BAB III FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

(1)

BAB III : FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA 13

BAB III

FORMULA PENENTUAN HARGA

OPSI ASIA

Pada Bab III ini akan dibahas mengenai opsi Asia dan analisisnya, di mana yang akan dibahas hanyalah beberapa tipe opsi Asia, dan terbatas pada jenis

European call saja. Jenis-jenis opsi Asia yang akan dibahas di sini antara

lain average value dan average strike option dengan rata-rata aritmatika kontinu, average value option dengan rata-rata geometrik, serta average

value option dengan rata-rata aritmatika diskrit. Pertama-tama, akan terlebih

dahulu didefinisikan apakah itu suatu Asian Option.

Asian Option adalah sebuah averaging options, yakni opsi yang payoffnya

bergantung pada suatu bentuk rata-rata dari harga underlying asset selama sebagian atau seluruh waktu berlakunya opsi tersebut. Fenomena payoff dari opsi jenis ini dinilai oleh sebagian pihak sangat menguntungkan, salah satu alasannya karena opsi jenis ini lebih aman dibandingkan vaniila option. Jika terjadi manipulasi harga aset menjelang maturity time, perubahan yang terjadi pada payoffnya (dibandingkan jika tidak terjadi manipulasi harga aset) tidak akan sebesar yang mungkin terjadi pada vanilla option.

Penentuan Harga Opsi Asia Riswan Harapan (10103024)

(2)

BAB III : FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

Berdasarkan jenis payoffnya, terdapat 2 kelas utama dari Asian Option, yakni (untuk jenis call option):

1. Average value call option, yaitu call option yang payoffnya berbentuk :

max (A−X, 0) (3.1)

2. Average strike call option, yaitu call option yang payoffnya berbentuk :

max ( ( )S T −A, 0) (3.2)

dengan A adalah suatu bentuk rata-rata harga saham.

Adapun bentuk rata-rata harga saham yang biasa digunakan antara lain: 1. Rata-rata aritmatika diskrit, yaitu

1 1 ( ) n i i A S t n = =

∑

(3.3)

2. Rata-rata geometrik diskrit, yaitu 1 1 ( ) n n i i A S t = ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣

∏

⎦ (3.4)

3. Rata-rata aritmatika kontinu, yaitu

2 1 2 1 1 ( ) T T A S t dt T T = −

∫

(3.5)

4. Rata-rata geometrik kontinu, yaitu

2 1 2 1 1 exp T ln ( ) T A S t dt T T ⎛ ⎞ = _⎜ − ⎝

∫

⎠⎟ (3.6)

3.1 Formulasi persamaan diferensial Asian Option

Persamaan diferensial Asian Option akan digunakan dalam menentukan harga beberapa tipe dari Asian Option, terutama pada jenis opsi yang tidak memiliki nilai eksak.

Pertama, misalkan rata-rata harga saham dituliskan dalam bentuk: ( , )

t o

A=

∫

f S τ τd (3.7) di mana f S( , )τ dipilih berdasarkan tipe rata-rata yang dipilih pada sebuah

Asian Option (perlu diketahui bahwa mendefinisikan f S( , )τ tidak selalu mudah untuk semua jenis opsi Asia). Harga sebuah opsi Asia merupakan Penentuan Harga Opsi Asia

Riswan Harapan (10103024)

(3)

sebuah fungsi terhadap waktu dan dua variabel, yaitu S (harga saham) dan A.

Berdasarkan teorema nilai rata-rata,

0 0 lim ( , ) lim ( , *) , * ( , ) t t t t t dA f S d f S dt t t f S t dt τ τ τ τ +Δ Δ → Δ → = = < =

∫

t < + Δ

sehingga dA bersifat deterministik. Oleh karena itu, hedging tanpa resiko yang ingin dilakukan pada Asian Option hanya membutuhkan eliminasi resiko dari resiko yang dikandung asset.

Misalkan terdapat sebuah portofolio yang terdiri dari sebuah Asian Option dan asset sebanyak −Δ. Nantinya kita akan memilih Δ sehingga unsur stokastik yang terdapat pada opsi dan juga pada asset akan saling menghilangkan.

Misalkan pergerakan harga asset mengikuti persamaan:

[

( , )

]

dS= μS−D S t dt+σSdZ, (3.8)

di mana :

- dZ adalah suatu gerak Brown standar,

- D(S,t) adalah dividen yang dihasilkan dari asset tersebut, - μ adalah ekspektasi dari rate of return, dan

- σ adalah volatilitas dari harga saham

Misalkan V S A t

(

, ,

)

adalah harga dari Asian Option dan Π adalah nilai dari portofolio yang telah dijelaskan di atas. Jadi, kita mempunyai

( , , ) V S A t t

Π = − Δ (3.9)

dan dengan menggunakan Lemma Ito, didapat

2 2 2 2 ( , ) ( , ) 2 V V V V d dt f S t dt dS S dt dS D S t dt t A S t σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∏ = + + + − Δ − Δ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.10)

(4)

Kemudian, akan dipilih V

S

∂ Δ =

∂ sehingga unsur stokastik dalam persamaan di atas (yakni yang mengandung unsur dS ) akan saling menghilangkan. Lalu, teorema non arbitrage menyatakan

dΠ = Πr dt, (3.11)

di mana adalah suku bunga. r

Dengan menggunakan persamaan (3.10) dan (3.11), akan didapat

2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) 2 V V V V V V V dt f S t dt dS S dt dS D S t dt r V S dt t A S t S S S σ ∂ ₊ ∂ ₊∂ ₊ ∂ ₋∂ ₋∂ ₌ ₋∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 2 V V V V f S t S D S t rV rS t A t S σ V S ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₋∂ ₌ ₋ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.12)

dan akhirnya dihasilkan persamaan umum untuk V S A t( , , ), yakni

[

]

2 2 2 2 ( , ) ( , ) 0 2 V V V V S rS D S t f S t rV t S S A σ ∂ ₊ ∂ ₊ ₋ ∂ ₊ ∂ ₋ ∂ ∂ ∂ ∂ = (3.13)

dimana kondisi untuk syarat batas maupun syarat awalnya bergantung pada sifat-sifat spesifik dari opsi tersebut.

