PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL HELGA ARINA PRAMUDITYA

(1)

PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL

PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA

GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL

HELGA ARINA PRAMUDITYA

STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2015

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Maret 2015 Helga Arina Pramuditya NIM G14100007

(4)

ABSTRAK

HELGA ARINA PRAMUDITYA. Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan CICI SUHAENI.

Pendugaan parameter pada analisis regresi linier sederhana dapat dilakukan dengan Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Metode ini mensyaratkan asumsi bahwa galat harus menyebar Normal. Namun dalam praktik nyata di lapangan galat tidak selalu menyebar Normal, melainkan memiliki sebaran yang lain, misalnya Eksponensial. Akibatnya, pendugaan terhadap parameter dengan menggunakan MKT menjadi tidak optimal. Permasalahan ini dapat diatasi dengan menerapkan regresi kekar. Penelitian ini menerapkan metode Least Trimmed Square (LTS), Winsorized Least Square (WIN), dan metode Theil sebagai solusinya. Data yang digunakan adalah data simulasi. Peubah penjelas (x) dibangkitkan dari sebaran Normal, sementara galat dibangkitkan dari sebaran Eksponensial. Hasil pendugaan dievaluasi dengan kriteria KTG dan KTG Relatif. Hasilnya menunjukkan bahwa LTS merupakan metode terbaik yang dapat digunakan ketika galat menyebar Eksponensial.

Kata kunci: LTS, Metode Theil, MKT, WIN

ABSTRACT

HELGA ARINA PRAMUDITYA. Comparison of OLS, LTS, WIN, and Theil’s Method in Parameter Regression Estimation for Error is Exponentially Distributed. Supervised by KUSMAN SADIK and CICI SUHAENI.

Parameter estimation in simple linear regression analysis can be done with Ordinary Least Square (OLS). This method requires the assumption that error must be Normally distributed. However, in reality error is not always Normally distributed, but has another distribution, for example Exponential. Concequently, parameter estimation by MKT is not optimal. This problem can be solved by applying robust regression. This research applied Least Trimmed Square (LTS) method, Winsorized Least Square (WIN) method, and Theil’s method as a solution. The data used in this study was simulation data. Explanatory variables (x) is generated from the Normal distribution, while the error generated from the Exponential distribution. The results of estimation are evaluated with MSE and Relative MSE. The results showed that LTS was the best method when the error is Exponentially distributed.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika

pada

Departemen Statistika

PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL

PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA

GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL

STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2015

(6)

(7)

Judul Skripsi : Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial Nama : Helga Arina Pramuditya

NIM : G14100007

Disetujui oleh

Dr Kusman Sadik, MSi Pembimbing I

Cici Suhaeni, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Anang Kurnia, MSi Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penelitian ini berjudul Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Kusman Sadik, MSi dan Ibu Cici Suhaeni, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan, serta saran selama proses penulisan karya ilmiah ini. Di samping itu, penulis juga ucapkan terima kasih kepada Ayah, Ibu, dan Mbak Amanda atas doa, semangat, dan kasih sayangnya. Bapak Dr Anang Kurnia, MSi beserta seluruh staf pengajar Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor yang telah memberikan bekal ilmu selama penulis melaksanakan studi di Departemen Statistika. Seluruh staf adminidtrasi dan karyawan Departemen Statistika yang selalu membantu penulis dalam menyelesaikan berbagai keperluan terkait penyelesaian karya ilmiah ini. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih untuk teman-teman Statistika 47 dan teman-teman KSR PMI Unit I IPB, yang telah memberikan dukungan kepada penulis.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua orang yang membacanya.

Bogor, Maret 2015 Helga Arina Pramuditya

(9)

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2

Regresi Linier Sederhana 2

Least Trimmed Squares (LTS) 2

Winsorized Least Squares (WIN) 3

Metode Theil 3

Kuadrat Tengah Galat (KTG) dan KTG Relatif 4

DATA DAN METODE 4

Data 4

Metode 5

HASIL DAN PEMBAHASAN 6

SIMPULAN DAN SARAN 9

Simpulan 9

Saran 10

DAFTAR PUSTAKA 10

(10)

DAFTAR TABEL

1 Nilai KTG penduga intersep (β̂₀) 6

2 Nilai KTG penduga koefisien kemiringan garis (β̂₁) 7 3 Nilai KTG Relatif penduga intersep (β̂₀) 8 4 Nilai KTG Relatif penduga koefisien kemiringan garis (β̂₁) 9

DAFTAR LAMPIRAN

1 Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga

intersep (β̂₀) hasil simulasi 11

2 Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga koefisien kemiringan garis (β̂₁) hasil simulasi 13

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Analisis regresi merupakan salah satu alat statistika yang sering digunakan untuk melihat hubungan antara peubah respon dengan satu atau lebih peubah penjelas. Regresi linier sederhana merupakan analisis regresi dengan satu peubah respon dan satu peubah penjelas. Linier yang dimaksud adalah adanya hubungan linier antara peubah respon dengan peubah penjelas (Draper dan Smith 1992).

