CHAPTER 1
EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
Indikator (penunjuk):
● Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya. (4 jp)
A.
EXPONENTS
1.
Definition (ketentuan): Positive Integers Exponents
a
n=
a x a x . . . x a x a x a
perkalian terdiri atas n buah faktor2. Rumus – rumus (Sifat – sifat) untuk Bilangan Berpangkat Bulat
Positif (Juga, berlaku untuk bilangan bulat negatif dan rasional)
Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilangan bulat positif maka berlaku: 1. apx aq =apq 2.
a
p:a
q=
a
p −q 3.
a
p
q=
a
p x q 4. (a x b)p = ap X bp 5.
a
b
p=
a
pb
p, untuk b ≠ 0
Do Exercise 1 on page 16 – 17
Selanjutnya, sifat eksponen
ap:
aq=
ap-qini akan digunakan
untuk memahami konsep pangkat bulat negatif. Sebagai ilustrasi,
misalnya:
Simplify a
3: a
5!
Answer:
■
dengan menggunakan sifat ke-2 tersebut :
a3: a5 = a3−5 = a−2
...(i)
■
dengan penulisan bentuk faktor-faktornya (definisi):
a
3: a
5=
a x a x a
a x a x a x a x a
=
1
a x a
=
1
a
2...(ii)
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa: a
−2=
1
a
2. (Jadi,
a −2adalah invers (kebalikan) dari a
2.
3. Definisi: Pangkat Bulat Negatif1
Misalkan
a Rdan
a ≠0(Sebab untuk a = 0 maka a
0= 0
0tidak
didefinisikan), maka a
−n=
1
a
natau a
n=
1
a
−nDo Exercise 2 on page 19
Exercise 1. 1:
1. Simplify and Write down in positive exponents
1.
5 p
−2q
3
−1pq
−12.
3
−5q
2q
−33.
6
2p
−2q
3
3p
−24. 2
−4a
2b
−9X 2
3a
−3b
45. 4 m
−3n
−2
2X m
−4n
4
−21 Bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan negatif, seperti
a
−2 , bukanlah merupakan bilangan berpangkat dalam arti yang sebenarnya. Mengapa? Sehingga bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan negatif sering disebut juga sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya.Indikator:
● Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya. (2 jp) B. Definisi Bentuk akar (The form of surds)
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional (terukur) yang hasilnya merupakan bilangan irasional (tidak terukur).
Bilangan rasional (terukur) adalah bilangan yang dapat di tulis dalam bentuk
a
b
, a , b B , b≠0
Manakah dari bentuk di bawah ini yang erupakan bentuk akar!
1.
6
2.
16
3.
34
Answer:
1.
6
, merupakan bentuk akar2.
16
, bukan bentuk akar, sebab
16
= 4 3.
34
merupakan bentuk akarC. Akar pangkat bilangan dan Pangkat Pecahan
Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan-bilangan real sehingga berlaku hubungan bn
=a maka b disebut akar pangkat n dari a, di tulis sebagai
b
n=
a
makab=
na
. (*) Sedangkan dari sifat
b
p
q = bp.q, diperoleh:b
n=
a
maka
b
n
1
n
=
a
1n =b=a
1n (**) Dari (*) dan (**) diperoleh kesimpulan bahwab=
n
a
danb=a
1n . Sehingga na
a
n1
=
Demikianlah! Selanjutnya, secara umum terdapathubungan n
a
m=
a
m n ataua
mn=
na
m Example 1.3:1. Write down in the form of
nam (nth root of a to the mth power / akarpangkat n dari a pangkat m)
a.
2
34 b.x
2
5 c.
y
5 6
2. Write down in the form of exponents, (the base 2)! a.
516
b.
34
c.
41
8
3. Write down in the form of
nam (nth root of a to the mth power / akarpangkat n dari a pangkat m)
a.
15
13 b.p
23 c.3
524. Write down in the form of exponents, (the base 2)!
a. 5
16
b.4
3
2
5. Write down in the form of exponents!
a.
c
b.
5p
4 c. 5
j
6 Answer: 1. a.2
34 =
423 b. c. 2. a. 5
16
=
52
4 =2
4 5 b. c.Catatan untuk n = 2 (akar pangkat 2), angka 2 biasanya tidak di tulis sehingga
2
a
m=
a
mExercise 1. 2:
Do Exercise 3 on page 22
Indikator:
● Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, dan akar (2 jp)
1. Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk
a
mn a.3
4
9
b. y−2 5
y11 Answer: 1. a.3
4
9
=3
4
3
2 = b. y−2 5
y11 =D. Operasi Aljabar pada bentuk akar
1. Menyederhanakan bentuk akar
Simplify! a.
8
b.
12
c.
18
Answer a.
8 =
4 . 2 =
4 .
2 = 2
2
b.
12 =
4 .3 =
4 .
3 = 2
3
c.
18 =
9 . 2 =
9.
2 = 3
2
2. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk penjumlahan dan pengurangan bentuk akar kita dapat gunakan distributif (perkalian terhadap penjumlahan), yaitu:
a b±c =ab±ac
atauab±ac=a b±c
Simplify!
a.