3.2 Average Strike Asian Option dengan rata-rata aritmatika kontinu

Misalkan ada sebuah European call option dengan strike price , di mana adalah rata-rata harga underlying asset selama masa hidup ECO tersebut

[0,T], di mana diformulasikan sebagai:

X X X 0 0 1 ( ( ) dengan ( ) ( ) T t ) A T X S d T T A t S d τ τ τ τ = = =

∫

(3.14)

Jika kita mengasumsikan tidak ada pembayaran dividen pada saham tersebut, maka persamaan umum Asian Option pada persamaan (3.13)

dituliskan kembali menjadi

2 2 2 2 0 2 V V V V S rS S rV t S S A σ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₋ ∂ ∂ ∂ ∂ = (3.15)

(5)

Kemudian akan dicari syarat-syarat untuk persamaan diferensial di atas: 1. pada saat di-exercise, nilai opsi sama dengan nilai payoff , yakni

( ) ( , , ) max A T , 0 V S A T S T ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠

2. jika S →0, maka opsi tidak akan di-exercise, sehingga didapat

(0, , ) 0 V A t =

3. jika A→ ∞, maka opsi juga tidak akan di-exercise, sehingga didapat

lim ( , , ) 0

A→∞V S A t =

4. untuk S→ ∞, maka opsi hampir pasti akan di-exercise, dan karena

( ) ( , , ) A T V S A T S T = − , maka didapat lim ( , , ) 1 S V V S A t S →∞ ∂ = ∂

Pada persamaan (3.15), turunan parsial terhadap peubah acak A hanya terdapat sampai turunan pertama, sehingga syarat batas untuk A hanya dibutuhkan satu saja. Selain itu, persamaan dan syarat batas di atas bersifat homogen (dengan orde satu) terhadap S dan A, yang artinya

( ) ( , , ) max , 0 ( ) ( , , ) max , 0 ( ) max , 0 ( , , ) A T V S A T S T A T V S A T S T A T S V S T λ λ λ λ λ λ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟= ⎝ ⎠ A T

Dengan memanfaatkan sifat tersebut, kita dapat menuliskan ( , , ) ( , ), dengan S

V S A T AG y t y

A

= =

dan kita akan menemukan bahwa: 1. V A1 G S A y ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ∂ G y ∂ ∂

(6)

BAB III : FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA 2. V A G t t ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ 3. 2 2 2 2 1 G y V G S S A ⎛∂ ⎞ ∂ ⎜ _∂ ⎟ ∂ ₌ _⎝ _⎠ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂y 4. V G y G A y ∂ ∂ = − ∂ ∂

sehingga persamaan (3.15) bisa dituliskan kembali menjadi

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 G G G G y ry y G y rG t y y y G G G y ry y y r G t y y σ σ ⎛ ⎞ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₊ ₋ ∂ ₋ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ _⎝ ∂ _⎠ ∂ ₊ ∂ ₊ ₋ ∂ ₊ ₋ ₌ ∂ ∂ ∂ = (3.16)

dengan syarat batas untuk persamaan (3.16) adalah sebagai berikut: 1. G(0, )t =0 2. lim ( , ) 1, dan y→∞G y t = 3. G y T( , ) max y 1, 0 T ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠

Sebagai catatan, sifat-sifat di atas berlaku juga untuk tipe average value

option. Satu catatan lain, persamaan diferensial di atas tidak bisa diubah

menjadi persamaan dengan koefisien konstan (seperti persamaan Black-Scholes), sehingga sulit sekali untuk mencari solusi eksaknya, jadi yang mungkin dikerjakan adalah membuat aproksimasi dari solusinya (dengan pendekatan numerik).

3.3 Average Value Option dengan rata-rata aritmatika kontinu Misalkan ada sebuah European Call Options dengan payoffnya :

(

)

( , , ) max ( ) , 0

V S A T = A T −X (3.17)

di mana T merupakan waktu expiration, X adalah strike price, dan

0 0 0 1 ( ) t ( ) , 0 T A t S d T T T τ τ = −

∫

≤ < <t T (3.18)

(7)

di mana selang

[

adalah selang di mana nilai rata-rata harga saham diperhitungkan. Catat bahwa

]

,

o

T T

( )

A t merupakan rata-rata yang “sebenarnya” jika . Selain itu, kita masih mengasumsikan bahwa tidak ada dividen yang dibayarkan pada asset ini. Persamaan umum untuk Asian Option jenis ini adalah t=T 2 2 2 2 0 0 1 0 2 dengan 0, 0, V V V V S rS S rV t S S T T A S A T t T σ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + − ∂ ∂ ∂ − ∂ > > < < = (3.19)

Untuk menentukan nilai opsi ini, terdapat dua kemungkinan, yakni pada saat ini (t), berlaku A t( )≥ X atau berlaku A t( )<X . Selanjutnya terlebih dahulu akan dibahas bagaimana option pricing untuk kasus yang pertama.

