Peubah Acak. 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1

(1)

Peubah Acak

(2)

Definisi Peubah Acak

Peubah acak adalah peubah yang mengkarakterisasikan setiap elemen dalam ruang sampel dengan suatu bilangan real.

Misal:

9 Pelemparan sebuah dadu

X = nilai dari muka dadu ⇒ x = 1,2,…,6

S = {1,2,…,6}

P(X = 1) = P(X = 2) = … = P(X = 6) = 1/6

9 Suhu kota Bandung dalam bulan Agustus

X = nilai suhu ⇒ x = 22.0, …, 30.0 (sembarang, kontinyu ) S = [22.0, 30.0]

P(X < 28) = ? P(25 < X < 28) = ?

X : peubah acak

x : nilai diskrit yang mungkin dari masing-masing elemen P(X =

x

) : probabilitas X sama dengan

x

^.

Peubah acak dapat bersifat diskrit atau kontiyu

⇒ merepresentasikan setiap hasil eksperimen/pengukuran dengan suatu nilai real

(3)

Distribusi diskrit dan fungsi probabilitas

Jika ruang sampel terdiri dari sejumlah kemungkinan yang terbatas,

Misal:

Pelemparan sebuah dadu X = nilai dari muka dadu

⇒ x = 1,2,…,6

f(1) = P(X = 1) = 1/6

fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas dari peubah acak diskrit X adalah suatu set pasangan (x, f(x)), dimana f(x) = P(X = x)

( )

¹

x

f x =

∑

f(x) = P(X =

x

) 0 ≤ f(x) ≤ 1

rapat fungsi

(4)

Fungsi distribusi komulatif (jumlah) dari distribusi diskrit

Fungsi distribusi komulatif F(x) dari suatu peubah acak X dengan rapat fungsi f(x) adalah

( ) ( ) ( )

0 x

x

F x P X x f x

=

= ≤ = ∑

Contoh:

Sebuah dadu dilempar dua kali. Tentukan peubah acak, distribusi

probabilitas dan fungsi distribusi komulatif dari eksperimen tersebut !!!

( ) ( )

0

1

^x

x

P X x f x

=

≤ = − ∑

Jelas bahwa

(5)

Distribusi binomial

N kejadian independen dengan hanya ada 2 kemungkinan untuk setiap keluaran: ‘berhasil’ atau ‘gagal’ (Bernoulli Trial)

dimana p : probabilitas ‘berhasil’ (q=1-p : probabilitas ‘gagal’)

X = jumlah keberhasilan dalam N percobaan (peubah acak binomial) x = 1,2,…,N

Peluang muncul keluaran (dalam urutan tertentu), mis. ‘ssfsf’ adalah

Tetapi, jika urutan pemunculan tidak penting, maka ada

cara (permutasi) untuk mendapatkan x kali ‘berhasil’ dalam N percobaan.

(

^{; ,}

) ( )

ⁿ^! ^x

(

¹

)

^{n x}

f x n p = P X = x = p − p ⁻ Fungsi probabilitas untuk x kali ‘berhasil’ adalah

( ¹ ) ( ¹ )

^x

( ¹ )

^{N x}

pp − p p − p = p − p

⁻

(

^!

)

! !

N x N − x

(6)

Contoh:

Pelemparan koin dengan keluaran H dan T (p = q = 0.5) sebanyak 10 kali

(

^;10,0.5

)

¹⁰ ^x ¹⁰ ^x

f x p q

x

⎛ ⎞ −

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 2 4 6 8 10

0.1 0.2

0 0

1 0.01 2 0.04 3 0.12 4 0.21 5 0.25 6 0.21 7 0.12 8 0.04 9 0.01

10 0

(7)

( ) ( ) ( )

0 x

x

F x P X x f x

=

= ≤ = ∑

0 2 4 6 8 10

0.5 0 0 1

1 0.01 2 0.05 3 0.17 4 0.38 5 0.62 6 0.83 7 0.95 8 0.99

9 1

10 1

(8)

Pelemparan koin dengan keluaran H dan T (p = 0.2) sebanyak 10 kali

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.1

0.2

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5 1

(9)

Distribusi Binomial untuk berbagai variasi parameter

(10)

3 2 2 2 1 1 1 0 x

1

3

1 freq HHH

HHT THH HTH HTT THT TTH TTT Keluaran

Ruang sampel S = {HHH, HHT, HTT, TTT, TTH, THH, THT, dan HTH}

Contoh:

