Fungsi Analitik (Bagian Pertama)

Fungsi Analitik (Bagian Pertama)

Supama

Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA

Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV)

Outline

1 Fungsi Variabel Kompleks

2 Pemetaan/Transformasi/Mappings

3 Limit Fungsi

Fungsi Variabel Kompleks

Di dalam kuliah kalkulus telah disampaikan pengertian fungsi. Misalkan A, dan B himpunan tak kosong. Relasi f dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap x ∈ A terdapat dengan tunggal y ∈ B sehingga y = f (x ).

Diberikan himpunan A ⊂ C. Fungsi f yang didefinisikan pada A adalah suatu aturan yang memasangkan setiap z ∈ A dengan w ∈ C. Dalam hal ini, bilangan kompleks w disebut nilai fungsi f di titik z, dan ditulis f (z). Jadi,

w = f (z) Fungsi f dari A ⊂ C ke C dinotasikan

f : A → C

Fungsi Variabel Kompleks

Diberikan fungsi kompleks f : A ⊂ C → C

Himpunan A disebut domain definisi (daerah definisi).

Di dalam fungsi variabel kompleks, perlu dibedakan antara pengertian domain dan domain definisi. Domain definisi suatu fungsi belum tentu merupakan domain.

Apabila domain definisi suatu fungsi f tidak disebutkan secara eksplisit, maka disepakati bahwa sebagai domain definisi adalah himpunan terbesar di dalam C sehingga fungsi f terdefinisikan pada himpunan tersebut.

Sebagai contoh, apabila f (z) = _z−1¹ , maka domain definisi f adalah {z ∈ C : z 6= 1}.

Selanjutnya, domain definisi fungsi f dinotasikan dengan D_f.

Fungsi Variabel Kompleks

Diberikan fungsi f dan z ∈ D_f dengan z = x + iy . Misalkan nilai f di z adalah w , yaitu

f (z) = w

Apabila w = u + iv , maka dapat dituliskan f (x + iy ) = u + iv

Dari persamaan di atas dapat dipahami bahwa u dan v masing-masing ditentukan oleh pasangan variabel real (x , y ). Atau dengan kata lain

u = u(x , y ) dan v = v (x , y ) Jadi,

f (z) = u(x , y ) + iv (x , y ) (1)

Fungsi Variabel Kompleks

Dari persamaan (1) dapat dilihat adanya keterkaitan antara fungsi variabel kompleks dan fungsi 2 variabel real (x , y ).

Secara sama, tentunya f (z) dapat pula dikaitkan dengan fungsi 2 perubah real (r , θ), yaitu

f (z) = f (r (cos θ + i sin θ)) = u(r , θ) + iv (r , θ) (2)

Example

Jika f (z) = z + z + i|z|, maka f (z) = 2x + ip

x²+y². Jadi, u(x , y ) = 2x dan v (x , y ) =p

x²+y² Example

Tentukan u(r , θ) dan v (r , θ) jika diketahui f (z) = ^z2_z⁻¹.

Fungsi Variabel Kompleks

Berbeda halnya dengan fungsi variabel real yang bernilai tunggal, maka fungsi variabel kompleks dapat bernilai tidak tunggal. Tentunya hal ini mudah dipahami, mengingat f (z) = z¹⁴ bernilai empat untuk setiap 0 6= z ∈ C.

Jika n ∈ N dan c₀,c₁,c₂, . . . ,c_nmasing-masing konstanta kompleks dengan c₀6= 0, maka

P_n(z) = c₀zⁿ+c₁zⁿ⁻¹+ . . . +c_n−1z + c_n disebut fungsi suku banyak (polinomial) berderajat n.

Hasil bagi dua fungsi suku banyak disebut fungsi pecah rasional.

Pemetaan/Transformasi/Mappings

Seringkali fungsi variabel real dan bernilai real disajikan dengan suatu grafik pada suatu bidang datar.

Hal ini tidak dapat dilakukan untuk fungsi variabel kompleks dengan rumus w = f (z), mengingat w dan z keduanya berada di dalam bidang datar (bukan garis).

Pada dasarnya, fungsi f dengan rumus w = f (z) dapat digambarkan dengan cara memasangkan setiap z = (x , y ) di dalam domain definisinya dengan suatu titik

f (z) = (u, v ).

Untuk lebih mempermudah penyajian, pada umumnya diperlukan 2 bidang kompleks, yang pertama disebut bidang-z dan yang kedua dinamakan bidang-w, meskipun untuk fungsi-fungsi yang cukup sederhana dapat

digunakan satu bidang kompleks saja.

Beberapa Contoh

Example

Diketahui f (z) = z + ¯z + iz ¯z. Gambarkan f (L) jika (a) L = {z : |z| = 1}.

(b) L = {z : |z| = 2}.

Example

Gambarkan bayangan bidang kompleks Z oleh pemataan f (z) = |z|²+i(z + z).

Limit Fungsi

Diberikan fungsi f dengan domain definisi D_f dan z₀titik limit D_f. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk z mendekati z₀, ditulis

z→zlim₀f (z) = L

jika untuk setiap z yang cukup dekat dengan z₀tetapi z 6= z₀berakibat f (z) cukup dekat dengan L.

Dalam bahasa matematika, limz→z₀f (z) = L jika untuk setiap bilangan real  > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ D_f dengan 0 < |z − z₀| < δ berakibat

|f (z) − L| < 

Limit Fungsi

Apabila z₀=x₀+iy₀, maka dengan mengingat pengertian nilai mutlak, definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai berikut: lim_z→z0f (z) = L jika untuk setiap bilangan real

 >0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z = x + iy ∈ D_f dengan 0 <p

(x − x₀)²+ (y − y₀)²< δ berakibat

|f (z) − L| < 

Sifat-sifat limit diberikan dalam beberapa teorema berikut.

