Analisis Ajeg dari Sinusoidal

(1)

Analisis Ajeg dari Sinusoidal

Slide-08

Ir. Agus Arif, MT

Semester Gasal 2016/2017

(2)

Materi Kuliah

1 Karakteristik Sinusoid

Bentuk Umum Pergeseran Fase Sinus ↔ Kosinus

2 Tanggapan Paksaan thdp Sinusoid

Tanggapan Ajeg

Tanggapan Rangkaian RL

3 Fungsi Pemaksa Exponensial

Sinusoid dan Exponensial Sumber Real dan Imajiner Sumber Komplex

Alternatif Aljabar

(3)

Bentuk Umum Sinusoid

Tegangan yg berubah scr sinusoidal:

v (t) = Vm sin ωt Vm : amplitudo dr gelombang sinus ωt : argumen dr fungsi sinus

ω : frekuensi radian atau frekuensi sudut

fungsi berulang (periodik) stp 2π radian → periode= 2π

radian

(4)

Periode dan Frekuensi

Dlm lingkup waktu, gelombang sinus yg berperiode T sekon akan

merambat 1/T siklus pd stp detik →frekuensi-nya = 1/T hertz

(Hz atau s−1)

f = 1 T

Krn pd satu siklus: ωT = 2π maka

ω = 2πf

(5)

Pergeseran Fase

Bentuk umum yg lebih lengkap

v (t) = Vm sin(ωt + θ)

θ : sudut fase = besar sudut dr penggeseran gelombang sinus asli ke sebelah kiri atau ke waktu yg lebih awal

Vm sin(ωt + θ) memimpin (leading) Vm sin ωt sebanyak θ rad

Vm sin ωt terlambat dr (lagging) Vm sin(ωt + θ) sejauh θ rad

(6)

Leading dan Lagging

Di antara 2 sinusoid,

leading dan lagging → tidak sefase(out of phase)

dgn sudut fase yg sama → sefase (in phase)

Dlm teknik listrik, sudut fase dinyatakan dgn satuanderajat

(θ ≤ 180◦), shg alih-alih v = 100 sin 2π 1000t − π 6 biasanya ditulis v = 100 sin(2π 1000t − 30◦) Perbandingan fase dua sinusoid seharusnya setelah

1 _{keduanya ditulis sbg gelombang sinus atau kosinus}

2 _{keduanya ditulis dgn amplitudo yg positif}

3 _{keduanya memiliki frekuensi yg sama}

(7)

Sinus ↔ Kosinus

Camkanlah: − sin ωt = sin(ωt ± 180◦) − cos ωt = cos(ωt ± 180◦) ∓ sin ωt = cos(ωt ± 90◦₎ ± cos ωt = sin(ωt ± 90◦₎ Contoh: v1 =Vm1cos(5t + 10◦) =Vm1sin(5t + 90◦+ 10◦) =Vm1sin(5t + 100◦) memimpin v2 =Vm2sin(5t − 30◦)

sebanyak 130◦ atau v1 tertinggal dariv2 sebesar 230◦ v1= Vm1sin(5t − 260◦)

(8)

Tanggapan Ajeg

Tanggapan keadaan-ajeg =tanggapan paksaan(forced response):

tanggapan paksaan dicapai ktk tanggapan alamiah (natural

response) tlh lenyap

tanggapan alamiah terjadi hanya sebentar → diabaikan fungsi pemaksa bersifat dc → tanggapan ajeg menuju nilai yg tetap

fungsi pemaksa sinusoidal → tanggapan ajeg dpt berubah-ubah thdp waktu

Rangkaian RL dgn fungsi pemaksa berupa sinusoid:

(9)

Tanggapan Rangkaian RL [1]

Penerapan KVL menghasilkan tanggapan ajeg dr rangkaian RL:

L di

dt + R i = Vmcos ωt

Bilamana derivatif = 0 → arus berbentuk i ∝ cos ωt Bilamana arus = 0 → derivatif sebanding dgn cos ωt yg berarti i ∝ sin ωt

Alhasil, bentuk umum dr tanggapan paksaan dianggap:

i (t) = I1cos ωt + I2sin ωt

dgn I1 dan I2 gayut pd Vm, R, L dan ω

Penyulihan anggapan tsb ke dlm persamaan diferensial:

L (−I1ω sin ωt + I2ω cos ωt) + R (I1cos ωt + I2sin ωt) = Vmcos ωt 9 / 23

(10)