Misalkan pada saat ini (yaitu pada saat t), berlakuA t( )≥X . Karena A t( ) merupakan fungsi naik, maka dapat dipastikan opsi akan di-exercise pada saat maturity time. Payoff pada saat tersebut dapat dituliskan menjadi:

0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) T t t T T t S d X S d X S d T T T T T T A t X S d T T T t τ τ τ τ τ τ − = − + − − − = − + −

∫

τ τ

∫

(3.20)

Payoff seperti di atas juga bisa didapatkan dengan menerapkan strategi self-financing duplicating portfolio. Misalkan seorang investor menginvestasikan

satuan uang ke suatu riskless bond sehingga pada saat t=T, dia akan memiliki uang sebanyak

(

_{A t}_{( )}−_{X e}

)

r T t( −)

( )

A t −X . Agar bisa menutupi resiko tersebut, ia harus mentransfer ke riskless bond sejumlah ( )

0 1 _{r T} e T T τ _τ − − _Δ −

buah asset setiap selang waktu

(

τ τ, + Δ terlewati. Sehingga untuk dari τ

)

waktu t hingga T, dibutuhkan asset (untuk ditransfer ke riskless bond) sebanyak :

(8)

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 1 1 1 1 1 buah. ( ) T _{r T} _{r T} T t t r T T r T t r T t e d e T T T T r e e r T T e r T T τ _τ τ − − − − − − − − − − = − − = − − − = −

∫

Dengan prinsip no-arbitrage, nilai opsi akan sama dengan nilai

self-financing portfolio di atas, yakni

( ) ( ) 0 1 ( , , ) ( ( ) ) , ( ) ( ) r T t r T t e V S A t A t X e S A t X r T T − − − − − = − + ≥ − (3.21) Untuk kasus yang kedua, misalkan ketika waktu saat ini (t),

berlakuA t( )<X . Persamaan yang berlaku untuk opsi dengan keadaan seperti ini adalah persamaan (3.19), di mana solusi eksaknya tidak dapat diselesaikan secara analitik. Nilai opsi ini dapat ditentukan dengan menggunakan komputasi (mungkin dengan metode beda hingga) dengan memanfaatkan syarat-syarat batas untuk persamaan (3.19).

Syarat-syarat tersebut adalah:

1. Jika , maka dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan (3.19), didapat 0 S→

(

)

(

( )

)

(0, , ) max ( ) r T t , 0 V A t = A t −X e− −

2. Jika S→ ∞, maka didapatkan

( ) 0 1 lim ( , , ) ( ) r T t S V e V S A t S r T − − →∞ ∂ ₌ − ∂ −T

3. Jika A=X, maka dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan (3.19), didapat ( ) 0 1 ( , , ) ( ) r T t e V S X t S r T T − − − = −

3.4 Average Value Option dengan rata-rata geometrik

Misalkan rata-rata geometrik untuk opsi jenis ini berlangsung pada selang waktu diskrit t_i = + ΔT₀ i t , i=1,2,...,ndengan Δ merupakan selang waktu t

(9)

uniform dan merupakan expiry time. Kemudian, rata-rata geometrik

yang diberlakukan di sini didefinisikan dengan

n t =T 1 1 ( ) , 1, 2,..., k k k i i G S t k = ⎡ ⎤ =_⎢ _⎥ = ⎣

∏

⎦ n (3.22)

Payoff pada saat terminal dari suatu European average value call option

dengan rata-rata geometrik diskrit diberikan oleh

max (G_n−X, 0) (3.23)

di mana merupakan strike price. Asumsikan juga pergerakan harga asset berdistribusi lognormal dengan variansi

X

2

σ , dan ratio harga asset 1 ( ) , 1, 2,..., ( ) i i i S t R i S t₋

= = n juga berdistribusi lognormal, di mana

2 2 ln ~ , 2 i R N⎛⎜⎜⎛r−σ ⎞_⎟Δt σ Δt⎞ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟⎟ (3.24)

dengan merupakan suku bunga. r

Perumusan penentuan harga opsi average value call Eropa bergantung pada letak nilai saat ini (t), yakni apakah berada sebelum “averaging period” atau berada di dalam “averaging period”. Averaging period adalah selang waktu di mana rata-rata geometrik ( ) diterapkan, misal

[

]

t t

k

G T T₀,

Pertama kali akan dibahas kasus di mana waktu saat ini berada sebelum

averaging period, yakni t< . Persamaan (3.22) dapat dituliskan kembali T₀

menjadi

( )

1 2 0 1 1 2 2 ( ) n n n n n n n S t S t S t S t G S t S t S t S t S t − − − 1 ⎧ _⎡ _⎤ _⎡ _⎤ ⎫ ⎪ ⎪ = _⎨ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ _⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ (3.25)

atau dalam bentuk logaritmanya:

( )

0

[

1 1 ln ln ln 2 ln ... ln ( ) n n n S t G

_]

1 R R n S t = S t +n + − + + R (3.26)

(10)

BAB III : FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA di mana

( )

1 ln _i ln n n S t R S t ₋ = Karena

( )

0 ln i , 1, 2,..., dan ln S t R i n S t

= berdistribusi normal dan juga saling

bebas, maka dapat disimpulkan bahwa ln ( )

n

G

S t berdistribusi normal dengan

rata-rata

(

)