4
2 3
2
Example 1.5:
Example 1.6:
b.
7
5 − 4
5
c.3
35
3−2
3
d.4
3−
12
27
e.
125
5
45
Answer a.4
2 3
2
=43
2
=7
2
b.7
5 − 4
5
= ... = ... c.3
35
3−2
3
=35−2
3
= ... d.4
3−
12
27
= ... = ... e.
125
5
45
= ... = ... 3. Perkalian Bentuk AkarSimplify! 1. a.
3
x
5
b.
2
x
12
c.2
3
x4
6
2. a.
2 4
2−
6
b.
32−5
3
c.
5−1
52
d.
2−
3
2−5
3
Answer 1. a.
3
x
5
=
3 x 5
=
15
b.
2
x
12
=
2 .
2 . 6
=
2 .
2 .
6
=2
6
c.2
3
x4
6
=2 . 4
3 .
6
= 2. a.
2 4
2−
6
=4
2 .
2−
2 .
6
= ... b.
32−5
3
= ... c.
5−1
52
= ... d.
2−
3
2−5
3
= ... Example 1.8:Indikator:
● Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional (1 jp)
Hitunglah! 1.
16
12 +27
1 3 –49
1 2 2.27
23 –16
12 +25
32 3.
1
4
−3 216
5 4
1
8
−1 3 Answer 1.16
12 +27
13 –49
12 =4
2
1 2...
= ... = ... 2.27
23 –16
12 +25
32 = 33 2 3−... = ... = ... = ... 3.
1
4
−3 216
5 4
1
8
−1 3 = 2−2− 3 2... = ... = ... = ... Example 1.9:Indikator
● Merasionalkan penyebut pecahan (penyebut yang semula bentuk akar di
rasionalkan sehingga penyebut pecahan tersebut menjadi rasional) (3 jp)
E. Rationalizing the Denominator
1. Penyebut Berbentuk
b
Pecahan
a
b
dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan itu dengan
b
b
sehingga diperoleha
b
=
a
b
X
b
b
=
a
b
b
atau
a
b
b
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini!
a.
6
3
b.
5
2
c.12
18
d.
3
5
Answer a.6
3
=6
3
x
3
3
=6
3
3
=2
3
b.
5
2
= ... c.12
18
= ... d.
3
5
= ...2. Penyebut Pecahan berbentuk (
a
b
) atau (
a −
b
) Bentuka ±
b
, dan
a ±
b
adalah bukan bentuk rasional. Bentuk-bentuk tersebut apabila dikalikan dengan kawannya masing-masing maka akan menjadi rasional. Contoh:a
b
kawan daria −
b
Example 1.10:
a
b
kawan dari
a −
b
● (
a
b
) (a −
b
) =a
2−
a
ba
b−b
=a
2−
b
● (
a
b
) (
a −
b
) = ... = ...a. Pecahan
c
a
b
dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan itu dengan
a−
b
a−
b
sehingga diperolehc
a
b
=
c
a
b
X
a−
b
a−
b
=c
a−
b
a−b
b. Pecahanc
a−
b
dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan itu dengan
a
b
a
b
sehingga diperolehc
a−
b
=
c
a−
b
X
a
b
a
b
=c
a
b
a−b
c. Pecahanc
a−
b
dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan itu dengan ... ...... ... ... ...
d. Pecahan
c
a
b
dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan itu dengan ... ...... ... ... ...
Rationalize its denominator! Example 1.11:
1.
2
21
2.
3
3−2
3.
5
5−
3
4.
3−
2
3
2
5.
6
3
3
6.
52
5−
3
Answer 1.2
21
=2
21
x
2−1
2−1
=2
2−1
21
2−1
= ... =2
2−1
2−1
= ... =2
2−1
2.
3
3−2
=
3
3−2
x ...Exercise 1. 3:
Rangkuman
1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka
a
n=
a x a x . . . x a x a x a
perkalian terdiri atas n buah faktor
2. Untuk setiap bilangan real a,
a ≠0
, berlaku a.a
0=1
b.a
−n=
1
a
natau a
n=
1
a
−n3. Untuk m bilangan bulat, n bilangan asli, dan n≥2, serta
a
m n=
nam=
n a m4. Jika
a
danb
bilangan bulat serta,p
, danq
bilangan real maka berlaku: a.a
px a
q=
a
pq b. ap:aq=ap −q,a ≠0
c.
a
p
q=
a
p x q d. (a
xb
)p =a
p Xb
p e.
a
b
p=
a
pb
p, untuk b ≠ 0
5. Operasi Aljabar pada bentuk akar:
a. a
p±b
q=a±b
p
b.
p
x
q
=
pq
6. Pecahan dengan penyebut bentuk akar dapat di rasionalkan
penyebutnya.
a. Pecahan
a
b
di kalikan dengan
b
b
b. Pecahan
c
a±
b
di kalikan dengan
a∓
b
a∓
b
c. Pecahan
c
a±
b
di kalikan dengan
a∓
b
a∓
b
Latihan Ulangan-1
Exponents dan Bentuk Akar
Gunakan Buku “Pintar Matematika” untuk SMU Kelas 1, dari “Ganexa”!
