random dengan uji Chi Square ini adalah :

𝜒² = ^(𝑂^𝑖^{− 𝐸}^𝑖⁾²

𝐸𝑖

dimana : Oi = frekuensi observasi

Ei = frekuensi harapan dari interval kelas

6.5.2 Uji Independensi

6.5.2.1 Uji run up dan run down

Jika N adalah jumlah bilangan random dan a adalah jumlah perubahan run, maka rumus rataan dan variansi-nya adalah :

𝜇

_𝑎

=

^2𝑁−1

3

dan

𝜎

_𝑎²

=

^16𝑁−29

90

untuk N > 20, distribusi dari a mendekati distribusi normal. Jadi rumus untuk Z hitungnya dapat dihitung melalui :

𝑍

₀

=

^{𝛼 −𝜇}^𝑎

𝜎_𝑎

(22)

Halaman 21 contoh :

Berdasarkan uji runs up dan runs down tentukan bahwa 40 data berikut ditolak atau diterima berdasarkan independensi hipotesis, jika diketahui α = 0.05.

0.41 0.68 0.89 0.94 0.74 0.91 0.55 0.62 0.36 0.27 0.19 0.72 0.75 0.08 0.54 0.02 0.01 0.36 0.16 0.28 0.18 0.01 0.95 0.69 0.18 0.47 0.23 0.32 0.82 0.53 0.31 0.42 0.73 0.04 0.83 0.45 0.13 0.57 0.63 0.29

urutan dari runs up dan runs dowm adalah:

+ + + + - + - + - -

- + + - + - - + - +

- - + - - + - + + -

- + + - + - - + + -

bisa dilihat bahwa banyaknya run (perubahan dari + ke – atau sebaliknya) adalah 26 perubahan. Dari sini bisa disimpulkan bahwa N = 40 dan a = 24

dari tabel normal didapat bahwa Z0.025 = 1.96, sehingga hipotesis independensi untuk data ini diterima.

6.5.2.2 Uji rataan run above dan run below

Uji ini hampir sama dengan uji runs up dan runs down, tetapi yang membedakan antara uji ini dengan uji runs up dan runs down adalah, nilai – diberikan untuk bilangan yang nilainya berada di bawah rata-rata dan nilai + diberikan untuk bilangan yang berada diatas nilai rata=rata. Rataan yang dimaksud adalah rataan untuk interval bilangan random misal : [(0.99+0.00)/2=0.495]. jadi untuk nilai –

(23)

Halaman 22 nilai yang berada di bawah nilai rataan ( 0.495) akan diberikan tanda -, begitu juga sebaliknya jika berada diatas nilai 0.495 akan diberikan tanda +.

Jumlah maksimum run/jumlah bilangan random : N = n1 + n2

Dengan n1 adalah above dan n2 adalah below. Dan b adalah total run, rumus rataan dan variansi adalah :

𝜇

_𝑏

=

^2𝑛¹^𝑛²

𝑁

+

¹

2

dan

𝜎

_𝑎²

=

^2𝑛¹^𝑛²^(2𝑛¹^𝑛²^−𝑁)

𝑁²(𝑁−1)

Adapun Z hitung : 𝑍

₀

=

^{𝑏 −𝜇}^𝑏

𝜎_𝑏

contoh :

Berdasarkan uji run above dan run below tentukan bahwa 40 data berikut ditolak atau diterima berdasarkan independensi hipotesis, jika diketahui = 0.05.

0.41 0.68 0.89 0.94 0.74 0.91 0.55 0.62 0.36 0.27 0.19 0.72 0.75 0.08 0.54 0.02 0.01 0.36 0.16 0.28 0.18 0.01 0.95 0.69 0.18 0.47 0.23 0.32 0.82 0.53 0.31 0.42 0.73 0.04 0.83 0.45 0.13 0.57 0.63 0.29 urutan dari runs up dan runs dowm adalah :

- + + + + + + + - -

- + + - + - - - - -

- - + + - - - - + +

- - + - + - - + + -

(24)

Halaman 23 dari sini diketahui bahwa :

n1 = 18

n2 = 22

N = n1+ n2 = 40

b = 17

𝜇

_𝑏

=

^2(18)(22)

40

+

¹

2

= 20.3

dan

𝜎

_𝑎²

=

2(18)(22)[2(18)(22)−40]

40²(40−1)

= 9.54

𝑍

₀

=

^17−20.3

√9.54

= -1.07

dari tabel normal didapat bahwa Z0.025 = 1.96, sehingga hipotesis independensi untuk data ini diterima.

