Ukuran Dispersi

Ukuran dispersi

Dosen:

Karyadi Hidayat

Pengertian dispersi

• Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda

dengan nilai-nilai pusatnya

• Ukuran dispersi pada dasarnya merupakan pelengkap dari ukuran nilai pusat dalam

menggambarkan sekumpulan data. Jadi, dengan adanya ukuran dispersi maka penggambaran

sekumpulan data akan menjadi lebih jelas dan

tepat

Jenis-jenis ukuran dispersi

1. Dispersi mutlak

 Jangkauan (Range)

 Simpangan Rata-rata (Mean Deviation)

 Varians (Variance)

 Standar Deviasi (Standard Deviation)

 Simpangan Kuartil (Quartile Deviation) 2. Dispersi relatif

 Koefisien Variasi (Coeficient of Variation)

1. JANGKAUAN

Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar dengan data dengan nilai terkecil data.

R= nilai maksimum – nilai minimum Semakin kecil nilai Rmaka kualitas data akan

semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai R,

maka kualitas datanya semakin tidak baik.

2. Simpangan Rata-rata ( Mean Deviation )

Deviasi rata-rata atau simpangan rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-

simpangannya.

• Deviasi rata-rata data tunggal:

DR =

∑ = ^∑

• Deviasi rata-rata data berkelompok:

DR =

∑ = ^∑

Contoh 01.

Tentukan deviasi rata-rata dan deviasi frekuensi dari data berikut ini:

Berat badan banyaknya mahasiswa (f)

60 – 62 10

63 – 65 25

66 – 68 32

69 – 71 15

72 – 74 18

penyelesaian

Berat badan

banyaknya mahasiswa

(f)

X f X X − X f X − X

60 – 62 10 61 610 6,18 61,8

63 – 65 25 64 1600 3,18 79,5

66 – 68 32 67 2144 0,18 5,76

69 – 71 15 70 1050 2,82 42,3

72 – 74 18 73 1314 5,82 104,76

 100 6718 294,12

Dari t abel di at as didapat = ^∑

∑

=

= 67,18

DR = ^∑

=

^, = 29,412

3. varians

Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians sampel) disimbolkan dengan s². Untuk populasi, variansnya (varians populasi) disimbolkan dengan ² (baca: sigma).

a. Varians data tunggal 1) Metode biasa

 Untuk sampel besar (n30): s² =^∑

 Untuk sampel kecil (N30): s² =^∑ 2) Metode angka kasar

 Untuk sampel besar (n30): s² =^∑ − ^∑

 Untuk sampel kecil (N30): s² =^∑ − ^∑

Contoh 02.

Tentukan varians dari data 2, 3, 6 8, 11!

Penyelesaian:

n = 5

= = 6

s

²

=

^∑

= =13,5

s

²

=

^∑

−

^∑

= − = 13,5

X − − X²

2 -4 16 4

3 -3 9 9

6 0 0 36

8 2 4 64

11 5 25 121

30 54 234

b. Varians data berkelompok 1) Metode biasa

 Untuk sampel besar (n30): s² =^∑

 Untuk sampel kecil (N30): s² =^∑ 2) Metode angka kasar

 Untuk sampel besar (n30): s² =^∑ − ^∑

 Untuk sampel kecil (N30): s² =^∑ − ^∑ 3) Metode coding

 Untuk sampel besar (n30): s² = .^∑ − ^∑

 Untuk sampel kecil (N30): s² = .^∑ − ^∑

Keterangan:

C= panjang interval kelas u = ⁼

M = rata-rata hitung sementara

Contoh 03.

Tentukan varian dari distribusi frekuensi Contoh 01 dengan metode biasa, angka kasar dan

coding!