Salah satu metode pendugaan parameter regresi yang sering digunakan adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). MKT merupakan metode pendugaan parameter regresi dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Salah satu asumsi yang harus dipenuhi dalam MKT adalah galat menyebar Normal dengan nilai tengah nol serta ragam yang konstan σ2 (Draper dan Smith 1992). Namun dalam praktik nyata di lapangan galat tidak selalu menyebar Normal, melainkan memiliki sebaran yang lain, misalnya Eksponensial. Jika tidak memenuhi asumsi kenormalan, maka akan menyebabkan pendugaan terhadap parameter menjadi tidak optimal (Mutan 2009).

Terdapat beberapa alternatif regresi kekar yang dapat digunakan ketika galat tidak menyebar Normal, diantaranya adalah Least Trimmed Square (LTS), Winsorized Least Square (WIN), dan metode Theil. LTS merupakan salah satu metode pendugaan parameter regresi yang kekar terhadap pencilan, prinsipnya adalah dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan dari sebagian atau total pengamatan (Mutan 2009). WIN merupakan salah satu regresi kekar dengan prinsip mengubah nilai pada data berdasarkan besarnya sisaan (Mutan 2009). Metode Theil merupakan salah satu metode nonparametrik. Prinsipnya adalah menduga koefisien kemiringan garis regresi dengan cara mencari median kemiringan garis dari pasangan titik-titik pengamatan (Daniel 1990).

Wulandari et al. (2013) membandingkan metode LTS dan penduga M dalam mengatasi pencilan dan hasilnya metode LTS memberikan hasil yang lebih baik jika dibandingkan dengan penduga M. Azizah et al. (2013) melakukan penelitian dengan menggunakan metode LTS pada regresi berganda yang mengandung pencilan dengan berbagai ukuran contoh dan didapatkan kesimpulan bahwa LTS memang salah satu metode regresi yang kekar terhadap pencilan. Mutan (2009) melakukan penelitian tentang perbandingan pendugaan regresi linier sederhana jika galat menyebar Long Tailed Symmetric dengan membandingkan metode MKT, Modified Maximum Likelihood, Least Absolute Deviation, LTS, WIN, Theil, dan Weighted Theil. Hasil dari penelitian Mutan diperoleh bahwa metode WIN dan metode Theil cukup baik digunakan ketika galat menyebar long tailed symmetric. Penelitian ini akan membandingkan metode MKT, LTS, WIN, dan Theil untuk mengetahui metode yang paling efisien digunakan ketika galatnya menyebar Eksponensial.

(12)

2

Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah membandingkan metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada pendugaan parameter regresi apabila galatnya menyebar Eksponensial.

TINJAUAN PUSTAKA

Regresi Linier Sederhana

Model umum regresi linier sederhana yaitu Y = β₀+ β₁X + ε, dengan Y merupakan peubah respon, X merupakan peubah penjelas, β₀ serta β₁ merupakan parameter regresi, dan ε merupakan besaran yang membuat nilai Y menyimpang dari garis regresinya. Pada pendugaan parameter regresi, metode yang sering digunakan adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Prinsip dari MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat sisaan, sehingga dapat ditulis sebagai berikut: min ∑ ε_i2 n i=1 _i =min ∑(y_i- β₀- β₁x_i)2 n i=1

dengan i : 1, 2, 3,... n. Untuk mendapatkan ∑ni=1ei2 yang minimum, caranya adalah

dengan melakukan diferensiasi terhadap β₀ dan β₁ . Dengan melakukan diferensiasi, maka akan didapatkan nilai β̂₀ dan β̂₁ sebagai berikut:

β̂₁=∑ (n_i=1 xi-̅)(x y_i-y̅) ∑ (n_i=1x_i-x̅)2 dan β ̂ 0=y̅-β̂1x̅ dengan: y

̅ : rata-rata peubah respon x

̅ : rata-rata peubah penjelas β̂₀ : dugaan intersep

β̂₁ : dugaan koefisien kemiringan garis.

Terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam menduga parameter dengan MKT. Diantaranya yaitu galat bebas satu sama lain dan galat menyebar Normal dengan nilai tengah nol serta ragam yang konstan σ2 (Draper dan Smith 1992).

Least Trimmed Squares (LTS)

Least Trimmed Square (LTS) merupakan salah satu metode pendugaan parameter regresi yang kekar terhadap pencilan. Prinsip pendugaan parameternya hampir sama dengan metode MKT, yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Namun pada metode LTS jumlah kuadrat sisaan yang diminimumkan adalah jumlah kuadrat sisaan dari h pengamatan. Sehingga dapat ditulis bahwa prinsip dari metode LTS adalah untuk meminimumkan:

(13)

3

∑(y_i-ŷ_i)2

h

i=1

dengan:

ŷ_i : dugaan peubah respon h : konstanta pemotongan. Nilai h berada pada interval n

2 ≤h≤n . Regresi terbaik yang didapat dengan

menggunakan metode LTS ini ketika h merupakan 50% dari data atau h=n/2 (Mutan 2009).

Winsorized Least Squares (WIN)

Winsorized Least Square (WIN) merupakan salah satu regresi kekar yang digunakan pada data yang mengandung pencilan dengan metode iterasi. Prinsip dari WIN adalah dengan mengubah data berdasarkan besarnya sisaan (Mutan 2009).