6.6 Uji Distribusi Probabilitas

6.6.1 Fungsi Distribusi Probabiltas Diskrit

Sering lebih mudah bila semua peluang suatu variabel random X dinyatakan dalam suatu rumus. Jadi dapat ditulis f(x) = P(X =x). Himpunan pasangan (x,f(x)) disebut fungsi peluang atau distribusi peluang atau fungsi massa peluang variabel random diskrit X. Untuk setiap x ∈

dan ∑_𝑥𝑓(𝑥) -1 dengan Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random diskrit X dengan distribusi peluang f(x) dapat dinyatakan oleh : F(x) = P(X ≤ x) = ∑_𝑥𝑓(𝑡) )untuk - ~ < x < ~

Sedangkan distribusi dari variabel random diskrit adalah sebuah grafik, tabel atau rumus, yang menyatakan suatu probabilitas yang berhubungan dengan tiap nilai yang mungkin dari variabel random diskrit.

(25)

Halaman 24 6.6.2 Fungsi Distribusi Probabilitas Kontinyu

Jika ruang hasil dari variabel acak X merupakan bilangan dari interval yang tak berhingga , dimana banyaknya bilangan tak terhingga dan tak terbilang, maka X disebut sebagai variabel random kontinyu. X mengambil semua nilai antara 0 dan 1 atau interval 0<x<1. Berapakah p(x1) = P(X=x1), dimana 0<x<1 ?. Karena banyaknya titik antara selang 0 sampai 1 tak terbilang, kita tidak bisa mengatakan titik ke-i dari selang [0,1] dan P(X=x1) tidak mempunyai arti. Kita dapat mengganti fungsi p(x) yang ditentukan pada Rx yang terbilang dengan fungsi f(x) yang didefinisikan untuk setiap x dalam interval !(-~,~) dengan syarat :

1. f(x) ≥ 0 untuk setiap x dari selang 1 2. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑(𝑥) = 1

3. Untuk setiap a,b dengan -

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 _𝑎^𝑏 dalam hal ini f(x) dikenal sebagai fungsi kemungkinan Dari ketentuan diatas p(X = x0) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 _𝑎^𝑏 = 0 dan P(a < x < b) = P(a < x < b)

= P(a < x < b)

Distribusi probabilitas variabel kontinyu berupa kurva, dimana luas daerah dibawah kurva menunjukkan probabilitas tertentu. Karena total probabilitas adalah 1 maka luas maksimal dibawah kurva juga 1. Karena alasan kemudahan analisis, maka fungsi distribusi tersebut dibagi dalam kelas-kelas interval, hingga bentuknya di ubah seperti distribuasi Diskrit (bukan kurva).Untuk memudahkan dalam menentukan apakah suatu kejadian yang kita amati berdistribusi Diskrit atau Kontinyu, maka kita dapat menggunakan tips yang menyatakan “segala sesuatu yang berhubungan dengan pengambilan data dengan cara mengukur maka termasuk pada distribusi kontinyu, sedangkan yang menggunakan penghitungan dalam pengambilan datanya, maka termasuk dalam distribusi Diskrit.

(26)

Halaman 25 6.7 Metoda Penentuan Fungsi Distribusi yang sesuai

Dalam sebuah aktifitas sistem, tidaklah mudah untuk mengetahui fungsi distribusi populasi yang ada, untuk itu kita harus menaksir fungsi tersebut. Fungsi distribusi empiris menaksir fungsi sesungguhnya dari distribusi yang mendasarinya. Ada beberapa teknik untuk menentukan apakah sampel random berasal dari suatu fungsi distribusi yang ditentukan sebelumnya, antara lain : a). Metode Visual

Test “Chi-Square Goodness of Fit”

b). Metode “Heuristic”

Test “Liliefors”

Test “Kolmogorov-Smirnov”.