(

)

(

2 2 2 0 0 1 1 1 2 2 2 2 n i n r T t r t i r T t T T n n σ σ σ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +

₎

0 ⎡ ⎤ − − + − Δ = − − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ ⎢} _⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

⎝ ⎠ (3.27) dan variansi

(

)

(

) (

)(

) (

)

2 2 2 2 0 2 0 2 1 1 2 1 1 . 6 n i n n T t t i T t T T n n σ σ σ = 0 ⎡ + + ⎤ − + Δ = _⎢ − + − _⎥ ⎣ ⎦

∑

(3.28)

Kemudian misalkan τ = − adalah time to expiry, jika ditulis T t

(

)(

_{) (}

2 2 0 2 1 2 1 1 6 G n n T T n σ τ σ τ= _⎨⎪⎧ − −⎡_⎢ + + ⎤_⎥ −

)

⎪⎫_⎬ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ (3.29)

(

2 2 0 1 2 2 2 G G n r n σ σ μ τ τ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −

₎

T T ⎡ ⎤ − = − − − ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ ⎢} _⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.30)

maka fungsi padat peluang dari pada saat T (dengan terlebih dahulu

diberikan harga aset

n G

( )

S t , untuk t< ) adalah T₀

( )

(

)

( )

2 2 2 2 ln ln 2 1 ; exp 2 2 G n G n G n G G S t G S t G σ μ τ ψ σ τ πσ τ ⎛_⎧_⎪ _⎡ _⎛ _⎞ _⎤_⎫_⎪ ⎞ ⎜_⎨ ₋_⎢ ₊_⎜ ₋ _⎟ _⎥_⎬ ⎟ ⎜_⎪_⎩ _⎣ _⎝ _⎠ _⎦_⎪_⎭ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3.31)

Dengan menggunakan risk neutral discounted expecation approach, harga dari suatu average value call Eropa dengan rata-rata geometrik diskrit diberikan oleh

(11)

BAB III : FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA (3.32)

( )

(

,

)

r

(

)

(

( )

)

G _X n n c S t τ =e−τ

∫

∞ G −X ψ G S t; dG_n

( )

(

,

)

( )

1

( )

2 , G r G c S t τ =e−τ _⎣⎡S t eμ τN d −XN d ⎤_⎦ τ > −T T (3.33) di mana

( )

2 1 2 ln 2 , dan G G G G S t X d d σ μ τ 1 d σ τ σ τ ⎛ ⎞ +_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ = = − → ∞

Lalu kita menggunakan hasil di atas untuk kasus yang ekstrim, yakni jika . Pertama, jika 1 atau n= n n= , maka 1 2 dan 2 G G σ μ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 G σ τ masing-masing akan berubah menjadi

2 2 r σ t ⎛ ⎞ − Δ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan 2

σ τ, yang artinya jika n=1, maka harga call menjadi sama dengan vanilla option. Lalu ketika n→ ∞,

2 dan 2 G G σ μ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 G

σ τ masing-masing akan menuju ke bentuk 2 0 2 2 T T r σ τ ⎛ ₋ ⎞⎡ ₋ − ⎤ ⎜ _{⎟ ⎢}_⎣ _⎥_⎦ ⎝ ⎠ dan

(

2 0 2 3 T T σ τ⎡_⎢ − −

)

⎤_⎥

⎣ ⎦, dan rata-rata geometrik diskrit berubah menjadi rata-rata geometrik kontinu. Sehingga, kita bisa mendapatkan nilai continuous average value call saat t=T0, yakni

( ) (

)

(

)

( )

2 0 0 1 2 6 ( ) 0 , 0 0 1 ( r T T r T T G c S T T T S T e N d Xe N d σ ⎛ ⎞ − ⎜_⎜ + ⎟_⎟ − − − ⎝ ⎠ − = − 2) (3.34) dengan

( )

2

₍

₎

0 0 0 1 2 0 1 ln 2 6 , dan 3 3 S T r T T X T T d d T T σ σ σ ⎛ ⎞ + _⎜ + _⎟ − − ⎝ ⎠ = = − d1− t≥T t

Lalu, tinjau kasus kedua, di mana waktu saat ini berada di dalam selang

averaging period, yakni ₀, di mana t=t_k + Δ dengan k suatu bilangan ξ

(12)

BAB III : FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA bulat, 0≤ ≤ −k n 1, dan 0≤ξ <1

(

. Pada saat ini, nilai-nilai

) ( )

( )

1 , 2 , , k

S t S t S t adalah nilai-nilai yang telah diketahui, bukan lagi merupakan peubah acak. Sedangkan ratio harga asset

( )

1

( )

21

( )

1 , , , k k k n S t S t S t S t S t S t + + + − n

merupakan peubah acak yang berdistribusi lognormal dan saling bebas. Jadi kita dapat menyatakan

( ) ( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

1 2 1 1 1 1 2 1 2 n k n n n k n n k n n S t S t G S t S t S t S S t S t − − + − − n k n S t t S t − ⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫⎪ ⎡ ⎤ =_⎣ _⎦ _⎨ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ _⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ (3.35) sehingga

(

)

(

)

1 2 1 ln ln 2 ln ... 1 ln ln ( ) n n n k G t R R n k R n k n S t = ⎡⎣ + − + + − − + + − R ⎤⎦ (3.36) dengan

( ) ( )

( )

1 1 2 ( ) n n kn k S t = ⎣⎡S t S t S t _⎦⎤ S t − dan _{R t}

( )

S t

( )

k 1

_{( )}

S t + = .