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan pendugaan parameter dengan metode MKT untuk mendapatkan β̂₀₍_MKT₎ dan β̂₁₍_MKT₎ . Kemudian menghitung nilai dugaan peubah respon (ŷ_i) dan didapatkan sisaan ε

̂i=y_i-ŷ_i. Nilai ε̂i kemudian diurutkan, sehingga ε̂(1)≤ε̂(2)≤ . . . ≤ε̂(n). Langkah

selanjutnya adalah iterasi, yaitu sisaan data yang ekstrem digantikan dengan sisaan data yang berada di dekatnya atau dapat ditulis: y_i'= ŷ_i + ε̂_i'. Kemudian dengan peubah respon yang baru akan didapatkan penduga parameter dan sisaan yang baru, selanjutnya dilakukan iterasi kedua. Hasilnya yaitu y_i''=ŷ_i'+ε̂i''

digunakan untuk iterasi ketiga dan begitu seterusnya sehingga didapatkan penduga parameter (β̂) yang konvergen (Mutan 2004).

Metode Theil

Metode Theil merupakan salah satu metode nonparametrik. Prinsip dari metode Theil yaitu menduga koefisien kemiringan garis regresi dengan cara mencari median kemiringan seluruh garis dari pasangan titik-titik pengamatan (Daniel 1990).

Tahap pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan peubah penjelas dari terkecil hingga terbesar sehingga x1<x2< .. . .<xn. Untuk setiap pasangan

(x_j ,y_j) dan (xk , y_k) nilai kemiringannya dinotasikan dengan bjk dan dirumuskan

sebagai berikut:

b_j_k= yk-yj

x_k-x_j , j <k dengan:

bjk : kemiringan garis dari pasangan(xj ,y_j) dan (xk , y_k)

j : 1, 2, ..., n-1 k : 2, 3, ..., n.

(14)

4

Penduga untuk koefisien kemiringan garis ( β̂₁ ) adalah median dari bij

( β̂₁=median (b_ij) ) (Daniel 1990). Penduga intersep ( β̂₀ ) diperoleh dengan menghitung nilai ai, yaitu:

ai=y_i-β̂₁xi, dengan i: 1, 2, ..., n.

Kemudian median dari ai merupakan penduga intersepnya ( β̂₀=median (ai))

(Mutan 2004).

Kuadrat Tengah Galat (KTG) dan KTG Relatif

Penduga parameter dikatakan baik apabila memiliki nilai bias dan ragam yang kecil. Melihat kebaikan penduga parameter dengan metode MKT, LTS, WIN, dan metode Theil dapat dilihat dari nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG). Semakin kecil nilai KTG maka semakin baik penduga parameter (Azizah et al. 2013). Nilai KTG dapat dihitung dengan:

KTG(β̂)=var(β̂) +[bias(β̂)]2 dengan:

KTG(β̂) : KTG penduga parameter var(β̂) : ragam pendugaan parameter

bias(β̂) : selisih dugaan parameter dengan parameter (β̂ – β).

Selain KTG, untuk melihat kebaikan penduga parameter dapat pula dilihat dari nilai KTG Relatif. Nilai KTG Relatif dapat dihitung dengan:

KTG Relatif(β̂) = KTGMKT- KTGβ' KTGMKT

dengan:

KTG Relatif (β̂) : KTG Relatif penduga parameter dengan suatu metode KTGMKT : KTG penduga parameter dengan metode MKT

KTG_β' : KTG penduga parameter dengan suatu metode

KTG Relatif berguna untuk mengukur kualitas dari penduga parameter. Nilai KTG Relatif yang positif menandakan bahwa penduga parameter dengan metode tersebut lebih baik dibandingkan dengan metode MKT (Mutan 2004).

DATA DAN METODE

Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi. Proses pembangkitan data dilakukan pada perangkat lunak R versi 3.1.2. Peubah penjelas (x) dibangkitkan menyebar Normal (1,2), kemudian galat dibangkitkan menyebar Eksponensial dengan lambda λ = 0.1, 2.5, dan 10. Banyak pengamatan (n) yang digunakan dalam penelitian ini adalah n = 10, 30, 50, dan 150. Setelah galat dibangkitkan, nilai y dihitung dengan:

(15)

5

Metode

Tahapan analisis yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Membangkitkan peubah penjelas (x) menyebar Normal (1,2) sebanyak n. 2. Membangkitkan galat yang menyebar Eksponensial (λ) sebanyak n. 3. Menghitung peubah respon y_i=β₀+β₁x_i+ε_i, dengan β₀= 3 dan β₁ = 1.5. 4. Melakukan pendugaan parameter dengan metode MKT.

5. Melakukan pendugaan parameter dengan metode LTS:

a. Menentukan nilai h, kemudian menentukan banyaknya subset yang dapat terbentuk, yaitu kombinasi (n_h).

b. Mengitung β̂ dari subset yang terbentuk dengan MKT. c. Menghitung ŷ dan ê untuk semua subset.

d. Memilih β̂ yang menghasilkan ∑hi=1ei2 paling kecil.

6. Melakukan pendugaan parameter dengan metode WIN 10% dan WIN 20%:

a. Melakukan pendugaan parameter dengan metode MKT untuk mendapatkan β̂.

b. Menghitung nilai ŷ_i dan êi, kemudian mengurutkan êi.

c. Mengganti sisaan data ekstrem dengan siaan data yang berada di dekatnya. Jika WIN 10%, maka sisaan yang diganti sebanyak 10% dari data dan jika WIN 20% maka sisaan yang diganti sebanyak 20% dari data.

d. Menghitung peubah respon yang baru y_i'=ŷ_i+ε̂_i'.

e. Dengan peubah resppon yang baru, mengulang tahap a sampai d sehingga didapatkan β̂ yang konvergen.