Pada kesempatan praktikum Delsim kali ini hanya akan dibahas mengenai tes chikuadrat untuk menentukan distribusi probabilitas. Untuk metode visual kita hanya membuat Histogram dari Distribusi frekuensi observasi yang kemudian dibandingkan dengan histogram distribusi probabilitas teoritis tertentu . Kita cari distribusi probabilitas teoritis yang paling sesuai dengan distribusi probabilitas observasi. Jika kedua grafik dianggap sama, maka distribusi probabilitas observasi dapat didekati dengan distribusi probabilitas teoritis yang telah ditentukan tersebut.

Test “Chi-Square Goodness of Fit”

Test “Goodness of Fit” pada prinsipnya menggunakan uji Chi-kuadrat untuk menguji apakah suatu distribusi data hasil observasi memiliki kecocokan dengan suatu distribusi teoritis, seperti distribusi normal, poisson, eksponensial, dan sebagainya. Jadi, misalnya ada sebuah sampel yang terdiri dari kumpulan data, akan diuji apakah distribusi data tersebut sesuai dengan salah satu distribusi frekuensi yang ditentukan. Untuk melakukan tes jenis ini, maka konsep tentang uji hipotesis sebaiknya telah dipahami dengan baik.

Sebelumnya kita menggunakan metode uji tersebut terlebih dahulu kita tentukan :

(27)

Halaman 26 Fx(0) : Merupakan probabilitas kumulatif dari distribusi teoritis

Fx(N) : Merupakan probabilitas kumulatif dari distribusi frekuensi pengamatan.

Selanjutnya untuk memudahkan penghitungan dalam uji kecocokan dengan metode Chi-Square maka Fx(0) dianggap sebagai probabilitas teoritis yang dilambangkan dengan EI dan Fx(N) dianggap sebagai probabilitas observasi yang dilambangkan dengan Oi.

Diketahui sebaran variabel random x1, x2,…, xn yang normal mempunyai rata - rata (x) = E(x) = 𝜇 dan keseragaman atau variansi (x) = 𝜎² . Variabel random normal demikian dapat diubah ke dalam bentuk standar dengan rumus :

𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎

Dengan rata - rata E(x) = 0 dan keragaman (x) = 𝜎² = 1.

Misalkan terdapat statistik 𝜒² = 𝑥₁² + 𝑥₂² + ⋯ + 𝑥_𝑛² , maka statistik ini mempunyai sebaran Chi - kuadrat (X²) dengan fungsi kepadatan :

Dengan n adalah jumlah variabel random independen yang dijumlahkan dan mempunyai derajat bebas sebesar n - 1.

Dalam pengujian tentang kecocokan atau disebut juga uji kompatibilitas, permasalahan yang dihadapi adalah mengujui apakah frekuensi yang diobservasi ( dihasilkan ) memang konsisten dengan frekuensi teoritisnya

( perencanaannya ) ? Apabila konsisten, maka tidak terdapat perbedaan nyata, dengan kata lain hipotesisnya dapat diterima.

Sebaliknya apabila tidak ada konsistensi, maka hipotesisnya ditolak. Artinya hipotesis teoritisnya tidak didukung oleh hasil observasinya. Rumus yang digunakan adalah :

(28)

Halaman 27 OI = frekuensi observasi ( hasil produksi ) dan

EI = frekuensi teoritis atau perencanaan produksi dengan derajat bebas

= n - k - 1

𝜒² merupakan ukuran perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi teoritis. Apabila tidak ada perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi teoritis, maka 𝜒²akan semakin besar pula. Nilai 𝜒²akan dievaluasi dengan sebaran Chi - kuadrat.