Misalkan rataan dan variansi dari ln ( )

n

S t G

masing-masing dinyatakan oleh 2 2 G G σ μ τ ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan σ τG2 , di mana

(

_{) ( ) (}

2

)(

)

2 ₂ 2 2 1 2 2 1 6 G n k n k n k n k t n n σ τ σ= Δ ⎡⎢ − −ξ + − − − − ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 − (3.37) dan

(

) (

)(

)

2 ₂ 1 1 2 2 2 G G n k n k n k r t n n σ σ μ τ ξ ⎛ ⎞ _⎛ _⎞ _⎡ ₋ _{− −} ₋ _⎤ ⎜ − ⎟ =_⎜ − _⎟Δ _⎢ − + _⎥ ⎜ ⎟ _⎝ _{⎠ ⎣} _⎦ ⎝ ⎠ (3.38)

Dengan cara yang sama (seperti pada persamaan (3.33)), nilai dari average

value call option berbentuk:

( )

(

,

)

( )

1

( )

2 , G r G c S t τ =e−τ ⎡_⎣S t eμ τN d −XN d ⎤_⎦ t≥T₀, (3.39) di mana

(13)

( )

2 1 2 2 ln 2 , dan G G G G S t X d d σ μ τ 1 d σ τ σ τ ⎛ ⎞ +_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ = = −

Sekali lagi, dengan mengambil nilai ekstrim , bentuk rata-rata geometrik diskrit akan berubah menjadi rata-rata geometrik kontinu, sehingga didapat n→ ∞

(

)

( )

0

( )

0 2 2 0 2 2 0 0 lim 3 lim 2 2 2 1

lim , di mana exp ln

G n G G n T t _t T T T n T T T t T T r T t S t S t G t G t S d T T σ σ σ σ μ τ τ →∞ →∞ − − →∞ − ⎛ ⎞ = ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ₋ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = _⎜ _⎟ − ⎝

∫

⎠

Harga dari suatu average value call option dengan rata-rata geometrik kontinu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai limit di atas ke dalam persamaan (3.39).

3.5 Average Value Option dengan rata-rata aritmatika diskrit

Opsi Asia dengan rataan aritmatika diskrit merupakan jenis opsi Asia yang paling terkenal. Formula penentuan opsi jenis ini cukup sulit karena jumlah dari komponen-komponen lognormal tidak bisa direpresentasikan dengan mudah.

Pertama, kita akan mendeskripsikan secara formal opsi jenis ini. Misal rataan harga saham dikalkulasi selama selang waktu

[

t t₀, _N

]

serta pada titik

0 0 , 0,1, , , dan N i t t t t i t t N t N −

= + Δ = … Δ = , (di mana adalah waktu

maturity time). Sedangkan rata-rata yang masih berjalan didefinisikan (pada

waktu t, di mana N t 1 m t ≤ ≤t t_m₊ ), sebagai:

( )

0 1 , 0 1 m i i A t S t m m = N = ≤ ≤ +

∑

(3.40)

(14)

BAB III : FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA dan A t

( )

=0, untuk

(

t< t . ₀

)

Fungsi payoff untuk sebuah average value option dengan tipe rata-rata aritmatika diskrit ini adalah max

{

A t

( )

N −X, 0

}

, untuk jenis call, di mana X merupakan strike price.

Pada pembahasan selanjutnya, akan dilakukan modifikasi dalam cara melihat

payoff akhir, yakni dalam bentuk A t

(

_N,t

)

, di mana

(

)

( )

1 1 1 , , 1 1 N N N i m m i A t t A t A t S t N N = + + = − = + +

∑

(3.41) merupakan rata-rata dari komponen-komponen harga saham yang belum

diketahui nilainya selama masa berlaku rata-rata. Dengan memandang bentuk ini, maka payoff opsi ini (jenis call) dapat ditulis kembali dalam bentuk

(

)

{

*

}

max A t_N,t −X , 0 (3.42) dengan strike price-nya menjadi

( )

* 1 1 m X X A N t + = − + (3.43)

Perlu dicatat bahwa distribusi dari A t

(

N,t

)

tidak dapat diketahui dengan jelas. Cara paling baik yang harus dilakukan adalah melakukan pendekatan terhadap distribusi A t

(

_N,t

)

dengan mengaproksimasinya menggunakan distribusi lain, yaitu distribusi lognormal melalui ekspansi deret Edgeworth ([2],[5]). Ekspansi ini mirip dengan ekspansi deret Taylor yang digunakan untuk mengaproksimasi sebuah fungsi.

Ekspansi Deret Edgeworth

Misalkan terdapat suatu distribusi Ft(s) yang ingin kita dekati oleh suatu

distribusi aproksimasi Fa(s) (sebut Ft(s) sebagai distribusi sesungguhnya).

Asumsikan kedua distribusi di atas termasuk ke dalam kelompok distribusi

(15)

yang fungsi padat peluangnya kontinu, di mana t

( )

t dF s f s ds = dan

( )

_{( )}

a a dF s f s ds = keduanya ada.

