Ukuran Dispersi Multivariat

Bab IV Ukuran Dispersi Multivariat

Pada bab ini, pertama-tama akan dikemukakan definisi tentang vektor variansi variabel-variabel standar (VVVS) sebagai ukuran dispersi multivariat tatkala seluruh variabel yang terlibat adalah variabel standar. Selanjutnya akan diturunkan distribusi asimtotik dari VVVS sampel.

IV.1 Vektor Variansi Variabel-Variabel Standar

Misalkan X adalah vektor acak yang merupakan superposisi dari ( 1 )

X dan ( 2 )

X , di mana masing-masing berdimensi p dan q, X =

(

X( )1 X( )2

)

t. Misalkan pula,

( i ) µ =

( )

( i ) E X ; i = 1, 2 dan Σij =

(

)(

)

t ( i ) ( i ) ( j ) ( j ) E⎡_⎢ X − X − ⎤_⎥ ⎣ µ µ ⎦; i, j = 1, 2. Oleh karena itu, matriks kovariansi dari X, sebut saja Σ , dapat dituliskan dalam bentuk partisi Σ = 11 12 21 22 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Σ Σ

Σ Σ . Djauhari (2007) mengemukakan bahwa Cleroux

(1987) menggunakan Tr

(

Σ Σ_{12 21}

)

untuk mengukur hubungan linear antara dua vektor acak ( 1 )

X dan ( 2 )

X . Parameter ini disebut vektor kovariansi yang merupakan jumlah semua elemen diagonal dari Σ Σ_{12 21}. Dengan demikian, seperti dikemukakan Djauhari (2007),

( )

2

11

Tr Σ dan

( )

2 22

Tr Σ secara berturut-turut disebut variansi vektor (VV) dari X( )1 dan dariX( )2 . Jika p = q = 1, kovariansi vektor adalah kuadrat dari kovariansi sedangkan variansi vektor adalah kuadrat dari variansi klasikal.

Djauhari (2007) menurunkan secara rinci bahwa VV merupakan ukuran dispersi multivariat di samping Generalized Variance (GV) atau determinan matriks kovariansi seperti dikemukakan Anderson (1963), Serfling (1980), Muirhead (1982) dan Djauhari (2007). GV adalah ukuran dispersi multivariat yang sudah terlebih dahulu populer dan banyak digunakan. Aplikasinya dalam Multivariate Statistical Process Control (MSPC) dapat dijumpai, misalnya, dalam Alt dan Smith (1988), Wierda (1994), Woodall dan Montgomery (1999), Montgomery

(2001, 2005) dan Djauhari (2005a). Sedangkan aplikasinya dalam penaksiran robust bagi parameter lokasi dan dispersi dapat dilihat dalam bentuk algoritma FMCD (Fast Minimum Covariance Determinant) yang sangat populer dan dikemukakan dalam Rousseeuw (1985), Rousseeuw dan Leroy (1987), Rousseeuw dan Hubert (1999), Rousseeuw dan van Driessen (1999), Hubert dkk. (2005) dan Herwindiati dkk. (2007). Sebagai ukuran dispersi multivariat, VV telah berhasil diaplikasikan dalam mereduksi tingkat kompleksitas komputasi FMCD seperti dikemukakan dalam Herwindiati dkk. (2007). Dengan mengacu kepada hasil penelitian Djauhari (2007) dan Herwindiati dkk. (2007), maka penelitian ini menggunakan VV sebagai ukuran dispersi multivariat.

Sekarang, misalkan X adalah vektor acak berdimensi p dengan matriks kovariansi

Σ yang bersifat definit positif. Dengan menggunakan operator vec, VV dari X dapat dituliskan sebagai vec

( )

Σ 2. Untuk selanjutnya, dalam penelitian ini,

penulis memfokuskan diri kepada masalah di mana seluruh variabel yang terlibat merupakan variabel standar. Misalkan Z adalah vektor acak berdimensi p di mana komponen ke-k nya merupakan komponen ke-k dari vektor acak X yang telah distandarkan; k = 1, 2, … , p. Oleh karena itu, matriks kovariansi dari Z adalah matriks korelasi dari X. Matriks korelasi ini kita tulis P. Sejalan dengan definisi VV di atas, selanjutnya parameter vec

( )

P 2 kita sebut vektor variansi

variabel-variabel standar (VVVS).