Prosedur pengujian hipotesis

dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1) Menyatakan H0 dan hipotesis alternatifnya, 2) Tentukan taraf nyata ( tingkat signifikansi ), 3) Tentukan statistik uji 𝜒²dan derajat bebasnya, 4) Tentukan daerah penolakannya,

5) Hitung 𝜒² dan tentukan ditolak atau diterima H0 – nya 6) Buatlah kesimpulannya

Contoh uji kecocokan

Hasil produksi ( OI ) dan prediksi produksi yang telah ditetapkan ( EI ) selama 7 bulan produksi suatu industri adalah sebagai berikut :

xi 1 2 3 4 5 6 7

Oi 120 125 115 130 110 115 125

Ei 120 120 120 120 120 120 120

Prosedur pengujian hipotesisnya dilakukan dengan langkah-langkah : 1) Menentukan hipotesis :

H0 : probabilitas semua kejadian sama ( hasil produksi sesuai dengan perencanaan), H1 : hasil produksi tidak sesuai dengan perencanaan

(29)

Halaman 28 2) Taraf nyata (α ) = 0,05

3) Statistik uji

Dengan derajat bebas = 7 - 1 = 6

4) Daerah penolakan dengan α = 0,05 menjadi : 𝜒² > 𝜒²(0.05,6) = 12.592

Hitungan :

5) Karena 2,500 < 12,592 maka H0 diterima

Dengan kata lain, barang yang dihasilkan oleh industri tersebut telah sesuai dengan apa yang telah direncanakan.

Pengujian Dalam Statistik Nonparametrik

Dalam pokok bahasan statistik nonparametrik dibahas sejumlah cara pengujian yang sama sekali tidak berdasarkan pengetahuan tentang distribusi populasi yang dibicarakan.

Kelebihan dari statistik nonparametrik antara lain :

Apabila asumsi dari distribusi sampelnya sangat lemah, maka statistik nonparametrik akan layak digunakan.

Karena kurang memadainya skala pengukuran, maka akan lebih baik apabila datanya diklasifikasikan saja dan uji yang mungkin terbaik untuk dilakukan adalah uji non parametrik. Apabila data yang dipunyai dapat dirangking atau dibuat peringkat, maka uji nonparametrik dapat digunakan.

Perhitungan yang diperlukan dalam uji nonparametrik sangat sederhana dan dapat dikerjakan dengan mudah dan cepat. Pada skala ordinal, datanya diberi peringkat menurut suatu urutan tertentu dan uji nonparametrikmenganalisis peringkat-peringkat tersebut.

(30)

Halaman 29 Sebagai contoh :

Dua mahasiswa diberi tugas untuk memberikan peringkat ( rangking ) pada empat model ( merk ) sepatu. Peringkat 1 diberikan pada model sepatu yang dianggap mempunyai kualitas tertinggi, peringkat 2 diberikan kepada model sepatu terbaik kedua dan seterusnya.

Uji nonparametrik dapat digunakan untuk menentukan adakah kesesuaian antara kedua mahasiswa tersebut dalam memberikan peringkat ?

Beberapa tipe data dalam ruang lingkup statistika :

 Data nominal ( data pilah )

Adalah data yang diklasifikan secara dipilah-pilah, misalnya jenis kelamin, agama, pekerjaan, jurusan kuliah

 Data ordinal ( data jenjang )

Adalah data yang mempunyai jenjang ( tingkatan ) akan tetapi jarak antara setiap jenjang ( tingkatan ) tidak sama.

 Data interval ( data selang )

Adalah data yang berbentuk jnjang dan jarak setiap jenjang adalah sama, akan tetapi jarak yang sama tidak diartikan mempunyai arti yang sama.

Sebagai contoh termometer, spidometer

 Data rasio

Merupakan data tentang ukuran suatu hal yang nyata, misalnya ukuran waktu, jarak, berat dan lain sebagainya.

6.8 VALIDASI MODEL 6.8.1. Pendahuluan

Tahapan lanjut dari simulasi setelah verifikasi model adalah validasi. Shanon (1975) dengan ringkas menggambarkan proses vali-dasi sebagai berikut:

(31)

Halaman 30

“ Satu pendekatan yang paling nyata dalam membantu proses validasi sistem yang telah ada adalah dengan membandingkan output dari sistem nyatanya dengan model.”

