SUMMABILITAS CESARO PADA OPERASI DERET DIVERGEN. Sangadji* 1

SUMMABILITAS CESARO PADA OPERASI DERET DIVERGEN Sangadji*1

ABSTRAK

SUMMABILITAS CESARO PADA OPERASI DERET DIVERGEN. Banyak orang suka membicarakan tentang deret konvergen, tetapi hanya sedikit dari mereka yang suka membicarakan tentang deret divergen. Hal ini disebabkan deret divergen tidak mempunyai sifat-sifat fundamental yang baik seperti pada deret konvergen, dan pustaka tentang operasi pada deret divergen sangat sedikit. Terdapat beberapa cara untuk memahami operasi pada deret divergen, misalnya Summabilitas Cesaro dan Summabilitas Abel. Makalah ini membahas metode untuk memahami summabilitas deret divergen yang diberi nama Summabilitas Cesaro.

Kata-kata kunci: deret divergen, summabilitas deret divergen, summabilitas Cesaro.

ABSTRACT

CESARO SUMMABILITY ON DIVERGENT SERIES OPERATION. Most people like to discuss about operations on convergent series, but only few of them like to discuss operations on divergent series. This happens since divergent series do not have nice fundamental properties like those of convergent series, as well as the literature of operations on divergent series is very little. There are some methods to understand operations on divergent series, e.g. Cesaro Summability and Abel Summability. This paper discusses a method to understand operations on divergent series named Cesaro Summability, as well as some examples of its applications.

Keywords: divergent series, divergent series summability, Cesaro summability.

TUJUAN DAN MANFAAT

Mempelajari sifat-sifat deret divergen dan memformulasikan jumlah dari deret divergen sebagai perluasan dari jumlah deret konvergen.

PENELITIAN TERKAIT

Jumlah dari dari deret divergen 1+2+3+m=−1/12 tercantum dalam artikel Dr. Berry

”Singular Limits” yang diterbitkan pada jurnal ilmiah Journal Physics Today, Mei 2002. Deret alternating 1−1+1−m=1/2 dapat dibuktikan dengan Jumlahan (dari Summability) Cesaro.

PENDAHULUAN

Kita semua tahu bahwa deret

∑

∞ =0 n n a konvergen bila

_∑

= ∞ → N n n N a 0

lim eksis and dan berhingga.

Sebagai contoh, kita ambil deret

m + + + + + 16 1 8 1 4 1 2 1 1 . (1) dan . 5 1 4 1 3 1 2 1 1− + − + −m (2)

Kedua deret tersebut berturut-turut konvergen ke 2 dan ln2. Yang pertama adalah deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio ½, sedangkan deret ke dua adalah deret harmonik alternating. Untuk deret yang kedua, kita dapat menggunakan deret MacLaurin 1 1 , 4 3 2 | 1 | ln 4 3 2 ≤ < − + − + − = +x x x x x m x . (3)

dan mengambil x=1.Bila deret

∑

a

_n tidak konvergen, maka deret tersebut dikatakan divergen. Dua contoh popular deret divergen adalah

m − + − + −1 1 1 1 1 . (4) dan . 5 4 3 2 1+ + + + +m (5)

Deret (4) adalah divergen karena jumlah-jumlah parsialnya tidak mempunyai limit, meskipun 0 lim ₂ = ∞ → N N s dan lim→∞ 2N−1 =1 N s dengan _. 1

∑

₌ = N n n N a

s Jelas bahwa nilai rata-rata dari

jumlah-jumlah parsialnya adalah ½.

Terdapat dua cara untuk memahami deret s=1−1+1−1+m. Pertama adalah dengan manipulasi sederhana:

, 1 1 1 1 ) 1 1 1 1 ( 1 1−s = − − + − +m = − + − +m=s sehingga2s=1atau 2 / 1 = s .

Kedua dengan “jumlah” deret geometri alternating: _.

2 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 + = = + − + − _→− x x 

Deret (5) adalah divergen karena jumlah-jumlah parsialnya mempunyai limit jumlah

.