Tanggapan Rangkaian RL [2]

Pengelompokkan suku-suku yg sama:

(−L I1ω + R I2) sin ωt + (L I2ω + R I1− Vm) cos ωt = 0

Persamaan ini harus berlaku benar utk semua nilai t shg

−ωL I1+ R I2= 0 dan ωL I2+ R I1− Vm = 0

Solusi scr serempak bagi I1 dan I2: I1 =

R Vm

R2_{+ ω}2_L2 dan I2 =

ωL Vm R2_{+ ω}2_L2

Dgn demikian, tanggapan ajeg dr rangkaian RL:

i (t) = R Vm

R2_{+ ω}2_L2 cos ωt +

ωL Vm

R2_{+ ω}2_L2sin ωt

(11)

Cara yg Lebih Ringkas

Penjabaran yg lebih ringkas dpt diperoleh dgn menganggap bentuk

umum tanggapan berupa fungsi sinus atau kosinussaja, spt

i (t) = A cos(ωt − θ)

Bentuk tanggapan ini disamakan dgn bentuk sebelumnya

A cos θ cos ωt+A sin θ sin ωt = R Vm

R2_{+ ω}2_L2 cos ωt+

ωL Vm

R2_{+ ω}2_L2 sin ωt

Pengumpulan suku-suku yg sama dan penerapan beberapa kiat aljabar menghasilkan: θ = tan−1ωL R dan A = Vm √ R2_{+ ω}2_L2

Dgn demikian, bentukalternatifdr tanggapan paksaan sinusoidal:

i (t) = √ Vm R2_{+ ω}2_L2cos ωt − tan−1ωL R 11 / 23

(12)

Contoh ]1 [1]

Tentukan arus iL pd rangkaian di sebelah kiri jikalau semua gejala

transien telah lenyap

Jawab: Agar mnjd rangkaian RL yg baku harus ditentukan ekivalen

Th´evenin spt rangkaian di sebelah kanan

Tegangan Th´evenin: VT = Voc = 100 25 + 100(10 cos 10 3_{t) = 8 cos 10}3_{t V} 12 / 23

(13)

Contoh ]1 [2]

Resistans Th´evenin ditentukan dgn melenyapkan semua sumber

independen dan mencari resistans ekivalen dr semua resistor:

RT = 25 k 100 =

25 × 100

25 + 100 = 20 Ω

Kini, rangkaian semula berubah mnjd rangkaian RL yg baku:

Dgn menerapkan rumus tanggapan paksaan sinusoidal diperoleh:

iL= 8 q 202_{+ (10}3_{× 30 × 10}−3₎2cos 103t − tan−130 20 = 222 cos(103t − 56.3◦) mA 13 / 23

(14)

Contoh ]1 [3]

Bentuk gelombang tegangan Th´evenin dan arus induktor:

(15)

Sinusoid dan Exponensial

Cara lainnya utk menentukan tanggapan paksaan sinusoidal adl dgn memanfaatkan hubungan yg ada di antara sinusoid dan

exponensial yakni bilangan komplex → identitasEuler:

ejθ = cos θ + j sin θ dgn j =√−1

Jk derivatif kosinus = (negatif) sinus, mk derivatif exponensial = versi terskala dr exponensial yg sama

Penambahan sumberimajiner menimbulkan sumber komplex

dlm rangkaian namun menghasilkan proses analisis yg lebih

sederhana

Superposisi menjamin bhw

sumber imajiner → tanggapan imajiner, dan sumber real → tanggapan real

Oleh krn itu, kedua besaran (real & imajiner) dpt kapan sj

dipisah dgn mengambil bagian realdr stp tegangan atau arus

yg komplex, yakni dgn operator real Re{}

(16)

Sumber Real

Sumber tegangan sinusoidalrealterhubung pd rangkaian linear

(spt N yg tersusun oleh komponen2 pasif sj) akan menghasilkan

tanggapan-ajeg arus yg bersifat sinusoidal real juga dgn frekuensi yg sama (namun sudut fase yg berbeda)

Jk kini rujukan waktu (t = 0)digesershg fungsi pemaksa mnjd

Vm cos(ωt + θ − 90◦) = Vm sin(ωt + θ)

dan dikenakan pd rangkaian N yg sama mk tanggapannya mnjd

Im cos(ωt + φ − 90◦) = Im sin(ωt + φ)