Langkah validasi ini juga merupakan langkah untuk mengawasi atau mengecek apakah model yang sudah diprogram itu asli, sudah sesuai dan benar.

Dua tujuan umum dalam validasi :

1. Menghasilkan suatu model yang representatif terhadap prilaku sistem nyatanya sedekat mungkn untuk dapat digunakan sebagai subtitusi dari sistem nyata dalam melakukan eksperimen tanpa mengganggu jalannya sistem.

2. Meningkatkan kredibilitas model, sehingga model dapat digunakan oleh para manajer dan para pengambil keputusan lainnya.

Tipe validasi model :

1. Validasi asumsi, model asumsi ini dibagi kedalam dua kelas, yaitu asumsi struktural dan asumsi data.

- Asumsi struktural meliputi pertanyaan-pertanyaan bagaimana sistem beroperasi dan asumsi ini juga melibatkan penyederhanaan dan penggambaran kenyaataan dari sistem. Sebagaian penulis memisahkan asumsi ini kedalam validasi proses.

Contoh :

 Jumlah teller pada suatu sistem bisa tetap dan bisa variabel

 Melakukan diskusi dengan orang yang paham betul dengan proses yang diamati, seperti para manajer.

- Asumsi data harus didasarkan pada penumpulan data yang reliabel/data terpercaya dan analisa statistik yang tepat dari suatu data.

2. Validasi Output (merupakan titik tekan pada bab ini), Cara yang paling mudah untuk melakukan validasi ini adalah dengan pendekatan visual.

Beberapa orang ahli mengamati dan membandingkan antara output model terhadap sistem riil. Metode lain yang sering digunakan adalah dengan pendekatan statisik.

(32)

Halaman 31 6.8.2 Teknik Validasi

Untuk melakukan validasi model apakah sesuai dengan sistem nyatanya dapat dilakukan dengan :

Keseragaman Data Hasil Simulasi

Sebagaimana pada validasi data input, maka pada data hasil simulasipun diadakan uji keseragaman data guna menentukan bahwa data setiap data simulasi memiliki deviasi yang normal atau tidak terlalu berbeda dari nilai rata-ratanya.

Hal ini dimaksudkan untuk mengetahui bahwa perilaku model sistem berada pada kondisi yang relatif tidak begitu memiliki fluktuasi. Bila perilaku model sangat fluktuatif, maka akan sulit bagi peneliti untuk menarik konklusi akan perilaku model sistem yang diamati. Rumus yang digunakan untuk penentuan batas kontrol :

1. Batas atas = BKA = X + k.SD 2. Batas Bawah = BKB = X - k.SD

Setelah diketahui sebaran dan hasil simulasi, maka dapat ditentukan interval kepercayaan untuk output hasil simulasi. Hal itu ditunjukkan oleh persamaan :

Y = Nilai Rata – Rata Parameter dari R kali Replikasi s = Nilai Standar Deviasi dari sampel nilai Parameter dari R kali replikasi

1- α = Uinterval Konvidensi (95%)

= Nilai fungsi dari distribusi student t dengan tingkat signifikansi dan derajat bebas R – 1. Kita gunakan pendekatan Distribusi Studen t jika yang diambil adalah kumpulan sampel sehingga variansi populasi tidak diketahui. ( jika variansi populasi tidak diketahui digunakan pendekatan distribusi student t..

(33)

Halaman 32 Uji Kesamaan Dua Rata-Rata

Uji kesamaan ini dimaksudkan untuk mengetahui perbandingan performansi antara sistem riil dengan model simulasi yang diterjemahkan dalam nilai jumlah rata-rata output dari dua populasi tersebut. Jika dalam uji didapat hasil bahwa kedua nilai rata-rata tidak berbeda secara signifikan, maka dapat disimpulkan bahwa model memiliki validitas yang cukup untuk parameter output rata – rata..