∞

+

Misalkan V menunjukkan ruang vektor real yang memuat semua barisan dari

bilangan-bilangan real

(

a

_n

),

dan misalkan W ⊂Vadalah ruang vektor bagian dari barisan-barisan yang konvergen. Jadi kita dapat memikirkan suatu operator

∑

:W→R

Sebagai operator yang didefinisikan dengan

( )

_{( ) .}

1

∑

∑

= ∞₌ n n n a

a Dalam rangka mencoba

untuk mencari generalisasi dari gagasan “jumlah” ke deret divergen, kita akan memperluas operator linear

∑

ke ruang vektor bagian V'⊂V yang memuat W sebagai himpunan bagian sejati.

JUMLAHAN CESARO

Jumlahan Cesaro memformulasikan bahwa 1−1+1−=1/2, di mana nilai ini sebagai nilai rata-rata dari jumlah-jumlah parsialnya. Untuk mengklarifikasi ini, misalkan

(

a

n

)

adalah barisan sembarang dari bilangan-bilangan real dan sebagai biasanya ambil

s

_N

=

a

₁

+

a

₂

+



+

a

_N.Ambil

V

_c.1 sebagai himpunan bagian dari V di mana: N s s s N N + + + ∞ →  2 1

lim eksis, dan definisikan fungsi

C

1

:

V

c.1

→

R

dengan

( )

( )

lim 1 2 . 1 N s s s a C N N n + + + = ∞ → 

Tidaklah sulit untuk memperlihatkan bahwa

V

_c.1 adalah ruang vektor bagian dari V, bukan hanya sebagai himpunan bagian dari V. Untuk memperlihatkannya, jelas

V

_c.1 bukan himpunan kosong karena barisan nol berada dalam

V

_c.1. Misalkan

Ambil N N

a

a

a

s

=

1

+

2

+

m

+

and

t

N

=

b

1

+

b

2

+

m

+

b

N

.

Maka,

(

(

a

n

)

+

(

b

n

)

)

=

(

a

1

+

b

1

),

(

a

2

+

b

2

),

m

,

(

a

n

+

b

n

),

m

mempunyai jumlah-jumlah parsial

).

(

,

),

(

),

(

s

₁

+

t

₁

s

₂

+

t

₂

l

s

_N

+

t

_N Perlu dicacat bahwa

N s s s _N N + + + ∞ → m 2 1 lim dan N t t t _N N + + + ∞ → m 2 1

lim eksis dan

berhingga. Sehingga, N t t t N s s s N t s t s t s _N N N N N N N + + + + + + + = + + + + + + ∞ → ∞ → ∞ → m m m 1 2 1 2 2 2 1 1 lim lim ) ( ) ( ) ( lim

juga eksis dan berhingga karena setiap suku eksis dan berhingga. Jadi

(

(an)+(bn)

)

∈Vc,1.

If

α

bilangan real sembarang, maka

α

( )

a

_n

=

α

a

₁

,

α

a

₂

,

m

and

α

(

a

_n

)

mempunyai jumlah-jumlah parsial

α

s

1

,

α

s

2

,

l

,

α

s

N. Sedangkan N s s s N s s s N N N N + + + = + + + ∞ → ∞ → m m 1 2 2 1 lim

limα α α α juga eksis dan berhingga.

Jadi

(

α(an)

)

∈Vc,1.

Diperluas, misalkan bahwa

a

₁

+

a

₂

+

m

konvergen ke L, sedemikian sehingga untuk

ε

>0 sembarang, terdapatlah bilangan bulat positifN >0 sedmikian sehingga

L

−

s

_M

<

ε

untuk semua M > N.