1. Kerjakan Latihan 4 hal. 7 – 8 no: 1, 3, 5, 14, 16 dan no. 18
2. Kerjakan Latihan 5 hal. 10 no: 7, 9, 10, 11, 13, 14, 19, 20, dan no. 23
3. Kerjakan Latihan 6 hal. 12 no: 1. a,b, 2, a,b, dan no. 4.
Latihan Ulangan-2
Exponents dan Bentuk Akar
1. Simplify and write down in positive exponents
x
− 13.
y
−5
x
3.
1
y
5 2
2. Given that a = 81 and b = 125, evaluate
4
a
3 3
b
2!
3. Simplify 9
8−3
18
50
!
4. Rationalize its denominator
7
2
Indikator:
● Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.(2 jp)
F. Logarithms
Kita telah mempelajari exponents. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dapat ditentukan. Sebagai contoh:
a.
2
4=....
b. 53=...., and so on
Persoalannya, bagaimana jika pangkat bilangan itu yang di tanyakan! Sebagai contoh:
a.
2
...=32
b. 3...=81, and so on. Oleh Matematikakan, yang di awali pada akhir abad ke-17. Persoalan tersebut di tulis sebagai:
a.
2
...=32
, maka 2log 32=...
, dan nilai dari titik-titik tersebut adalah 5b. 3...=81, maka 3
log81=..., dan nilai dari titik-titik tersebut adalah 4 Dari pemaparan tersebut, memperlihatkan bahwa logaritma adalah invers dari exponents.
Definisi:
Jika a > 0, a ≠ 1 dan c > 0, maka:
a
b=
c≪−≫
alog c=b
Keterangan: a = bilangan pokok b = hasil logaritma
c = numerus (bilangan yang dicari logaritmanya)
UK 18 hal 37 no 1.a, 2.b, dan 3.c, buku paket
Exercise 1. 4:
1. Exercise 5 on page 28, number 1, 5, 6, 8, dan 15, bilungual. 2. UK 18 hal 37 selain no (1.a, 2.b, dan 3.c), buku paket Example 1.12:
Indikator
● Melakukan operasi aljabar dalam bentuk logaritma.
● Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat bentuk logaritma (4 jp)
Sifat-sifat:
Dari definisi dan contoh-contoh tersebut, diperoleh sifat-sifat: 1. i. alog a = 1 (Exercise 5 no ...)
ii. alog an = n (Exercise 5 no ...)
iii. alog 1 = 0 (Exercise 5 no ...)
iv.
a
alog x = x (Exercise 5 no ...) 2. alog xy = alog x + alog y3. alog
x
y
= alog x – alog y 4. i. alog x =b
log x
b
log a
, b ≠ 1, jika b = x, sifat 4.i menjadi: ii. alog x =1
x
log a
5. alog 1 = 0
6. alog x . xlog y = alog y
7. i. an
log x
m=
m
n
.
alog x
, jika m = n ii. anlog x
n=
n
n
.
alog x= log x
a Bukti:alog xy = alog x + alog y
Misalkan : x = ap maka alog .... = ....
y = aq maka alog .... = ....
Perhatikan : x . y = ap . aq
x . y = ap+q, maka alog (x.y) = p + q
Jadi alog xy = alog x + alog y
Bukti yang lain, dapat di pelajari pada buku-buku matematika (misal Buku “Pintar Matematika” dari Ganexa, yang tersedia di perpustakaan SMA N 1 Pemalang)
1. Tentukan nilai dari: a. 2log 2 b. ½ log ½ c. 7log 49 d. 13
log 3
e. 2log 1 f. 5log
5
g. 2log 4
h. 2log 2
2
i. 2log1
8
+ 2log 64 j. 3log1
9
+ 3log 27 k. 5log1
2
+ 5log 50 l. 6log 9 + 6log 4 m. log 8 + log 125 n. 2log 40 – 2log 10 o. 3log 54 – 3log 2 p. 3log 26 – 3log 78 q. 7log 98 – 7log 2 r. 7log 217 – 7log 31 s. log 0,04 – log 4 t. log 32 – log 16 + log 8 u. 2 log 25 – log 5 + log 8 Example 1.13:v. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20 w. ½ 2log 81 – 3 2log 3 + 2log 48
x. 3log 12 . 12log 9
2. Jika 2log 5 = p. Nyatakan logaritma-logaritma di bawah ini dalam p!
a. 2log 125
b. 5log 2
c. 16log 25
d. 125log 4
3. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b. Nyatakan logaritma-logaritma di bawah ini
dalam a atau b! a. 2log 5
b. 6log 15
c. 5log 4,5
4. Jika 4log 3 = p, 9log 8 = q dan 4log 6 = r, tentukan:
a. 4log 18
b. 2log 3
c. 3log 64
d. 16log 9
Exercise 1. 5:
1. Do Exercise 6 on page 30 number 1 – 19, and 21. 2. Do Exercise 7 on page 33 number 1 – 15
Indikator
● Membuktikan sifat-sifat sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan logaritma (pengayaan)