Pertama, akan didefinisikan persamaan berikut: 1. Fungsi karakteristik dari suatu distribusi F =

( )

F t, e f s dsits

( )

, di mana i 1

φ ∞

−∞

=

∫

= − (3.44)

2. Raw moment ke-j dari distribusi F =

( )

j

( )

j F s f s ds

α ∞

−∞

=

_∫

(3.45)

3. Central moment ke-j dari distribusi F =

( )

1

( )

j j F s F f s μ ∞ α −∞⎡ ⎤ =

_∫

_⎣ − _⎦ ds (3.46) 4. Fungsi pembangkit cumulant dari distribusi F =

( )

1

( ) ( )

(

1 1 ln , ! j n n j j it F t k F o t j φ − −

)

= =

∑

+ (3.47)

Formula fungsi pembangkit cumulant ([4])

Misalkan Y suatu peubah acak yang memiliki fungsi karakteristik φ . Kemudian, diketahui φ

( )

F t, ∞ e f s dsits

( )

E e

( )

its

−∞ =

∫

= , dan

( )

( ) ( )

( )

2 3 2 2 1 2! 3! 1 2 ! its j j its its E e E its it it E s it E s E s j ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = _⎜ + + + + _⎟ ⎝ ⎠ = + + + + + … … … .

Fungsi pembangkit cumulant :

( )

1

( ) ( )

( )

1

( )

1 1 ln , ln 1 ! ! j j n n j j j j it it F t k F o t E s j j φ − − ∞ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

Kemudian, diketahui bahwa jika z= +a bi i, 1= − , maka Penentuan Harga Opsi Asia

(16)

(

)

( )

1 1 1 ln 1 n n n z z n − ≥ − + =

∑

, sehingga

( )

( )( )

( )

_{( )( )}

_{( )}

( )

_{( )( )}

_{( )}

( )

_{( )( )}

_{( )}

( )

_{( )( )}

_{( )}

( )

( )( )

( )

1 1 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 ln , ! 2 3! 1 2! 2 2 1 3! 2 2 2! k k j j k j it F t E s k j it it E s it E s E s it it E s it E s E s it E s it it E s it E s E s it E s it E s it E s φ + _∞ ≥ = ⎧ ⎫ − _⎪ _⎪ = _⎨ _⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ =_⎨ + + + _⎬+ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫⎧ ⎫ − ⎪ ₊ ₊ ⎪⎪ ₊ ₊ ⎪ ⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎧ ⎫⎧ ⎫ − _⎪ _⎪⎪ _⎪ + + + + + ⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭ = +

∑

… … … … …

( )

+…

( ) ( )( )

( )

{

}

( ) ( ) ( )

( )

{

}

3 3 2 ₂ 3 3! 1 2 2 1 3 it E s E s E s it E s E s E s E s E s it + + + − + + + − + + … … … … Kemudian, koefisien

( )

! n it

n dari deret di atas didefinisikan sebagai cumulant

ke- dari distribusi F, dan bisa diketahui bahwa tiga cumulant pertama adalah n

( )

1 1 k F =E s =α s ,

( )

2

( ) ( )

( )

2 2 1 2 2! k F =E s − E s E s =μ s ,

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

3 3 2 3 3 3 2 3 1 6 1 .2. . .6 2 2 3 3 2 k F E s E s E s E s E s E s E s E s F μ = − + = − + =

Lalu akan diasumsikan bahwa cumulant pertama hingga cumulant ke-n+ 1 ada, moment pertama hingga momen ke- dari distribusi F ada, serta n

(17)

( )

j a j d F s

ds untuk j≤m juga ada. Misalkan N didefinisikan sebagai

{ }

min n m , maka selisih dari , lnφ

(

F t_t,

)

dan lnφ

(

F t_a,

)

adalah

(

)

1

( )

( ) ( )

(

)

(

1 1 ln , ln , ! j N N t j t j t a j it F t k F k F F t o t j φ − φ − = ⎡ ⎤ =

∑

_⎣ − _⎦ + +

)

(3.48) Kemudian dengan mengambil fungsi eksponen dari persamaan di atas, dan

dengan mempertimbangkan bahwa ( )

(

1 1 1 N o t _N e o t −

)

− = + , maka didapat

(

)

1

( )

( ) ( )

(

)

(

1 1 , exp , ! j N N t j t j t a j it F t k F k F F t o t j φ − φ − = ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ = _⎜ _⎣ − _⎦ _⎟ + ⎝

∑

⎠

)

(3.49)

Perhatikan fungsi eksponensial pada persamaan φ

(

F t_t,

)

di atas. Jika kita ekspansi fungsi eksponensial tersebut ke dalam bentuk polinomial dalam

, didapat: ( )it

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1 1 0 1 2 1 1 ₁ 1 exp ! ! ! 1 ! 2! y j j N N j t j t j t j t j y j j N j t j t j N _j j t j t j it it k F k F k F k F j j it k F k F j it k F k F j − ∞ − = = = − − ₌ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜ _⎣ − _⎦ ⎟= ⎜ _⎣ − _⎦ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎜ _⎣ − _⎦ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ = + _⎣ − _⎦ + +

∑

∑ ∑

∑

…

( )

(

)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

₍

( )

₎

( )

(

)

( )

(

( )

)

( )

(

)

( )

(

( )

)

( )

₍

₎

2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2! 1 2 1 3! 1 2 1 ! N t a t a t a t a t a t a t a j N j j it it it k F k F k F k F k F k F N it it k F k F k F k F it it k F k F k F k F it E o N j 1 ! − − = = + − + − + + − − ⎛_⎛ _⎞ _⎛ _⎞ ⎞ ⎜ _⎜ _⎟ ⎟ + _⎜ − _⎟ + − + ⎜_⎝ _⎠ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛_⎛ _⎞ _⎛ _⎞ ⎞ ⎜ _⎜ _⎟ ⎟ + _⎜_⎜ − _⎟ + − + _⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ _⎝ _⎠ ⎝ ⎠ =