Karena yang akan diuji adalah kesamaan dua populasi, maka uji yang akan dilakukan adalah uji dua sisi.. dengan :

H0 : μ1 = μ2

: Rata-rata output sistem riil = rata-rata output model Simulasi H1 : μ1 ≠ μ2

: Rata-rata output sistem riil ≠ Rata-rata output model Simulasi

Untuk mencari t hitung digunakan rumus sebagai berikut : Rumus t hitung :

t hitung kemudian dibandingkan dengan t tabel N -1 adalah Derajat kebebasan

α adalah tingkat kepercayaan

Uji Kesamaan Dua Variansi

Dalam melakukan proses pengujian selisih maupun kesamaan dua ratarata, selalu diasumsikam bahwa kedua populasi memiliki variansi yang sama.

Agar hasil uji kesamaan dua rata rata yang dilakukan diatas benar, maka

(34)

Halaman 33 diperlukan sebuah kepastian bahwa asumsi tentang persamaam dua variansi terpenuhi. Misalnya kita mempunyai dua populasi normal dengan variansi 𝜎12

dan 𝜎22. Akan diuji dua pihak dalam kesamaannya, maka hipotesis ujinya adalah :

H0 : 𝜎12 = 𝜎22

H1 : 𝜎12 ≠ 𝜎22

Berdasarkan sampel acak yang independen maka diperoleh populasi satu dengan ukuran n1 dan variansi s12 sedangkan populasi dua dengan ukuran n2 dan variansi s22, maka untuk menguji hipotesisnya digunakan statistik uji : F =

𝑠1² 𝑠2².

Kriteria pengujian adalah menerima H0 jika

Dengan demikian F hitung berada dalam daerah penerimaan sebagaimana terlihat dalam gambar dibawah ini :

Daerah Penerimaan ujesamaan Variansi Sistem riil dan Uji Kecocokan Model Simulasi

Proses Validasi yang terakhir adalah menguji bahan antara hasil model simulasi memiliki kecocokan dengan dengan sistem riil yang diamati. Metode yang digunakan adalah uji Chi-Kuadrat. Disebut juga uji kecocokan atau disebut uji kompatibilitas, memiliki tujuan adalah menguji apakah frekuensi yang

2.1

f - Hitung

0

Daerah Penolakan Daerah Penolakan

rletak Daerah Penerima

kritis 6 1 1

(35)

Halaman 34 diobservasikan (dihasilkan) melalui model simulasi memang konsisten dengan frekuensi teoritisnya (sistem riil). Rumus yang digunakan adalah:

𝜒² = ∑(𝑂_𝑖− 𝐸_𝑖)² 𝐸_𝑖

0I = frekuensi observasi (hasil simulasi) dan

EI = frekuensi teoritis atau sistem riil dengan derajat bebas = n-1 𝜒² merupakan ukuran perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi teoritis. Apabila tidak ada perbedaan antar frekuensi observasi dengan frekuensi teoritis, maka 𝜒² akan semakin besar pula.

6.9 CONTOH STUDI KASUS (SIMULASI SISTEM PERSEDIAAN)

Pada simulasi kali ini kita mulai memasuki permasalahan seputar persediaan (Inventory), adapun pada sistem persediaan sendiri sudah digambarkan pada Gambar 2.11 . Dimana sistem persediaan merupakan sistem yang memiliki peninjauan berkala panjang N saat tingkat persediaan sudah diketahui.

Perintah tersebut dibuat untuk membawa tingkat persediaan sampai ketingkat M. Pada akhir periode dalam pertinjauan pertama kuantitas order di tempatkan menjadi Ql. Sedangkan dalam sistem persediaan istilah lead time yaitu panjang waktu antara penerimaan pesanan dengan pengiriman diakumulasikan adalah NOL. Dimana permintaan sendiri biasanya tdak diketahui secara pasti, sehingga jumlah pesansanan bersifat Probabilistik. Pada periode atau waktu tertentu permintaan telah terlihat menjadi seragam pada gambar 2.11, namun pada kenyataanya permintaan tersebut biasanya juga tidak seragam dan dia bersifat Fluktuatif dari waktu ke waktu. Kemungkinan semua permintaan yang ada akan terjadi pada awal waktu siklus, dan lainya juga memiliki Lead Time atau waktu tunggu yang acak dari beberapa proses yang ada.