IV.2 Distribusi Asimtotik VVVS Sampel

Misalkan Z ,Z ,_{1 2} … ,Z_n sampel acak berukuran n dari Z dengan matriks kovariansi P. Jika R adalah matriks korelasi sampel, maka vec

( )

R 2 atau Tr

( )

R2

kita sebut VVVS sampel. Untuk menyelidiki distribusi asimtotik dari VVVS sampel, penulis menggunakan Teorema III.1 yang telah dibahas pada Bab III. Untuk itu, misalkan

{ }

X_n adalah suatu barisan vektor acak yang saling bebas. Misalkan pula u X

( )

adalah suatu fungsi bernilai real di mana u′ ada dan

( )

0

u X′ ≠0 untuk setiap X₀ di lingkungan dari c. Djauhari (2005b) menunjukkan bahwa variabel acak Yn=u X

( )

n dapat ditulis dalam bentuk uraian Taylor berikut,

( )

( )

t

(

)

n n n u c Y u c X c R X ⎛∂ ⎞ = +_{⎜ ⎟} − + ∂ ⎝ ⎠ ξ di mana R 1

(

X_n c

) (

tA X_n c

)

2 = − −

ξ ξ , elemen (i,j) dari matriks simeteris Aξ adalah

( )

2

( )

i j u a i, j ;i, j 1,2, , p X X ∂ = = ∂ ∂ ξ

dan X_i adalah elemen ke-i dari X_ndan ξ di lingkungan dari c dengan ξ − <c Xn−c . Selanjutnya, berdasarkan uraian Taylor

tersebut, Djauhari (2005b) menurunkan distribusi dari Y_n=u X

( )

_n yang dirumuskan dalam teorema berikut.

Teorema IV.1

Jika barisan

{ }

p n

X ⎯⎯→c, cadalah suatu vektor konstan di Rp dan

{ }

d ( )

n p

X ⎯⎯→N c ,Σ maka variabel acak d

(

2

)

n Y Y Y ⎯⎯→N µ σ, di mana µY →u c( ) dan ( ) t ( ) 2 Y n n u c u c X X ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ σ Σ . Bukti. Karena p n

X ⎯⎯→c dan bentuk kuadrat R_ξ lebih cepat menuju 0 dari pada bentuk linear ( )

(

)

t n n u c X c X ⎛∂ ⎞ − ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ , maka Yn=u X

( )

n dan ( ) ( ) t

₍

₎

n n n u c v u c X c X ⎛∂ ⎞ = +⎜ ⎟ − ∂ ⎝ ⎠

konvergen dalam distribusi ke distribusi yang sama. Selanjutnya, karena ( )

d

n p

X ⎯⎯→N c ,Σ , menurut Serfling (1980, hal. 24),

( )

d

(

2

)

n n v =u X ⎯⎯→N µ σ_υ, _υ di mana µ_υ →E u c

(

( )

)

dan ( ) ( ) t 2 n n u c u c X X ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ υ σ Σ , sebab a. µ_υ = E v( )n

= ( ) ( )

(

)

t n n u c E u c X c X ⎛ _{⎛∂ ⎞} ⎞ ⎜ _{+⎜ ⎟ −} ⎟ ⎜ _⎝ ∂ _⎠ ⎟ ⎝ ⎠ =

(

( )

)

( )

(

)

t n n u c E u c E X c X ⎛_{⎛∂ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ + _⎜⎜ ⎟ − _⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Karena p n X ⎯⎯→c yang berarti ( )

(

)

t n n u c E X c 0 X ⎛_{⎛∂ ⎞} ⎞ ⎜_{⎜ ⎟ −} ⎟_→ ⎜_⎝ ∂ _⎠ ⎟ ⎝ ⎠ , maka µ_υ →E u c

(

( )

)

= ( ) u c . b. 2 υ σ = Var v( )n = ( ) ( ) t

₍

₎

n n u c Var u c X c X ⎛ _{⎛∂ ⎞} ⎞ ⎜ _{+⎜ ⎟ −} ⎟ ⎜ _⎝ ∂ _⎠ ⎟ ⎝ ⎠ = ( )

(

)

( )

(

)

t t t n n n n u c u c E X c X c X X ⎡_{⎛ ⎞⎛ ⎞}⎤ ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ ⎢_{⎜⎜ ⎟ − ⎟⎜⎜ ⎟ − ⎟}⎥ ⎢_{⎜⎝ ∂ ⎠ ⎟⎜⎝ ∂ ⎠ ⎟}⎥ ⎢⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ – ( )