∑

+ − … … … di mana :

(18)

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

0 1 1 2 2 ₂ 2 2 2 1 2 2 2 1 1, , , dan seterusnya t a t a t a t a E E k F k F E k F k F k F k F k F k F E = = − = − + − = − +

Sehingga, persamaan (3.49) menjadi:

(

)

1

( )

(

)

(

1 1 , , ! j N N t j a j it F t E F t o t j φ − φ −

)

= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ + (3.50)

Sebagai langkah terakhir, kita akan memanfaatkan Fourier transform. Kita punya hubungan berikut:

( )

(

)

( )

( ) (

)

1 , , 2 1 1 , , dengan 0,1, , 1 2 its t t j j a its j a j f s e F t d f s e it F t dt j N ds φ π φ π ∞ ₋ −∞ ∞ ₋ −∞ = − = =

∫

… − dan kemudian

( )

(

)

( )

( ) (

)

( )

1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 , 2 ! 1 1 1 , 2 ! 2 1 1 1 ! 2 1 0! j N its N t j a j N j its its N a j j j N j a its N j j j a it f s e E F t o t dt j e it F t E dt e o t dt j d f s E e o t dt ds j d f s E ds φ π φ π π π − ∞ ₋ ₋ −∞ ₌ − _∞ _∞ − − − −∞ −∞ = − _∞ − − −∞ = ⎡⎛ ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎥ = + ⎜ ⎟ ⎢_⎝ _⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟_⎜ _⎟ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜_⎜ − ⎟⎜_⎟⎝ ⎟+ ⎠ ⎝ ⎠ = +

∑

∫

∑

_∫

∑

∫

( )

( ) ( )

0 2 1 2 ₁ 1 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1! 1! 2 1 1 , ! a a its N j N j _a a j j j d f s d f s E E e o ds ds d f s f s E s N j ds π ε ∞ ₋ ₋ −∞ − = − + − + = + − +

∫

∑

… t dt (3.51) di mana

(

,

)

1

( )

1 2 its N s N e o t dt ε π ∞ ₋ ₋ −∞ =

_∫

Untuk menghitung nilai opsi Asia dengan rata-rata aritmatika, maka akan dilakukan aproksimasi distribusi oleh distribusi pilihan, dalam hal ini distribusi lognormal, yakni dengan menyamakan dua momen pertama dari Penentuan Harga Opsi Asia

(19)

distribusi sebenarnya (tidak diketahui jenisnya) dan distribusi aproksimasi (lognormal), yakni α₁

( )

F_a =α₁

( )

F dan _t μ₂

( )

F_a =μ₂

( )

F , sehingga _t

persamaan deret Edgeworth (3.6.11) menjadi

( )

( ) ( )

, 3 t a f s = f s +ε s (3.52) di mana E₁=α₁

( )

F_t −α₁

( )

F_a = dan 0

(

( )

)

2 2 2 t 2 a 1 0 E = k F −k F +E = .

Formulasi harga opsi Average Value Arithmetic Options

Sebuah average value option dengan rata-rata aritmatika diskrit mempunyai payoff max

{

A t

( )

_N −X*, 0

}

, dan nilai opsi call pada saat ini adalah

(

)

(

{

(

)

*

}

)

, , r max _N, , 0

c S A t =e−τE A t t −X (3.53)

dengan τ = − . t_N t

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, distribusi dari A t

(

N,t

)

akan diaproksimasi oleh distribusi lognormal, atau dengan kata lain, distribusi dari

(

)

(

ln A t_N,t

)

akan diaproksimasi oleh distribusi normal. Asumsikan distribusi normal ini memiliki mean μ

( )

t dan variansi . Kemudian, momen pertama dan kedua dari distribusi lognormal yang akan dipakai untuk mengaproksimasi adalah

( )

2 t σ

( )

2 1 2 a t F t σ α =μ + , dan α₂

( )

F_a =2μ

( )

t +σ

( )

t 2.

Pemberlakuan ekspansi deret Edgeworth dua suku terhadap distribusi dari

(

N,

)

A t t dilakukan dengan menyamakan momen pertama dan kedua dari distribusi lognormal di atas dengan momen pertama dan kedua dari distribusi

(

N,

)

A t t , yaitu

( )

2 ln

(

,

)

2 N t t σ E A t μ + =

( )

2

(

)

2

)

2μ t +σ t =lnE A t_N,t t dan .

Dengan menyelesaikannya terhadap μ

( )

t dan σ

( )

t 2, didapat:

(20)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

2 2 2 1 2 ln , ln , 2 ln , 2 ln , N N N N t E A t t E A t t t E A t t E A t t μ σ = − = −

sehingga dengan mengasumsikan lnA t

(

N,t

)

berdistribusi normal dengan mean μ

( )

t dan variansi σ

( )

t 2, bisa didapat nilai call sebagai berikut:

(

)

(

)

( )

*

( )

1 , , r _N, c S Aτ =e−τ ⎡_⎣E A t t N d −X N d₂ ⎤_⎦ (3.54) dengan

( )

2 * 1 2 ln , dan t t X d d t μ σ σ σ + − = =d1− t .