7. Melakukan pendugaan parameter dengan metode metode Theil: a. Mengurutkan peubah penjelas dari yang terkecil hingga terbesar. b. Menghitung kemiringan b_jk untuk setiap pasangan ( x_j, y_j) dan

(x_k, y_k), yaitu b_j_k=yk-yj

x_k -xj , j<k.

c. Menghitung β̂₁ berdasarkan median dari bij.

d. Menghitung ai=y_i-β̂₁xi untuk semua data dan menghitung β̂₀

berdasarkan median dari ai.

8. Mengulangi langkah 2 sampai 7 sebanyak 500 kali.

9. Menghitung rataan, ragam pendugaan, dan rata-rata bias mutlak, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif.

10. Membandingkan hasil yang diperoleh dari empat metode berdasarkan rata-rata serta ragam dari penduga parameter, rata-rata bias mutlak, KTG, dan KTG Relatif.

(16)

6

HASIL DAN PEMBAHASAN

Kebaikan dari pendugaan parameter dapat dilihat berdasarkan nilai ragam, rata-rata bias mutlak, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif. Semakin kecil nilai ragam, rata-rata bias mutlak, dan KTG maka akan semakin baik pendugaan parameter. Nilai KTG Relatif yang positif menunjukkan bahwa metode pendugaan parameter tersebut lebih baik dibandingkan dengan metode MKT, karena nilai KTG Relatif didapatkan dengan membandingkan KTG suatu metode pendugaan parameter dengan KTG metode MKT.

Tabel 1 merupakan nilai KTG untuk pendugaan terhadap intersep (β̂₀). Dari nilai KTG tersebut dapat dilihat bahwa metode LTS merupakan metode yang paling baik untuk semua data set dilihat dari nilai KTG yang paling kecil. Namun, ketika dilihat nilai ragamnya (Lampiran 1), dari keseluruhan data set tidak memberikan kesimpulan yang sama dengan nilai KTG. Ketika ukuran contoh 10, metode MKT memiliki ragam pendugaan yang paling kecil untuk semua nilai lambda. Ketika ukuran contoh 30, metode yang memiliki ragam pendugaan paling kecil adalah WIN 10% untuk lambda 0.1, MKT untuk lambda 2.5, dan LTS untuk lambda 10. Ketika ukuran contoh 50, metode yang memiliki ragam pendugaan paling kecil adalah MKT untuk lambda 0.1 dan 2.5, serta LTS untuk lambda 10. Ketika ukuran contoh 150, metode yang memiliki ragam pendugaan paling kecil adalah metode Theil untuk lambda 0.1 serta metode LTS untuk lambda 2.5 dan 10.

Tabel 1 Nilai KTG penduga intersep (β̂₀)

METODE n=10 n=30 n=50 n=150 λ = 0.1 MKT 113.2853 100.2085 99.2222 100.7987 LTS 73.8276 44.7584 39.7475 36.2649 WIN 10% 116.3628 100.6805 98.1044 95.6799 WIN 20% 113.7367 105.3408 91.8234 86.7407 THEIL 77.8694 60.3997 53.2197 49.8606 λ = 2.5 MKT 0.1757 0.1657 0.1653 0.1619 LTS 0.1128 0.0724 0.0677 0.0570 WIN 10% 0.1405 0.1465 0.1292 0.1274 WIN 20% 0.1726 0.1665 0.1528 0.1127 THEIL 0.1191 0.0950 0.0874 0.0791 λ = 10 MKT 0.0116 0.0109 0.0105 0.0101 LTS 0.0073 0.0046 0.0040 0.0035 WIN 10% 0.0081 0.0089 0.0082 0.0083 WIN 20% 0.0074 0.0096 0.0078 0.0064 THEIL 0.0083 0.0056 0.0055 0.0050

Jika dilihat dari rata-rata bias mutlak (Lampiran 1), metode LTS merupakan metode yang paling baik karena memiliki rata-rata bias mutlak yang paling kecil

(17)

7 untuk semua data set kecuali ketika ukuran contoh 10 dengan lambda 10. Untuk data set ini metode WIN 20% memiliki rata-rata bias mutlak yang paling kecil. Karena rata-rata bias mutlak metode LTS kecil, maka nilai KTGnya pun akan menjadi kecil dikarenakan nilai KTG dihitung dari penjumlahan antara ragam pendugaan dengan bias yang dikuadratkan. Rata-rata bias mutlak untuk semua metode memiliki nilai yang cukup besar ketika lambda 0.1. Hal ini disebabkan karena ketika galat menyebar Eksponensial (λ) maka nilai tengah galat adalah 1

λ,

sehingga ketika lambda kecil, maka nilai tengah galat akan menjadi besar dan bias penduga untuk intersep akan besar.