( )

( )

. lim lim lim 2 1 2 1 2 1 2 1 1 k N s s s k N s s s k N s s s N s s s a C k N N N k k N N N N k N N n + + + = + + + + + + + = + + + = + + + ∞ → + + + ∞ → ∞ → m m m m

Tetapi karena

s

M

−

L

<

ε

for all M >N, kita peroleh juga

(

)

_{lim lim}

(

)

_, lim

ε

1

ε

ε

ε

= + + + ≤ + + + ≤ + − = − ∞ → + + ∞ → ∞ → _{N k} L L k k N s s k N L k L k k N N k k m

dan karena

ε

>0 adalah sembarang, hasil ini memperlihatkan

( )

( )

=

_∑

_≥1

1

a

n _n

a

n

C

sewaktu jumlah ini konvergen. Jadi, Vc,1 ⊃W and

C

1 W

|

=

∑

.

Jelas b bahwa

C

₁ adalah fungsi linear.

CONTOH APLIKASI

Pandang barisan

(

1

, -

1

,

1

, -

1

,

m

)

yang mempunyai jumlah-jumlah parsial

.

0

1







=

genap

N

bila

ganjil

N

bila

s

N

Sehingga diperoleh

s

1

+

s

2

+

m

+

s

N

=

[

(

N

+

1

)

/

2

]

.

Dengan definisi summabilitas Cesaro dan pengertian limit, hal ini berakibat bahwa

(

)

. N N N s s s , , -, , -C N N ₂ 1 ] 2 / ) 1 [( lim 1 1 1 1 1 2 1 = + = + + + = ∞ → m m

Menurut pembicaraan di atas, nilai rata-rata dari jumlah-jumlah parsialnya adalah juga ½. Dari hasil ini jelas bahwa

V

_c.1

⊃

W

sebagai himpunan bagian sejati.

Perlu dicatat bahwa barisan

(

1

,

2

,

3

,

4

,

m

)

mempunyai jumlah parsial

2

/

)

1

(

+

=

N

N

s

_N sehingga

C

₁

(

(

1

,

2

,

3

,

4

, ...

)

)

=

lim

_N→∞

(

N

+

1

)(

N

+

2

)

/

2

, yang tidak berhingga.

KESIMPULAN

1.

C

₁

( )

( )

a

_n

=

∑

_n≥1

a

_n sewaktu jumlah ini konvergen. Jadi, V_c,1 ⊃W dan jelas

C

₁ adalah fungsi linear.

2.

V

_c.1

⊃

W

dengan W sebagai himpunan sejati karena C

(

, - , , - ,

)

.

2 1 1 1 1 1 1 m =

3. Fungsi linear

C

₁tidak memperluas

∑

to V since

C

₁

(

(

1

,

2

,

3

,

4

, ...

)

)

tidak berhingga.

DAFTAR PUSTAKA

1. CAIS, BRYDEN, ”Divergent Series: Why

1

+

2

+

3

+

m

=

−

1

/

12

.

”,

http://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series

2. BARTLE ROBERT, G. and SHERBERT, DONALD, R., “Introduction to Real

Analysis Third Edition”, John Wiley & Sons, Inc. 2000.

3. FITZPATRICK, P.M., “Advanced Calculus”, Boston: PWS Publishing Company. 1996.

4. SPIEGEL, MURRAY R., “Theory and Problems of Advanced Mathematics for

DISKUSI NURDIN EFFENDI

Kenapa deret divergen yang tidak bermanfaat yang dibahas? Karena deret yang bermanfaat selama ini adalah deret yang konvergen.

SANGADJI

Memang ini masalah riset, jadi yang dibahas deret divergen.

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Nama : Drs. Sangadji, M.Sc., Ph.D.

Tempat & Tanggal Lahir : Solo, 16 Juni 1948

Pendidikan : S-1 Matematika UGM,

S-2 Matematika Univ. of Arizona , USA, 1988, S-3 Matematika Univ. of Montana, USA, 1997. Riwayat Pekerjaan : 1974 s.d. sekarang di BATAN

1999 s.d. sekarang UBINUS

Keanggotaan : Himpunan Matematika Indonesia

Kelompok : Analisis Geometri

Makalah : 1. Summabilitas Cesaro pada Operasi Deret Divergen