(

)

( )

(

)

t t t n n n n u c u c E X c E X c X X ⎧ ⎡_{⎛∂ ⎞} ⎤⎫⎧ ⎡_{⎛∂ ⎞} ⎤⎫ ⎪ _{⎢ − ⎥}⎪⎪ _{⎢ − ⎥}⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ _{⎢ ∂ ⎥}⎬⎨ _{⎢ ∂ ⎥}⎬ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ _{⎣ ⎦}⎪⎪ _{⎣ ⎦}⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭ = ( )

(

)(

)

( ) t t n n n n u c u c E X c X c X X ⎡_{⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞}⎤ ⎢⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟⎥ ⎢_⎝ ∂ _{⎠ ⎝} ∂ _⎠⎥ ⎣ ⎦ – ( )

{

(

)

}

{

(

)

}

( ) t t n n n n u c u c E X c E X c X X ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Karena Xn⎯⎯→p c, yang berarti

(

)(

)

t _p n n E X −c X −c ⎯⎯→Σ , maka ( ) t

₍

₎₍

₎

( ) t 2 n n n n u c u c E X c X c X X ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ →_{⎜ ⎟} − − _{⎜ ⎟} ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ υ σ atau ( ) ( ) t 2 n n u c u c X X ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ υ σ Σ .

Secara umum, Teorema III.1.1 dan IV.2.1 di atas memungkinkan untuk melakukan kajian tentang distribusi asimtotik dari setiap fungsi bernilai real dari matriks korelasi sampel R. Sebagai akibat dari kedua teorema itu, penulis sajikan proposisi berikut.

Proposisi IV.2

Jika u R( ) adalah suatu fungsi bernilai real di R, u′ ada, dan u R*′( ) ≠ 0 untuk semua R* dalam lingkungan P, maka

( ) d

(

2

)

u R ⎯⎯→N µ σ, dengan µ→u P( ), ( ) ( ) t 2 p p n n u P u P 2 M M n 1 R R ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → ₋ ⎜ _∂ ⎟ ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ σ Φ , p

(

_p2 pp

)

1 M I K 2 = + di mana

Φ =

{

I_p2−

(

I_p⊗P

)

Λ_p

}

(P⊗P)

{

I_p2−Λ_p

(

I_p⊗P

)

}

dan Λ_p diberikan pada Teorema III.1. Proposisi IV.2 dapat digunakan untuk menyelidiki distribusi asimtotik dari VVVS sampel. Untuk itu digunakan operator vec yang akan dapat menyederhanakan penulisan. Jika A matriks sembarang berukuran p x p, maka yang dimaksud dengan vec A( ) adalah vektor berdimensi p2 yang diperoleh dengan menyusun vektor-vektor kolom dari A yang satu di bawah yang lain. Jadi, vec R( ) adalah representasi matriks korelasi R dalam bentuk vektor kolom berdimensi p2 yang diperoleh dari R dengan menyusun vektor-vektor kolomnya, yang satu di bawah yang lain. Dengan demikian, VVVS sampel tidak lain adalah vec R( )2 atau

( )

2

Tr R yang merupakan jumlah kuadrat semua elemen dari R yakni

( )

2

Tr R = p p 2 ij i 1 j 1 r = =

∑∑

, dengan rij adalah elemen ke-(i,j) dari R. Apabila pada Proposisi IV.2

kita definisikan u vec R

(

( )

)

= vec R( )2, maka pada proposisi berikut disajikan distribusi dari VVVS sampel.

Proposisi IV.3

Jika pada Proposisi IV.2 didefinisikanu vec R

(

( )

)

= vec R( )2, maka

( ) _{( )}2 _{( )}2 2 _{d 2} vec R vec R vec R ⎯⎯→ ⎜N⎛ , ⎞_⎟ ⎝µ σ ⎠ dengan

a. _{( )}2 ( ) 2 vec R → vec P µ dan b. _{( )}2

(

( )

)

(

( )

)

t 2 p p vec R 8 vec P M M vec P n 1 → − σ Φ ... (IV.1) Bukti

Perhatikan bahwa u vec R

(

( )

)