Formulasi nilai call tersebut adalah pendekatan yang cukup baik distribusi dari A t

(

_N,t

)

(bukan nilai yang eksak/sebenarnya). Sisa pekerjaan kita adalah menentukan formulasi dari E A t

(

_N,t

)

dan E A t

(

_N,t

)

2

)

.

Misalkan S(t) adalah harga asset pada waktu t, di mana , dengan 0 1

m

t= + Δt ζ t ≤ < . Untuk waktu ζ t>t₀, telah diketahui bahwa

(

)

(

)

₍

( )

₎

1 1 , 1 N N i i m E A t t E S t N = + = +

∑

.

Selain itu, juga telah diketahui bahwa pergerakan harga saham mengikuti bentuk

( )

(

)

( )

d S t rdt dZ S t = +σ ,

dengan r adalah suku bunga dan σ adalah nilai variansi. 2 Kemudian kita punya E S t

(

( )

_i

)

=S t e

( )

r i m(− − Δζ) t, di mana

( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) 1 2 1 2 N r N m t r i m t r t r t i m N m r t r t r t t t t e e e e e e e e e e ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ − − Δ − − Δ − Δ − Δ = + − Δ Δ Δ Δ Δ Δ = + + + = + + +

∑

… …

(21)

merupakan deret geometri dengan rasio er tΔ . Karena diketahui jumlah dari deret geometri jenis ini adalah 1

1 n r a r ⎛ − ⎜ − ⎝ ⎠ ⎞

⎟, di mana adalah suku pertama

dari deret, adalah jumlah suku dari deret, dan adalah rasio dari deret. Sehingga didapatkan : a n r ( ) (1 ) ( ) 1 1 1 r N m t N r i m t r t r t i m e e e e ζ ζ ζ − − Δ − − Δ − Δ Δ = + ⎛ ₋ ⎞ = _⎜_⎜ _⎟_⎟ − ⎝ ⎠

∑

, dan

(

)

(

)

( )

(1 ) ( ) 0 1 , , 1 1 r N m t r t N r t S t e E A t t e t t N e ζ ζ − − Δ − Δ Δ ⎛ − ⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ≥ + _⎝ − _⎠ (3.55) Kemudian, untuk kasus di mana t< , maka berlaku t₀

(

)

(

)

₍

( )

0 1 , 1 N N i E A t t E S t N = =

+

∑

i

)

, dan dengan prosedur yang serupa

didapatkan

(

)

(

)

( )

(0 ) ( ) 1 0 1 , , 1 1 r N t r t t N r t S t e E A t t e t t N e + Δ − Δ ⎛ ₋ ⎞ = _⎜_⎜ _⎟_⎟ < + _⎝ − _⎠ (3.56) Untuk mencari momen kedua dari distribusi A t

(

_N,t

)

, juga digunakan

prosedur yang serupa dengan prosedur mencari E A t

(

_N,t

)

, yaitu dimulai dengan pemisahan 2 kasus, yakni kasus di mana dan . Pada kasus di mana , kita punya

0 t≥t t<t₀ 0 t≥t

(

)

(

)

₍

₎

(

( )

)

(

)

(

( )

)

2 2 1 1 2 1 1 1 , 1 1 1 N N N i i m j m N N i j i m j m j E A t t E S t S t N E S t S t N = + = + = + = + = + = +

∑ ∑

,

dan akhirnya bisa didapatkan ([2]):

(

)

(

)

₍

( )

₎

( ) ( ( ))

( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2 1 min , 2 1 1 2 2 1 2 3 4 0 2 , 1 , 1 N N r j t n m N i m j m r t S t E A t t e N S t e A A A A t N ζ σ ζ ζ σ − + Δ + − = + = + − + Δ = + = − + − +

∑ ∑

t ≥ (3.57) di mana

(22)

BAB III : FORMULA PENENTUAN HARGA OPSI ASIA ( ) ( )( )

(

)

(

( )

)

( ) ( )( )

(

)

(

( )

)

( ) ( )

(

)

(

( )

)

( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ₂ 2 3 2 2 2 3 4 , , 1 1 1 1 , 1 1 1 r t r N m t r N m t r N m t r t r t r t r t r t r N m t r t r N m t r t r t e e e e A A e e e e e e e e A A e e e σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎡ ⎤ + Δ + − + Δ _⎣ − + + _⎦Δ + − + Δ + Δ + Δ Δ Δ ⎡ ⎤ + Δ _⎣ − + + _⎦Δ + Δ + − + Δ + Δ Δ − − = = − − − − − − = = − −

(

− ( )

)

(

( )

)

1 2 σ 1 2 ₂ 2 , 1 r t r t e σ σ + Δ + Δ −

Kemudian juga dengan cara yang sama, untuk t< didapat ([2]): t₀

(

)

(

)

₍

( )

₎

( 2)( )

₍

₎

0 2 2 2 1 2 3 4 2 , , 1 r t t N S t 0 E A t t e B B B B t t N σ + − = − + − + < (3.58) di mana ( )( )

(

)

(

( )

)

( ) ( )( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

( ) ( )( ) ( )

(

)

(

( )

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 3 4 2 1 , B , 1 1 1 1 , B , 1 1 1 1 r N t r N t r N t r t r t r t r t r t r N t r N t r t r t r t r t r t e e e B e e e e e e e e B e e e e σ σ σ σ σ σ σ σ + + Δ _{+ Δ} + + Δ + Δ + Δ Δ Δ + Δ + + Δ + Δ Δ + Δ + Δ + Δ Δ − − = = − − − − − − = = − − − − σ2