Pada Tabel 1 juga dapat dilihat bahwa ketika lambda 0.1 nilai KTG untuk semua metode cukup besar. Hal ini dapat terjadi karena nilai KTG dipengaruhi oleh ragam dan rata-rata bias mutlak. Pada Lampiran 1 terlihat bahwa ketika lambda 0.1, ragam pendugaan dan rata-rata bias mutlak yang dihasilkan cukup besar untuk semua metode, sehingga nilai KTG pun akan menjadi besar. Ketika lambda 2.5 dan 10, nilai KTG yang dihasilkan jauh lebih kecil dibandingkan dengan lambda 0.1. Artinya, semakin kecil lambda maka pendugaan untuk intersep ( β̂₀) akan lebih buruk dan sebaliknya, semakin besar lambda maka pendugaan untuk intersep (β̂₀) akan menjadi lebih baik untuk semua metode.

Tabel 2 Nilai KTG penduga koefisien kemiringan garis (β̂₁)

METODE n=10 n=30 n=50 n=150 λ = 0.1 MKT 6.3351 0.7873 0.8553 0.2279 LTS 4.8568 0.3942 0.3878 0.0842 WIN 10% 10.0712 0.9699 1.4794 0.3886 WIN 20% 11.7469 1.4543 1.9149 0.9895 THEIL 5.3563 0.6079 0.7137 0.1995 λ = 2.5 MKT 0.0097 0.0014 0.0015 0.0004 LTS 0.0071 0.0006 0.0008 0.0001 WIN 10% 0.0277 0.0052 0.0053 0.0023 WIN 20% 0.0768 0.0128 0.0131 0.0076 THEIL 0.0074 0.0009 0.0015 0.0003 λ = 10 MKT 0.0007 2.50 x10-5 8.21 x10-5 0.0001 LTS 0.0005 7.90 x10-6 3.56 x10-5 4.90 x10-5 WIN 10% 0.0016 0.0002 0.0005 0.0006 WIN 20% 0.0030 0.0016 0.0010 0.0010 THEIL 0.0005 1.95 x10-5 4.87 x10-5 9.51 x10-5

Tabel 2 merupakan nilai KTG untuk pendugaan terhadap koefisien kemiringan garis (β̂₁). Hampir sama dengan pendugaan terhadap intersep (β̂₀), metode LTS memiliki nilai KTG yang paling kecil untuk semua data set. Jika dilihat dari nilai ragam pendugaannya (Lampiran 2), metode LTS juga memiliki ragam pendugaan yang paling kecil untuk semua set data, kecuali ketika ukuran

(18)

8

contoh 10 untuk lambda 2.5 dan 10 metode Theil memiliki ragam pendugaan yang lebih kecil dibandingkan metode LTS. Dan jika dilihat dari rata-rata bias mutlak (Lampiran 2), metode LTS memiliki nilai rata-rata bias mutlak yang paling kecil untuk semua data set.

Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa ketika lambda 0.1, metode LTS dan Theil memiliki nilai KTG Relatif yang positif untuk semua data set. Artinya, metode LTS dan metode Theil lebih baik dibandingkan dengan metode MKT. Metode WIN 10% dan WIN 20% memiliki nilai KTG Relatif yang negatif ketika ukuran contoh 10 dan 30, artinya metode WIN 10% dan WIN 20% tidak lebih baik dibandingkan metode MKT ketika banyaknya pengamatan 10 dan 30. Ketika lambda 2.5 semua metode memiliki nilai KTG Relatif yang positif kecuali metode WIN 20%, yaitu pada ukuran contoh 30. Dan ketika lambda 10, semua metode memiliki nilai KTG Relatif yang positif, artinya metode LTS, WIN 10%, WIN 20%, dan metode Theil lebih baik dibandingkan metode MKT.

Tabel 3 Nilai KTG Relatif penduga intersep (β̂₀)

METODE n=10 n=30 n=50 n=150 λ = 0.1 MKT 0 0 0 0 LTS 0.3483 0.5533 0.5994 0.6402 WIN 10% -0.0272 -0.0047 0.0113 0.0508 WIN 20% -0.0040 -0.0512 0.0746 0.1395 THEIL 0.3126 0.3973 0.4636 0.5053 λ = 2.5 MKT 0 0 0 0 LTS 0.3583 0.5631 0.5900 0.6477 WIN 10% 0.2005 0.1159 0.2179 0.2132 WIN 20% 0.0178 -0.0048 0.0756 0.3036 THEIL 0.3223 0.4265 0.4714 0.5111 λ = 10 MKT 0 0 0 0 LTS 0.3704 0.5823 0.6139 0.6546 WIN 10% 0.3018 0.1794 0.2214 0.1776 WIN 20% 0.3596 0.1190 0.2571 0.3669 THEIL 0.2810 0.4876 0.4761 0.5039

Tabel 4 merupakan nilai KTG Relatif penduga koefisien kemiringan garis (β̂₁). Pada Tabel 4 dapat dilihat bahwa metode LTS dan Theil memiliki nilai KTG Relatif yang positif pada semua data set. Artinya, metode LTS dan metode Theil lebih baik dibandingkan dengan metode MKT. Berbeda dengan nilai KTG Relatif penduga intersep (β̂₀), metode WIN 10% dan WIN 20% memiliki nilai KTG Relatif yang negatif pada semua set, artinya metode WIN 10% dan WIN 20% tidak lebih baik dibandingkan metode MKT.