Pelemparan koin sebanyak 3 kali

Kemungkinan keluaran untuk setiap pelemparan:

heads = berhasil tails = gagal

1 0 1 2 3 4

2 4

H

(11)

Nilai ekspektasi (rata-rata) dan ukuran sebaran

peubah acak parameter

Nilai ekspektasi (rata-rata) dan standard deviasi (akar dari variansi):

( ) ( )

( ) ( ^{( )} ) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

0

2

2 2 1

Rata-rata ; ,

Deviasi standard 1

n

i i

i

n

i i

E X x f x n p np

x

E X E X np p

μ

μ σ

=

= = =

−

= − = = −

∑

( ^{; ,} ) ⁿ

^x ^{n x}

f x n p p q x

⎛ ⎞

−

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(12)

z Score. Quartile dan Percentile

z x μ

σ

= −

-3 -2 -1 0 1 2 3

Z Unusual

Values

Unusual Values Ordinary

Values

25% 25% 25% 25%

Q₃ Q₂

Q₁

(minimum) (maximum)

(median)

Quartile (Q)

Percentile (Q)

P

₂₅

= Q1

P

₅₀

= Q2

P

₇₅

= Q3

(13)

Peubah Acak

Kontinyu

(14)

Peubah acak kontinyu dan fungsi rapat probabilitas

Nilai dari peubah acak (X) atau keluaran dari eksperimen/pengukuran (x) bersifat kontinyu

⇒ f(x) = fungsi rapat probabilitas (probability density function (pdf))

Peluang menemukan keluaran lebih kecil atau sama dengan x adalah fungsi jumlah/ distribusi komulatif

(cumulative distribution function (cdf))

(15)

Kurva pdf dan cdf

Hubungan pdf dan cdf:

( ) ₌ ^∂ ^{F x} ( ) ( ) ⁼ ( ^≤ ) ⁼ ∫

^x

( )

(16)

Nilai ekspektasi (rata-rata)

Untuk fungsi y(x) dengan pdf g(y),

Variansi:

Deviasi standard: (σ ~ lebar dari pdf)

~ “centre of gravity” of pdf

( ) ( )

E X = = μ ∫ x f x dx

(17)

Distribusi Normal (Gaussian)

Kasus khusus:

μ

^{= 0,}

σ

² ^{= 1}

(‘standard Gaussian’, tersedia dalam bentuk tabel ):

binomial (diskrit)

normal (Gaussian) (kontinyu)

(18)

Tabel Distribusi Normal Standard (P(Z ≤ z)) dan Pemakaiannya

P(Z ≤ -3.00) = 0.0013

P(Z ≤ -2.59) = 0.0048 P(Z ≤ 1.31) = 0. 9049

0 1.58

Luas = 0.4429

P(Z ≤ 1.31) = 0.9049

z

Luas = 0.5 - 0.9049 P(Z ≥ 1.31) = 0.0951

(19)

Probabilitas dan luas di bawah kurva

0.5 + P(Z ≤ z)

0.5

x x

Add

P(z > a)

P (z ≤ a)

0.5 - P(Z ≤ z)

P(Z ≤ z) 0.5 + P(Z ≤ z)

? ?

(20)

Arti dari σ

(21)

The Central Limit Theorem

Fungsi Gaussian memiliki sifat yang unik, yakni hasil penjumlahan dua atau lebih fungsi Gaussian akan merupakan fungsi Gaussian juga. Sehingga suatu fungsi Gaussian dapat dipandang sebagai hasil penjumlahan dari beberapa sumber yang juga merupakan fungsi Gaussian.

Untuk sejumlah n peubah acak x_i yang terpisah dengan variansi σ_i²,

Dalam batas limit n → ∞, y adalah fungsi Gaussian dengan

(22)

Beberapa macam distribusi probabilitas lainnya

Distribusi/pdf Contoh penggunaan Binomial

Multinomial Poisson

Uniform

Exponential

Gaussian

Chi-square

Cauchy

Landau

(23)

Distribusi Multinomial

Seperti binomial tetapi dengan m (>2) keluaran

Jika dalam N percobaan: n₁ keluaran dengan p₁, n₂ keluaran dengan p₂,

…

n_m keluaran dengan p_m. Distribusi probabilitas multinomial untuk

(24)

Distribusi Uniform

Tinjau peubah acak kontinyu x dengan -∞ < x < ∞. Pdf uniform:

(25)

Distribusi Exponensial

Contoh: waktu paruh dari suatu partikel meta-stabil

( τ = waktu paruh rata-rata)

(26)

Distribusi Poisson

Tinjau kasus binomial dengan batasan limit

→ fungsi distribusi akan memiliki bentuk distribusi Poisson:

(27)

Distribusi Chi-square ( χ

²

)

Untuk peubah acak kontinyu z (z ≥ 0):

n = 1, 2, ... = derajad kebebasan

Untuk fungsi Gaussian yang terpisah (independent) dari x_i, Distribusi ini sering dipakai untuk menilai

hasil fitting dengan metoda kuadrat terkecil (least squares)

(28)

Fungsi probabilitas lainnya

Jika keluaran eksperimen ternyata bergantung dari beberapa peubah acak diskrit, mis. X dan Y, pdf-nya didefinisikan sebagai

→ joint pdf

^{f x y} ( ) ^, ⁼ ^{P X} ⁽ ⁼ ^{x Y} ^, ⁼ ^y ⁾

dengan sifat-sifat:

( )

^, ⁰

f x y ≥

untuk semua (x,y)

( )

^, ¹

x y

f x y =

∑∑

Untuk peubah acak kontinyu, mis. X dan Y, pdf-nya didefinisikan sebagai

→ joint pdf

∫∫ f x y dx dy ( ) ^, = P x ⁽ ≤ X ≤ + x dx y ^, ≤ ≤ + Y y dy ⁾

dengan sifat-sifat:

( )

^, ⁰

f x y ≥

untuk semua (x,y)

( )

^, ¹

f x y

∞ ∞

−∞ −∞ =

∫ ∫

(29)

Pdf marginal, independen, dan bersyarat

Jika diinginkan pdf hanya salah satu peubah acak, X atau Y,

→ pdf marginal

→ pdf bersyarat Jika X dan Y independen

( ) ( ) ^,

g x

^∞

f x y dy

= ∫

−∞

^{h y} ^{( )} = ∫

−∞^∞

^{f x y dx} ^{( )} ^,

( ) ^, ( ) ( )

f x y = g x h y

Jika X dan Y tidak independen

( ) ( )

→ pdf independen

Peubah Acak. 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1

Peubah Acak

Definisi Peubah Acak

x

x

Distribusi diskrit dan fungsi probabilitas

( )

∑

x

Fungsi distribusi komulatif (jumlah) dari distribusi diskrit

( ) ( ) ( )

F x P X x f x

= ≤ = ∑

( ) ( )

1

P X x f x

≤ = − ∑

Distribusi binomial

(

) ( )

(

)

( 1 ) ( 1 )

( 1 )

pp − p p − p = p − p

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

F x P X x f x

= ≤ = ∑

( ) ( )

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

Rata-rata ; ,

Deviasi standard 1

E X x f x n p np

x

E X E X np p

μ

μ σ

= = =

−

= − = = −

∑

∑

( ; , ) n

f x n p p q x

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

z Score. Quartile dan Percentile

z x μ

σ

= −

Quartile (Q)

Percentile (Q)

P

= Q1

P

= Q2

P

= Q3

Peubah Acak

Kontinyu

Peubah acak kontinyu dan fungsi rapat probabilitas

Kurva pdf dan cdf

( ) = ∂ F x ( ) ( ) = ( ≤ ) = ∫

( )

Nilai ekspektasi (rata-rata)

( ) ( )

E X = = μ ∫ x f x dx

Distribusi Normal (Gaussian)

μ

σ

Probabilitas dan luas di bawah kurva

P(z > a)

P (z ≤ a)

? ?

Arti dari σ

( ¹ ) ( ¹ )

( ¹ )

( ) ( ^{( )} ) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( ^{; ,} ) ⁿ

( ) ₌ ^∂ ^{F x} ( ) ( ) ⁼ ( ^≤ ) ⁼ ∫

^{f x y} ( ) ^, ⁼ ^{P X} ⁽ ⁼ ^{x Y} ^, ⁼ ^y ⁾

∫∫ f x y dx dy ( ) ^, = P x ⁽ ≤ X ≤ + x dx y ^, ≤ ≤ + Y y dy ⁾

( ) ( ) ^,

^{h y} ^{( )} = ∫

^{f x y dx} ^{( )} ^,

( ) ^, ( ) ( )