= vec R( )2 memenuhi sifat u′ ada dan u R*′( ) ≠ 0 untuk semua R* dalam lingkungan P. Karena p

ij ij

r ⎯⎯→ρ untuk setiap i,j = 1, 2, ... , p, sila lihat juga El Maache (1997), dan ( ) 2 ( )

d p p p 2 vec R N vec P , M M n 1 ⎛ ⎞ ⎯⎯→ _{⎜ ⎟} − ⎝ Φ ⎠, maka ( )

(

)

( ) _{( )}2 _{( )}2 2 d 2 vec R vec R u vec R = vec R ⎯⎯→ ⎜N⎛ , ⎞_⎟ ⎝µ σ ⎠ di mana a. _{( )}2

(

(

( )

)

)

(

(

( )

)

)

( ) 2 vec R =E u vec R →E u vec P = vec P

µ dan b. _{( )}

(

( )

)

( )

(

( )( )

)

2 t 2 p p vec R u vec P u vec P 2 M M n 1 vec R vec R ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ → ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎜_⎜ ⎟_⎟ − _⎝ ∂ _{⎠ ⎝} ∂ _⎠ σ Φ . Selanjutnya karena

(

( )

)

( ) u vec P vec R ∂

∂ adalah vektor berdimensi p

2 di mana elemen-elemennya adalah ij ij p p 2 ij i 1 j 1 ij r r r = = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂

∑ ∑

ρ

maka

(

( )

)

( )

(

( )( )

)

t p p u vec P u vec P M M vec R vec R ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _∂ ⎟ ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ Φ ⎝ ⎠ =

(

( )

)

(

( )

)

t p p

4 vec P M ΦM vec P . Jadi,

dengan demikian, ( )2

(

( )

)

(

( )

)

t 2 p p vec R 8 vec P M M vec P n 1 → − σ Φ .

Parameter mean dan variansi pada proposisi di atas dapat juga diturunkan secara langsung berdasarkan uraian Taylor fungsi vektor bernilai real seperti dikemukakan dalam Marsden dan Tromba (1999). Uraian Taylor untuk u vec R

(

( )

)

= vec R( )2 di sekitar vec P( ) sampai suku kedua adalah ( )

(

)

u vec R = u vec P

(

( )

)

+

(

( )

)

( )

(

( ) ( )

)

t R P u vec R vec R vec P vec R ₌ ⎛_∂ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ . Oleh karena itu,

a. Mean dari u vec R

(

( )

)

adalah ( )

(

)

(

)

E u vec R ≈ ( ) ( ) ( )

(

( ) ( )

)

t 2 2 n R P vec R

E vec P vec R vec P

vec R = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ∂ ⎜ _{⎜ ⎟} ⎟ + − ⎜ _{⎜ ⎟} ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠ ≈

(

( )

)

( ) ( )

(

( ) ( )

)

t 2 2 R P vec R

E vec P E vec R vec P

vec R = ⎛_{⎛ ⎞} ⎞ ∂ ⎜_{⎜ ⎟} ⎟ + _{⎜⎜ ⎟} − _⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎜_{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠ Karena ( ) ( )

(

( ) ( )

)

t 2 R P vec R E vec R vec P vec R = ⎛_{⎛ ⎞} ⎞ ∂ ⎜_{⎜ ⎟} ⎟ − ⎜_{⎜ ∂ ⎟} ⎟ ⎜ ⎟ ⎜_{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠ = 0, maka

(

(

( )

)

)

p

(

( )2

)

E u vec R ⎯⎯→E vec P = vec P( )2.

b. Variansinya adalah ( )

(

)

(

)

var u vec R ≈ ( ) ( ) ( )

(

( ) ( )

)

t 2 2 R P vec R

var vec P vec R vec P

vec R = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ∂ ⎜ _{⎜ ⎟} ⎟ + − ⎜ _{⎜ ∂ ⎟} ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠ = ( ) ( )

(

( ) ( )

)

t 2 R P vec R

var vec R vec P

vec R = ⎛_{⎛ ⎞} ⎞ ∂ ⎜_{⎜ ⎟} ⎟ − ⎜_{⎜ ∂ ⎟} ⎟ ⎜ ⎟ ⎜_{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠ , karena ( ) 2 vec P _konstanta

= ( ) ( )

(

( ) ( )

)

( )( )

(

( ) ( )

)

t t t 2 2 R P R P vec R vec R

E vec R vec P vec R vec P

vec R vec R = = ⎛_{⎛ ⎞} ⎞⎛_{⎛ ⎞} ⎞ ∂ ∂ ⎜_{⎜ ⎟} ⎟⎜_{⎜ ⎟} ⎟ − − ⎜_{⎜ ∂ ⎟} ⎟⎜_{⎜ ∂ ⎟} ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜_{⎝ ⎠} ⎟⎜_{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ – ( ) ( )