Berikutnya, pd rangkaian N akan diterapkan sumber imajiner

(17)

Sumber Imajiner

Sumber tegangan sinusoidalimajiner dpt dibuat dgn mengalikan

operator imajiner j:

j Vm sin(ωt + θ)

Krn perkalian dgn konstanta tdk mengubah hubungan yglinearmk

tanggapan arus thdp sumber sinusoidal imajiner adl

j Im sin(ωt + φ)

Berikutnya, teorema superposisi memungkinkan utk membentuk

fungsi pemaksakomplex= jumlah dr fungsi pemaksa real dan

fungsi pemaksa imajiner

(18)

Sumber Komplex

Jumlah fungsi pemaksa yg real dan imajiner:

Vm cos(ωt + θ) + j Vm sin(ωt + θ)

seharusnya menghasilkan tanggapan komplex:

Im cos(ωt + φ) + j Im sin(ωt + φ)

Sumber dan tanggapan komplex ditulis dgn identitas Euler:

Vmej(ωt+θ)→ Imej(ωt+φ)

Sumber real → sumber komplex → respon komplex → respon real

krn persamaanintegrodiferensialmnjd persamaanaljabar

(19)

Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [1]

Rangkaian RL:

Sumber real terpasang → tanggapan real, namun

Vm cos ωt = Re{Vm cos ωt + j Vm sin ωt} = Re{Vmej(ωt)}

Sumber komplex akan menghasilkan tanggapan komplex:

Vmej(ωt)→ Imej(ωt+φ)

Dgn menerapkan KVL dpt dijabarkan persamaan diferensial:

Ri + Ldi dt = vs

(20)

Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [2]

Penyulihan tegangan & arus komplex menghasilkan persaljabar:

R Imej(ωt+φ)+ jωL Imej(ωt+φ) = Vmej(ωt)

Pembagian dgn faktor-bersama ejωt menghasilkan:

R Imejφ+ jωL Imejφ= Vm atau Imejφ(R + jωL) = Vm

sehingga

Imejφ= Vm R + jωL

Jk sisi kanan dinyatakan dlm bentuk exponensial mk diperoleh

Imejφ= Vm √ R2_{+ ω}2_L2e j[− tan−1_(ωL/R)] 20 / 23

(21)

Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [3]

Dgn demikian, komponen2 dr arus tanggapan komplex:

Im = Vm √ R2_{+ ω}2_L2 dan φ = − tan −1ωL R

Utk mendapatkan tanggapan yg real, kedua sisi persamaan arus

tanggapan komplex dikalikan dgn ejωt

Imejφejωt = Vm √ R2_{+ ω}2_L2e j[− tan−1(ωL/R)]_ejωt Imej[ωt+φ]= Vm √ R2_{+ ω}2_L2e j[ωt−tan−1_(ωL/R)]

Pengambilan bagian real dari persamaan terakhir menghasilkan arus tanggapan real:

i (t) = Imcos(ωt + φ) = Vm √ R2_{+ ω}2_L2cos ωt − tan−1 ωL R 21 / 23

(22)

Contoh ]2 [1]

Utk rangkaian RC di sebelahkiri, sulihkan sumber komplex yg

tepat dan gunakan sumber ini utk menentukan tegangan kapasitor yg ajeg

Jawab: Sumber tegangan real 3 cos 5t V dpt digantikan oleh

sumber tegangan komplex 3 ej5t V dan rangkaian berubah mnjd yg

di sebelahkanan

Dgn menerapkan KVL, persamaan diferensial dpt diperoleh −3 ej5t _{+ 1 i}

C 2+ vC 2= 0 → −3 ej5t+ 2 d vC 2

dt + vC 2= 0

(23)

Contoh ]2 [2]

Dianggap tanggapan ajeg memiliki bentuk yg sama seperti sumber:

vC 2= Vmej5t

Penyulihan tanggapan ini ke dlm persamaan diferensial menghasilkan:

j10Vmej5t + Vmej5t = 3 ej5t

Pelenyapan eksponensil ej5t menghasilkan:

Vm = 3 1 + j10 = 3 √ 1 + 102∠ − tan −110 1 V Alhasil, tegangan kapasitor dlm keadaan-ajeg adalah

vC = Re{vC 2} = Re{298.5 e−j84.3 ◦

ej5t mV}

= 298.5 cos(5t − 84.3◦) mV