(19)

9 Tabel 4 Nilai KTG Relatif penduga koefisien kemiringan garis (β̂₁)

METODE n=10 n=30 n=50 n=150 λ = 0.1 MKT 0 0 0 0 LTS 0.2333 0.4993 0.5466 0.6304 WIN 10% -0.5897 -0.2320 -0.7296 -0.7046 WIN 20% -0.8543 -0.8472 -1.2388 -3.3408 THEIL 0.1545 0.2279 0.1656 0.1246 λ = 2.5 MKT 0 0 0 0 LTS 0.2651 0.5624 0.4694 0.7089 WIN 10% -1.8530 -2.5821 -2.5421 -4.8381 WIN 20% -6.8965 -7.8884 -7.7959 -18.3920 THEIL 0.2399 0.3675 0.0173 0.1518 λ = 10 MKT 0 0 0 0 LTS 0.2493 0.5662 0.5792 0.6840 WIN 10% -1.4238 -5.1055 -4.4132 -6.6021 WIN 20% -3.3841 -11.2434 -7.5159 -64.5394 THEIL 0.2245 0.4061 0.1841 0.2199

Secara keseluruhan metode terbaik untuk menduga parameter regresi linier sederhana (β̂₀dan β̂₁) ketika galat menyebar Eksponensial (λ) adalah metode LTS dilihat dari nilai KTG yang kecil, dan nilai KTG Relatif yang positif. Metode LTS menjadi metode yang terbaik untuk semua data set. Dari hasil simulasi juga dapat dilihat bahwa ketika nilai lambda (λ) kecil, maka nilai tengah galat akan menjadi besar sehingga nilai bias dari dugaan untuk intersep (β̂₀) akan menjadi besar. Nilai lambda (λ) juga mempengaruhi besarnya ragam pendugaan parameter. Ketika lambda (λ) kecil, maka ragam pendugaan parameter menjadi besar dan sebaliknya ketika lambda (λ) besar, maka ragam pendugaan menjadi kecil. Artinya, semakin besar nilai lambda maka akan semakin baik pendugaan parameternya. Banyaknya pengamatan (n) juga mempengaruhi besarnya ragam pendugaan parameter. Ketika banyak pengamatan kecil (n=10) ragam pendugaan cukup besar. Ketika banyak pengamatan sedang (n=30 dan 50) dan besar (n=150) maka ragam pendugaan menjadi lebih kecil.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Kebaikan pendugaan parameter dapat dilihat dari ragam pendugaan, rata-rata bias mutlak, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif. Dari hasil simulasi dapat dilihat bahwa metode LTS merupakan metode yang paling baik untuk menduga

(20)

10

intersep (β̂₀) ketika galatnya menyebar Eksponensial. Hal ini dikarenakan metode LTS memiliki nilai KTG yang paling minimum untuk semua data set. Namun metode LTS tidak selalu memiliki ragam pendugaan yang minimum, akan tetapi memiliki rata-rata bias mutlak yang paling kecil untuk semua data set kecuali ketika ukuran contoh 10 dengan lambda 10. Pada pendugaan terhadap koefisien kemiringan garis (β̂₁), metode LTS merupakan metode yang paling baik karena memiliki nFilai KTG yang paling minimum untuk semua data set. Ragam pendugaan dan rata-rata bias mutlak metode LTS juga memiliki nilai yang minimum kecuali untuk beberapa ukuran contoh dan lambda tertentu. Metode LTS dan metode Theil selalu memiliki nilai KTG Relatif yang positif untuk penduga intersep (β̂₀) dan koefisien kemiringan garis (β̂₁). Artinya, metode LTS dan Theil lebih baik dibandingkan MKT. Sedangkan WIN tidak selalu memiliki nilai KTG Relatif yang positif. Ketika nilai lambda (λ) kecil, maka nilai tengah galat akan menjadi besar sehingga nilai bias dari dugaan untuk intersep (β̂₀) akan menjadi besar. Artinya, semakin besar nilai lambda maka akan semakin baik pendugaan parameternya.

Saran

Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan metode pendugaan parameter regresi yang lain dan jenis sebaran yang lain dalam mengkaji pendugaan parameter regresi ketika galatnya tidak menyebar Normal.

DAFTAR PUSTAKA

Azizah AN, Fitriani R, Solimun. 2013. Analisis Sifat Penduga Least Trimmed Squares (LTS) pada Regresi Linier Berganda yang Mengandung Pencilan dengan Berbagai Ukuran Contoh. Jurnal Mahasiswa Statistika, 1(4): 305-308.

Daniel WW. 1990. Applied Nonparametric Statistics (Second Edition). Boston(USA): PWS-KENT Publishing Company.

Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Bambang Sumantri. Jakarta (ID): PT Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis (Second Edition).

Mutan OC. 2004. Comparison of Regression Techniques via Monte Carlo Simulation[tesis]. Turki: Middle East Technical University.

Mutan OC. 2009. A Monte Carlo Comparison of Regression Estimators When The Error Distribution is Long Tailed Symmetric. Journal of Modern Applied Statistical Methods, 8(1): 161-172.

Wulandari S, Sutarman, Darnius O. 2013. Perbandingan Metode Least Trimmed Squares dan Penaksir M dalam Mengatasi Permasalahan Data Pencilan. Jurnal Saintia Matematika, 1(1): 73-85.