(36)

Halaman 35 Terdapat catatan bahwa dalam siklus kedua memiliki jumlah persediaan yang kian menurun hingga diwah nol, maka hal tersebut menunjukan adanya kekurangan (Shortage) pada persediaan yang ada. Pada gambar 2.11 juga menggambarkan bahwa di beberapa unit terjadi Backorder atau tidak terpenuhinya perminntaan yang ada ketika pesanan dari konsumen terus menerus datang. Maka permintaan dari barang-barang yang tidak terpanuhi menjadi salah satu hal penting yang menjadi kepuasan pelanggan, dimana lebih baik untuk menghindar dari jenis-jenis kerugian seperti kekurang persediaan dan buffer perlu diselamatkan.

Mengambil persediaan dari Inventory seperti memiliki biaya berkaitan dengan Bunga yang dibayar atas dana pinjaman untuk membeli item tertentu, maka ini juga bisa menjadi bentuk kerugian dari tidak adanya dana yang tersedia untuk tujuan berinvestasi. Maka biaya yang lain dapat ditempatkan pada Ruang penyimpanan atau dengan menyewa penjaga dan lain-lain. Maka sebuah alternatif untuk menjaga persediaan yang banyak adalah dengan pembuatan catatan kegiatan asuk dan keluarnya barang, dan pada akhirnya bisa deiktahui barang- barang lebih sering dibeli atau menetap. Ini juga memiliki keterkaitan dengan biaya pemesanan juga, serta kelak akan ada biaya jangka pendek. Pelanggan bisa saja menjadi marah kerugian yang didapatkannya dikemudian hari, maka

(37)

Halaman 36 persediaan yang lebih besar bisa menguranggi kemungkinan kekurangan stock, serta biaya-biaya tersebut harus tetap berputar untuk diperdagangkan guna meminimalkan biaya total pada persediaan tersebut.

Dimana total biaya (total keuntungan) pada sistem persediaan atau inventoy adalah ukuran dari kinerja itu sendiri, dan itu dapat dipengaruhi oleh beberpa alternati kebijakan yang ada. Sebagai contoh pada gambar 2.11 pembuat keputusan dapat mengontrol tingkat maksimum dalam persediaan. Panjang siklis M dan N, serta apa efek serta perubahan bagi N yan Maka pada M, N dalam sistem persediaan, beberapa persitiwa yang banyak terjadi adalah permintaan untuk sebuah item atau barang dalam persediaan yang dilihat dari posisi persediaan itu sendiri diakhir periode. Seperti pada gambar yang ada 2.11 bahwa pada akhirnya dua peristiwa terjadi secara bersamaan memiliki berbagai macam biaya?

Maka pada M, N dalam sistem persediaan, beberapa persitiwa yang banyak terjadi adalah permintaan untuk sebuah item atau barang dalam persediaan yang dilihat dari posisi persediaan itu sendiri diakhir periode. Seperti pada gambar yang ada 2.11 bahwa pada akhirnya dua peristiwa terjadi secara bersamaan.

Dalam beberapa contoh lain berikutnya yaitu untuk menentukan beraapa banyak koran atau sebuah catatan tertulis untuk membeli hanya dalam jangka satu periode, serta yang lainya hanya satu rancangan yang dibuat. Persediaan yang tersisa pada jangka waktu tertentu bisa di catat atau dibuang. Dan masih banyak permasalahan dalam duania persediaan Inventory termasuk pada penyimpanan suku cadang, barang tahan lama, dan barang-barang khusus untuk musiman [Hadley dan Whitin, 1963].

Misalkan pada kasus ini yaitu perusahaan yang menjual lemari es. Sistem yang mereka gunakan untuk menjaga persediaannya yaitu dengan meninjau kondisi persediaan selama hari yang ditetapkan (sebut N) dan membuat keputusan mengenai apa yang harus dilakukan. Kebijakan yang dikeluarkan yaitu memesan lemari es hingga batas (sebut M), dengan menggunakan persamaan berikut :

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑚𝑒𝑠𝑎𝑛𝑎𝑛 = 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑚𝑒𝑠𝑎𝑛𝑎𝑛 − 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑖 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 + 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