Theorem

Jika lim_z→z0f (z) ada, maka nilainya tunggal.

Sebagai akibat langsung Teorema di atas, jika nilai lim_z→z0f (z) tidak tunggal, maka lim_z→z0f (z) tidak ada.

Limit Fungsi

Seperti telah diterangkan dalam kuliah Kalkulus, dalam hitung limit fungsi real hanya ada satu limit kiri dan satu limit kanan. Hal ini mudah dimengerti, karena persekitaran titik x₀hanyalah berupa suatu penggal garis (selang).

Akibatnya, apabila limx →x₀f (x ) tidak ada (dan bukan limit semu), maka untuk menunjukkannya cukup mudah dan sederhana, yaitu dengan cara menunjukkan limit kiri tidak sama dengan limit kanan, yang artinya nilai limx →x₀f (x ) tidak tunggal.

Sementara, di dalam bidang kompleks persekitaran suatu titik z₀tidak lagi berupa penggal garis, tetapi berupa suatu lingkaran. Akibatnya, konsep limit kiri dan limit kanan menjadi tidak sesederhana konsep tersebut di dalam kalkulus fungsi real.

Limit Fungsi

Berangkat dari konsep limit satu arah, kontraposisi Teorema ketunggalan limit dapat diklarifikasi dengan menggunakan pengertian limit fungsi sepanjang suatu kurva.

Diberikan fungsi f dengan domain definisi D_f, z₀titik limit D_f, dan kurva K yang melalui z₀. Limit f (z) untuk z mendekati z₀di sepanjang kurva K dikatakan sama dengan L, ditulis

z→zlim₀,z∈Kf (z) = L

jika untuk setiap bilangan real  > 0 terdapat bilangan δ >0 sehingga untuk setiap z ∈ K dengan 0 < |z − z₀| < δ berakibat

|f (z) − L| < 

Limit Fungsi

Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi tersebut dan Teorema sebelumnya diperoleh pernyataan sebagai berikut.

Theorem

Jika limz→z₀f (z) ada, maka untuk setiap pasang kurva K₁,K₂⊂ D_f yang melalui z₀, lim_{z→z0,z∈K1}f (z) dan lim_{z→z0,z∈K2}f (z) keduanya ada dan

z→zlim₀,z∈K₁f (z) = lim

z→z₀,z∈K₂f (z)

Limit Fungsi

Sebagai akibat langsung, diperoleh:

Corollary

Jika ada kurva K₁,K₂⊂ D_f yang melalui z₀sehingga

z→zlim₀,z∈K₁f (z) 6= lim

z→z₀,z∈K₂f (z) maka lim_z→z0f (z) tidak ada.

Contoh

Example

Jika f (z) = _x2^2xy+2y² +i^(y_(x²2^−1)(x+1)−2)(y +2, maka tunjukkan bahwa lim_z→0f (z) tidak ada.

Bukti: Jika K₁dan K₂masing-masing adalah kurva dengan persamaan y = 0 dan y = x , maka berturut-turut diperoleh:

i. lim_{z→0, z∈K1}f (z) = lim_{x →0} ^−(x+1)_{2(x −2)} = ¹₄.

ii. lim_{z→0, z∈K2}f (z) = lim_{x →0}(_x2^2x+2x^{2 2}) + (^(x(x −2)(x +2)^2−1)(x+1) = ¹₄) =

2 3+i¹₄.

Selanjutnya, dari (i) dan (ii), terbukti bahwa lim_z→0f (z) tidak ada.

Limit Fungsi

Teorema berikut ini menerangkan hubungan antara limit fungsi kompleks dengan limit fungsi real dua perubah.

Theorem

Jika diketahui f (z) = u(x , y ) + iv (x , y ), z₀=x₀+iy₀, dan L = A + iB, maka

z→zlim₀f (z) = L (3)

jika dan hanya jika

(x ,y )→(xlim₀,y₀)u(x , y ) = A dan lim

(x ,y )→(x₀,y₀)v (x , y ) = B (4) .

Contoh Example

Tentukan lim_z→1+i(z²+ ¹_z).

Penyelesaian: Terlebih dahulu dituliskan z²+1

z = (x²− y²+ x

x²+y²) +i(2xy − y x²+y²) Selanjutnya, karena

(x ,y )→(1,1)lim (x²− y²+ x

x²+y²) = 1 2, dan

(x ,y )→(1,1)lim (2xy − y

x²+y²) = 3 2 maka

z→1+ilim (z²+1 z) = 1

2 +i(3 2). 

Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut Lemma

Jika limz→z₀f (z) ada, maka terdapat r > 0 sehingga f (z) terbatas pada N(z₀,r ) ∩ D_f − {z0}.

Theorem

Jika lim_z→z0f (z) dan lim_z→z0g(z) keduanya ada dan c ∈ C, maka

i. lim_z→z0{f (z) + g(z)} ada, dan

z→zlim0

{f (z) + g(z)} = lim

z→z0

f (z) + lim

z→z0

g(z)

ii. lim_z→z0cf (z) ada, dan

z→zlim0

cf (z) = c lim

z→z0

f (z)

Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut

iii. lim_z→z0f (z)g(z) ada, dan

z→zlim0

f (z)g(z) = lim

z→z0

f (z) lim

z→z0

g(z)

iv. limz→z₀ f (z)

g(z) ada, dan

z→zlim₀ f (z)

g(z) = lim_z→z0f (z)

lim_z→z0g(z), asal lim

z→z₀g(z) 6= 0

Theorem

Jika P_n(z) = c₀zⁿ+c₁zⁿ⁻¹+c₂zⁿ⁻²+ . . . +c_n, maka

z→zlim0

P_n(z) = P_n(z₀)