Penyelesaian:

= 67,18

kelas f X f X X² f X² X − X (X − X)² f (X − X)² u u² fu fu²

60 – 62 10 61 610 3721 37210 -6,18 38,1924 381,924 -2 4 -20 40 63 – 65 25 64 1600 4096 102400 -3,18 10,1124 252,81 -1 1 -25 25 66 – 68 32 67 2144 4489 143648 -0,18 0,0324 1,0368 0 0 0 0 69 – 71 15 70 1050 4900 73500 2,82 7,9524 119,286 1 1 15 15 72 – 74 18 73 1314 5329 95922 5,82 33,8724 609,7032 2 4 36 72

 100 6718 22535 452680 90,162 1364,76 0 10 6 152

• Dengan metode biasa

s

²

=

^∑

=

^1364,76 ₁₀₀

= 13,6476

• Dengan metode kasar

s

²

=

^∑

−

^∑

=

⁴⁵²⁶⁸⁰ ₁₀₀ − 6718

100

= 13,6476

• Dengan metode coding s

²

= .

^∑

−

^∑

=

3 . − =. − = 13,6476

4. SIMPANGAN BAKU (STANDAR DEVIASI)

Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau akar rata-rata kuadrat (s = ). Untuk sampel, simpangan bakunya dilambangkan dengan s, sedangkan untuk simpangan baku populasi dilambangkan dengan .

a. Simpangan baku data tunggal 1) Metode biasa

 Untuk sampel besar (n30): s = ^∑

 Untuk sampel kecil (N30): s = ^∑ 2) Metode angka kasar

 Untuk sampel besar (n30): s = ^∑ − ^∑

 Untuk sampel kecil (N30): s = ^∑ − ^∑

b. Simpangan baku dat a ber kelompok 1) M et ode biasa

 Unt uk sampel besar (n30): s = ^∑

 Unt uk sampel kecil (N30): s = ^∑ 2) M et ode angka kasar

 Unt uk sampel besar (n30): s = ^∑ − ^∑

 Unt uk sampel kecil (N30): s = ^∑ − ^∑ 3) M et ode coding

 Unt uk sampel besar (n30): s = ^{. ∑} − ^∑

 Unt uk sampel kecil (N30): s = ^{. ∑} − ^∑ Keterangan:

C = panj ang int er val kelas u = =

M = rat a-rat a hit ung sement ara

5. Koefisien variasi (dispersi relatif)

Untuk melihat penyimpangan-penyimpangan nilai yang terdiri dari beberapa kumpulan data.

Bentuk umum :

Dispersi relatif = dispersi absolut rata−rata a. Koefisien Variasi, KV = × 100%

b. Variasi Jangkauan, VR = × 100%

c. Variasi simpangan rata-rata, VSR = × 100%

d. Variasi kuartil (VQ) = × 100%

= × 100%

Latihan 01 (wajib kumpul)

Dua perusahaan yakni “CV. Ngalor” dan “CV Ngidul”

memiliki karyawan sebanyak 100 orang. Untuk keperluan penelitian diambil sampel sebanyak 8 orang setiap perusahaan dengan gaji masing-masing (dalam ribuan rupiah): 300, 250, 350, 600, 650, 500, 550, 450 dan 200, 250, 300, 650, 550, 550, 600, 400.

A. Tentukan dispersi relatif perusahaan tersebut (gunakan ke-4 macam dispersi relatif.

B. Perusahaan mana yang memiliki variasi gaji yang lebih baik?

C. Dikumpul paling lambat sebelum perkuliahan

berikutnya !

6. kemencengan/ kecondongan

 Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan dari sebuah distribusi.

 Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata- rata, median, dan modus yang tidak sama sehingga

distrbusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.

 Jika distribusi memiliki ekor lebih panjang ke kanan

daripada ke kiri maka maka distribusi disebut menceng ke

kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, Jika

distribusi memiliki ekor lebih panjang ke kiri daripada ke

kanan maka maka distribusi disebut menceng ke kiri atau

memiliki kemencengan negatif.