(

( ) ( )

)

( )( )

(

( ) ( )

)

t t t 2 2 R P R P vec R vec R

E vec R vec P E vec R vec P

vec R vec R = = ⎛ ⎛_{⎛ ⎞} ⎞⎞⎛ ⎛_{⎛ ⎞} ⎞⎞ ⎜ ⎜_⎜∂ _⎟ ⎟⎟⎜ ⎜_⎜∂ _⎟ ⎟⎟ − − ⎜ ⎜_{⎜ ∂ ⎟} ⎟⎟⎜ ⎜_{⎜ ∂ ⎟} ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ _{⎝⎝ ⎠ ⎠}⎟⎜ _{⎝⎝ ⎠ ⎠}⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Suku kedua pada ruas kanan sama dengan 0 sebab E u vec R

(

(

( )

)

)

= vec P( )2. Akibatnya, ( )

(

)

(

)

( )_{( )}

(

(

( ) ( )

)

(

( ) ( )

)

)

( )_{( )} t 2 2 t p R P R P vec R vec R

var u vec R E vec R vec P vec R vec P

vec R vec R = = ⎛_∂ ⎞ ⎛_∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯→_{⎜ ⎟} − − _{⎜ ⎟} ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ atau

(

(

( )

)

)

( ) ( ) ( )( ) t 2 2 p R P R P vec R vec R var u vec R vec R n 1 vec R = = ⎛_∂ ⎞ ⎛_∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯→⎜_{⎜ ∂} ⎟_{⎟ −} ⎜_{⎜ ∂} ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Γ atau

(

(

( )

)

)

( ) ( ) ( )( ) t 2 2 p p p R P R P vec R 2 vec R var u vec R M M vec R n 1 vec R = = ⎛_∂ ⎞ ⎛_∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯→⎜_{⎜ ∂} ⎟_{⎟ −} ⎜_{⎜ ∂} ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Φ sebab

berdasarkan Teorema III.1, Γ = 2M_pΦM_p. Dengan demikian, ( )

(

)

(

)

( )_{( )} ( )_{( )} t 2 2 p p p R P R P vec R vec R 2 var u vec R M M n 1 vec R vec R = = ⎛_∂ ⎞ ⎛_∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯→ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} − _⎜ ∂ _{⎟ ⎜} ∂ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Φ . Akan tetapi

(

( )

)

( ) u vec P vec R ∂

∂ adalah vektor berdimensi p

2 dimana elemen-elemennya adalah ij ij p p 2 ij i 1 j 1 ij r r r = = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂

∑ ∑

ρ

untuk setiap i,j = 1, 2, ..., p.

ij ij p p 2 ij i 1 j 1 ij r r r = = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂

∑ ∑

ρ =

( )

( )

ij ij ij ij 2 ij ij ij ij ij r r r 2 r r r r = = ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ ρ = 2ρ_ij .

Oleh karena itu,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 1,2 1,p p ,1 p ,2 p,p u vec P 2 2vec P vec R ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ = = ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Jadi,

(

( )

)

( )

(

( )( )

)

(

( )

)

(

( )

)

t t p p p p u vec P u vec P 2 2 M M 2vec P M M 2vec P n 1 vec R vec R n 1 ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − _⎝ ∂ _⎠ Φ _⎝ ∂ _⎠ − Φ dan

variansi dari vec R( )2 →

(

( )

)

t p p

(

( )

)

8

vec P M M vec P

n 1− Φ . Dengan demikian dapat

disimpulkan bahwa

( )2 d ( )2

(

( )

)

t

(

( )

)

p p

8

vec R N vec P , vec P M M vec P

n 1

⎛ ⎞

⎯⎯→ ⎜_{⎝ −} Φ ⎟_⎠

Berdasarkan Proposisi IV.3 telah diketahui bahwa variansi dari vec R( )2

→

(

( )

)

t

(

( )

)

p p

8

vec P M M vec P

n 1− Φ . Selanjutnya akan disederhanakan bentuk

penulisan variansi dari vec R( )2 melalui sifat-sifat operator vec dan matriks komutasi. Hasil yang telah diperoleh dapat dilihat dalam BAB V pada disertasi ini.