(21)

11 Lampiran 1 Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga

intersep (β̂0) hasil simulasi

n=10

Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG

Relatif λ = 0.1 MKT 13.03970 12.48966 10.03970 113.28530 0 LTS 10.56447 16.60068 7.56485 73.82760 0.34830 WIN 10 12.58863 19.00679 9.86691 116.36280 -0.02717 WIN 20 12.76190 16.67506 9.85199 113.73670 -0.00399 THEIL 10.88224 15.73972 7.88224 77.86940 0.31262 λ = 2.5 MKT 3.39848 0.01694 0.39849 0.17574 0 LTS 3.29665 0.02475 0.29665 0.11276 0.35834 WIN 10 3.33569 0.02665 0.33743 0.14051 0.20046 WIN 20 3.29113 0.06356 0.33020 0.17260 0.01784 THEIL 3.31200 0.02174 0.31200 0.11909 0.32233 λ = 10 MKT 3.10223 0.00113 0.10223 0.01158 0 LTS 3.07579 0.00149 0.07618 0.00729 0.37044 WIN 10 3.08131 0.00147 0.08131 0.00809 0.30176 WIN 20 3.07443 0.00183 0.07470 0.00742 0.35959 THEIL 3.08236 0.00154 0.08236 0.00833 0.28100 n=30

Relatif λ = 0.1 MKT 12.82723 3.63396 9.82723 100.20850 0 LTS 9.40734 3.70430 6.40734 44.75840 0.55335 WIN 10 12.85925 3.47578 9.85924 100.68050 -0.00471 WIN 20 13.07223 3.89094 10.0722 105.34080 -0.05122 THEIL 10.54055 3.53981 7.54055 60.39970 0.39726 λ = 2.5 MKT 3.40002 0.00569 0.40002 0.16571 0 LTS 3.25786 0.00591 0.25786 0.07240 0.56306 WIN 10 3.37283 0.00750 0.37283 0.14650 0.11591 WIN 20 3.39578 0.00985 0.39578 0.16649 -0.00476 THEIL 3.29876 0.00577 0.29877 0.09504 0.42647 λ = 10 MKT 3.10276 0.00035 0.10276 0.01091 0 LTS 3.06505 0.00033 0.06505 0.00456 0.58229 WIN 10 3.09167 0.00055 0.09167 0.00895 0.17937 WIN 20 3.09506 0.00058 0.09506 0.00962 0.11899 THEIL 3.07220 0.00038 0.07220 0.00559 0.48756

(22)

12

n=50

Relatif λ = 0.1 MKT 12.84155 2.36606 9.84155 99.22224 0 LTS 9.10352 2.49448 6.10352 39.74750 0.59941 WIN 10 12.74404 3.15809 9.74404 98.10442 0.01127 WIN 20 12.44480 2.61918 9.44479 91.82342 0.07457 THEIL 10.11703 2.56760 7.11703 53.21973 0.46363 λ = 2.5 MKT 3.40171 0.00389 0.40171 0.16526 0 LTS 3.25190 0.00429 0.25190 0.06775 0.59003 WIN 10 3.35164 0.00559 0.35164 0.12925 0.21790 WIN 20 3.37760 0.01018 0.37760 0.15276 0.07563 THEIL 3.28771 0.00458 0.28771 0.08736 0.47139 λ = 10 MKT 3.10109 0.00027 0.10109 0.01049 0 LTS 3.06191 0.00022 0.06192 0.00405 0.61392 WIN 10 3.08768 0.00048 0.08768 0.00817 0.22139 WIN 20 3.08460 0.00064 0.08460 0.00779 0.25711 THEIL 3.07233 0.00026 0.07233 0.00550 0.47614 n=150

Relatif λ = 0.1 MKT 13.0030 0.73875 10.00300 100.79870 0 LTS 8.9515 0.84358 5.95158 36.26490 0.64022 WIN 10 12.7373 0.86331 9.73738 95.67990 0.05078 WIN 20 12.2577 1.03502 9.25773 86.74070 0.13947 THEIL 10.0104 0.71396 7.01046 49.86060 0.50534 λ = 2.5 MKT 3.40084 0.00121 0.40084 0.16188 0 LTS 3.23638 0.00115 0.23639 0.05702 0.64773 WIN 10 3.35374 0.00223 0.35375 0.12736 0.21322 WIN 20 3.33117 0.00306 0.33118 0.11274 0.30358 THEIL 3.27907 0.00126 0.27907 0.07914 0.51109 λ = 10 MKT 3.10007 8.65 x10-5 0.10008 0.01010 0 LTS 3.05847 6.92 x10-5 0.05848 0.00349 0.65465 WIN 10 3.09007 0.00019 0.09007 0.00831 0.17765 WIN 20 3.07801 0.00031 0.07801 0.00639 0.36688 THEIL 3.07022 8.07 x10-5 0.07022 0.00501 0.50389

(23)

13 Lampiran 2 Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga

koefisien kemiringan garis (β̂₁) hasil simulasi n=10

Relatif λ = 0.1 MKT 1.57124 3.93611 1.54885 6.33507 0 LTS 1.47472 3.23232 1.27456 4.85682 0.23334 WIN 10 1.92730 6.60957 1.86053 10.07116 -0.58975 WIN 20 1.87803 8.25595 1.86842 11.74695 -0.85427 THEIL 1.44913 3.45339 1.37945 5.35628 0.15450 λ = 2.5 MKT 1.49760 0.00601 0.06086 0.00972 0 LTS 1.49829 0.00465 0.04991 0.00714 0.26511 WIN 10 1.59619 0.01436 0.11566 0.02773 -1.85298 WIN 20 1.62828 0.05075 0.16126 0.07676 -6.89653 THEIL 1.50477 0.00463 0.05256 0.00739 0.23989 λ = 10 MKT 1.49971 0.00043 0.01573 0.00067 0 LTS 1.49959 0.00034 0.01293 0.00051 0.24932 WIN 10 1.51985 0.00089 0.02740 0.00164 -1.42384 WIN 20 1.52858 0.00168 0.03584 0.00296 -3.38413 THEIL 1.49963 0.00033 0.01397 0.00052 0.22451 n=30