GAMBAR 1. KEMENCENGAN DISTRIBUSI

Untuk mengetahui konsentrasi distrbusi menceng ke kanan atau ke kiri digunakan metode-metode:

 Koefisien kemencengan pearson

 Koefisien kemencengan bowley

 Koefisien kemencengan persentil

 Koefisien kemencengan momen

a. Koefisien kemencengan pearson

Rumus koefisien kemencengan:

sk =

Keterangan : sk = koefisien kemencengan pearson

Apabila secara empiris didapat hubungan antar nilai pusat sebagai:

− = 3 − Maka rumus kemencengan menjadi:

sk =

Jika sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:

1) Sk = 0, berarti kurva berbentuk simetris

2) Sk > 0, berarti kurva menceng ke kanan (menceng positif) 3) Sk < 0, berarti kurva menceng ke kiri (menceng negatif)

b. Koefisien kemencengan bowley (Kuartil koefisien kemencengan)

Rumus koefisien kemencengan:

= Atau

= Keterangan:

sk_B= koefisien kemencengan bowley Q = kuartil

Jika sk_Bdihubungkan dengan keadaan kurva maka:

1) − > − , berarti kurva menceng ke kanan (menceng positif).

2) − < − , berarti kurva menceng ke kanan (menceng positif).

3) sk_Bpositif, berarti distribusi menceng ke kanan 4) sk_Bnegatif, berarti distribusi menceng ke kiri

5) sk_B = ± 0,1 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skb

> 0,3 menggambarkan kurva yang menceng berarti.

c. Koefisien kemencengan persentil

Rumus koefisien kemencengan:

= Atau,

= Keterangan:

sk

_P

= koefisien kemencengan persentil

P = Persentil

d. Koefisien kemencengan momen (kemencengan relatif)

• Untuk data tunggal, rumus:

= =

^∑

• Untuk data berkelompok, rumus:

= =

^∑

Atau

= =

^∑

− 3

^{∑ ∑}

+ 2

^∑

7. Keruncingan (kurtosis)

Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Dapat dibedakan atas tiga macam:

1) Leptokurtik : distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi

2) Platikurtik : distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar

3) Mesokurtik : distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar GAMBAR 2. KERUNCINGAN KURVA

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien keruncingan dan koefisien kurtosis persentil.

1. Koefisien Keruncingan Ketentuan:

 Nilai < 3, distribusi plaktikurtik

 Nilai > 3, distribusi leptokurtik

 Nilai = 3, distribusi mesokurtik Data tunggal: 

4

=

^∑

Data berkelompok : 

4

=

^∑

Latihan

A. Buatlah tabel dengan ketentuan sbb:

1. Banyaknya data (N)  50 data

2. Jangkauan sesuaikan dengan 1 angka NPM terakhir.

Apabila genap R = 4. apabila ganjil R= 5 dan nol R = 6 3. Dari tabel yang telah dibuat, hitung :

 Rata-rata hitung (dengan 3 metode), Median dan Quartil (Q

₁

,Q

₂

,Q

₃

)

 Varians, Simpangan baku dan simpangan rata-rata 4. Tabel Data tidak boleh ada yang sama dengan teman

lain. Kalo ada yang sama, dianggap tidak mengerjakan.

5. Tugas dikumpulkan paling lambat 1 minggu setelah tugas

ini diberikan (pada saat pertemuan minggu berikutnya).

Latihan

B. Buatlah masing-masing satu contoh soal dan pembahasan mengenai :

 Koefisien variasi

 Kemencengan dengan 4 metode

 Keruncingan dengan 2 metode Dengan Ketentuan:

 Soal dapat berupa data tunggal atau data berkelompok.

 Contoh soal tidak boleh ada yang sama dengan teman lain.

Kalo ada yang sama, dianggap tidak mengerjakan.

 Apabila memungkinkan, disertai dengan gambar grafik.

 Tugas dikumpulkan paling lambat 1 minggu setelah tugas ini diberikan (pada saat pertemuan minggu berikutnya).