Relatif λ = 0.1 MKT 1.49715 0.49017 0.54509 0.78729 0 LTS 1.49632 0.25236 0.37659 0.39418 0.49932 WIN 10 1.63376 0.58835 0.61772 0.96994 -0.23199 WIN 20 1.87874 0.84772 0.77881 1.45427 -0.84719 THEIL 1.49898 0.37622 0.48129 0.60787 0.22789 λ = 2.5 MKT 1.49937 0.00089 0.02340 0.00144 0 LTS 1.50167 0.00039 0.01539 0.00063 0.56237 WIN 10 1.54437 0.00235 0.05301 0.00517 -2.58211 WIN 20 1.56058 0.00666 0.07850 0.01282 -7.88839 THEIL 1.49995 0.00056 0.01874 0.00091 0.36748 λ = 10 MKT 1.50018 5.08 x10-5 0.00559 8.21 x10-5 0 LTS 1.49939 2.24 x10-5 0.00363 3.56 x10-5 0.56617 WIN 10 1.51300 0.00026 0.01538 0.00050 -5.10548 WIN 20 1.51710 0.00055 0.02141 0.00100 -11.24340 THEIL 1.50023 2.98 x10-5 0.00435 4.87 x10-5 0.40612

(24)

14

n=50

Relatif λ = 0.1 MKT 1.55198 0.52734 0.57270 0.85532 0 LTS 1.50583 0.24690 0.37533 0.38777 0.54663 WIN 10 1.77440 0.87956 0.77449 1.47939 -0.72963 WIN 20 1.96817 1.12908 0.88645 1.91487 -1.23876 THEIL 1.46181 0.44103 0.52219 0.71371 0.16556 λ = 2.5 MKT 1.50135 0.00091 0.02402 0.00148 0 LTS 1.50051 0.00051 0.01678 0.00079 0.46945 WIN 10 1.53880 0.00268 0.05082 0.00526 -2.54213 WIN 20 1.53341 0.00773 0.07302 0.01306 -7.79589 THEIL 1.50205 0.00089 0.02373 0.00146 0.01732 λ = 10 MKT 1.49965 7.20 x10-5 0.00667 0.00012 0 LTS 1.50033 3.08 x10-5 0.00427 4.90 x10-5 0.57918 WIN 10 1.51415 0.00032 0.01771 0.00063 -4.41320 WIN 20 1.51839 0.00045 0.02329 0.00099 -7.51592 THEIL 1.49927 5.91 x10-5 0.00600 9.51 x10-5 0.18411 n=150

Relatif λ = 0.1 MKT 1.54173 0.13955 0.29733 0.22796 0 LTS 1.49493 0.05189 0.17988 0.08425 0.63041 WIN 10 1.76260 0.20987 0.42276 0.38859 -0.70465 WIN 20 2.23630 0.34241 0.80444 0.98953 -3.34084 THEIL 1.50826 0.12209 0.27832 0.19955 0.12462 λ = 2.5 MKT 1.49964 0.00024 0.01210 0.00039 0 LTS 1.50025 6.99 x10-5 0.00663 0.00011 0.70886 WIN 10 1.53390 0.00088 0.03744 0.00228 -4.83810 WIN 20 1.57337 0.00196 0.07502 0.00759 -18.39200 THEIL 1.50019 0.00020 0.01141 0.00033 0.15180 λ = 10 MKT 1.50000 1.53 x10-5 0.00312 2.50 x10-5 0 LTS 1.50005 4.90 x10-6 0.00173 7.90 x10-6 0.68405 WIN 10 1.50806 9.24 x10-5 0.00988 0.00019 -6.60211 WIN 20 1.53134 0.00059 0.03240 0.00164 -64.53940 THEIL 1.49993 1.18 x10-5 0.00278 1.95 x10-5 0.21988

(25)

15

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama Helga Arina Pramuditya dan dilahirkan di Boyolali pada tanggal 11 Juli 1992, anak dari pasangan Slamet Joko Santosa, S.Pd dan Sri Daruki, S.Pd. Penulis merupakan putri kedua dari dua bersaudara.

Tahun 2004 penulis menamatkan pendidikan sekolah dasar di SDN 1 Juwangi, Boyolali. Kemudian penulis melanjutkan studinya di SMP Al-Islam 1 Surakarta dan lulus pada tahun 2007. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Al-Islam 1 Surakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis mengambil mayor Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama kuliah, penulis pernah aktif di beberapa Lembaga Kemahasiswaan IPB, yaitu Korps Sukarela Palang Merah Indonesia Unit I IPB (KSR PMI Unit I IPB), Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (BEM FMIPA), dan Badan Pengawas Gamma Sigma Beta (BP GSB), serta beberapa kali menjadi asisten praktikum Fisika.